江苏南京市第五高级中学2026-2027学年高三上学期第一周周测数学试题

南京市第五高级中学2026-2027学年第一学期 高三数学综合练习（第一周） 满分：150分命题人：高三数学备课组 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.已知集合A={xx2-2x-3<0,B={xx<2,则AUB=() A.{xx<2) B.{xx<3} c.{x-1≤x<2 D.{x-1<x<3} 2. 已知x+ 展开式中x3项的系数为-160，则=（() A.2 B.-2 C.4 D.-4 3.有10000人参加某次考试，其成绩X近似服从正态分布N100,132).P(61<X<139)=0.997.则此次考 试中成绩不低于139分的人数约为() A.10 B.30 C.15 D.23 4.若sin6+cos0 =2,则sin0cos0的值是() sin0-cos0 3 A. 8、3 Ct 3 10 10 10 D. 5.已知ae0,.sima则tm(a+户） A.1 B.7 C.-1 D.-7 6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2,AC=1,D是边BC上一点， DC=2BD,则AD.BC=() B 3 D.- 8 8 7.将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和）， 则该正三棱柱的体积最大为() A.3 B.V3 c v3 D. 36 72 108 324 第1页 8.已知函数f()=血x,若方程2fx+m+)f+m-1=0有三个不等实根，则实数m的取值范 围为() 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分， 9.已知数f)=c0s(x+ 则() A.f(x)的最小正周期为2π 5π C.fx+ 为偶函数 4 D.f(x)的图象关于直线x= 江对称 4 10.在长方体ABCD-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，P在棱AD上，且 PA=10,PD=√2，则() A.AA =1 B.过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面周长为5√2+210 C.以点P为球心，√2为半径作一个球，则球面与底面ABCD的交线长为2π D.三棱锥P-ABD外接球的体积是36π 11.函数f(x)=ax+bx2+cx+d(a≠0)的图象如图所示，设f'(x)是函数 ∫(x)的导函数，则下列结论正确的是() A.f'(x)>0的解集是(2,5) B.3a+2b+c=0 C.x=2时，'(x)取得最大值 D.f(x)f'(x)>0的解集是(-o,-1)U(1,2)U(3,5) 第2页 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.小张、小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为 27,32,39,m,46,47；小李的六次成绩从小到大分别为30,31,34,41,42,45，只知小张的六次成绩的第50 百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数，则m= 13.已知函数f(x)=lnx+m,若f(x)为偶函数，则f(x)在x=1处的切线方程为 14.已知函数f(x)=e-anx在(1,2)上存在减区间，则实数a的取值范围为 四、解答题本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)设函数f(x)=V3 sinxcosx+cos2x+a (1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间； 2)当[名时，函数c的最大值与最小值的和为求不等式>1的解集 3 16.(15分)已知四棱柱ABCD-AB,CD中，底面ABCD为梯形，AB/1CD, A D AA⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA=2,AD=DC=1.N是BC1的 B 中点，M是DD的中点 (1)求证：DN∥平面CBM; (2)求点B到平面CBM的距离. 84----- 17.(15分)已知函数)=X-ax-1. (1)当a=0时，求)在点(-1，-2)处的切线方程 (2)若fx)在区间(1，+∞)上为增函数，求a的取值范围. 第3页 18.(17分)甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛 中，甲获胜的概率为p(0<p<I) 2 (1)双方进行比赛，先赢得3局比赛的一方获胜若p= (i)求乙3：2获胜的概率； ()求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率， (2)设pn为“双方进行满2n+1局比赛（不提前结束），甲赢得至少n+1局”的概率；9n为“双方进行 比赛，采用至少赢局且至少多赢2局的规则（例如甲至少赢n局，且净胜乙至少2局时，甲获胜），甲获 胜”的概率.比较卫Pn与9n的大小 19.(17分)三个互不相同的函数f(x),g(x)和h(x)在区间D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x)或恒有 f(x)≤h(x)≤g(x),则称h(x)为f(x)与g(x)在区间D上的分割函数”. (1)设h(x)=4x,h2（x)=x+1,试分别判断h(x)h2(x)是否是y=2x2+2与y=-x2+4x在区间 (-o0,+∞）)上的“分割函数”，请说明理由； (2)若二次函数h(x)是y=2x2+2与y=4x在区间(-o,+∞)上的分割函数”，求h（x): 第4页 高三数学综合练习（第一周） 答案与解析 1.已知集合A={xx2-2x-3<0,B={xx<2,则AUB=() A.{xx<2} B.{xx<3} c.{x-1≤x<2} D.{x-1<x<3} 第5页 【答案】B 【解析】 【详解】由x2-2x-3<0,可得(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3, 即A={x|-1<x<3},因B={xx<2}, 则AUB={x|x<3} 2. 已知x2+ 展开式中x2项的系数为-160，则m=（) A.2 B.-2 C.4 D.-4 【答案】B 【详解】由题设不=CGx(g） =C6m'x2-3,r=0,1,,6, 令12-3r=3,得r=3,故x2项的系数为C=-160, 所以20m2=-160→=-2 3.有10000人参加某次考试，其成绩X近似服从正态分布N100,132).P(61<X<139)=0.997.则此次考 试中成绩不低于139分的人数约为() A.10 B.30 C.15 D.23 【答案】C 【详解】·X近似服从正态分布N100,132),P(61<X<139)=0.997 p(x2159)-51-097）=0015, :.此次考试中成绩不低于139分的人数约为10000×0.0015=15， 4.若sin8+cos8=2,则sin0cos0的值是() sin0-cos0 3 3 3 3 A.- B. C.± 10 10 D. 10 【答案】B 【解析】 第6页 【分标析】由同角三角函数的基本关系求得an0=3,再化简sim0cos0=,tan0 代入即可求解 tan20+1' 【详解】因为 sin0+cos0 sin0-cos0 由同角三角函数基本关系可得 an0+1=2, tan-1 解得：tan0=3, 所以sin0cos0= sincos tan 33 sin20+cos20tan20+132+1-10 故选：B 5.已知a∈(0,5)，sina= 则m(a+孕=（) 4 A.1 B.7 C.-1 D.-7 【答案】D 【分析】先利用同角三角函数基本关系求出tana,再代入两角和的正切公式计算即可得到结果 【详解]由ae@孕及me手得as0=-m6-专所以ma sin a4 cos a 3' tana+tan +1 4 > 所以tan(a+)= 4=3 4 1-tan g tan元14二==-7 1 4 3 3 6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2,AC=1,D是边BC上一点，DC=2BD,则AD.BC= B D A. 8 &、P 3 【答案】c 【解析】 【分析】用AB与AC表示出AD,BC,进而利用向量的数量积运算公式进行计算 【详解】由DC=2BD可得，BD=BC, 第7页 所以0=伍+D=孤+8C-孤+aC-孤到-号孤+4C 因为BC=AC-AB 所以而c-(居4+4cac-例=号+4C+c 4+1+2x1个8 31 7.将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和）， 则该正三棱柱的体积最大为() 4.⑤ 8,3 D. 36 72 108 324 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正三棱柱的体积，再求出导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出最大值即可. 【详解】设正三棱柱的底面边长为x,侧棱长为y,则6x+3y=3,即y=1-2x,0<x< 2 正三棱柱的体积=5y=5 1-3 r0-2-9-2r-52-6)= 上单调递增 上单调递减， 以省限网大红为马侣图-2门 3 故选：C. 8.已知函数fe)=1血 ,若方程2[fx+(m+)f(x)+m-1=0有三个不等实根，则实数m的取值范 围为() 【答案】B 第8页 【解析】 【分析1解方程得f)=-1或f)=1一”，利用号数研究函数f9)=的单调性，作出示意图，数 2 形结合可得0<)<。，求解可得实数m的取值范围。 【详解】由2Lfx)+(m+)f(x)+m-1=0,得[2f(x)+m-1[f(x)+1]=0, 解得f,=-1或fx)=1-m 2 由fe)=血求导得f的=1-hx x x2, 所以当0<x<e时，∫()>0，函数f=血在(0，e)上单调递啪， 当x>e时，f()<0,函数f)=血在(e,+o)上单调递减 所以se)gx→+o,f→0，f0=0.x→0f)→- 作出函数f()=nx的图象如下 y=fx) e 所由图知，f(x)=-1有唯一根， 又因为方程2[f(x)]+(m+1)f(x)+m-1=0有三个不等实根， 所以f)=有两个不等正实根，由图知，0<一m<懈 <m<1, 2 <。,解得e-2 e e 所以实数m的取值范围为 9,已短数=+则() 第9页 A.f(x)的最小正周期为2π 为偶函数 D.f(:)的图象关于直线x=7π对称 【答案】AD 【解析】 2π 【详解】A余弦函数y=Acos(ox+p)的最小正周期公式为T= 0=1,所以T=2不=2元，故A正确 r)任+到-如片- ，放B钻误 cf+买)=omr++到m+g）=m+=mx y=sinx是奇函数，不是偶函数，故C错误. D.余弦函数的对称轴是使函数取到最值的位置，即x+兀=m,k∈乙， 4 解得x=低-牙k∈乙，当k=2时，x=2π-子-7压是西数的一条对称轴，故D正确 441 10.在长方体ABCD-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，P在棱AD上，且 PA=V10,PD=√2，则() A.A4=1 B.过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面周长为5√2+2W10 C.以点P为球心，√2为半径作一个球，则球面与底面ABCD的交线长为2π D.三棱锥P-ABD外接球的体积是36π 【答案】ABD 【解析】 第10页 【详解】设A4=h,4P=x,在直角△A4P中，根据勾股定理得(V10=+x2 在直角△DD,P中，根据勾股定理得(V2=?+(4-x},解得x=3,h=1,故A4=1,故A正确， 延长AP,DD相交于点2，连接QC交CD于点R,则截面周长为AP+PR+RC+AC, 在△MD0中利用三角形相似可得QD-手在△CDQ中，利用三角形相似可得RD,=1, :PR=√2，RC=√10，又底面ABCD是边长为4的正方形，则AC=4√2， 故截面周长为AP+PR+RC+AC=V10+√2+V10+4V2=2W10+5V2,故B正确 A B 点P到底面ABCD的距离为1，球的半径为√2，设球面与底面ABCD(正方形)的交线为半圆， 圆心在线段AD上且与D距离为1，圆的半径r=(√2-P-1,可得交线长为2×2x1=元，故C结 误， 在△PAD中，∠PDA=∠DPD=45°，则△PAD的外接圆半径r=xPA =V5,显然AB1平面 2sin45° PAD 因此三棱锥P-ABD的外接球的球心O在线段AB的中垂线上，球心O到平面PAD的距离为 d=24B=2, 则球半径R=V2+dP=√5+4=3，故三棱锥P-ABD的外接球体积为 ×g(6)=36,放DE确 11.函数f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0)的图象如图所示，设f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列结论正确 的是() 第11页 A.f'(x)>0的解集是(2,5) B.3a+2b+c=0 C.x=2时，f'(x)取得最大值 D.f(x)f'(x)>0的解集是(-o,-1)U(1,2)U(3,5) 【答案】BC 【分析】根据图象可得出f(x)<0以及f(x)>0的解集，根据图象的上升下降可得f'(x)>0以及'(x)<0的 解集.由此可判断A、D项；由图象分析可知a<0,结合极值点代入计算后可判断B项，联立即可得到a,b,c 的关系，代入导函数整理即可判断C项. 【详解】对于A项，由图象可得，函数∫(x)在(1,3)上单调递增， 所以f'(x)>0的解集是(1,3)，故A项错误； 对于B项，因为f(x)=3a2+2bx+c.又由图象知，函数f(x)在x=1处取得极小值，所以有 '(1)=3a+2b+c=0,故B项正确； 对于C项，由图象知，当x∈(1,3)时，∫(x)单调递增，则f'(x)>0: 当xe(-oo,1)时，f(x)单调递减，则f'（(x)<0,当x∈(3，+o)时，f(x)单调递减，则f'(x)<0.所以'(x)<0 的解集为(-o,1)U(3,+oo),f'(x)>0的解集为(1,3) 又f(x)=3ax2+2bx+c为二次函数，根据二次函数的图象可知a<0. 因为函数f(x)在x=1以及x=3处取得极值， 「f'(1)=0 「3a+2b+c=0 =-6a 所以有 /3)-0即{27a+6b+e0所以 c=9a 所以f'(x)=3a2+2br+c=3a2-12+9a=3a(x-2/-3a, 因为a<0,所以x=2时，'(x)取得最大值，故C项正确： 对于D项，由f(x)f'(x)>0可得 [fx)>0f(x)<0 x>0或/x<0 由图象知，当x∈(-o,-1)U(2,5)时，f(x)>0 第12页 又∫(x)>0的解集为(1,3)，所以由 f(x)>0 可得x∈(2,3) f'(x)>01 由图象知，当x∈(-1,2)U(5,+oo)时，f(x)<0,又f'(x)<0的解集为(-o,1)U(3,+o). 「f(x)<0 所以由 fx)<0可得xe(-lu(5,o）. 所以，f(x)f'(x)>0的解集是(-1,1)U(2,3)U(5,+o),故D项错误. 12.小张、小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为 27,32,39,m,46,47；小李的六次成绩从小到大分别为30,31,34,41,42,45，只知小张的六次成绩的第50 百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数，则m=】 【答案】45 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法，分别求得两组数据的百分位数，列出方程，即可求解。 【详解】因为6×50%=3，所以小张的六次成绩的第50百分位数为 39+m 2 又因为6×80%=4.8，小李六次成绩的第80百分位数为42 可得39+m=42,解得m=2×42-39=45 2 故答案为：45 13.已知函数f(x)=lnx+m,若f(x)为偶函数，则f(x)在x=1处的切线方程为 【答案】y=x-1 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求得m=0,再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题得x+m≠0，解得x≠-m, 可得f(x)的定义域为(-o,-m)U(-m,+o) 又因为f(x)为偶函数，其定义域关于原点对称， 所以m=0,则f(x)=lnx, 此时f(-x)=ln-x=lnx=f(x),满足f(x)为偶函数 第13页 当x>0时，f(x)=lnx,则f(x)= 所以'()=1，f(1)=0, 则f()在x=1处的切线方程为y=x-1 14.已知函数f(x)=e-anx在(1,2)上存在减区间，则实数a的取值范围为 【答案】(e,+o) 【分析】依题意将函数在给定区间上的单调性问题转化成导函数不等式能成立问题，通过参变分离，构造 函数g(x)=xe,x∈Q1,2),求其值域即得参数范围， 【详解】由/)=e-a血x求导得了)=e- 因函数f(x)=e-ahx在1,2)上存在减区间，则f"(x)=e-a<0在1,2)上有解区间，即a>xe在(1,2)上 能成立 设8(x)=xe,x∈(1,2)，则g(x)=(x+1)e>0,则函数g(x)在(1,2)上单调递增， 故g(1)<g(x)<g(2),即g(x)ee,2e2),故可得a>e, 即实数a的取值范围为(e,+oo). 15.设函数f(x)=√3 sinxcosx+cos2x+a (1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2）)当x∈ Tnπ 时， 函数fx)的最大值与最小值的和为 3 6’3 ,求不等式()>1的解集. 【答案】(1)最小正周期为π；递减区间为： 2π 【分析】()化函数∫(x)为正弦型函数，求出它的最小正周期和单调递减区间； (2)根据x∈ [63时求得f(x的最大值和最小值。由此求得a的值.再求不等式fs)>1的解集， ππ 【详解】(1)f=5in2x+ 1+cos2x -+a ..T=I, 第14页 令2kn+7≤2x+Zs2kr+ 2 6 π .kn+二≤x≤kn+兰 6 ,kez. 3 .函数f(x)的递减区间为： 6 66 a f) 3 3 3 2+a+a=a=0, a1mx+ 25m+<2+<2k+0-km<x<k+写keZ, 6 6 6 风6引 .不等式f(x)>1的解集为 【点晴】方法点晴：三角函数y=As(wx+p)+k的一般性质研究：1.周期性：根据公式T= 可求得：2 2π 单调性：令-？+2kn≤x+0s?+2kn,k∈Z,解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令 +2kn≤w心+p≤ 3红+2k,k∈Z,解出不等式，即可求出函数的单调递减区间. 16.已知四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB/ICD,A,A⊥平面ABCD,AD⊥AB, 其中AB=AA=2,AD=DC=1.N是BC的中点，M是DD的中点. A D B 、W (1)求证：DN∥平面CBM; (2)求点B到平面CB,M的距离. 第15页 【答案】(I)证明：取CB,中点P,连接NP,MP, 由N是BC的中点，故NPICC,且NP=CC, M是DD的中点，故DM=DD=。CC且D,MMC 2 则有DMIINP、DM=NP, 故四边形DMPN是平行四边形，故DN∥MP, 又MPC平面CBM,DNd平面CB,M, 故D,N∥平面CB,M； (2) 2W11 11 【解析】 【分析】(1)取CB,中点P,连接NP,MP,利用DMNP、DM=NP得四边形DMPN是平行四 边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可. (2)建立空间直角坐标系，求出平面CB,M的法向量，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， ZA A D C M D 有A(0,0,0)、B(2,0,0)、B(2,0,2)、M(0,1,1)、C(11,0)、C(11,2) 则有CB=(1,-1,2)、CM=(-1,0,1)、BB=(0,0,2) 第16页 设平面CBM的法向量分别为m=（x,,z), m.CB=x-y+2z= 则有 0.取m=3,。 m.CM=x+=0 BB·m 则有 221 m1+9+1111 即点B到平面CB,M的距离为2面 11 17.已知函数)=-ax-1. (1)当a=0时，求x)在点(-1，-2)处的切线方程. 第17页 (2)若f代x)在区间(1，+∞)上为增函数，求a的取值范围. 【答案】(1)3x-y+1=0;(2)（-∞，3 【分析】(I)当α=0时，求出函数和导函数∫'(x),进而利用点斜式方程写出切线方程， (2)f(x)在区间L,+∞)上为增函数，即"(x)≥0在L,+∞)上恒成立，分离参数求出最值，可得a的取值范 围 【详解】 (1)当a=0时，f(x)=x-1,f)=3x2, 所以曲线在(1，-2)处切线斜率为k='(-1)=3, 所以切线方程为：y+2=3(x+1),即3x-y+1=0 (2)因为f'x)=3x3-a,且f(x)在区间L,+o)上为增函数， 所以f(x≥0在1，+o)上恒成立， 即3x2-a≥0在1，+o)上恒成立， 所以a≤3x2在1，o∞)上恒成立， 所以a≤3，即a的取值范围为(-o,3]. 18.甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜 的概率为p(0<p<I) (1)双方进行比赛，先赢得3局比赛的一方获胜若p= 2 3 (i)求乙3：2获胜的概率； ()求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率. (2)设pn为“双方进行满2n+1局比赛（不提前结束），甲赢得至少n+1局”的概率；9n为“双方进行 比赛，采用至少赢局且至少多赢2局的规则（例如甲至少赢n局，且净胜乙至少2局时，甲获胜），甲获 胜”的概率比较pn与qn的大小 【答案】(1)（①） 8 5 87:(i 8 2当p<1时，h<9.:当0<p<时A>g:当nt.A=g。 第18页 【解析】 【分析】(1)()若乙以3：2获胜，则第5局乙赢，前4局乙赢2局输2局，再利用独立事件和独立重复 试验的概率公式可求出所求事件的概率； ()设事件A为甲获胜，事件B为乙至少获胜一局，分析出甲获胜的情况，求出P(A)的值，以及事件AB 所包含的情形，求出P(AB)的值，再利用条件概率公式可求出P(BA)的值； (2)设Ym表示前m局中同学甲赢得的局数，记q=1-p,求得pn=P(Y,n≥n+1)+P(Y,n=n)p, 飞≥n++P%,=n)作差卫，-9n对P与)的大小进行分类讨论，即可得出D 9n的大小关系. 【小问1详解】 ()因为甲每局获胜的概率为 2 所以乙每局获胜的概率为了” 若乙以3：2获胜，则第5局乙赢，前4局乙赢2局输2局. 2 所以乙3：2获胜的概率为C?× 18 3帝 ()设事件A为甲获胜，事件B为乙至少获胜一局. 若甲获胜，则甲对乙可以以3：0、3：1、3：2获胜， 若甲以3：0获胜，则前3局全是甲赢 若甲以3：1获胜，则第4局甲赢，前3局甲赢2局输1局； 若甲以3：2获胜，则第5局甲赢，前4局甲赢2局输2局. ur(a-ci-C3 事件AB(甲获胜且乙至少获胜一局)等价于“甲以3：1或3：2获胜” (am-GI-mRC--3(c( 08 40 所以在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率为P(BA)= P(AB) 81=40_5 P(A)64648 81 【小问2详解】 第19页 设Ym表示前m局中同学甲赢得的局数，记q=1-p, 则pn=P(Ym1≥n+l)=P(Yn≥n+l)+P(Yn=n)p. 对于9。设双方n:n平之后甲获胜的概率为k,则k=p2+2gk,所以=，P -1-2pg 则=P收，≥aP化=小1n t%--网p-n) 因为Ym~B(mp),可得P(Yn=n)=C2npq>0, p2p(2p-1(p- p1-2gp2p'2p+1- p2+q1 所以p.-9.=Cp"g(2p-p-） p2+g2 当)<p<1时，可得9-P,>0,即P.<9 当0<p<)时，Pa>4:当p=2时，p。=9 19.三个互不相同的函数f(x),g(x)和h(x)在区间D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x)或恒有 f(x)≤h(x)≤g(x),则称h(x)为f(x)与g(x)在区间D上的分割函数. (1)设h(x)=4x,h(x)=x+1,试分别判断h(x小h(x)是否是y=2x2+2与y=-x2+4x在区间 (-o0,+∞)上的“分割函数”，请说明理由； (2)若二次函数h(x)是y=2x2+2与y=4x在区间(-0，+o)上的分割函数”，求h(x); (3)设[m,n]=[-2,2],若存在函数h(x)=x+b(k,b∈R),使得h(x)为y=x4-4x2与y=4x2-16 在区间m,n上的“分割函数，求n-m的最大值 【答案】(1)h（x)是y=2x2+2与y=-x2+4x在区间(-00，+o0)上的分割函数'；h2（x)不是y=2x2+2 与y=-x2+4x在区间(-0，+0)上的“分割函数 第20页 (2)h(x)=ax2+(4-2a)x+a(0<a<2) (3)2V5 【解析】 【分析】(1)通过作差法来判断符号，从而确定是不是恒成立问题即可； (2)利用导数得到y=2x2+2在x=1处的切线，再结合h（x)在x=1处与该切线相切的条件列方程，最 后根据不等式恒成立确定参数范围即可求得； (3)通过联立直线与y=4x2-16的方程求出交点横坐标的距离表达式，再结合之前得到的b,的表达式转 化为关于t的函数，最后通过求导判断函数单调性，得出n一m的最大值， 【小问1详解】 因为2x2+2-4x=2(x-1)2≥0恒成立，且4x-(-x2+4x)=x2≥0恒成立， 所以当x∈(-0，+0)时，2x2+2≥4x≥-x2+4x恒成立， 故h(x)是y=2x2+2与y=-x2+4x在区间(-0，+∞)上的“分割函数”； 又因为x+1-(-x2+4x)=x2-3x+1,当x=0与1时，其值分别为1和-1， 所以h,(x)≥-x2+4x与h,(x)≤-x2+4x在(-0，+0)上都不恒成立， 故h（x)不是y=2x2+2与y=-x2+4x在区间(-00，+o)上的“分割函数： 【小问2详解】 设h（x)=ax2+cx+d(a≠0)是y=2x2+2与y=4x在区间(-o0,+oo)上的“分割函数'，则 2x2+2≥ax2+cx+d≥4x对一切实数x恒成立， 因为(2x2+2)=4x,当x=1时，它的值为4， 可知y=2x2+2的图象在x=1处的切线为直线y=4x, 它也是h,（x)=ax2+cx+d的图象在x=1处的切线，如图： 第21页 y=2x2+2MA (1,4) y=ax2+cx+d八 V=4x 2a+c=4 c=4-2a 所以 a+c+d=4可得d=a 所以2x2+2≥ax2+(4-2a)x+a≥4x对一切实数x恒成立， 可得2-a≥0且a>0,即0<a≤2 又因为a=2时，h(x)=ax2+(4-2a)x+a与y=2x2+2为相同函数，不合题意， 故所求的函数为h,(x)=ax2+(4-2a)x+a(0<a<2). 【小问3详解】 关于函数y=x4-4x2,令y=4x3-8x=0,可得x=0,±2 当x∈-o,-V2)与x∈(0，V2)时，y<0 当x∈(-V2,0与x∈2，+w)时，y>0, 可知±√2是函数y=x4-4x2的极小值点，0是极大值点， 该函数与y=4x2-16的图象如图所示： √2 若函数h(x)=+b是y=x4-4x2与y=4x2-16在区间m,n上的分割函数”， 第22页 故存在b,使得b≤b且直线h,(x)=x+b与y=x4-4x2的图象相切， 并且切点横坐标t∈[-2，-V2]U[「V2,2], 此时切线方程为y=（43-81)x+42-314,即k=43-81,b。=412-31, 设直线h,（x)=x+b与y=4x2-16的图象交于点(x,y),(x2,y2), y=kx+b 则由 y=4x2-16'可得4x2-在-16-6=0， 所以4-=G+-4x-6+16+b≤G+16+么=G-209+16+r-3 k2 k2 =VP-714+812+16=V53-7s2+8s+16(s=2∈[2,4) 令k(s)=s3-7s2+8s+16(s∈[2,4])，K'(s)=3s2-14s+8=(3s-2)(s-4)≤0，（当且仅当s=4时， k'(s)=0), 所以k(s)严格减，故k(S)的最大值为k(2)=12, 可知x-x2的最大值为V12=2√3，所以n-m的最大值为2√3 第23页