第3章 一元二次方程全章高频重点题型突破（9大高频+7大重难题型，专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以“概念-解法-应用-深化”为逻辑主线，系统整合一元二次方程高频题型，通过分层训练实现从基础到综合的能力进阶，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|9类高频题型|直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等解法归纳，应用题（增长率、传播问题等）建模步骤|从概念辨析到解法应用，构建“定义-解法-简单应用”基础链条| |核心提升|7类重难题型|根的判别式应用、根与系数关系、配方法综合应用、动态几何问题分析策略|深化根的性质与代数变形，衔接复杂应用场景，形成“性质-关系-复杂应用”提升路径| |综合攻坚|综合题型|跨模块方法融合（如代数与几何结合、实际问题多维度建模）|整合前两模块知识，通过综合题培养运算能力与逻辑推理，实现知识网络构建|

第3章 一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 一元二次方程概念辨析 题型2 一元二次方程根的估算 题型3 应用直接开平方法和配方法解一元二次方程 题型4 应用公式法解一元二次方程 题型5 用因式分解法解一元二次方程 题型6 一元二次方程应用-增长率 题型7 一元二次方程应用-传播问题 题型8 一元二次方程应用-图形问题 题型9 一元二次方程应用-握手法则、名片原理的应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 一元二次方程的根 题型2 一元二次方程根的判别式的应用 题型3 配方法的应用 题型4 一元二次方程的根与系数的关系 题型5 一元二次方程应用-其它类型问题 题型6 一元二次方程应用-营销问题 题型7 一元二次方程应用-动态几何问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 一元二次方程概念辨析 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 3．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 4．把方程化为一般形式是__________． ◆题型2 一元二次方程根的估算 5．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 6．根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 7．在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． ◆题型3 应用直接开平方法和配方法解一元二次方程 8．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 9．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 10．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 11．解方程： (1) (2)（配方法） ◆题型4 应用公式法解一元二次方程 12．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 13．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 14．用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 15．用公式法解方程： (1)； (2)． ◆题型5 用因式分解法解一元二次方程 16．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 17．解方程： 18．解方程 (1) (2) 19．为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． ◆题型6 一元二次方程应用-增长率 20．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 21．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 22．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 23．解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ ◆题型7 一元二次方程应用-传播问题 24．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 25．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 26．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 27．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ ◆题型8 一元二次方程应用-图形问题 28．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 29．为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 30．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 31．某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ ◆题型9 一元二次方程应用-握手法则、名片原理的应用 32．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 33．某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 34．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制，已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 35．某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． ◆题型1 一元二次方程的根 36．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 37．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 38．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 39．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． ◆题型2 一元二次方程根的判别式的应用 40．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 41．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 42．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 43．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． ◆题型3 配方法的应用 44．已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 45．阅读下列材料，解答问题． 材料：求代数式的最小值． 小明同学是这样解答的： 我们把这种解决问题的方法叫做“配方法”． 问题： (1)请按照小明的解题思路，把解答过程补充完整． (2)请运用“配方法”解决问题：若，求的立方根． 46．阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为-6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）探究：（x ）2+______； （2）代数式有最_____（填“大”或“小”）值为_______； （3）应用：若与，试比较与的大小； ◆题型4 一元二次方程的根与系数的关系 47．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 48．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 49．已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 50．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． ◆题型5 一元二次方程应用-其它类型问题 51．小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 52．机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为80千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为32千克（），为了减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到65千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？ (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克， （ⅰ）下降后的润滑用油量为________，油的重复利用率提高为________．（用含的式子填空） （ⅱ）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 53．列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求的值． ◆题型6 一元二次方程应用-营销问题 54．问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 55．【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 56．综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 57．立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． ◆题型7 一元二次方程应用-动态几何问题 58．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 59．综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 60．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 61．如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 62．某地规划了充电桩单循环组网模式，实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 63．已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 64．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 65．冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．第1轮后个人患了流感 B．第2轮新增个人患流感 C．可列方程 D．可列方程 66．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 67．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 68．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 69．在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 70．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 71．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 72．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、女会员人数之比为． (1)求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（）人递增，这样到2022年该俱乐部男、女人数之比将变为． ①求k的值； ②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020年全体男会员年会费总量的．问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？ 73．漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍． (1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； (2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值． 74．综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 75．在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． (1)求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ (2)第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 76．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 77．我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 78．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制，按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 79．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 80．如图，四边形中，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒（）． (1)连接　　,　　,(用含t的代数式表达)，当　　时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 一元二次方程概念辨析 题型2 一元二次方程根的估算 题型3 应用直接开平方法和配方法解一元二次方程 题型4 应用公式法解一元二次方程 题型5 用因式分解法解一元二次方程 题型6 一元二次方程应用-增长率 题型7 一元二次方程应用-传播问题 题型8 一元二次方程应用-图形问题 题型9 一元二次方程应用-握手法则、名片原理的应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 一元二次方程的根 题型2 一元二次方程根的判别式的应用 题型3 配方法的应用 题型4 一元二次方程的根与系数的关系 题型5 一元二次方程应用-其它类型问题 题型6 一元二次方程应用-营销问题 题型7 一元二次方程应用-动态几何问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 一元二次方程概念辨析 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 3．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 4．把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． ◆题型2 一元二次方程根的估算 5．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 6．根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【答案】C 【分析】观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，故其正数解的整数部分是，十分位是即可求解． 【详解】解：观察表格得：一元二次方程的解位于与之间（不包括与）， 方程的正数解满足解的整数部分是，十分位是 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根据表格得到方程的解位于1.1与1.2之间是解题的关键． 7．在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． ◆题型3 应用直接开平方法和配方法解一元二次方程 8．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 9．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 10．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【答案】 【分析】将的两边分别平方整理后得到，然后比较求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 11．解方程： (1) (2)（配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先两边同时乘以2，然后用直接开方法即可解答； （2）先把二次项系数化为1，然后把常数项移到方程右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，最后利用开平方法求解即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． ◆题型4 应用公式法解一元二次方程 12．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 13．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】先解出方程的两个根，再利用平方差公式化简所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解方程得，， ∴ ． 14．用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 【答案】 ；；；；；；； 【分析】利用公式法解方程即可. 【详解】略 15．用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． ◆题型5 用因式分解法解一元二次方程 16．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， ∴方程的两个根为，． 17．解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得． 18．解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 19．为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 【答案】，． 【分析】设，则原方程可化为，然后求出的值，再代入解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴，解得或， ∵， ∴舍去， ∴， ∴， ∴，． ◆题型6 一元二次方程应用-增长率 20．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 21．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两年前每亩产量为吨，年平均增长率为，时间间隔是年，得到两年后产量为吨，继而根据现在每亩产量比旧技术多吨列方程． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 22．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设两次数据扩容的平均增长率为，再根据初始数据量、平均增长率及两次扩容后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：设两次数据扩容的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次数据扩容的平均增长率为． 23．解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1) (2)购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．”列出方程，即可求解； （2）设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只，根据“购买母蟹的数量不少于公蟹数量的”列不等式求出m的取值范围，设购买费用为w元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设平均每年增长的百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：平均每年增长的百分率为； （2）解：设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只， 根据题意得：， 解得：， 设购买费用为w元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴m的最大值为9， 当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． ◆题型7 一元二次方程应用-传播问题 24．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 25．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 26．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设主干长出支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方程即可． 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 27．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． ◆题型8 一元二次方程应用-图形问题 28．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 【答案】D 【分析】将图形补全为大矩形，根据题意得到，然后列方程求解即可． 【详解】解：如图，将图形补全为大矩形， ∴， ∵直线将原图形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 解得或6． 29．为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【答案】的长为6米，的长为5米 【分析】设的长为x米，则的长为米，根据计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去． 答：的长为6米，的长为5米． 30．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的长为，则，由矩形，得，解方程即可； （2）设长为，则，由矩形，得，,由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 31．某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 【答案】(1)平方米 (2)长为60米，宽为40米 【分析】（1）直接根据题意列代数式即可； （2）设，则，根据题意，得，然后解方程求得x值即可解答． 【详解】（1）解：∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴人行横道的面积为平方米； （2）解：∵， ∴设，则， 根据题意，得 解得或（舍去） ∴，， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． ◆题型9 一元二次方程应用-握手法则、名片原理的应用 32．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 33．某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【答案】 【分析】设该小组共有人，每人向其余同学赠送一件礼物，可得每人赠送件礼物，根据总礼物数为件建立一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设该小组有人，根据题意，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因为人数为正整数，所以舍去， 即该小组有9人． 34．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制，已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 35．某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． ◆题型1 一元二次方程的根 36．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 37．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．先求出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断①正确；先求出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断②正确；先根据一元二次方程根的定义可得，再将将代入可得，由此即可判断③正确；根据一元二次方程根的定义可得，则可得或，说法④错误；由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程一定有两个不相等的实数根；说法①正确； ∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程没有实数根；说法②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 将代入得：， ∴是方程的一个根；说法③正确； ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，则说法④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：B． 38．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 39．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. ◆题型2 一元二次方程根的判别式的应用 40．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 41．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 42．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 43．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． ◆题型3 配方法的应用 44．已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， 去括号整理得：， 即：， ∵为实数，任意实数的平方非负，可得， ∴，即， ∴． 45．阅读下列材料，解答问题． 材料：求代数式的最小值． 小明同学是这样解答的： 我们把这种解决问题的方法叫做“配方法”． 问题： (1)请按照小明的解题思路，把解答过程补充完整． (2)请运用“配方法”解决问题：若，求的立方根． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由无论为何值，得到，从而即可得到答案； （2）将式子化为，再根据，得到 ，计算出的值，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：无论为何值，， ， 即当时，式子有最小值，故代数式的最小值是； （2）解：， ， 即， ， ， ， ， 的立方根是． 【点睛】本题主要考查了配方法求解，求立方根，熟练掌握配方法是解题的关键． 46．阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为-6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）探究：（x ）2+______； （2）代数式有最_____（填“大”或“小”）值为_______； （3）应用：若与，试比较与的大小； 【答案】（1），1；（2）小，；（3） 【分析】（1）根据配方法，对式子进行配方，求解即可； （2）对代数式进行配方，然后求解即可； （3）利用作差法求得的范围，然后判断即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：，1 （2） ∵ ∴ ∴代数式有最小值为， 故答案为：小， （3）， ∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式进行配方求解． ◆题型4 一元二次方程的根与系数的关系 47．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 48．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 49．已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分析两根之和的整数性，然后验证的可能值即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为，即. 设关于的一元二次方程的实数根分别为， 则． 方程的两根之和为整数， 整数． 当时，方程为，判别式，无实数根，故舍去； 当时，方程为，判别式，有实数根． ． 50．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． ◆题型5 一元二次方程应用-其它类型问题 51．小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)总消耗热量不可能达到380千卡 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，则总消耗热量为千卡，根据题意，可得，令总消耗热量为380千卡，列出一元二次方程，根据解的情况，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，第t分钟消耗的热量是：千卡； t分钟总消耗热量是：千卡； （2）解：总消耗热量不可能达到380千卡，理由如下： 设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，（其中x、t均为整数）， 则总消耗热量为：千卡， 根据题意可列方程，，则， 则总消耗热量为：千卡， 当总消耗热量为380千卡时，，整理可得，， 则，即方程没有实数根， 总消耗热量不可能达到380千卡． 52．机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为80千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为32千克（），为了减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到65千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？ (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克， （ⅰ）下降后的润滑用油量为________，油的重复利用率提高为________．（用含的式子填空） （ⅱ）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 【答案】(1)26千克 (2)（i）；；（ii）60千克 【分析】（1）根据题意得到实际耗油量等于润滑用油量×（重复利用率），代入数据计算即可； （2）（i）企业加工一台大型机械设备润滑用油量为80千克，用油的重复利用率为，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克．即可得到下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为； （ii）根据乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是26千克． （2）解：（i）由题意得到，下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为． （ii）由题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克． ∴． 答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是60千克． 53．列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求的值． 【答案】(1)应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗 (2)的值为1． 【分析】（1）设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗，根据“组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等”列方程即可求解； （2）根据“机器狗总数量比无人机总数量仍少180个”列方程即可求解． 【详解】（1）解：设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解且满足题意， ， 应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗； （2）解：无人机单人日产量：架，抽调m人后，组装无人机人数： ，日总产量：， 机器狗单人日产量： 个，组装机器狗人数： ，日总产量：， 根据题意得： ， 解得或（舍去）， 即的值为1． ◆题型6 一元二次方程应用-营销问题 54．问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 80元 (3) ①日产量定为60千克；②不能实现 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求的最大值； （3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于的二次函数，再令求解即可； ②令，通过方程解的情况判断目标利润能否实现． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为； （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元； （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克． ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划． 55．【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)该零件的实际售价应定为每个元 【分析】（1）本题为平均增长率问题，设月平均增长率为未知数，根据4月产量和6月产量的关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）本题为销售利润问题，利用“总利润单个利润月销售量”的关系列一元二次方程求解，结合“价格尽可能实惠”的要求，选择较小的解即可． 【详解】（1）解：设该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（增长率为负不符合实际，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设该零件的实际售价应定为每个元，则单个利润为元，售价上涨了元， 因此月销售量为个， 由月销售利润为元， 列方程得：， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵要求价格尽可能实惠，需选取较小的售价， ∴， 答：该零件的实际售价应定为每个(元)． 56．综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】（1）将售价x看作点的横坐标，日销售量y看作点的纵坐标，把所有的点的位置确定出来； （2）观察各点的分布规律，所有的点呈一条直线，确定售价x与日销售量y满足一次函数关系，利用待定系数法求出解析式； （3）根据利润公式确定一元二次方程，为尽可能让利于顾客，确定最终答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察函数图象发现，售价x与日销售量y满足一次函数关系， ∴设， 将、代入得， 解得， ∴； （3）解：设每个钥匙扣的售价应定为x元， 根据题意可得， 整理得， ∴， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个钥匙扣的售价应定为21元． 57．立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． 【答案】(1)甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． (2)的值为． 【分析】(1) 设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同，列出分式方程，解方程即可． (2)由题意得新的成本为，甲款小车单件耗材成本为元，数量为台，乙款小车单件耗材成本为元，数量为台，全部耗材总费用为13500元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． （2）解：由（1）知甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 由题意得，新的成本为：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 整理得： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：的值为． ◆题型7 一元二次方程应用-动态几何问题 58．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 59．综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【分析】（1）解一元二次方程得到，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解； （2）分三种情况，列出的表达式，解方程即可． 【详解】（1）解方程， 得， ， 在菱形中，， ， 在中，， ∴； （2）①当点M在上且点N在上时，，则， 解得（大于3，舍去）； ②当点M在上且点N在上时，，则， 此方程无解； ③当点M在上且点N在上时，，则， 解得（小于4，舍去）， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【点睛】注意菱形的对角线垂直且平分，勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）． 60．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 61．如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用含的式子表示三角形底与高，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出的值； （2）利用长方形对边平行得到，结合角平分线条件推导出，得到，用表示，在中利用勾股定理列出关于的方程求解，即可得到点坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出、、三条边长代数式，分、、三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ， 当的面积为时， ，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，的面积为； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 即或， ∴此时点的坐标为或； （3）解：由题意得，，， ∴，，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； ②，则 ， 解得或； ③，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或． 62．某地规划了充电桩单循环组网模式，实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】原规划个充电桩，根据题意得出个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路，列出方程求解即可． 【详解】解：设原规划建设的充电桩个数为， ∵ 原计划为单循环连接，原总线路数为， 又∵ 其余个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， ∴ 实际总线路满足方程：， 解得 （负值舍去）， 所以原规划建设的充电桩个数为11． 63．已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程转化为二次函数与直线交点问题，利用二次函数图像性质判断根的范围即可． 【详解】解：设二次函数， 由于二次项系数为，且， 则抛物线开口向上，与轴交于，两点， 原方程的两根，就是抛物线与直线交点的横坐标， 由于，则抛物线开口向上， 如图： 则较小的根在的右侧，较大的根在的左侧， 即得到． 64．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 65．冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．第1轮后个人患了流感 B．第2轮新增个人患流感 C．可列方程 D．可列方程 【答案】C 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程． 根据题意，列出代数式和方程，逐项进行分析即可． 【详解】解：每轮传染中平均一人传染人， 第一轮后患病人数为人，故A正确，不符合题意； 第一轮后有人，每人传染人， 第二轮新增加人，故B正确，不符合题意； 两轮后总患病人数为，且给定为49， 列方程，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意； 故选：C． 66．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，逐一验证三个说法的正误即可． 【详解】解：①对于方程，，当时，，方程有两个相等的实数根，即有实数解，故①错误； ②对于方程，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根，故②正确； ③对于方程，由方程有两个不相等的实数根得，即，解得， 当时，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，故错误，③错误； 综上，正确的说法有1个． 67．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 【答案】C 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 68．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 69．在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 【答案】 存在 【分析】连接，过点作，分别交，于点，，求梯形的面积，可得三角形的面积，进而确定点的轨迹并算出点到的距离；通过分析临界情况利用梯形面积公式根据题意列方程，求解即可得出的取值范围． 【详解】解：如图，在图1中连接，过点作，分别交，于点，， ∵在四边形中，，， ∴四边形是直角梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 当时， ， 在中， ， ∴点到的距离为， ∴存在点，使得， 此时点的轨迹为线段（不包括端点），且与间的距离为； 如图，在图2中考虑临界情况，当点在上的点处，点在上的点处时，设， 若，则， 解得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 70．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 71．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 72．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、女会员人数之比为． (1)求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（）人递增，这样到2022年该俱乐部男、女人数之比将变为． ①求k的值； ②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020年全体男会员年会费总量的．问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？ 【答案】(1)男会员160人，女会员40人 (2)①；②相等 【分析】（1）根据男、女会员人数之比为和总人数，列出方程求解即可； （2）①根据男、女会员人数之比为，列出分式方程求解即可；②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y，根据增长率可列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该健身俱乐部2020年有女会员x人，则有男会员4x人． 依据题意，得， 解得，， ， 答：该健身俱乐部2020年有男会员160人，女会员40人． （2）解：①依据题意得：， 解得：， 经检验是所列方程的根， 故； ②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y， ， 整理得 ， 解得 ，（不合题意，舍去）， 2022年女会员每人年会费：（元）， 2022年男会员每人年会费：（元）． ∴2022年该俱乐部每个女会员的年会费与男会员的年会费相等． 73．漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍． (1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； (2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值． 【答案】(1)黄翅鱼单价为元/斤，石斑鱼单价为元/斤 (2) 【分析】（1）设黄翅鱼的单价为元/斤，则石斑鱼的单价为元/斤，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意得出第二次购买时，石斑鱼的数量为斤，黄翅鱼的数量为 斤，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设黄翅鱼的单价为元/斤，则石斑鱼的单价为元/斤． 根据题意，， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 则石斑鱼的单价为：（元/斤）． 答：黄翅鱼单价为元/斤，石斑鱼单价为元/斤； （2）解：第一次购买石斑鱼的数量：（斤）， 第二次购买时，石斑鱼的数量为斤，黄翅鱼的数量为 斤； 石斑鱼的单价变为元/斤，黄翅鱼单价仍为元/斤． 根据题意，， 解得（不合题意，舍去）或． 答：的值为． 74．综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 75．在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． (1)求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ (2)第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 【答案】(1) 购进A款产品200件，B款产品800件 (2) 【分析】（1）根据购进总数量和总利润的等量关系，列出二元一次方程组求解即可； （2）先算出第一周总销售额，再根据第二周总销售额与第一周相等的等量关系列方程，舍去不符合题意的解后得到a的值． 【详解】（1）解：设该平台第一周购进A款产品件，购进B款产品件， 根据题意可得 解得 答：该平台第一周购进A款产品200件，B款产品800件， （2）解：第一周总销售额：（元） 设， 根据题意得： 解得（不符合题意，舍去）， 即， 得 ． 76．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】(1) (2)每平方米草莓平均利润下调元 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 77．我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 【答案】(1)， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2) (3)或 【分析】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． （3）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 78．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制，按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 79．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 【答案】(1)， (2) (3)1或3 【分析】（1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； （3）解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在上． 80．如图，四边形中，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒（）． (1)连接　　,　　,(用含t的代数式表达)，当　　时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， (3) (4)存在， 【分析】（1）由知，从而得，根据四边形为平行四边形知，据此列出方程求解可得； （2）由沿翻折得，知，据此得时有四边形为菱形，从而列出关于t的方程，解之可得； （3）由可得，利用得到y与之间的关系式； （4）将四边形和三角形的面积表示出来，使，可得，解一元二次方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：存在， 理由如下：∵将沿翻折得， ∵， ∴当时有四边形为菱形， ∴， 解得， ∴，使四边形为菱形． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （4）解：存在， 理由如下：当时， ， ∴， 解得：， 又∵时D、M重合不能形成四边形， ∴秒时有四边形与面积相等． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $