周周练06 3.2～3.3探索三角形相似的条件、相似三角形判定定理的证明（数学新教材北师大版九年级上册）

**基本信息** 本试卷聚焦九年级数学“相似三角形判定与性质”周测，以基础巩固为核心，通过生活情境（花架、习字格黄金分割）和动态探究（旋转、中点综合），考查数学眼光观察现实世界的能力，适配周测分层检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|相似三角形判定定理、黄金分割、平行线分线段成比例|第7题结合汉字结构考查黄金分割，体现文化传承| |填空题|4/16|相似条件补充、比例线段计算、动态旋转问题|第15题旋转线段与边交点问题，培养空间观念| |解答题|9/98|相似证明、综合计算、探究性问题|第25题分层探究平行线分线段成比例，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测06 3.2～3.3探索三角形相似的条件、相似三角形判定定理的证明 时间：45分钟，分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，，则的长是（     ） A． B．4 C．6 D．8 4．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 5．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 6．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 7．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 8．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 9．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 12．如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 13．如图，在四边形中，，．是上的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若与边始终有公共点，则长的最小值是_____． 14．如图，在中，，过点A作交的延长线于点M，取的中点N，过点N作交于点D，且，则下列结论：①；②；③；④若的长为，则的长为．其中正确结论的序号为___________． 三、解答题：本题共3小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（6分）．如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 16（8分）．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 17（10分）．如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点，，过点 作于点 交 于点 ． (1)求证：； (2)若， ，求线段 的长； (3)若，，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测06 3.2～3.3探索三角形相似的条件、相似三角形判定定理的证明 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，，则的长是（     ） A． B．4 C．6 D．8 5．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 6．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 7．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 8．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 9．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 10．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．如图，在中，，，点D，点E分别是边上两点（D在E的右侧），，连接，F为中点，若，则的长为（     ） A．12 B．6 C．12 D．15 12．如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 14．如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 15．如图，在四边形中，，．是上的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若与边始终有公共点，则长的最小值是_____． 16．如图，在中，，过点A作交的延长线于点M，取的中点N，过点N作交于点D，且，则下列结论：①；②；③；④若的长为，则的长为．其中正确结论的序号为___________． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（10分）．如图，中，点D在边上，，．求证：． 18（10分）．如图，在平行四边形中，点E，F分别为，的中点，连接，分别交于点G，H．求证：． 19（10分）．如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 20（10分）．如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 21（10分）．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形是平行四边形，且，均为格点，，均为竖格线上的点，点是边与竖格线的交点． (1)如图①，在线段上取点，连结，使得； (2)如图②，点是边上任意一点，仅用无刻度的直尺在边上画出点，连结，使得． 22（12分）．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 23（12分）．如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 24（12分）．如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点，，过点 作于点 交 于点 ． (1)求证：； (2)若， ，求线段 的长； (3)若，，请直接写出的值． 25（12分）．综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年九年级上学期数学周周测06 3.2~3.3探索三角形相似的条件、相似三角形判定定理的证明 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.如图，己知△ABC,∠B=C,AB=8,BC=10.将△ABC沿图中的DE剪开，则剪下的阴影三角形与 △ABC不相似的是() D A E B 3/ D 6 Ba 【答案】B 【详解】解：A、∠B=∠DEC=α，∠ACB=∠DCE,由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与 △ABC相似，不符合题意： AD AE 1 B、ABBC一2，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与。ABC相似， 符合题意： BD8-31BE10-61 C、BC=102,AB8=2,且∠ABC=∠EBD,由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的 阴影三角形与△ABC相似，不符合题意： D、由∠B=∠CDE=a&,∠ACB=∠ECD,可得出△ABC∽△EDC,不符合题意. 2.己知，如图∠DAB=∠CAE,下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是() 1/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD DE ADAE A.∠D=∠B B.∠E=∠C C.AB BC D.AB AC 【答案】C 【详解】解：：∠DAB=∠CAE, ∴.∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE,即∠DAE=∠BAC A.:∠DAE=∠BAC,∠D=∠B,满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴△DAE∽aBAC; B.:∠DAE=∠BAC,∠E=∠C,满足“两角分别相等的两个三角形相似”，“ADAEABAC: AD DE C,?AB=BC的两组对应边，不是∠DAE和∠BAC的夹边，·不能判定两个三角形相似： AD AE D.:AB C,且夹角∠DAB=∠BAC,满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，· △DAEABAC 3.如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定△ABC△ACD的是(). A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB AC AB C.AC2=AD·AB D.CDBC 【答案】D 【详解】解：根据题意可知∠BAC=∠CAD, 选项A,∠B=∠ACD,有两个角相等的三角形相似，故不符合题意. 选项B,∠ADC=∠ACB,有两个角相等的三角形相似，故不符合题意， 2/27 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 AB AC 选项CC,AC2=AD·AB可转化成AC=AD ，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故C不符 合题意. 选项D,两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意。 4.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AE的长是() E B A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【详解】解：，DE∥BC, AD AE DB EC' AD=9,DB=3,CE=2, 9 AE 3=2 ..AE=6 5.在△ABC和△DEF中，AB=AC,DE=DF,根据下列条件，一定能判断△ABC和△DEF相似的是 () AB AC AB AC A.DE DF B. DE EF C. ∠B=∠D D.∠A=D 【答案】D 【详解】解：如图， 3/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A、:AB=AC,DE=DF, AB AC DEDF· 不能判定△ABC和△DEF相似，不符合题意： AB AC B、DEEF,AC和EF不是对应边，不能判定AABC和ADEF相似，不符合题意； C、∠B=∠D,∠B和∠D不是对应角，不能判定△ABC和△DEF相似，不符合题意： D、AB=AC,DE=DF, .ABAC DEDE 又：∠A=∠D, △ABCADEF,符合题意， 6.已知C是线段AB的黄金分割点 4C>BC),则Bc:MC=() 5-1 5+1 3-V5 3+5 A.2 B.2 C.2 D.2 【答案】A 【详解】，点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC, BC AC5-1 根据黄金分割的定义可得ACAB2, BC:AC=5-1 2 7.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒 4/27 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 展美观.己知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,P巴上，且AB∥P,“远”字的笔画 BC5-1 “、”的位置在AB的黄金分割点C处，且AB2.若NP=2,则AC的长为() A.1 B.2 c.3-v5 D. 【答案】C 【详解】解：：四边形NPOM为正方形，AB∥NP, ∴∠N=∠P=90°， .∠NAB=180°-∠N=90° ∴四边形ABPN为矩形， .AB=NP=2. BC 5-1 “远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且AB2, :BC=5-1AB=5-1x2=5-1 2 2 :.AC=AB-BC=2-(5-1)=3-5 8.图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中AB∥CD∥EF,己知 BD 4 CE=45cm,DF=5,则AC的长度是(）cm 5/27 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A⊥B E 图① 图② A.30 B.36 C.45 D56.25 【答案】B 【详解】解：：AB∥CD∥EF, BD AC DF CE' BD 4 CE=45cm'DF 5' 4 AC .545· ∴.AC=36cm ∥b∥c 9.如图，直线 ,直线u、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若 AB=3,BC=5.DF=12,则D DE 的值为() m a 9 A.4 B.4 c.2 D. 2 【答案】C 【详解】解：如图， 6/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DF=12, ∴.EF=DF-DE=12-DE, allblic AB DE BC EF' 3 DE .512-DE 解得：DE=9 2 9 经检验，DE=之是此方程的解， 9 六DE的值为 10.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED=∠B:② AD AE DE∥BC:③AC=AB:④ADBC=DEAC:⑤∠ADE=∠C,能使得以A'D'E为顶点的三角形 与△ABC相似的条件有() D C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：∠AED=∠B,∠A=∠A, ∴△ADEAACB,故①符合题意； DE∥BC 7/27 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△ADE∽△ABC,故②符合题意： AD AE ③AC=AB,且夹角∠A=∠A .△ADE∽aACB,故③符合题意： ④ADBC=DEAC, AD DE :AC BC, ·不确定∠ADE=LC, “不能确定△ADE∽△ACB,故④不符合题意： ⑤：∠ADE=∠C,∠A=LA, .△ADEAACB,故⑤符合题意： 综上所述，能满足的条件有4个， 故选：D 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,点D,点E分别是AC边上两点(D在E的右侧)AD=10, AE=2,连接BE,F为BE中点，若∠EDF=45°，则AB的长为() C D F A A.12 B.66 C.122 D.15 【答案】B 【详解】解：作FK⊥AC于K, D B :∠C=90°，即BC⊥AC, .FK∥BC, EK EF ·CKBF' 8/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F为BE中点， K为CE中点， :FK是△BCE的中位线， FK-BC-7X6=3 CE=2EK 又，∠EDF=45°， ∴，△FKD是等腰直角三角形， ..DK=FK=3 :AD=10,AE=2, .DE=AD-AE=10-2=8, ∴EK=DE-DK=8-3=5, ∴.CE=2EK=10 .AC=CE+AE=10+2=12, .AB=√AC2+BC=122+6=6N5 12.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC,过A点作AF⊥BF,垂足为F并延长交BC于点G,D为AB中 点，连接DF延长交AC于点E.若AB=12,BC=20,则线段EF的长为() B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【详解】解：BF平分∠ABC, .∠ABF=∠GBF, AF⊥BF, ∠BFA=∠BFG 在△BFA和△BFG中， 9/27 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [∠ABF=∠GBF BF=BF ∠BFA=∠BFG' △BFA≌BFG(ASA) ..BG AB 12,AF=FG, ..GC BC-BG =8, AD=DB,AF=FG DE∥BC, AD AE=1 DB EC ·AE=EC, AE=EC,AF=FG :R=6c=4 2 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13.如图，在△ABD中，点C在AD边上，只添加一个条件，使得△ABC∽△ADB. B 【答案】∠ABC=∠D(答案不唯一) 【详解】解：在△ABC和△ADB中，已知∠A=∠A, …有以下三种情况： ①当∠ACB=∠ABD时，△ABC∽△ADB; ②当∠ABC=∠D时，△ABC∽△ADB： 10/27 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 AB AC ③当ADAB时，△MBC∽△ADB 14.如图，AB∥CD,AD与BC相交于点E,AF⊥LBC,DG⊥BC,垂足分别为F,G.若AB=10, AF CD=15,则DG的值为 A B E 【答案】 2 【详解】解：，AB/CD, ∴∠B=∠DCG :AF⊥BC,DG⊥BC, ∴.∠AFB=∠DGC=90°， △ABF∽△DCG. AF AB DG CD' ,AB=10,CD=15. AF102 .DG153· 15.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4,∠A=∠B=90°.E是AB上的任意一点，连接ED,将线 段ED绕点E顺时针旋转9O°得到线段EF.若EF与边BC始终有公共点，则BC长的最小值是一 【答案】1 【详解】解：过F作FM⊥直线AB于M,设EF交CB于N, 则FM BC. 11/27 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 由题意：ED=EF,∠DEF=90°， .∠DEA+∠FEM=90°， 又：∠A=90°， ∠DEA+∠ADE=90°， .∠ADE=∠MEF, 在△DAE和△EMF中： ∠A=∠EMF=90° ∠ADE=∠MEF DE=EF ∴.△DAE兰△EMF(AAS) .EM=AD=4,FM=AE, AE=x(0≤x≤4) 设 FM=x.EB=4-*BM=EM-EB=4-(4-x)=x 即BM=FM=x, 又FM II BC ∴.△EBN∽△EMF BN EB BN 4-x FM EM'x 4 BN=x4-.-+x=-x-2}+1, 4 4 N最大=1 则 若EF与边BC始终有公共点， 则BC≥BN恒成立， ∴BC最小=1 12/27 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 16.如图，在△ABC中，∠BAC=180°-4∠B,过点A作AM⊥BC交BC的延长线于点M,取BC的中点 N,过点N作ND⊥BC交AB于点D,且AC:BD=7:3,则下列结论：①∠ACB=3∠B;②AM=MN: CN 3 70√17 ③CM4;④若BC的长为3√7，则AB的长为17.其中正确结论的序号为 【答案】 ①③④ 【详解】解：设∠B=a,则∠BAC=180°-4a, .∠ACB=180°-∠B-∠BAC=3a=3∠B,故①正确： 如图，连接CD M :取BC的中点N,过点N作ND⊥BC交AB于点D, .DN垂直平分BC, .CD=BD ∴∠B=∠DCB=a, ·∠ACD=∠ACB-∠DCB=2a,∠ADC=∠B+∠DCB=2a, .∠ACD=∠ADC, .AC=AD .·∠DNB=∠M=90° 13/27 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 .DNII AM, MN AD AC 7 BN BD BD 3' ·BM3+7=10, CN 3 ·CM=4故③正确： 设AC=AD=7x,BN=CN=3m,则BD=3x、AB=l0x,BM=10m, ∴.MN=7m,CM=4m. 在RIACM AM2=AC2-16m2① 中， t△ABM,AM2=100x2-100m2② 在 中， 由①②得，AC2=100x2-84m2, :(7=100x2-84m2 27 (负值已舍)， :.AM=V100x2-100m2= 100 2 -100m2=10W187 17m(负值已舍)， 7m￥10v187 17m .AM≠MN,结论②错误： a=0wc-37, 3 BM 10 ,BM=5V7、CM=2V7 14/27 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠M=90° ：AC2-CM2=AB2-BM2即(7x-(27°=(I0x-(5, 解得x ,17(负值已舍) B=9万，故0正稀 17 三、解答题：本题共9小题，共98分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. AF CE 17(10分)·如图，AABC中，点D在边BC上，DE‖AB,DF∥AC,求证：FBAE, D 【答案】证明：DE∥AB, CE CD AE BD' DF∥AC, AF CD BFBD AF CE FB AE 18(I0分)，如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别为AD,BC的中点，连接BE,DF分别交AC 于点G,H.求证：AG=GH=HC, A E D B 【答案】证明：E、F是口ABCD对边AD、BC的中点， :DEl BF DE=BF 且 15/27 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ∴四边形BEDF是平行四边形， .BEDF 在△ADH中，EG∥DH, AEAG EDGH· 又：E是AD的中点， ∴.AE=ED, ∴.AG=GH 同理，在△BCG中，CH=HG, :.AG=GH HC. 19(10分).如图，己知O为△ABC内一点，D、E、F分别是OA,OB,OC的中点. (I)求证：△DEF∽△ABC (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】(I)证明：~D、E、F分别是OA、OB、OC的中点， ,r-c,F=4c,即6-E- .DE=1 DE EF DF 1 ADEFAABC: (2)解：D、E、F分别是OA,OB,OC的中点， DE-34B,EF-Bc,DF=4C,0C=20r.0A=20D.0B=20E, OF OD DF 1 OF OE EF 1 OD OE DE 1 OC OA AC 2'OC OB BC 2'OA OB AB 2 ·.△ODF∽△OAC,△OEF∽△OBC,△ODE∽△OAB. 20(10分).如图，在△ABC和△EDC中，已知AB=6,DE=3,BC=8,DC=4 16/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D (I)求证：△ABC∽△EDC: (2)求AC与EC的长. 【答案】(I)证明：DE=3,BC=8,DC=4,AB=6, AB BC =2 ED DC 设每小格的长度为a,则4C=V4a+(6aP=213a.EC=V2a+3a=V3a AC 213a EC 13a -2 AB BC AC ED DC EC' ..AABCAEDC: (2)解：设每小格的长度为“，则 B2=(4a)2+(2a)2=20a2AB2=62=36 ,又 35 a= 20a2=36,解得“5， 由(1)知4C=2i3a.BC=a AC=23x356V65 55: BC=i3x3V5_365 5. 21(10分)，如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形ABCD是平行四边形，且A,B均为格 点，C,D均为竖格线上的点，点E是边AD与竖格线的交点. 17/27 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 E B 图① 图② (I)如图①，在线段BC上取点F,连结EF,使得EF‖AB (②)如图②，点G是边AB上任意一点，仅用无刻度的直尺在边CD上画出点H,连结GH,使得GH∥AD 【答案】 (1)解：如图， E B 由网格特点可得GE HD,AG=GH, AE AG ED GH 、AE=ED, .点E是AD的中点， :AE=)AD】 2 同理可得点F是BC的中点， :在口ABCD中，AD∥BC,AD=BC, 18/27 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ..AE=BF, ∴.四边形ABFE是平行四边形， .EF∥AB (2)解：如图， A B 由(I)同理可得点E,F分别是AD,BC的中点，EF∥AB∥CD, AO AE =1 G0_4E-1, .OH ED OD DE ..AO=OH,GO=OD “.四边形AGHD是平行四边形， GH∥AD 22(12分).如图，在oABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,AF, CD交AF于点G (I)求证：四边形AEFD为矩形， (2)若AE=3,EC=2CF,CD⊥AF,求EF的长 【答案】()证明：~四边形ABCD是平行四边形， .ADII BC AD=BC 且 又：CF=BE ∴BC=EF, .AD∥EF且AD=EF, 19/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .四边形AEFD为平行四边形. :AE⊥BC, ∠AEF=90°， .四边形AEFD为矩形. (2)解：设CF=x, EC=2CF, ∴EC=2x,EF=3x :四边形AEFD为矩形， ∠ADF=∠DFC=90°，AD=EF=3x,DF=AE=3, ∴.∠ADG+∠GDF=90° :CD⊥AF, ∠DGA=90°， ∴.∠GAD+∠GDA=90° ·∠GAD=∠GDF, .△ADF△DFC, AD DF 3x3 DF=CF,即3=x 解得=5.名=-5 (舍)· .EF=3x=3V5 23(12分)，如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,E是AC上的点，ED的延长线与 CB的延长线交于点F,且∠I=∠A. A B 公 (I)求证：FD=FB.FC: (2)若FB=4,BC=5,求FD的长. 20/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)证明：~∠1=∠A,∠1=∠2， ∴∠2=∠A, CD⊥AB, .∠CDB=90° ∴.∠DCB+∠CBD=90°， ∠ACB=90°， ∴.∠A+∠CBD=90° ∴.∠DCB=∠A=∠2 又：∠DFB=∠CFD, ∴.AFBD△FDC, FB FD FD FC ∴.FD=FB.FC (2)解：FB=4,BC=5. .FC=9 由(1)可知FD=FB.FC, .FD2=36 .FD=6 24(12分).如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点D是CA延长线上一点，AD<AC,过点D作 DF⊥BC于点F交AB于点E· (I)求证：AD=AE: 21/27 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②活D-44C,BC-8,求线段BF的长： AD (3)若∠BAC=45°，EF=BC,请直接写出AC的值. 【答案】(I)证明：，AB=AC, .∠B=∠C, DF⊥BC, .∠DFC=∠DFB=90°， 、∠D+∠C=90°，∠B+∠BEF=90°， ∴.∠D=∠BEF, 又，∠BEF=∠AED, .∠D=∠AED, ·AD=AE (2)解：AD= 44C,AB=4C: .AB=AC=4AD,CD=AC+AD=5AD. 由(I)得AD=AE, .'BE=AB-AE=3AD, .∠B=∠C,∠DFC=∠DFB=90°， .△BFE∽ACFD」 BF BE 3AD 3 ·CFCD5AD5 .BF+CF=BC=8, :BF=3 ×8=3 3+5 (3)解：如图，在EF上截取BF=FH, D B FG 22/27 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ∠DFB=90°， .∠HBF=45°， 设BF=1,则FH=1, BH=VBR+FH= :AB=AC,∠BAC=45°， ÷∠ABC=180°-∠BAC =67.5° .∠EBH=∠ABC-∠HBF=22.5°，∠BEF=90°-∠ABC=22.5°， .∠EBH=∠BEF, .EH=BH= EF-EH+FH-+ 过点A作AG⊥BC于点G, 又，AB=AC, :BG-CG-1BC-+1 2 2 FG=BG-BF=2-1 2， :DF⊥BC,AG⊥BC, .DF∥AG, 2-1 AD FG 2 .AC CG2+1√2+1 2（2-=3-25 2 25(12分)，综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用. 23/27 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 【初步探实】在MBC中，DE分别为BCAC的时点。若DDC,柜-C,连按D·防 文于点6.如图1，若过D作DF∥，交4C于，则F与PE 的比值为 AG与MD 的比 值为 (2)在(1)的条件下，求出BG与GE的比值： (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、 AC分别交于点G、M,若CF=DF,，△BEG的面积为3，则口ABCD的面积为 【答案】(1,2 (2)3 3)60 【详解】(I)解：：DF∥BE,BD=DC, CF CD “E=D =1, ∴CF=FE, .EC=2FE, 6=c, .EC=2AE, ∴.AE=FE AG AE=1 :.GD EF ∴.AG=GD, AGAG 1 ·ADAG+GD2 24/27 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：，D是BC的中点，F是EC的中点， .DF是△BEC的中位线， .DF=BE 2 又G是AD的中点，E是AF的中点， :.GE是△ADF的中位线， .GE-DF-DE BE=BG+GE, :BG=BE-IBE= 4 3BE BG=4=3 因此GEBE 4 (3)解：延长AD交BF延长线于H, :平行四边形ABCD中，AD‖BC, .∠CBF=∠H, :LBFC=∠HFD,CF=DF, △BCF≌AHDF(AAS) .'BC=DH, .AD=BC, 25/27 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 :AD=DH. 取HM的中点N,连接DN, 则AM=2DN,DNII AM, .∠NDF=∠MCF. CF=DF,∠CFM=∠DFN, ACFM≌△DFN(ASA) .CM=DN. .AM=2CM, 延长AC到点P,使MP=AM, 则MP=2CM, ∴CP=CM, 在BF上取点T,Q,使GT=BG,Mg=GM,连接CT,PO, .·∠AMG=∠PMQ △AGM≌aPOM(SAS) :.AG=PO,∠GAM=∠P, ..AG//PO E是BC中点， .BE=CE, .CT=2EG,CTl EG. .CT∥Pg, MT _MC-1, TO CP ..MT=TO, 26/27 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ·P2=2CT=4EG .AG=4EG, ∴AE=AG+EG=5EG. ,△ABE的边AE上的高和△BEG的边EG上的高相同， SAME=5SNEG SBEG =3 :,4m=2S.c=454m=20S.c=60 27/27命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年九年级上学期数学周周测06 3.2~3.3探索三角形相似的条件、相似三角形判定定理的证明 时间：45分钟，分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.如图，己知△ABC,∠B=a,AB=8,BC=10.将△ABC沿图中的DE剪开，则剪下的阴影三角形与 △ABC不相似的是() 4 D A B 3 D C 6 BXa B 【答案】B 【详解】解：A、∠B=∠DEC=a,∠ACB=∠DCE,由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与 △ABC相似，不符合题意： ADAE1 B、ABBC2,但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与△ABC相似， 符合题意： BD8-31BE10-61 C、BC=10=2,AB8=2,且∠ABC=∠EBD,由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的 阴影三角形与△ABC相似，不符合题意： D、由LB=LCDE=a,∠ACB=∠ECD,可得出△ABCn△EDC,，不符合题意. 2.己知，如图∠DAB=∠CAE,下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是() 1/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D AD DE ADAE A.∠D=∠B B.∠E=∠C C.AB BC D.AB AC 【答案】C 【详解】解：：∠DAB=∠CAE, ∴.∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE,即∠DAE=∠BAC, A.:∠DAE=∠BAC,∠D=∠B,满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴△DAE∽aBAC; B.:∠DAE=∠BAC,∠E=∠C,满足“两角分别相等的两个三角形相似”，“ADAEABAC: AD DE C,?AB=BC的两组对应边，不是∠DAE和∠BAC的夹边，·不能判定两个三角形相似： AD AE D.:AB=AC,且夹角∠DAE=∠BAC,满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，· △DAEABAC 3.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AE的长是() B C A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【详解】解：DE∥BC, AD AE DB EC AD=9,DB=3,CE=2, 2/17 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 9 AE 心3=2， ..AE=6 4.在△ABC和△DEF中，AB=AC,DE=DF,根据下列条件，一定能判断△ABC和△DEF相似的是 () AB AC AB AC A.DEDF B.DE EF C.∠B=∠D D.∠A=∠D 【答案】D 【详解】解：如图， A、·AB=AC,DE=DF, AB AC DEDF· 不能判定△ABC和△DEF相似，不符合题意： AB AC B、DEEF,AC和EF不是对应边，不能判定AABC和ADEF相似，不符合题意； C、∠B=∠D,∠B和∠D不是对应角，不能判定△ABC和△DEF相似，不符合题意： D、:AB=AC,DE=DF, AB AC DEDF· 又：∠A=∠D, :△ABCOADEF,符合题意 5.己知C是线段AB的黄金分割点 AC>BC ,则BC:MC=() 5-1 V5+1 3-V5 3+V5 A.2 B.2 C.2 D.2 【答案】A 3/17 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】：点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC, BC_AC5-1 根据黄金分割的定义可得ACAB2, BC:AC=5-1 2. 6.黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒 展美观.己知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,P№上，且AB∥NP,“远”字的笔画 BC5-1 “、”的位置在AB的黄金分割点C处，且AB2.若NP=2,则AC的长为() A.1 B.2 C.3-5 D.V5 【答案】C 【详解】解：四边形NPOM为正方形，AB∥NP, ∠W=∠P=90°， ∠NAB=180°-∠N=90°， ∴.四边形ABPN为矩形， .AB=NP=2. BC 5-1 :“远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且AB2, :BC=5-AB=5x2=N5-1 2 2 :.AC=AB-BC=2-(5-1)=3-5 4/17 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 7.图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中AB∥CD∥EF,己知 BD 4 CE=45cm'DF=5,则AC的长度是（）cm 图① 图② A.30 B.36 C.45 D.56.25 【答案】B 【详解】解：：AB∥CD∥EF, BD AC DF CE' BD 4 CE=45cm'DF 5' ,4_AC .545 ∴AC=36cm ∥b∥c 8.如图，直线 ,直线、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若 MB=3BC=5.DF=I2,则DE的值为《) DE n 9 9 A.4 B.4 C.2 D.2 【答案】C 5/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：如图， DF=12, ∴.EF=DF-DE=12-DE, allblc AB DE BC EF 3 DE 512-DE 解得：DE 2 9 经检验，DE=2是此方程的解， DE的值为2 9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED=∠B;② AD AE DE∥BC;③ACAB:④AD·BC=DE·AC;⑤∠ADE=∠C,能使得以A?D,E为顶点的三角形 与△ABC相似的条件有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：∠AED=∠B,∠A=∠A, :.△ADE△ACB,故①符合题意； 6/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE∥BC, .△ADE∽△ABC,故②符合题意： AD AE ③.ACAB,且夹角∠A=∠A .△ADEAACB,故③符合题意： ④AD.BC=DE·AC, AD DE .AC BC, ·不确定∠ADE=∠C. ∴不能确定△ADEAACB,故④不符合题意： ⑤∠ADE=∠C,∠A=∠A, ∴.△ADEAACB,故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有4个， 故选：D I0.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC,过A点作AF⊥BF,垂足为F并延长交BC于点G,D为AB中 点，连接DF延长交AC于点E.若AB=12,BC=20,则线段EF的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【详解】解：BF平分∠ABC, 、∠ABF=∠GBF, AF⊥BF, ·∠BFA=∠BFG 在△BFA和△BFG中， 7/17 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 [∠ABF=∠GBF BF=BF ∠BFA=∠BFG' △BFA≌BFG(ASA) ..BG AB 12,AF=FG, ..GC BC-BG =8, AD=DB,AF=FG DE∥BC, AD AE=1 DB EC ·AE=EC, AE=EC,AF=FG :R=6c=4 2 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11.如图，在△ABD中，点C在AD边上，只添加一个条件，使得△ABC∽△ADB. B 【答案】∠ABC=∠D(答案不唯一) 【详解】解：在△ABC和△ADB中，已知∠A=∠A, …有以下三种情况： ①当∠ACB=∠ABD时，△ABC∽△ADB; ②当∠ABC=∠D时，△ABC△ADB： 8/17 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 AB AC ③当AD=AB时，△ABC∽△ADB 12.如图，AB∥CD,AD与BC相交于点E,AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为F,G.若AB=10, AF CD=15,则DG的值为 A B E 【答案】 2 【详解】解：，AB/CD, ∴∠B=∠DCG :AF⊥BC,DG⊥BC, ∴.∠AFB=∠DGC=90°， △ABF∽△DCG. AF AB DG CD' AB=10,CD=15. AF102 .DG153· 13.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4,∠A=∠B=90°.E是AB上的任意一点，连接ED,将线 段ED绕点E顺时针旋转9O°得到线段EF.若EF与边BC始终有公共点，则BC长的最小值是一 【答案】1 【详解】解：过F作FM⊥直线AB于M,设EF交CB于N, 则FMI‖BC, 9/17 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 由题意：ED=EF,∠DEF=90°， .∠DEA+∠FEM=90°， 又：∠A=90°， ∠DEA+∠ADE=90°， .∠ADE=∠MEF, 在△DAE和△EMF中： ∠A=∠EMF=90° ∠ADE=∠MEF DE=EF ∴.△DAE兰△EMF(AAS) .EM=AD=4,FM=AE, AE=x(0≤x≤4) 设 FM=x.EB=4-*BM=EM-EB=4-(4-x)=x 即BM=FM=x, 又FM II BC ∴.△EBN∽△EMF BN EB BN 4-x FM EM'x 4 BN=x4-.-+x=-x-2}+1, 4 4 N最大=1 则 若EF与边BC始终有公共点， 则BC≥BN恒成立， ∴BC最小=1 10/17 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 14.如图，在△ABC中，∠BAC=180°-4∠B,过点A作AM⊥BC交BC的延长线于点M,取BC的中点 N,过点N作ND⊥BC交AB于点D,且AC:BD=7:3,则下列结论：①∠ACB=3∠B;②AM=MN: CN 3 70√17 ③CM4;④若BC的长为3√7，则AB的长为17.其中正确结论的序号为 【答案】 ①③④ 【详解】解：设∠B=a,则∠BAC=180°-4a, .∠ACB=180°-∠B-∠BAC=3a=3∠B,故①正确： 如图，连接CD M :取BC的中点N,过点N作ND⊥BC交AB于点D, .DN垂直平分BC, .CD=BD ∴∠B=∠DCB=a, ·∠ACD=∠ACB-∠DCB=2a,∠ADC=∠B+∠DCB=2a, .∠ACD=∠ADC, .AC=AD .·∠DNB=∠M=90° 11/17 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 .DNII AM, MN AD AC 7 BN BD BD 3' ·BM3+7=10, CN 3 ·CM=4故③正确： 设AC=AD=7x,BN=CN=3m,则BD=3x、AB=l0x,BM=10m, ∴.MN=7m,CM=4m. 在RIACM AM2=AC2-16m2① 中， t△ABM,AM2=100x2-100m2② 在 中， 由①②得，AC2=100x2-84m2, :(7=100x2-84m2 27 (负值已舍)， :.AM=V100x2-100m2- 100 2 -100m2=10W187 17m(负值已舍)， 7m￥10v187 17m .AM≠MN,结论②错误： a=0wc-37, 3 BM 10 ,BM=5V7、CM=2V7 12/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠M=90° ：4C-CM2=AB-BM2即(7x-(27°=(I0x-(5, 解得 7(负值配舍) :B=9,故0正跪 17 三、解答题：本题共3小题，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15(6分)，如图，在△ABC和△EDC中，已知AB=6,DE=3,BC=8,DC=4」 B (I)求证：△ABC∽△EDC: (2)求AC与EC的长， 【答案】(I)证明：DE=3,BC=8,DC=4,AB=6, .AB BC ED DC =2. 设每小格的长度为0，则1C=V4aP+(6o=2i3a.BC=(2aP+(3a=V3a 4C_213a=2 EC 13a AB BC AC ED DC EC· .ABC△EDC: (2)解：设每小格的长度为，则 4B=(4a+2a=20d,又4B=6=36, 3W5 Q= .20a2=36,解得5， 13/17 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 由4)知4C=2iBa.BC=1a 4C=213x3V5_665 BC=3x3V5_36 5 5； 5 5 16(8分).如图，在oABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,AF,CD 交AF于点G. (I)求证：四边形AEFD为矩形. (2)若AE=3,EC=2CF,CD⊥AF,求EF的长. 【答案】(I)证明：四边形ABCD是平行四边形， :ADI‖BCAD=BC 且1 又CF=BE. ..BC=EF, .AD∥EF且AD=EF, ∴.四边形AEFD为平行四边形. :AE⊥BC, ∠AEF=90°， ∴四边形AEFD为矩形. (2)解：设CF=x, EC=2CF, ∴EC=2x,EF=3x :四边形AEFD为矩形， ∠ADF=∠DFC=90°，AD=EF=3x,DF=AE=3, ∴.∠ADG+∠GDF=90° :CD⊥AF, ∠DGA=90°， 14/17 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠GAD+∠GDA=90° .∠GAD=∠GDF, ∴.△ADF∽△DFC. AD DF 3x3 CF即3=x’ 解得=V5.名=V5 (舍)， .EF=3x=3V5 17(I0分).如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点D是CA延长线上一点，AD<AC,过点D作 DF⊥BC于点F交AB于点E· B (1)求证：AD=AE; ②活D-44C,BC=8,求线厚Br的长： AD (③)若∠BAC=45°，EF=BC,请直接写出AC的值. 【答案】(1)证明：，AB=AC, .LB=∠C, DF⊥BC, .∠DFC=∠DFB=90 .∠D+∠C=90°，∠B+∠BEF=90°， ∴.∠D=∠BEF, 又，∠BEF=∠AED, ∴.∠D=∠AED, ..AD=AE 15/17 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2解：AD4C,B=AC .AB=AC=4AD,CD=AC+AD=5AD. 由(1)得AD=AE, .BE=AB-AE=3AD ∠B=∠C,∠DFC=∠DFB=90°， ∴.△BFE∽aCFD, BF BE 3AD 3 CF CD 5AD 5' BF+CF=BC=8, 3 &BF=3十5×8=3： (3)解：如图，在EF上截取BF=FH, D B FG ,∠DFB=90°， ∴.∠HBF=45°， 设BF=1,则FH=1, .BH-BR2+F- :AB=AC,∠BAC=45°. :∠ABC=180-∠BAC =67.5° .∠EBH=∠ABC-∠HBF=22.5°，∠BEF=90°-∠ABC=22.5°， ∴.∠EBH=∠BEF, :EH=BH=2 16/17 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 EF=EH+FH=√2+1 过点A作AG L BC于点G, 又：AB=AC, BG=CG=BC= 2 ÷FG=BG-BF=2-l 2， :DF⊥BC,AG⊥BC, DF∥AG, 2-1 Drc22N2--3-22 ·ACCG√2+1V2+1 2 17/17