重难点培优08 三角函数与解三角形中的新定义问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数与解三角形中的新定义问题，涵盖双曲正余弦函数、托勒密定理、费马点等核心考点，按知识精讲（定义性质公式）、题型深研（7类典例变式）、分层训练（巩固与创新）的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导、真题演练帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义创新融合新定义与传统知识，如双曲函数类比三角函数性质培养数学思维，布洛卡点用面积法推导公式提升推理能力，设置分层练习保障复习效果，助力学生在有限时间内掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

重难点培优08 三角函数与解三角形中的新定义问题 （含双曲正余弦函数、托勒密定理、费马点、布洛卡点、勒洛三角形、拿破仑三角形） 内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 6 题型1 n倍角公式 6 题型2 双曲正余弦函数 11 题型3 托勒密定理 17 题型4 费马问题 21 题型5 布洛卡点问题 26 题型6 勒洛三角形、拿破仑三角形 32 题型7 新概念 38 分层进阶·双阶训练验成效 42 巩固过关 42 创新提升 53 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 双曲正余弦函数 1.定义 双曲正弦函数和双曲余弦函数由以下方式定义： 双曲正切函数、双曲余切函数等可由上述两者类比三角函数定义： 2.基本恒等式 证明： 此外还有： 3.与三角函数的关系（欧拉公式桥梁） 由欧拉公式可得： 反过来： 因此，双曲函数可视为三角函数在“去掉虚数单位 ”后的对应版本，两者恒等式结构高度相似，但部分符号存在差异。 4.导数与积分 5.反双曲函数 知识点2 托勒密定理 1.定理内容 托勒密定理（Ptolemy‘s Theorem）：圆内接四边形中，两条对角线长度的乘积等于两组对边长度乘积之和。 几何语言：如图，四边形内接于圆，则 即： 2.三角形式 设圆的半径为，四边形内接于此圆，记，，，，则各边长可表示为： 代入整理后，托勒密定理等价于三角恒等式： 3.托勒密不等式（推广形式） 对于平面内任意四边形（不必共圆），有： 等号成立当且仅当四点共圆或共线（退化情形）。 4.逆定理 若四边形满足，则四点共圆。 这一逆定理常用于证明四点共圆问题，是托勒密定理的重要应用方向。 知识点3 费马点 1.费马点定义 定义：在三角形所在平面内，到三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点（Fermat point）。 2.费马点的位置判定 情形一：若的三个内角均小于，则费马点在三角形内部，且满足： 情形二：若有一个内角大于等于，设，则费马点就是该钝角的顶点，此时： 3.费马点的几何构造法（旋转法） 以三角形任意一边（如）为边向外作等边三角形，连接，则： （1）与费马点共线； （2）费马点位于上，且。 4.费马点的三角函数刻画 若各角均小于，费马点满足： 由余弦定理，在中： 同理： 5.加权费马问题（推广） 若目标函数为（），最优角度条件由正弦定理给出： 知识点4 布洛卡点问题 1.布洛卡点定义 定义：在内部存在一点，使得： 则称点为的第一布洛卡点（Brocard point），角称为布洛卡角（Brocard angle）。 类似地，若点满足，则称为第二布洛卡点。 2.布洛卡角的核心公式 其中为的三个内角。 3.布洛卡角的面积法推导 设面积为，边长分别为，，。记。 由面积公式： 即： 另一方面，由正弦定理表示各小三角形面积，整理可得： 4.布洛卡角的另一表达形式 其中为的面积，分别为三边长。 由海伦公式（其中），上式可进一步化为仅含边长的表达式： 5.重要性质 （1）布洛卡角满足，当且仅当为正三角形时取等号。 （2）第一布洛卡点与第二布洛卡点互为等角共轭点。 （3）若为第一布洛卡点，则： 知识点5 勒洛三角形 1.定义与构造 定义：以正三角形的三个顶点为圆心，以正三角形边长为半径，分别作圆弧、、，三条圆弧围成的封闭图形称为勒洛三角形（Reuleaux triangle）。 构造步骤： （1）作正三角形，边长记为； （2）以为圆心、为半径画弧（连接、两点）； （3）以为圆心、为半径画弧； （4）以为圆心、为半径画弧； （5）三段圆弧围成的曲边三角形即为勒洛三角形。 2.定宽性（等宽曲线） 性质：勒洛三角形具有定宽性质，即无论从哪个方向用两条平行线夹住它，两条平行线之间的距离恒等于正三角形边长。 证明要点：对于任意方向，支撑线总经过一条弧的端点，宽度恰好等于该弧所在圆的半径。 这是勒洛三角形最核心的几何性质，也是其在机械工程中（如转子发动机、方孔钻头）应用的理论基础。 3.周长 勒洛三角形的周长等于三段圆弧的长度之和： 即勒洛三角形的周长等于直径为的圆的周长。 4.面积 勒洛三角形的面积等于三个扇形面积之和减去两个正三角形面积（容斥原理）： 5.推广：其他勒洛多边形 以正奇数边形（正五边形、正七边形等）的顶点为圆心、边长为半径画弧，同样可得定宽曲线，称为勒洛多边形（Reuleaux polygon），但勒洛三角形是其中面积最小者。 知识点6 拿破仑三角形 1.定理内容 拿破仑定理（Napoleon’s Theorem）：以任意三角形的三条边为边，分别向外作正三角形，则这三个正三角形的中心（重心/外心/内心四心合一）连线构成一个正三角形。 这个新的正三角形称为拿破仑三角形。 2.几何语言 设的边、、外侧分别作正三角形，其中心分别为、、，则为正三角形。 3.三角函数证明思路 以向外作正三角形为例，设原三角形边长分别为，，，三个正三角形的中心（在外侧）、（在外侧）、（在外侧）。 连接、、、、、，利用余弦定理计算中心距： 经计算可得： 其中为的面积。 由三边相等可判定为正三角形。 4.向内外同时构造 若分别向内外两侧都作正三角形，可得到两个拿破仑三角形，两者中心连线中点恰为原三角形的重心（九点圆圆心相关）。 5.与费马点的联系 当原三角形各角均小于时，将三个向外作的正三角形的外侧顶点两两相连，连线共点于费马点。这一结论揭示了拿破仑三角形与费马点之间的深刻联系，常在综合题中出现。 题型深研·通法变式提能力 题型1 n倍角公式 【典例1-1】（25-26高一下·山东青岛·期中）如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在中，若，则为倍角三角形，其中角叫做2倍角，角叫做1倍角． (1)利用正、余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所对边的平方等于1倍角所对边乘以该边与第三边之和； (2)记的内角的对边分别为．已知且的面积为，求的周长． 【典例1-2】（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学科. (1)已知，试证明此三倍角公式； (2)若角满足 ，求的值； (3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值 方法技巧 n倍角公式 本类问题核心在于从二倍角、三倍角公式出发，通过递推或归纳推导出一般形式的n倍角展开式。解题时需注意：（1）明确与可表示为、的整式或含根式形式，利用切比雪夫多项式思想化简；（2）复数法是最强工具——由结合二项式定理展开，实虚部分离即得；（3）善于利用、等整体代换降低次数；（4）注意验证特殊角度（如）以保证公式的边界适用性。 【变式1-1】（25-26高一下·云南文山·阶段检测）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式，对于，我们有，可见也可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式.（提示：）如图，在等腰中，已知，，且的外接圆半径，结合上述知识，可得（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且. (1)证明：是倍角三角形； (2)若，当取最大值时，求. 题型2 双曲正余弦函数 【典例2-1】（2026·广东汕头·二模）双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． (1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； (2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【典例2-2】（2026·江西·三模）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.双曲函数的定义域是实数集，其自变量的值叫做双曲角，双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程. (1)计算的值； (2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； (3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 方法技巧 双曲正余弦函数 双曲函数、与三角函数的本质联系在于欧拉公式，解题时抓住其“去i”对应关系，将三角恒等变换迁移至双曲情形。方法要点：（1）核心恒等式替代，注意符号差异；（2）和差公式形式上与三角函数相同，但中无负号变化；（3）导数关系、形成闭环；（4）涉及反函数时注意定义域与值域限制，善于将问题转化为指数方程求解。 【变式2-1】固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数 ，类似的，我们可以定义双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似性质. (1)判断双曲余弦函数的奇偶性和单调性（直接写结论，不用证明）； (2)（i） 证明 ； （ii）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明； (3)是否存在实数，使得函数 在上的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型3 托勒密定理 【典例3-1】（2026·甘肃武威·模拟预测）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·陕西榆林·模拟）克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中． (1)若圆O的半径为r，且， (ⅰ)求的大小； (ⅱ)求的取值范围(用r表示)． (2)若，求线段BD长度的最大值． 方法技巧 托勒密定理 托勒密定理指出圆内接四边形对角线乘积等于两组对边乘积之和。解题策略：（1）构造圆内接四边形是核心思路，常通过共圆条件将分散的线段长度关系纳入同一圆中；（2）三角函数背景下，边长常表示为对应角，将几何度量转化为三角恒等式的证明；（3）推广形式——对于任意四边形，有（托勒密不等式），等号成立当且仅当四点共圆；（4）逆向应用时，若某四边形满足托勒密等量关系，则可反推其共圆，常用于证明四点共圆问题。 【变式3】（2026·河北雄安·三模）如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设. (1)问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值. (2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求. (3)求面积的最大值. 题型4 费马问题 【典例4-1】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知分别是三个内角的对边，且，点P为的费马点，若，则 ，的最大值为 ． 【典例4-2】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题，很多数学定理以费马的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，，的外接圆半径长为，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 费马问题 费马点指三角形内到三顶点距离之和最小的点，当三角形各角均小于时，费马点满足。三角函数视角下：（1）利用余弦定理建立目标函数，通过旋转构造将折线转化为直线段，是几何本质解法；（2）旋转构造等边三角形是标志性技巧，此时三角函数用于计算旋转后的边长与角度关系；（3）涉及加权费马问题时，系数变为长度比例，需结合正弦定理确定最优角度条件；（4）注意的特殊性来源于，这是方程求导后自然导出的结果。 【变式4-1】（2026·四川泸州·模拟预测）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔•德•费马（1601-1665）于1643年提出了三角形中的“费马点”，即“对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点”.在中，是的费马点，则的长度为 . 【变式4-2】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点． (1)若，且面积为． （i）求角B； （ii）求； (2)若，，，的面积为，，，求的最小值． 题型5 布洛卡点问题 【典例5-1】若三角形内一点P满足，则称为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角.已知分别为三角形三个内角所对的边，点为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角. (1)若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值; (2)若三角形的面积为.证明： 【典例5-2】（25-26高一下·福建宁德·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D为BC中点，，求的面积； (3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长． 方法技巧 布洛卡点问题 布洛卡点是三角形内满足的点，称为布洛卡角。核心公式为。解题方法：（1）利用面积法建立等式——三个小三角形面积之和等于原三角形面积，结合正弦面积公式推导；（2）布洛卡角满足，善于将边角互化；（3）注意布洛卡点的存在性与唯一性证明常需借助连续函数的介值性；（4）新定义问题中，往往给出布洛卡点的定义后要求类比推导性质，关键是抓住“等角”条件列方程。 【变式5-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角．如图，已知中，，点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角． (1)若，且满足，求的大小． (2)若为锐角三角形．证明：． 【变式5-2】布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题： (1)若，且，求A和； (2)若求的值． 题型6 勒洛三角形、拿破仑三角形 【典例6-1】勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【典例6-2】（25-26高一下·福建宁德·月考）拿破仑是法国伟大的军事家､政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.在中，以为边向外构造的三个等边三角它们的中心依次为.若，则的面积为 . 方法技巧 勒洛三角形、拿破仑三角形 勒洛三角形是以正三角形顶点为圆心、边长为半径画弧所得弧三角形，具有定宽性质；拿破仑三角形是以原三角形三边向外作正三角形后，其中心连线构成的新三角形。方法要点：（1）勒洛问题中，三角函数主要用于计算弧长与面积，注意扇形面积与三角形面积的加减组合；（2）定宽性的证明利用正三角形与圆弧半径相等实现；（3）拿破仑三角形中，关键是证明新三角形为正三角形，常用复数或旋转的几何变换，结合余弦定理计算中心距；（4）两类问题均体现“以三角形为基础、以为纽带”的构造特征，的三角函数值为特殊值，便于简化运算。 【变式6-1】（22-23高一上·山东烟台·期末）勒洛三角形是由19世纪德国工程师勒洛在研究机械分类时发现的．如图1，以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形ABC．受此启发，某数学兴趣小组绘制了勒洛五边形．如图2，分别以正五边形ABCDE的顶点为圆心、对角线长为半径，在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧，五段圆弧围成的曲边五边形就是勒洛五边形ABCDE．设正五边形ABCDE的边长为1． (1)求勒洛五边形ABCDE的周长； (2)设正五边形ABCDE外接圆周长为，试比较与大小，并说明理由．（注：） 【变式6-2】（25-26高三上·河北保定·期中）一般地，若从任意三角形的三边分别向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的外拿破仑三角形；若从任意三角形的三边分别向内作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来也构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的内拿破仑三角形.在 中，已知 的外拿破仑三角形（如图1）的面积为 ，内拿破仑三角形（如图2）的面积为，则 的最大值等于________. 题型7 新概念 【典例7-1】出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．与的图象关于直线对称 【典例7-2】（2026·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为 方法技巧 新概念 解答新概念型创新题的基本思路是： （1）正确理解新概念； （2）根据新概念建立关系式； （3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题； （4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果． 【变式7-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（    ） A．对任意的 B．对任意的 C．在区间上单调递增 D．对任意的 【变式7-2】人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. (1)若，，求之间的余弦距离； (2)已知，，，，若，， ①求之间的余弦距离； ②求的值． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．点将一条线段分为两段和，若，则称点为线段的黄金分割点.已知直线与函数的图象相交，为相邻的三个交点，则（    ） A．当时，存在使点为线段的黄金分割点 B．对于给定的常数，不存在使点为线段的黄金分割点 C．对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点 D．对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点 2．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数也被广泛应用于生活，生产的各个领域，其中表示不超过x的最大整数，如：，.若函数，则的值域为（ ） A． B． C． D． 3．对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（    ） A． B． C． D．与有关的值 4．（多选）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．与的图象关于直线对称 5．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为 6．定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为 ． 7．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的作为单位来度量弦长.将圆心角所对的弦长记为.如图，在圆中，的圆心角所对的弦长恰好等于圆的半径，因此的圆心角所对的弦长为60个单位，即.若为圆心角，，则 . 8．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．若函数的伴随向量为，，，若实数，，使得对任意实数恒成立，则的值为 ． 9．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． (1)设，试求函数的相伴向量； (2)记向量的相伴函数为，求当且时，的值； (3)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 10．若定义域为的函数满足对于任意的，恒成立，则称为“线性对称函数”. (1)判断函数，是否为“线性对称函数”. (2)若是“线性对称函数”，证明：. (3)已知函数，判断是否存在，，使得是“线性对称函数”.若存在，求出，的值，若不存在，说明理由. 11．若定义域为的函数满足对于任意的，恒成立，则称为“线性对称函数”. (1)判断函数，是否为“线性对称函数”. (2)若是“线性对称函数”，证明：. (3)已知函数，判断是否存在，，使得是“线性对称函数”.若存在，求出，的值，若不存在，说明理由. 12．定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. (1)若，求的“特征向量”的坐标； (2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围； (3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围. 创新提升 1．（2026·四川自贡·二模）（多选题）三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点满足条件：时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角所对的边分别为，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为，则（   ） A．当时， B．当且时， C．当时， D．当时， 2．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量. (1)已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)在中，，借助研究成果，直接写出的最小值； (3)已知点，求的费马点的坐标. 3．双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数． (1)证明：； (2)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)求证：函数存在唯一零点且． 4．对于函数，，如果存在一组正常数，，…，，（其中k为正整数），满足使得当x取任意实数时，有，则称函数具有“性质”. (1)求证：函数同时具有“性质”和“性质”； (2)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优08 三角函数与解三角形中的新定义问题 （含双曲正余弦函数、托勒密定理、费马点、布洛卡点、勒洛三角形、拿破仑三角形）内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 6 题型1 n倍角公式 6 题型2 双曲正余弦函数 11 题型3 托勒密定理 17 题型4 费马问题 21 题型5 布洛卡点问题 26 题型6 勒洛三角形、拿破仑三角形 32 题型7 新概念 38 分层进阶·双阶训练验成效 42 巩固过关 42 创新提升 53 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 双曲正余弦函数 1.定义 双曲正弦函数和双曲余弦函数由以下方式定义： 双曲正切函数、双曲余切函数等可由上述两者类比三角函数定义： 2.基本恒等式 证明： 此外还有： 3.与三角函数的关系（欧拉公式桥梁） 由欧拉公式可得： 反过来： 因此，双曲函数可视为三角函数在“去掉虚数单位 ”后的对应版本，两者恒等式结构高度相似，但部分符号存在差异。 4.导数与积分 5.反双曲函数 知识点2 托勒密定理 1.定理内容 托勒密定理（Ptolemy‘s Theorem）：圆内接四边形中，两条对角线长度的乘积等于两组对边长度乘积之和。 几何语言：如图，四边形内接于圆，则 即： 2.三角形式 设圆的半径为，四边形内接于此圆，记，，，，则各边长可表示为： 代入整理后，托勒密定理等价于三角恒等式： 3.托勒密不等式（推广形式） 对于平面内任意四边形（不必共圆），有： 等号成立当且仅当四点共圆或共线（退化情形）。 4.逆定理 若四边形满足，则四点共圆。 这一逆定理常用于证明四点共圆问题，是托勒密定理的重要应用方向。 知识点3 费马点 1.费马点定义 定义：在三角形所在平面内，到三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点（Fermat point）。 2.费马点的位置判定 情形一：若的三个内角均小于，则费马点在三角形内部，且满足： 情形二：若有一个内角大于等于，设，则费马点就是该钝角的顶点，此时： 3.费马点的几何构造法（旋转法） 以三角形任意一边（如）为边向外作等边三角形，连接，则： （1）与费马点共线； （2）费马点位于上，且。 4.费马点的三角函数刻画 若各角均小于，费马点满足： 由余弦定理，在中： 同理： 5.加权费马问题（推广） 若目标函数为（），最优角度条件由正弦定理给出： 知识点4 布洛卡点问题 1.布洛卡点定义 定义：在内部存在一点，使得： 则称点为的第一布洛卡点（Brocard point），角称为布洛卡角（Brocard angle）。 类似地，若点满足，则称为第二布洛卡点。 2.布洛卡角的核心公式 其中为的三个内角。 3.布洛卡角的面积法推导 设面积为，边长分别为，，。记。 由面积公式： 即： 另一方面，由正弦定理表示各小三角形面积，整理可得： 4.布洛卡角的另一表达形式 其中为的面积，分别为三边长。 由海伦公式（其中），上式可进一步化为仅含边长的表达式： 5.重要性质 （1）布洛卡角满足，当且仅当为正三角形时取等号。 （2）第一布洛卡点与第二布洛卡点互为等角共轭点。 （3）若为第一布洛卡点，则： 知识点5 勒洛三角形 1.定义与构造 定义：以正三角形的三个顶点为圆心，以正三角形边长为半径，分别作圆弧、、，三条圆弧围成的封闭图形称为勒洛三角形（Reuleaux triangle）。 构造步骤： （1）作正三角形，边长记为； （2）以为圆心、为半径画弧（连接、两点）； （3）以为圆心、为半径画弧； （4）以为圆心、为半径画弧； （5）三段圆弧围成的曲边三角形即为勒洛三角形。 2.定宽性（等宽曲线） 性质：勒洛三角形具有定宽性质，即无论从哪个方向用两条平行线夹住它，两条平行线之间的距离恒等于正三角形边长。 证明要点：对于任意方向，支撑线总经过一条弧的端点，宽度恰好等于该弧所在圆的半径。 这是勒洛三角形最核心的几何性质，也是其在机械工程中（如转子发动机、方孔钻头）应用的理论基础。 3.周长 勒洛三角形的周长等于三段圆弧的长度之和： 即勒洛三角形的周长等于直径为的圆的周长。 4.面积 勒洛三角形的面积等于三个扇形面积之和减去两个正三角形面积（容斥原理）： 5.推广：其他勒洛多边形 以正奇数边形（正五边形、正七边形等）的顶点为圆心、边长为半径画弧，同样可得定宽曲线，称为勒洛多边形（Reuleaux polygon），但勒洛三角形是其中面积最小者。 知识点6 拿破仑三角形 1.定理内容 拿破仑定理（Napoleon’s Theorem）：以任意三角形的三条边为边，分别向外作正三角形，则这三个正三角形的中心（重心/外心/内心四心合一）连线构成一个正三角形。 这个新的正三角形称为拿破仑三角形。 2.几何语言 设的边、、外侧分别作正三角形，其中心分别为、、，则为正三角形。 3.三角函数证明思路 以向外作正三角形为例，设原三角形边长分别为，，，三个正三角形的中心（在外侧）、（在外侧）、（在外侧）。 连接、、、、、，利用余弦定理计算中心距： 经计算可得： 其中为的面积。 由三边相等可判定为正三角形。 4.向内外同时构造 若分别向内外两侧都作正三角形，可得到两个拿破仑三角形，两者中心连线中点恰为原三角形的重心（九点圆圆心相关）。 5.与费马点的联系 当原三角形各角均小于时，将三个向外作的正三角形的外侧顶点两两相连，连线共点于费马点。这一结论揭示了拿破仑三角形与费马点之间的深刻联系，常在综合题中出现。 题型深研·通法变式提能力 题型1 n倍角公式 【典例1-1】（25-26高一下·山东青岛·期中）如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在中，若，则为倍角三角形，其中角叫做2倍角，角叫做1倍角． (1)利用正、余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所对边的平方等于1倍角所对边乘以该边与第三边之和； (2)记的内角的对边分别为．已知且的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合二倍角公式，利用正弦定理与余弦定理化角为边，化简可证； （2）利用倍角定理及正弦定理化角为边，利用边的关系代入余弦定理消元求解方程可得. 【详解】（1）设的内角的对边分别为，已知，求证：. 证明：由，得， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得， 则， 整理，得， 当时，，由，得，所以，则， 所以. 当时，. 由上可知，当时，. 同理可证，当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 综上可知，倍角定理成立. （2）已知，由正弦定理得，则①， 又，由倍角定理得②， 将①式代入②式得，所以，即③ 由余弦定理，将①③代入得， 由，则， 又的面积为，则， 解得，则，， 故的周长为15. 【典例1-2】（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学科. (1)已知，试证明此三倍角公式； (2)若角满足 ，求的值； (3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论； （2）由（1）得，再通过三角恒等变换化简，并结合同角关系求结论； （3）根据，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求得，由此可得结论. 【详解】（1）由 ，得证； （2）由（1）知，可得， 又 ， 故 （3）由，则， 所以，则， 所以，可得（负值舍）， 所以. 方法技巧 n倍角公式 本类问题核心在于从二倍角、三倍角公式出发，通过递推或归纳推导出一般形式的n倍角展开式。解题时需注意：（1）明确与可表示为、的整式或含根式形式，利用切比雪夫多项式思想化简；（2）复数法是最强工具——由结合二项式定理展开，实虚部分离即得；（3）善于利用、等整体代换降低次数；（4）注意验证特殊角度（如）以保证公式的边界适用性。 【变式1-1】（25-26高一下·云南文山·阶段检测）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式，对于，我们有，可见也可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式.（提示：）如图，在等腰中，已知，，且的外接圆半径，结合上述知识，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记的中点为， ， ，， ，所以 即，由，∴， ∴， 故选：A 【变式1-2】（2026·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且. (1)证明：是倍角三角形； (2)若，当取最大值时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明； （2）由正弦定理结合题中条件得到，结合三角形面积公式化为关于的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可. 【详解】（1）因为， 又,所以， 则， 又由余弦定理知，， 故可得， 由正弦定理，, 又, 代入上式可得, 即， ， 则有, 故是倍角三角形. （2）因为，所以, 故，则，又， 又，则, 则 , 设，， 则 令得或者（舍）， 且当时，， 当时，， 则在上单调递增， 在上单调递减， 故当时，取最大值， 此时也取最大值， 故为所求. 题型2 双曲正余弦函数 【典例2-1】（2026·广东汕头·二模）双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． (1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； (2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)奇函数， (3)． 【分析】（1）利用、的表示式分别化简计算即可得 ； （2）根据的表达式，利用奇偶性的定义判断为奇函数，再将其解析式化成，利用函数的单调性即可求其值域； （3）将题设不等式恒成立等价转化成在上恒成立，继而只需求在上的最大值，通过整理换元，利用函数的单调性即可求得其最大值，即得参数范围. 【详解】（1）由题意，； . （2）因，， 则对于，，是奇函数； 又， 因在上单调递增且为正，故在上单调递减， 则在是增函数， 由，得故得， 即的值域为. （3）由题意可知在上恒成立， 整理得在上恒成立 令， 则， 令，由，可得，，即得， 则，， 因函数在上递增，在上递减，故， 依题意，，即m的取值范围为． 【典例2-2】（2026·江西·三模）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.双曲函数的定义域是实数集，其自变量的值叫做双曲角，双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程. (1)计算的值； (2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； (3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义函数直接计算即可； （2）类比可得，根据新函数定义计算即可证明； （3）由可得，分离参数，求出，即可得解. 【详解】（1）由已知可得，，， 所以， 所以. （2），证明如下： 左边， 右边 . 所以，左边=右边， 所以. （3）原题可转化为方程有解，即有解. 令，，， 因为在上单调递增，，， 所以. 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，即， 所以，即. 方法技巧 双曲正余弦函数 双曲函数、与三角函数的本质联系在于欧拉公式，解题时抓住其“去i”对应关系，将三角恒等变换迁移至双曲情形。方法要点：（1）核心恒等式替代，注意符号差异；（2）和差公式形式上与三角函数相同，但中无负号变化；（3）导数关系、形成闭环；（4）涉及反函数时注意定义域与值域限制，善于将问题转化为指数方程求解。 【变式2-1】固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数 ，类似的，我们可以定义双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似性质. (1)判断双曲余弦函数的奇偶性和单调性（直接写结论，不用证明）； (2)（i） 证明 ； （ii）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明； (3)是否存在实数，使得函数 在上的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)偶函数，在上单调递减，在上单调递增. (2)（i） 证明见解析；（ii）答案见解析. (3)存在，. 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断双曲余弦函数的奇偶性，利用单调性的定义判断单调区间； （2）（i）根据所给条件，结合指数幂的运算性质化简即可求出结果； （ii）写出一个结论，结合指数幂的运算性质化简即可证明； （3）利用换元法，讨论的范围，结合二次函数和复合函数单调性可求出. 【详解】（1）双曲余弦函数是偶函数，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由题意得， . （ii） 结论： . 证明：由题意得， . 所以 成立. （注：以下三个结论也成立）： ， . （3）令， 因为 当且仅当 即时取等号， 所以. 因为，， 所以， 所以函数 因为对数函数在上单调递减， 所以要使 在上的最大值为，则需 在上有最小值. 二次函数 的对称轴为直线 当，即时，函数在上单调递增， 则 由得，符合题意. 当 ，即时，函数在 上单调递减，在 上单调递增， 则 由 得 ，此方程无实数解. 综上，实数的值为. 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题知，点坐标为，则 . 性质①：，值域为，正确. 性质②：， ，所以，错误. 性质③：当时，，，非最值； 最值出现在，即，错误. 性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为， 故为周期函数，最小正周期为，正确. 综上，性质①④正确，共2个. 故选：B. 题型3 托勒密定理 【典例3-1】（2026·甘肃武威·模拟预测）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，则， 所以，即， 设，又，由题意， 所以，故， 又，故，则， 所以， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为. 故选：C 【典例3-2】（2026·陕西榆林·模拟）克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中． (1)若圆O的半径为r，且， (ⅰ)求的大小； (ⅱ)求的取值范围(用r表示)． (2)若，求线段BD长度的最大值． 【答案】(1)(ⅰ) ，(ⅱ) (2) 【详解】（1）（i）因为 所以 又因为，所以，所以， （ii）因为，所以, 所以，所以AC是圆O的直径，由（i）可得， 设，则， 所以 又，所以 . （2）设， 所以，由余弦定理得 , 在中，, 由余弦定理得,代入整理得： ，解得. 由托勒密定理可知，代入得 . 设， （其中）， 设，则（其中） 因为在区间上单调递增， 所以当，即时，BD取得最大值. 方法技巧 托勒密定理 托勒密定理指出圆内接四边形对角线乘积等于两组对边乘积之和。解题策略：（1）构造圆内接四边形是核心思路，常通过共圆条件将分散的线段长度关系纳入同一圆中；（2）三角函数背景下，边长常表示为对应角，将几何度量转化为三角恒等式的证明；（3）推广形式——对于任意四边形，有（托勒密不等式），等号成立当且仅当四点共圆；（4）逆向应用时，若某四边形满足托勒密等量关系，则可反推其共圆，常用于证明四点共圆问题。 【变式3】（2026·河北雄安·三模）如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设. (1)问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值. (2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求. (3)求面积的最大值. 【答案】(1)时，四边形的面积取得最大值为 (2) (3) 【详解】（1）在中由余弦定理得 ， 所以，， 于是四边形的面积为 ， 当，即时，四边形的面积取得最大值为. （2）因为， 且为等边三角形，，， 所以，所以， 即的最大值为，取等号时， 所以，不妨设， 则，解得， 所以，所以. （3）设，（，所以为锐角）， 在中，由正弦定理得，， ， 当，即时，的面积取得最大值为. 题型4 费马问题 【典例4-1】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知分别是三个内角的对边，且，点P为的费马点，若，则 ，的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 即， 整理得：， 所以由正弦定理可得，所以； 所以三个内角都小于， 由费马点的定义可知：， 设， 则，又， 所以由平面向量基本定理有． 由余弦定理可得：， ， ， 因为，所以， 所以有， 化简可得：，将代入上式，化简得． 因为，当且仅当结合解得时等号成立， 设，所以，解得或， 因为，所以，所以，即的最大值为． 故答案为：； 【典例4-2】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题，很多数学定理以费马的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，，的外接圆半径长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中，由正弦定理求出，中，由外接圆半径长结合正弦定理求. 【详解】，，则， 中，由正弦定理得，， 的外接圆半径长为，由正弦定理，， .    故选：C. 方法技巧 费马问题 费马点指三角形内到三顶点距离之和最小的点，当三角形各角均小于时，费马点满足。三角函数视角下：（1）利用余弦定理建立目标函数，通过旋转构造将折线转化为直线段，是几何本质解法；（2）旋转构造等边三角形是标志性技巧，此时三角函数用于计算旋转后的边长与角度关系；（3）涉及加权费马问题时，系数变为长度比例，需结合正弦定理确定最优角度条件；（4）注意的特殊性来源于，这是方程求导后自然导出的结果。 【变式4-1】（2026·四川泸州·模拟预测）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔•德•费马（1601-1665）于1643年提出了三角形中的“费马点”，即“对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点”.在中，是的费马点，则的长度为 . 【答案】 【分析】根据，费马点在内，作出辅助线，推出在线段上，利用半角公式得到，故，由正弦定理得到. 【详解】由，得.故费马点在内， 且. 取的中点，由，得是线段的中垂线. 在和中，，， 两式相减，得， 即0，可见， 所以在的中垂线上. 又在内，所以在线段上. . 在中，， 所以. 故答案为： 【变式4-2】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点． (1)若，且面积为． （i）求角B； （ii）求； (2)若，，，的面积为，，，求的最小值． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)． 【分析】（1）（i）利用两角和的正弦公式和即可求解； （ii）由（i）得P为内的费马点，即，利用面积为得，即可求解； （2）由利用二倍角的余弦公式有，即，利用正弦定理有，即，从而求出角，利用面积公式得，再由正弦定理即可得，，最后利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）（i）∵，， ∴， ∴， 在中，，∴，∴， 又，∴． （ii）∵，∴不存在大于等于120°的角，∴P为内的费马点． 所以， ∵， ∴， ∴ ． （2）∵，∴，即， 在中有正弦定理得，， ∴，∴， 在中，，∴， 又，∴． ∴， 设，，则在由正弦定理得，， 在由正弦定理得，， ∴， 当且仅当，，时等号成立． ∴的最小值为． 题型5 布洛卡点问题 【典例5-1】若三角形内一点P满足，则称为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角.已知分别为三角形三个内角所对的边，点为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角. (1)若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值; (2)若三角形的面积为.证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，由题，余弦定理及，可得，然后再由余弦定理可得答案. （2）注意到，则可得需证等式右边为，然后利用余弦定理可完成证明； 【详解】（1）如图设，因， 则，由题可得， 则，由余弦定理，可得： ，注意到. 则. 则； （2）由图可得， 则要证等式右边等于， 由余弦定理，， 同理可得：，. 相加可得得证. 【典例5-2】（25-26高一下·福建宁德·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D为BC中点，，求的面积； (3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，再结合余弦定理即可得到结果； （2）由题意可得，结合向量的数量积运算化简，再由余弦定理代入计算，即可得到结果； （3）分别在与中，结合正弦定理表示出，列出方程，在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由， 得． 由正弦定理，得，整理得． 由余弦定理，得． 又，所以． （2）由题知，所以． 则，所以． 由（1）得，，又，所以，联立，得， 故的面积为． （3）如图，设，因为，所以，      由（1）知，，所以， 在中，设， 由正弦定理得，所以， 在中，由上可知，， 由正弦定理，得所以， 所以，则，整理，得， 所以，，解得，． 又，所以， 则，因此为等边三角形． 在中， 由余弦定理得，， 所以，故的周长为． 方法技巧 布洛卡点问题 布洛卡点是三角形内满足的点，称为布洛卡角。核心公式为。解题方法：（1）利用面积法建立等式——三个小三角形面积之和等于原三角形面积，结合正弦面积公式推导；（2）布洛卡角满足，善于将边角互化；（3）注意布洛卡点的存在性与唯一性证明常需借助连续函数的介值性；（4）新定义问题中，往往给出布洛卡点的定义后要求类比推导性质，关键是抓住“等角”条件列方程。 【变式5-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角．如图，已知中，，点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角． (1)若，且满足，求的大小． (2)若为锐角三角形．证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先判断与相似，进而得到，应用余弦定理求出的值即可; （2）在内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式后，再针对分别在和内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式，且，表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，再化简整理得，即可得证. 【详解】（1）若，即，得， 点满足，则， 在和中，，， 所以与相似，且，所以， 即，由余弦定理得，且， 所以. （2）在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得 ， ， ， 三式相加可得： ①； 在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得： ， 在和内，同理， 于是， 因为， 由等比性质得②， 由①②得 即， 因为， 所以. 【变式5-2】布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题： (1)若，且，求A和； (2)若求的值． 【答案】(1)， (2)3 【详解】（1）∵，∴，∵，， ∴， ∴，∴，即，又， 由勾股定理得，则． 在中，设，则， 由正弦定理可得， 所以，化简可得． 综上，，． （2） ，所以． 在，，中，分别由余弦定理得： ，，， 三式相加整理得：， 由上面可得， 所以， 先求， 在中，由正弦定理可得， 所以， 同理可得，， 所以 再求． 在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得， ，， 三式相加可得：， 由（2）可知，所以； 所以 ． 题型6 勒洛三角形、拿破仑三角形 【典例6-1】勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图：，以为圆心的扇形面积是， 的面积是，    ∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积， 即． 故选：B. 【典例6-2】（25-26高一下·福建宁德·月考）拿破仑是法国伟大的军事家､政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.在中，以为边向外构造的三个等边三角它们的中心依次为.若，则的面积为 . 【答案】/ 【详解】由，而， 所以， 由题意，故， 所以三点共线，则， 故等边三角形的面积. 故答案为： 方法技巧 勒洛三角形、拿破仑三角形 勒洛三角形是以正三角形顶点为圆心、边长为半径画弧所得弧三角形，具有定宽性质；拿破仑三角形是以原三角形三边向外作正三角形后，其中心连线构成的新三角形。方法要点：（1）勒洛问题中，三角函数主要用于计算弧长与面积，注意扇形面积与三角形面积的加减组合；（2）定宽性的证明利用正三角形与圆弧半径相等实现；（3）拿破仑三角形中，关键是证明新三角形为正三角形，常用复数或旋转的几何变换，结合余弦定理计算中心距；（4）两类问题均体现“以三角形为基础、以为纽带”的构造特征，的三角函数值为特殊值，便于简化运算。 【变式6-1】（22-23高一上·山东烟台·期末）勒洛三角形是由19世纪德国工程师勒洛在研究机械分类时发现的．如图1，以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形ABC．受此启发，某数学兴趣小组绘制了勒洛五边形．如图2，分别以正五边形ABCDE的顶点为圆心、对角线长为半径，在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧，五段圆弧围成的曲边五边形就是勒洛五边形ABCDE．设正五边形ABCDE的边长为1． (1)求勒洛五边形ABCDE的周长； (2)设正五边形ABCDE外接圆周长为，试比较与大小，并说明理由．（注：） 【答案】(1) (2) ，理由如下： 如图所示：作出正五边形ABCDE外接圆， 由（1）知，易得， 所以由圆心角与圆周角的关系得：， 在中，，，， 由余弦定理得：， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以正五边形ABCDE外接圆周长为： ， 因为， 所以，所以. 【分析】（1）先运用正多边形内角和公式求出，再利用三角形内角和公式求出，在中运用正弦定理即可求出的长度，再用弧长公式即可求解； （2）根据正多边形性质与外接圆的性质求出，再利用余弦定理即可求得半径，代入圆的周长公式即可求得外接圆的周长，用作差法即可比较大小. 【详解】（1）依题意，因为五边形ABCDE为正五边形且边长为1， 所以，, 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理得：， 所以 ， 所以劣弧， 所以勒洛五边形ABCDE的周长：. 【变式6-2】（25-26高三上·河北保定·期中）一般地，若从任意三角形的三边分别向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的外拿破仑三角形；若从任意三角形的三边分别向内作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来也构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的内拿破仑三角形.在 中，已知 的外拿破仑三角形（如图1）的面积为 ，内拿破仑三角形（如图2）的面积为，则 的最大值等于________. 【答案】 【分析】根据题目条件，结合等边三角形的性质、正弦定理、余弦定理求出外拿破仑三角形与内拿破仑三角形的边长，使用基本不等式求出的最大值. 【详解】根据题目条件可得， 在外拿破仑三角形中，， 等边三角形中心平分顶角 ，故 ， ，， 故， 在内拿破仑三角形中，， 同理， ，， ， ， ， 在中，， 即， 代入 ，得 ， （当且仅当 时取等号），代入上式得： ， ，， 代入 得： ， 综上， 的最大值为 . 题型7 新概念 【典例7-1】出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．与的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】先证明，由此可得，再结合正切函数的定义域求函数的定义域，判断A，根据正切函数的对称性求函数的对称中心判断B，根据正切函数的单调性求函数的单调递减区间判断C，求函数的图象关于直线对称的图象的函数解析式，判断D. 【详解】A选项，因为， 所以， 由有意义可得，， 所以，， 所以函数的定义域为，A错误； B选项，因为， 令，，可得，， 所以图象的对称中心为，B正确； C选项，令，， 可得，， 所以的单调递减区间为，C正确； D选项，设函数的图象关于直线对称的图象经过点， 则点关于直线的对称点在函数的图象上， 所以，所以， 所以与的图象关于直线对称，D正确； 故选：BCD. 【典例7-2】（2026·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为 【答案】12 【分析】由所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，可得到，，代入分析整数解，可得到有限个正整数的解，一一验证，即可得到符合条件的. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，, ，两式相加得：，， 又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20， 一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解； 经检验：的值为和； 所以正整数的所有可能取值之和为. 故答案为：. 方法技巧 新概念 解答新概念型创新题的基本思路是： （1）正确理解新概念； （2）根据新概念建立关系式； （3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题； （4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果． 【变式7-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（    ） A．对任意的 B．对任意的 C．在区间上单调递增 D．对任意的 【答案】D 【分析】根据给定的定义，举例说明判断ABC；利用轴对称性推理判断D. 【详解】对于AB，当时，，，AB错误； 对于C，，C错误； 对于D，正方形关于直线对称，和的终边也关于直线对称， 则和的终边和正方形的交点也关于直线对称，所以，D正确. 故选：D 【变式7-2】人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. (1)若，，求之间的余弦距离； (2)已知，，，，若，， ①求之间的余弦距离； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①；②5 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）①由新定义及所给点的坐标得出，，再求出，即可得出之间的余弦距离； ②由，，展开化简可得解. 【详解】（1）由题意得， ∴之间余弦距离为； （2）①由题意得 ∵，∴，∴， ∵， ∴，∵，∴ ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴，∴ ∴ 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．点将一条线段分为两段和，若，则称点为线段的黄金分割点.已知直线与函数的图象相交，为相邻的三个交点，则（    ） A．当时，存在使点为线段的黄金分割点 B．对于给定的常数，不存在使点为线段的黄金分割点 C．对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点 D．对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点 【答案】D 【详解】若，则， 即点为线段的黄金分割点， 当时，，不存在使点为线段的黄金分割点，故选项A，C错误； 如下图，当时，，当时，，则， 则存在一个使得，故选项错； 对于选项D，若与相交于相邻的三点， 其横坐标分别为，则， 将变换成后，点分别对应到点， 且满足， 故，即对比值无影响，故选项D正确.    故选：D. 2．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数也被广泛应用于生活，生产的各个领域，其中表示不超过x的最大整数，如：，.若函数，则的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当为偶数时，，所以； 当为奇数时，，所以， 所以的值域为. 故选：C. 3．对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（    ） A． B． C． D．与有关的值 【答案】C 【详解】由题知，集合相对于的“正弦方差”为 把，， ，代入上式整理得，. 故选：C. 4．（多选）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．图象的对称中心为 C．的单调递减区间为 D．与的图象关于直线对称 【答案】BCD 【详解】A选项，因为， 所以， 由有意义可得，， 所以，， 所以函数的定义域为，A错误； B选项，因为， 令，，可得，， 所以图象的对称中心为，B正确； C选项，令，， 可得，， 所以的单调递减区间为，C正确； D选项，设函数的图象关于直线对称的图象经过点， 则点关于直线的对称点在函数的图象上， 所以，所以， 所以与的图象关于直线对称，D正确； 故选：BCD. 5．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为 【答案】12 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，, ，两式相加得：，， 又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20， 一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解； 经检验：的值为和； 所以正整数的所有可能取值之和为. 故答案为：. 6．定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由已知可得， 即， 因为，所以， 则， 因，当且仅当时等号成立， 此时，故. 故答案为：. 7．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的作为单位来度量弦长.将圆心角所对的弦长记为.如图，在圆中，的圆心角所对的弦长恰好等于圆的半径，因此的圆心角所对的弦长为60个单位，即.若为圆心角，，则 .    【答案】 【详解】设圆的半径为，时圆心角所对应的弦长为， 利用余弦定理可知，即可得 又的圆心角所对的弦长恰好等于圆的半径，的圆心角所对的弦长为60个单位， 即与半径等长的弦长为60个单位，所以. 故答案为： 8．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．若函数的伴随向量为，，，若实数，，使得对任意实数恒成立，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 又因为上式对任意实数恒成立，所以， 若，由，可得，不满足； 由，可得或， 当时，，由与矛盾； 故，则， 由与，可得， 综上可得，原式． 故答案为：． 9．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． (1)设，试求函数的相伴向量； (2)记向量的相伴函数为，求当且时，的值； (3)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为 ， 所以，函数的相伴向量. （2）向量的相伴函数， 令，即， ，， ， ． （3）的“相伴函数”， 因为在处取得最大值， 所以当，即时，有最大值， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 令，则， 因为均为上的单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以， 所以，， 所以的取值范围为． 10．若定义域为的函数满足对于任意的，恒成立，则称为“线性对称函数”. (1)判断函数，是否为“线性对称函数”. (2)若是“线性对称函数”，证明：. (3)已知函数，判断是否存在，，使得是“线性对称函数”.若存在，求出，的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)存在，，使函数是“线性对称函数”. 【详解】（1），所以，， 所以，故为“线性对称函数”， ，，， 所以，故不是“线性对称函数”. （2）证明：若是“线性对称函数”，则， 令，则，所以. （3）存在使是“线性对称函数”，理由如下： 由（2）可知，故，由于， 所以，故， 若，不妨设， 由，，， 只要充分大时，将大于1， 而的值域为，故等式不可能成立， 所以必有成立，即， 因为，所以，所以， 则，此时， 则，而， 即有成立， 所以存在，，使函数是“线性对称函数”. 11．若定义域为的函数满足对于任意的，恒成立，则称为“线性对称函数”. (1)判断函数，是否为“线性对称函数”. (2)若是“线性对称函数”，证明：. (3)已知函数，判断是否存在，，使得是“线性对称函数”.若存在，求出，的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)存在，，使函数是“线性对称函数”. 【分析】（1）由线性对称函数的定义判断即可； （2）由线性对称函数的定义赋值证明即可； （3）由（2）可知，故，从而求得，若，不妨设，由，，，只要充分大时，将大于1，故，从而求得. 【详解】（1），所以，， 所以，故为“线性对称函数”， ，，， 所以，故不是“线性对称函数”. （2）证明：若是“线性对称函数”，则， 令，则，所以. （3）存在使是“线性对称函数”，理由如下： 由（2）可知，故，由于， 所以，故， 若，不妨设， 由，，， 只要充分大时，将大于1， 而的值域为，故等式不可能成立， 所以必有成立，即， 因为，所以，所以， 则，此时， 则，而， 即有成立， 所以存在，，使函数是“线性对称函数”. 12．定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. (1)若，求的“特征向量”的坐标； (2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围； (3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及两角差的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的“特征向量”的定义即可求解； （2）将题意转化为关于x的方程在上有两个不同的实根，求出的值域，即可得出答案； （3）通过换元法结合同角三角函数的基本关系可得（），再根据二次函数的性质分，和求出，使得，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由题意可得： ， 则的“特征向量”. （2）由题意可得，其中（）. 因为关于x的方程在上有两个不同的实根， 所以关于x的方程在上有两个不同的实根. 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减. 因为，，， 所以，即. （3）由题意可得. 设， 则，所以（）. 当，即时，在上单调递增， 则，解得， 因为，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 因为，所以. 综上，a的取值范围是. 创新提升 1．（2026·四川自贡·二模）（多选题）三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点满足条件：时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角所对的边分别为，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为，则（   ） A．当时， B．当且时， C．当时， D．当时， 【答案】ABC 【分析】由两角相等得到三角形相似，再由边对应成比例可得A选项；设，由三角形相似表示出，在中由正弦定理表示出，在中由余弦定理得到与的关系，结合求出；C选项，由，在结合余弦定理即可证明；D选项，通过取特殊值举反例即可判断错误. 【详解】A选项，当时，是等腰三角形，， 因为，， 所以， 又因为，所以， 所以，即，故A正确； B选项，当时，由A选项知，， 因为，所以，设，则， 因为，所以，所以 又因为，所以，， 在中，由正弦定理得，即， 即，所以， 在中，， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以，联立，解得， 故B正确； C选项，当时， ， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 相加得， 即，C正确； D选项，当时，若， 此时， 在中，由正弦定理得，所以， 所以，D错误. 故选：ABC. 2．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量. (1)已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)在中，，借助研究成果，直接写出的最小值； (3)已知点，求的费马点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，代入公式可得，从而得解； （2）根据题意，旋转后为等边三角形，根据勾股定理可解； （3）根据题意，中，与关于轴对称，所以旋转后与关于轴对称，由图形的对称性知费马点必在轴上，由三点共线求解. 【详解】（1），绕着点顺时针旋转， 即逆时针旋转，代入公式， ， 所以， 则点的坐标为； （2）由费马点的求法知： 绕着点顺时针旋转，与重合，， 所以为等边三角形， 连接，的最小值为，由勾股定理得； （3）通过材料可以知道，内部有一点，连接， 将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求， 此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角， 即此时点满足， 又由题设，可知为等腰三角形，且， 根据费马点求法知：点在中垂线上， 且是顶角为的等腰三角形，所以， 故，则. 【点睛】关键点点睛：第（3）中，发现中，根据费马点求法知：点在中垂线上，且. 3．双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数． (1)证明：； (2)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)求证：函数存在唯一零点且． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 (3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可得证； （2）假设存在正实数t满足题意，可得在上单调递增，令，进而得到即关于u的一元二次方程有两个不等正根，，可得， 进而求解即可； （3）通过逐段分析得函数的单调性，并结合零点存在定理确定有且只有一个零点，且，从而得，再由函数的单调性即可得证. 【详解】（1）证明：右边 ， 左边， 所以. （2）假设存在正实数t满足题意，易知在上单调递增， 所以， 所以，为关于的方程的两个不等实数根， 令，即关于u的一元二次方程有两个不等正根，， 所以，解得且 所以存在正实数满足题意，t的取值范围且. （3），定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点． ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时， 因为单调递增，，因为 所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且． 因为，所以， 所以， 在上单调递减， ， 所以． 4．对于函数，，如果存在一组正常数，，…，，（其中k为正整数），满足使得当x取任意实数时，有，则称函数具有“性质”. (1)求证：函数同时具有“性质”和“性质”； (2)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据定义证明即可； （2）分、、三种情况讨论，当时利用反证法证明，当时，可得，，然后得到即可. 【详解】（1）因为，所以具有“性质”； 因为，所以具有“性质”； （2）①若，此时取即可； ②若，采取反证法，若不存在，使得，则恒成立， 因为 ，， ， 再由恒成立， 故，进而，与，，是不全为0矛盾； 故存在，使得． ③若，由②中可知， 因为 所以，命题成立． 综上：原命题得证. 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $