专题七 实际问题与反比例函数【（挑战压轴题）导图知识卡片+五大考点讲练+优选题训练 共33题】-2026-2027学年人教版数学九年级上册典型题系列

本讲义聚焦实际问题与反比例函数这一核心知识点，梳理了从反比例函数概念、图像性质到路程、压强、温度、密度等实际情境应用的脉络，以思维导图为学习支架构建知识体系。 资料特色在于五大考点讲练结合生活实例，如智能交通流量、汽缸压强计算等，培养学生用数学眼光观察现实（抽象能力）、用数学思维分析问题（推理意识）、用数学语言表达关系（模型意识）。课中辅助教师教学，课后33题优选题训练帮助学生查漏补缺。

nullnull 2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题七 实际问题与反比例函数 【思维导图+五大考点讲练+优选题训练 共33题〔解析版〕】 目 录 1 【压轴考点01】路程问题（速度与时间） 2 【压轴考点02】压强问题（压力与受力面积或体积） 6 【压轴考点03】温度问题（时间与水温） 9 【压轴考点04】密度问题（质量与体积） 13 【压轴考点05】其他问题 16 【压轴考点01】路程问题（速度与时间） 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）甲乙两地路程固定，若车速为，4小时可以到达．设车速为 ，时间为 ． (1)求 与 的函数关系式； (2)若要求小时到达，求车速的取值范围． 【答案】(1) (2)车速应控制在之间 【思路引导】（1）根据“路程、速度、时间”之间的关系可得 与 的函数关系式； （2）分别求出时间是2小时、3小时对应的速度，可得车速的取值范围． 【规范解答】（1）解：总路程：，． （2）解：，， 随 增大而减小， 当时，； 当时，； 得 ． 即车速应控制在之间． 【对应练习1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 【答案】(1) 反比例， (2) 不能到达乙地 【思路引导】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系， 设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵11时30分9时（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 【对应练习2】（2025·湖南·模拟预测）2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到_________千米/小时． 【答案】48 【思路引导】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式．设，根据题意求出k，然后代入即可求得答案． 【规范解答】解：设， 由题可知，当时，， ∴， ∴当时，， 即交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到48千米/小时， 故答案为：48． 【对应练习3】如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 【答案】(1)24，，12 (2)①， 抛物线G与滑道不能再相交，理由： ∵，轴， ∴当时，， ∴抛物线G与滑道不能再相交； ②向上平移距离d的最大值为，最小值为4 【思路引导】（1）由题意得到点A的坐标，代入即可求出k值，得到，将点P的纵坐标和分别代入求解即可； （2）①由抛物线G的最高点Q的坐标写出抛物线的顶点式，将代入求出a值，即可得到抛物线的解析式；求出抛物线上时对应的y值，判断此点在点M的上方还是下方，即可得出抛物线与是否相交； ②首先得到，然后得到点和在抛物线上，然后判断即可． 【规范解答】（1）解：∵平台（水平）与x轴的距离为8，， ∴， 将代入得，， ∴； ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵，， ∴， 将代入得， 解得； （2）解：①； 抛物线G与滑道不能再相交，理由如下： ∵最高点Q的坐标为， 设抛物线G的解析式为， ∵点在抛物线G上， ∴． 解得， ∴抛物线G的解析式为； 抛物线G与滑道不能再相交，理由略； ②∵， ∴， 当时，， 若小球恰好能被点N接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； 若小球恰好能被点C接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； ∴向上平移距离d的最大值为，最小值为4． 【压轴考点02】压强问题（压力与受力面积或体积） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【思路引导】根据的值即为该气体的质量即可求解． 【规范解答】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大． 【对应练习1】如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 体积x（mL） 20 40 60 80 压强y（kPa） 300 150 100 75 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ 【答案】要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为120mL 【规范解答】解：由题得，即． 当时，， 解得． 答：要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为． 【对应练习2】某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 【答案】 【思路引导】根据图象上的点坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据压强P的取值范围列出不等式，结合S的实际意义求解即可． 【规范解答】解：设P与S的反比例函数解析式为：， 把点代入得：， ∴， 即反比例函数解析式为：， 当时，则， 解得：． 【对应练习3】（25-26九年级上·山西晋中·期末）在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强是气缸内气体的体积的反比例函数，图象如图所示． (1)求出压强与体积的反比例函数表达式． (2)点的实际意义是______． (3)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)当气缸内气体的体积是时，加压后气体对气缸壁所产生的压强是 (3)气体体积压缩了 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据实际问题解释点坐标的意义即可； （3）根据函数解析式求出函数值，然后求解即可． 【规范解答】（1）解：设压强与体积的函数表达式为， 将代入得：， ， ∴压强与体积的函数表达式为； （2）解：当气缸内气体的体积是时，加压后气体对气缸壁所产生的压强是； （3）解：当时，，解得． 当时，，解得． ， 答：气体体积压缩了． 【压轴考点03】温度问题（时间与水温） 【典例精讲】（25-26八年级下·山东泰安·期末）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)第一次加热：；第一次降温： (3)能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【规范解答】（1）略 （2）解：第一次加热：是关于的一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：是关于的反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； 【对应练习1】（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【思路引导】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【规范解答】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 【对应练习2】（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) (3)该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 【思路引导】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点计算出反比例函数的，即可得到答案； （2）把代入反比例函数的解析式中即可求解； （3）浸入溶液的高度不能低于，则，从而解得的取值范围． 【规范解答】（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得， ∴； （2）解：∵，， 得； （3）解：由题意可知，，即，解得， 又， ∴， 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为． 【压轴考点04】密度问题（质量与体积） 【典例精讲】（2026·宁夏银川·三模）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1); (2) 【思路引导】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用求函数值的方法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【规范解答】（1）液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数， 设反比例函数解析式为， 把 ，代入得， ， 当 时， ； 当时， ； （2）当时， ， 当时， ， ， 当时，随着的增大而减小， ． 【对应练习1】（2026·浙江丽水·二模）已知一张桌面所能承受的最大压强为（牛/平方米），有一个长方体铁块的长、宽、高分别为，，．小明和小聪在讨论能否把这个铁块放在这张桌面上．（铁的密度为，取） 小明：无论怎么摆放，应该都没问题． 小聪：不一定，根据所学知识，桌面所受的压强与压力、受力面积 小明：哦，铁块对桌面的压力是不变的…… (1)求出该铁块对桌面的压力． (2)请用反比例函数的性质，说明能否把铁块放在这张桌面上． 【答案】(1)牛 (2)能放在桌面上，理由如下： 由（1）知，铁块对桌面的压力牛， ， 压强是关于受力面积的反比例函数， 在每一个象限内，随的增大而减小， 当取最大压强时，受力面积最小取到平方米， 当受力面积为平方厘米平方米平方米， 这样放置能放在桌面上． 【思路引导】（1）根据密度公式求出铁块的质量，再求出铁块的重力，利用“水平面上物体对接触面的压力等于自身重力”求解即可； （2）由于压力固定时，则压强与受力面积满足反比例函数关系，利用桌面所能承受的最大压强，求出桌面能承受的最小受力面积，计算铁块摆放的受力面积，与桌面能承受的最小受力面积比较求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：铁块的质量为克千克， 铁块的重力为牛， 该铁块对桌面的压力牛； 【对应练习2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图①），浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图②所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度怎么变化，变化了多少？ 【答案】(1) (2)减少了，减少了 【思路引导】（1）设，把求出k，即可得出解析式； （2）把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【规范解答】（1）解：设h与p之间的函数关系式为，由题可知，图像过， 将代入，得， 解得：， 所以h与ρ之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ， 密度计浸入该液体中的高度h减少了． 【压轴考点05】其他问题 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）家庭电路电压U恒为，用电器功率，电阻，满足． (1)写出关于的函数解析式； (2)若电阻取值范围为，求功率变化范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）将代入，即可得出关于的函数解析式； （2）根据反比例函数的图像与性质进行求解即可． 【规范解答】（1）解：将代入，得 ． （2）解：由，得到 ， ∴随着的增大而减小， 当时，；当时，． ∴当时，． 【对应练习1】（24-25九年级上·北京海淀·期中）毕达哥拉斯弦定律是一种描述弦长与振动频率的关系的物理定律．根据这个定律，弦的振动频率与弦的长度成反比，即当弦长变为原来的两倍时，振动频率变为原来的．在音乐中，相邻的音组中相同音名的两个音，包括变化音级，称之为八度．比如低音和中音差一个八度，中音5和高音差一个八度．相差一个八度的音，声音的频率恰好是倍关系．比如中音5的频率是低音的两倍．在其他条件不变的情况下，某弦乐器弹奏使用的弦长为，则其弹奏所使用的弦长为（   ）cm． A． B． C． D．以上均不对 【答案】C 【思路引导】本题考查了反比例函数的应用，根据毕达哥拉斯弦定律，弦的振动频率与弦长成反比. 低音与高音相差两个八度，每个八度频率变为倍，故高音频率是低音的倍，因此弦长应变为原来的． 【规范解答】解：∵ 频率与弦长成反比， ∵ 低音与高音相差两个八度，每个八度频率加倍， ∴ ， ∴ ， ∴ 弹奏高音所使用的弦长为． 故选：C． 【对应练习2】（24-25九年级下·湖南怀化·阶段检测）2025年3月是第十个全国近视防控宣传教育月，3月29日，湖南省儿童青少年近视防控技术指导中心联合中国人口与健康出版社，举办“近视防控追光计划科普教育行动”公益活动．某眼镜店的验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（）的对应数据如表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（） 根据数据，可得y关于x的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了求反比例函数解析式． 计算表中各组数据，均得，因此函数表达式为． 【规范解答】解：第一组：． 第二组：； 第三组：； 第四组：； 第五组：； 所有值均为100， ∴． 故选：B． 【对应练习3】（2025·贵州贵阳·三模）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是_____________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q，v，k满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【答案】(1)③ (2)当该路段的车流速度为30千米/时时，流量达到最大值1800辆/时 (3)当时，该路段将出现轻度拥堵 【思路引导】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的特征分析即可得出结果； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）求出，再结合一次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：由表格可得，随着的变化，先增大后减小， 函数①，随的增大而增大，显然不符合题意； 函数②，时，随的增大而减小，显然不符合题意； 函数③，随先增大后减小，符合题意； 故刻画，关系最准确的是③； （2）解：由（1）知，． ， 时，q达到最大值，最大值为1800， 即当该路段的车流速度为30千米/时时，流量达到最大值1800辆/时； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，此时， 当时，此时， ∴当时，该路段将出现轻度拥堵． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【答案】D 【思路引导】A、根据电压电流电阻，即可求解；B、根据电压电流电阻，即可求解；C、由图进行判断即可；D、若该电路的最小电阻值为，代入计算即可； 【规范解答】解：A、根据电压电流电阻， ∴蓄电池的电流，说法正确，不符合题意； B、根据电压电流电阻， ∴这个蓄电池的电压值大约是，说法正确，不符合题意； C、由图可知，图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，说法正确，不符合题意； D、若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，选项说法错误，符合题意． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【思路引导】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期末）为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用待定系数法可求出，再求出时，V的值即可得到答案． 【规范解答】解：设， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，， ∴当压缩后密度是时，其体积是． 4．（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【思路引导】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【规范解答】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 5．（25-26九年级下·江西·中考复习）如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 湿地地面所受压强 400 500 600 800 受力面积 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（  ） A．压强与受力面积的关系式为 B．压强与受力面积的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强不超过，则受力面积至少要 D．若受力面积最大是，则压强最小为 【答案】B 【思路引导】根据表格数据求出与的函数关系式，再结合反比例函数的性质及实际意义对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：由表格数据可知：，，，， 与成反比例关系，且， 即，故A选项正确； 表示受力面积， ， 函数图象只分布在第一象限，故B选项不正确； 当时，， 解得，故C选项正确； 当时，， 在第一象限内随的增大而减小， 当时，， 即压强最小为， 故D选项正确． 6．（26-27九年级上·北京·课后作业）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【思路引导】设p关于V的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再求出时对应的自变量值即可． 【规范解答】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则， 解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 7．（25-26八年级下·山西临汾·期末）“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 【答案】4 【思路引导】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的最小值． 【规范解答】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 8．（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【思路引导】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【规范解答】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 9．（25-26八年级下·上海松江·期末）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【答案】60 【思路引导】首先根据题意确定与的函数关系，然后将代入计算即可． 【规范解答】解：根据题意，将点代入， 可得， 即该汽车的功率P（瓦）为一定值，可得， 当它所受牵引力为1000牛时， 汽车的速度为（米/秒）． 10．（2026·湖北武汉·二模）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【思路引导】根据反比例函数的性质，得到反比例函数的比例系数大于0，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【规范解答】解：对于反比例函数，当且时，随的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数，因此可得不等式 移项得 系数化为得 任取一个满足条件的即可，例如． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 【答案】(1) (2)当一条边长为时，另一条边的长度为 【思路引导】（1）利用矩形的面积计算公式，可得出，进而可得出y； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出另一边的长度． 【规范解答】（1）解：依题意得：， ∴． （2）解：当时，； 当时，， 解得． ∴当一条边长为时，另一条边的长度为． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图1，砗磲（chē qú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． (1)选取两个点，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，猜想当时，y与x符合反比例关系，设解析式为． (2)为减少偏差，取，求反比例函数的解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； (4)该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 【答案】(1)，该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁 (2) (3)由模型1可知，当时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律； 由模型2可知，当时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， ∴选择模型2． 当时，． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． (4)可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率 【思路引导】（1）将代入列方程计算即可； （2）把数值代入计算即可； （3）根据增减性选择合适的模型即可； （4）因为，由此可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率． 【规范解答】（1）解：将代入， 得解得 ， ∴该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． （2）解：当时，， 反比例函数的解析式为． （3）略 （4）解：因为，由此可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建】 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为．为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率． 【答案】(1) (2)该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为/天 【思路引导】（1）把数值代入求出即可得出表达式； （2）把代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，，， ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为/天． 14．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）设关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． （3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量． 【规范解答】（1）解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． （2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． （3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1) (2)0.8；1.4 (3) 【思路引导】（1）因为已知是的反比例函数，所以先设反比例函数的一般形式为，再将表格中水的、代入，求出常数，即可得到关于的函数解析式． （2）因为已经得到函数解析式，所以将酒精对应的代入解析式可求出，将蜂蜜对应的代入解析式可求出． （3）因为随的增大而减小，所以将最小浸没深度代入解析式得到最大密度，将最大浸没深度代入解析式得到最小密度，即可确定的范围． 【规范解答】（1）解：设反比例函数解析式为， 把，代入，得， 解得， 反比例函数解析式为． （2）解：将酒精的浸没深度代入解析式，得， 将蜂蜜的浸没深度代入解析式，得； （3）解：当时，； 当时，， 该密度计能测量的液体密度的范围为． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题七 实际问题与反比例函数 【思维导图+五大考点讲练+优选题训练 共33题〔原卷版〕】 目 录 【压轴考点01】路程问题（速度与时间） 2 【压轴考点02】压强问题（压力与受力面积或体积） 3 【压轴考点03】温度问题（时间与水温） 5 【压轴考点04】密度问题（质量与体积） 7 【压轴考点05】其他问题 9 【压轴考点01】路程问题（速度与时间） 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）甲乙两地路程固定，若车速为，4小时可以到达．设车速为 ，时间为 ． (1)求 与 的函数关系式； (2)若要求小时到达，求车速的取值范围． 【对应练习1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 【对应练习2】（2025·湖南·模拟预测）2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到_________千米/小时． 【对应练习3】如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 【压轴考点02】压强问题（压力与受力面积或体积） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【对应练习1】如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 体积x（mL） 20 40 60 80 压强y（kPa） 300 150 100 75 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ 【对应练习2】某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 【对应练习3】（25-26九年级上·山西晋中·期末）在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强是气缸内气体的体积的反比例函数，图象如图所示． (1)求出压强与体积的反比例函数表达式． (2)点的实际意义是______． (3)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【压轴考点03】温度问题（时间与水温） 【典例精讲】（25-26八年级下·山东泰安·期末）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【对应练习1】（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【对应练习2】（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【压轴考点04】密度问题（质量与体积） 【典例精讲】（2026·宁夏银川·三模）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【对应练习1】（2026·浙江丽水·二模）已知一张桌面所能承受的最大压强为（牛/平方米），有一个长方体铁块的长、宽、高分别为，，．小明和小聪在讨论能否把这个铁块放在这张桌面上．（铁的密度为，取） 小明：无论怎么摆放，应该都没问题． 小聪：不一定，根据所学知识，桌面所受的压强与压力、受力面积 小明：哦，铁块对桌面的压力是不变的…… (1)求出该铁块对桌面的压力． (2)请用反比例函数的性质，说明能否把铁块放在这张桌面上． 【对应练习2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图①），浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图②所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度怎么变化，变化了多少？ 【压轴考点05】其他问题 【典例精讲】（2026九年级上·全国·专题练习）家庭电路电压U恒为，用电器功率，电阻，满足． (1)写出关于的函数解析式； (2)若电阻取值范围为，求功率变化范围． 【对应练习1】（24-25九年级上·北京海淀·期中）毕达哥拉斯弦定律是一种描述弦长与振动频率的关系的物理定律．根据这个定律，弦的振动频率与弦的长度成反比，即当弦长变为原来的两倍时，振动频率变为原来的．在音乐中，相邻的音组中相同音名的两个音，包括变化音级，称之为八度．比如低音和中音差一个八度，中音5和高音差一个八度．相差一个八度的音，声音的频率恰好是倍关系．比如中音5的频率是低音的两倍．在其他条件不变的情况下，某弦乐器弹奏使用的弦长为，则其弹奏所使用的弦长为（   ）cm． A． B． C． D．以上均不对 【对应练习2】（24-25九年级下·湖南怀化·阶段检测）2025年3月是第十个全国近视防控宣传教育月，3月29日，湖南省儿童青少年近视防控技术指导中心联合中国人口与健康出版社，举办“近视防控追光计划科普教育行动”公益活动．某眼镜店的验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（）的对应数据如表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（） 根据数据，可得y关于x的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【对应练习3】（2025·贵州贵阳·三模）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是_____________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q，v，k满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 3．（25-26八年级下·河南南阳·期末）为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（25-26九年级下·江西·中考复习）如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 湿地地面所受压强 400 500 600 800 受力面积 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（  ） A．压强与受力面积的关系式为 B．压强与受力面积的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强不超过，则受力面积至少要 D．若受力面积最大是，则压强最小为 6．（26-27九年级上·北京·课后作业）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 7．（25-26八年级下·山西临汾·期末）“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 8．（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 9．（25-26八年级下·上海松江·期末）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 10．（2026·湖北武汉·二模）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图1，砗磲（chē qú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． (1)选取两个点，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，猜想当时，y与x符合反比例关系，设解析式为． (2)为减少偏差，取，求反比例函数的解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； (4)该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建】 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为．为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率． 14．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题七实际问题与反比例函数 【思维导图+五大考点讲练+优选题训练共33题〔原卷版)】 目录 【压轴考点01】路程问腮（速度与时间）★★★2 【压轴考点02】压强问题（压力与受力面积或体积）★★★ 3 >【压轴考点03】温度问题（时间与水温）★★★ .5 出 【压轴考点04】密度问题（质量与体积）★★★★ 7 【压轴考点05】其他问题★食★★ .9 优选压轴题专项训练15题】 专题复习思维导图指引】 人教版数学新教材九年级上册挑战压轴题专题七《实际问题与反比例函数》思维导图 形如y=为常数上≠0工≠0的通数 倒值反比例函数 1。反比例函数的概念 6。实际问题典型题型及解魅方法 1)路程题（速度与时 （1)图童：双曲线（两支） 的：浦口起重界每小时 模型：时一一定) 装鞋法物.装究病湖 (2惟满 k>0 kcn 篇折式：书=。u>0) 共用少小平均即收速 e-，>0 后比函的 A 的图象与性质 2)工作间题（效事与时同 所在象冠 第一三象限 第二，四象限 型：=W(W一定 大欢地 时画r满足g=VW一定) 3】性：在每个象限内。￥随r的增大面减小债>0时)士 ,解随x的进大而细大<0时) (3)纳售问题《售价与销量) 实际问题 y=优)可化为= 模型：利成本一定 制：望商昌衡价：元 与反比例函数 常见关系式： 与销里x《件满足两一10， 求前析式方法：若已知图象上任意一点：光， 3。反比例舌数的解析式 解桥式：书一”(x>0) r>00. 则=,故y= ()压强网题（压力与受力面积） 型：P=天（伊一定） ：控机时地的P 解折式：F=PS或S-名 2)常见实脉同要中的反比例关系 实际同题 变量关系式 反比州系歌解斯式 5.实际问题与反比例函数 (5)忠蜜问题（质量与体职） 压轴题解塑技巧 丽程一定。速度与时间 件■g e-;u>时 模型：p-晋（一 例：密度P一定，质量 上，审明罐情：分析磁意。设出两个受化的程，判是看成反止解美 与体职V满足m二 工作总一定，工作效与工作 ￥=”>o 读立y=善候型。 解折式：m=pV或V=月 即网与V成正比例 压强-怎，压力与受力面职P=专P-定P-sS0盛5=卡P>0 2确定酮斯式：根福己如条伟求出太。写出反此制通数幅析式 P=F为反比酬式 )实验与探究问间题 密度一定与体 工利雨图象性置：植合反比肉面数的图象与性清解决问是， 如期国图象判新地减性。取值范图等： 之间是香成反比例函数关系】 3)辞定k的值：将已知事件（知一点坐标藏一组数指）代入y=★。率得女： 年结合实斯义：注意变量的实际事文和取值范图（如时网>0 读度：>自等)，禽去不持合实有的解 定 5、数形辅合：利用图象成表格，直观分斯问题，得找见律，德化计 么、检输与着题：检验站果量否符合照草，单位星否正裤。首题要完型 数分 建立极型 求出解斯式扩 代入法莱表 ★关国：准通速板+正镇来解+合理始始 薄出结论 解解实际意义，站证根型 检轮与应用 常用结晚： Dy-E 》在每个象限内，：的增大而减小>。 y随x的端大增大<0) 争决实际问时。住量的值范围和其最义 第1页共17页 【压轴考点01】路程问题（速度与时间）★★★ 【典例精讲】(2026九年级上·全国·专题练习)甲乙两地路程固定，若车速为60m/h,4小时可以 到达.设车速为v(km/h),时间为t(h). (1)求v与t的函数关系式； (2)若要求2~3小时到达，求车速的取值范围. 【对应练习1】(25-26八年级下·吉林长春·期末)汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时， 平均速度为v千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），v、t的一组对应值如下表： v(千米/小 40 50 60 75 80 时) t(小时) 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将v与t看成函数关系，其函数表达式为_： (2)汽车上午9：00从甲地出发，请通过计算说明在上午11：30之前能否到达乙地。 【对应练习2】(2025·湖南·模拟预测)2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实 时监控交通流量来优化信号灯的配时.假设某条主干道的交通流量Q(单位：辆/小时)与车辆的平均速度 v(单位：千米/小时)之间的关系可以用反比例函数来描述.已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交 通流量Q为1200辆/小时.如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度 应至少达到 千米/小时. 第2页共17页 【对应练习3】如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台AB(水 平)与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道AM:y=交于A,且AB=3,MN1x轴，测得 MN=2,P到x轴的距离为4，设ON=b M NC衣 (1)k的值为 一，点P的坐标是 ,b= (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道AM上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动， 若它的最高点Q的坐标为(10,6) ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交； ②在x轴上有线段NC=2,若小球恰好能被NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 【压轴考点02】压强问题（压力与受力面积或体积）★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·单元复习)在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气 体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度p(kg/m3)与体积V(m3)的情况，其中描述乙、丁两种气体 情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是( PA 乙丙 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 第3页共17页 【对应练习】如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是 空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系.通 过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强 如下表：（调查获得的部分数据） 体积x 20 40 60 80 (mL) 压强y 300 150 100 75 (kPa) 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kP,则加压后缸内气体的体积为多少？ 【对应练习2】某物体对地面的压强P(P)与物体和地面的接触面积S(m)成反比例函数关系，其图象如 图，当压强P(Pa)小于等于480Pa时，S(m)的取值范围是 个PPa) 8,30) 0 S(m2) 【对应练习3】(25-26九年级上·山西晋中·期末)在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时， 气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强pkP)是气缸内气体的体 积V(mL)的反比例函数，图象如图所示. p(kPa) P(80,75) 0 V(mL) (1)求出压强p(kPa)与体积V(mL)的反比例函数表达式. 第4页共17页 (2)点P(80,75)的实际意义是 (3)若压强由40kPa加压到100kPa,则气体体积压缩了多少mL? 【压轴考点03】温度问题（时间与水温）★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·山东泰安·期末)教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加 热升温，当水温达到100℃时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至30°C时，饮水机自动重启加 热，重复上述过程.值日班长于7：20到校接通饮水机电源，记接通电源后第x分钟时对应的水温为yC, 水温随时间变化的测量数据如表所示： x(分 0 2 5 7 10 14 16 20 钟) y(℃) 30 50 80 100 70 o 43.75 35 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点： y水温（单位：℃） 100 90 80 7 60 50 8 20 10 10 15 20x时间（单位：分） (②)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量x的取值范 围； (3)上午第一节下课时间为8：45，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明. 第5页共17页 【对应练习1】(2026·山东威海·三模)老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置 从开启到关闭及关闭后，温度y(°C)与时间x)的变化图像，其中AB段是恒温阶段，BC段是恒温系统关闭 阶段，是反比例函数y=(x>0)图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为25℃：②k的值 为200；③温度在25℃的时间有8h;④恒温系统在一天内保持温度不低于20℃的时间有13h.其中说法 正确的是 (填序号). V/CA 25 0412 24 【对应练习2】(25-26八年级下·上海黄浦·期末)综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液 的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度(cm)是液体的密度p(g/cm3)的反比例 函数，其图像如图所示（p>0),根据函数图像，回答下列问题： ◆h(cm) 20 p/(g/cm3) (1)写出浸液高度(cm)关于液体密度p(g/cm3)的反比例函数解析式： (2)当溶液密度p=2g/cm3时，密度计浸在溶液中的高度为_cm; (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于5cm(高度过低会导致密度计倾倒失效)，求该密度 计可正常测量的溶液密度p的取值范围， 第6页共17页 【压轴考点04】密度问题（质量与体积）★★★★ 【典例精讲】(2026·宁夏银川·三模)浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个 密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮.密度计上与液面平齐的刻度 为浸没深度（单位：cm),且液体密度p(单位：g/cm3)是浸没深度（单位：cm)的反比例函 数.小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对 应关系（如下表）· 酒精 水 蜂蜜 浸没深度z(cm) 8.5 14 10 p(g/cm3) m n 图1 图2 (1)m= ,n= ； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为5cm,最大浸没深度为20cm,求该密度计能测量的 液体密度p的范围 【对应练习1】(2026·浙江丽水·二模)已知一张桌面所能承受的最大压强P为104Pa(1Pa=1牛/ 平方米)，有一个长方体铁块的长、宽、高分别为50cm,20cm,10cm.小明和小聪在讨论能否把这个铁 块放在这张桌面上.（铁的密度为7.8g/cm3,g取10N/kg) 小明：无论怎么摆放，应该都没问题 小聪：不一定，根据所学知识，桌面所受的压强与压力、受力面积 小明：哦，铁块对桌面的压力是不变的… 第7页共17页 能放吗？ (1)求出该铁块对桌面的压力. (2)请用反比例函数的性质，说明能否把铁块放在这张桌面上. 【对应练习2】(25-26八年级下·吉林长春·期中)综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体 的密度.密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图①），浸入液体中的高度(cm)是液体的密度 p(g/cm3)的反比例函数，其函数图象如图②所示(p>0), h(cm) 20 01.5 p(g/cm3) 图① 图② (1)求与p之间的函数关系式； (2)当液体密度p从1.5g/cm3增加到2.5g/cm3时，求密度计浸入该液体中的高度怎么变化，变化了多少 cm 第8页共17页 【压轴考点05】其他问题★★★★ 【典例精讲】(2026九年级上·全国·专题练习)家庭电路电压U恒为220V,用电器功率P(W,电阻 R(Q),满足P= R (1)写出P关于R的函数解析式： (2)若电阻取值范围为110Q~2202,求功率变化范围. 【对应练习1】(24-25九年级上·北京海淀·期中)毕达哥拉斯弦定律是一种描述弦长与振动频率的 关系的物理定律.根据这个定律，弦的振动频率与弦的长度成反比，即当弦长变为原来的两倍时，振动频 率变为原来的在音乐中，相邻的音组中相同音名的两个音，包括变化音级，称之为八度.比如低音5和 中音5差一个八度，中音5和高音5差一个八度.相差一个八度的音，声音的频率恰好是2倍关系.比如 中音5的频率是低音5的两倍.在其他条件不变的情况下，某弦乐器弹奏3使用的弦长为80cm,则其弹奏 3所使用的弦长为( ）cm. A.160 B.40 C.20 D.以上均不对 【对应练习2】(24-25九年级下·湖南怀化·阶段检测)2025年3月是第十个全国近视防控宣传教育 月，3月29日，湖南省儿童青少年近视防控技术指导中心联合中国人口与健康出版社，举办“近视防控追 光计划科普教育行动”公益活动.某眼镜店的验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x (cm)的对应数据如表： 近视眼镜的度 200 250 400 500 1000 数y(度) 镜片焦距 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 (cm) 根据数据，可得y关于x的函数表达式为( ) A.y=00 B.y C.y=4 x D.y=00 第9页共17页 【对应练习3】(2025·贵州贵阳·三模)交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流 体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q(辆/时)指单位时间内通过道路指 定断面的车辆数，速度ⅴ（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k(辆/千米)指通过道路指 定断面单位长度内的车辆数.为配合大数据治堵行动，测得某路段流量▣与速度y之间关系的部分数据如 表： 速度v(千米/时) 5 10 20 32 40 48 流量q(辆/时) 550 1000 1600 1792 1600 1152 (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q,ⅴ关系最准确的是 (只填正确答案 的序号) ①q=10v+50:②0=0909，®q=-2w2+120. (2)请利用(1)中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多 少？ (3)己知q,y,k满足q=vk.某市交通运行监控平台显示，当12<v<18时道路出现轻度拥堵，试分析 当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵， 【优选压轴题专项训练15题】 1.(26-27九年级上·全国·课后作业)一定电压（单位：V)下电流I(A)和电阻R(2)之间近似成反比例 关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流I(A)随着电阻R(2)值 的变化而变化的一组数据如表格所示. 第10页共17页 I(A) 28 24 20 16 12 8 4 012345678910111213R(2) 图1 图2 R(2) 2 3 4 6 12 1(A) 23.9 15.8 12.1 4.1 下列说法不正确的是( ) A.表中a≈8 B.这个蓄电池的电压值大约是48V C.图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D.若该电路的最小电阻值为1.52，该电路能通过的最大电流是50A 2.(25-26八年级下·吉林长春·期末)某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制 电流的变化来实现.如图是该台灯的电流I(A)与电阻R(Q)的函数关系图象，该图象经过点 P(880,0.25).根据图象可知，下列说法不正确的是( I/A个 0.25---- 0 880R/2 A.1与R的函数关系式是1=罗(R>0) B.当1=0.22A时，R=10002 C.当R>10002时，I>0.22A D.当880Q<R<10002时，I的取值范围是0.22A<1<0.25A 3.(25-26八年级下·河南南阳·期末)为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减 小体积.同一件羽绒服的质量m(单位：g)不变，其体积V(单位：cm3)与密度p(单位：g/cm3)成反 比例函数关系，如图所示.当压缩后密度是20g/cm3时，其体积是( ) 第11页共17页 V/cm3个 25 16 pg/cm3 A.0cm3 B.16cm3 C.20cm3 D.24cm3 4.(25-26八年级下·福建漳州·期末)某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进 行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度(cm)是液体的密度p( g/cm3)的反比例函数，其图象如图所示(p>0),下列说法正确的是( Ah 10 A.当p≥1时，≥10 B.当0<p≤12.5时，≥0.8 C.当p=2时，=20 D.当0<p≤1时，≤10 5.(25-26九年级下·江西·中考复习)如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过 一片湿地.根据物理知识， 当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强pP)与受力面积 S(m2)的关系如下表所示： 湿地地面所受 400 500 600 800 压强p/Pa 受力面积S/m2 1.5 1.2 0.75 以下结论中不正确的是() A.压强与受力面积S的关系式为加=g B.压强即与受力面积S的函数图象分布在第一、三象限 第12页共17页 C.若压强p不超过6000Pa,则受力面积S至少要0.1m2 D.若受力面积S最大是1.6m2,则压强p最小为375Pa 6.(26-27九年级上·北京·课后作业)在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽 缸壁所产生的压强pkP)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示.当汽缸壁 所产生的压强为120(kPa)时，汽缸内气体的体积为 mL. p(kPa) 120 60 100 V(mL) 7.(25-26八年级下·山西临汾·期末)“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明 用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力F(N)和阻力臂L(m)的函数图象如图，若小 明想使动力F2不超过150N,则动力臂L2至少需要 m AFN) 俗有一个支走，有可 1200 以撬动地球1 一何基求德 00.5 Li(m) 8.(2026·四川成都·三模)成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度y(米)和修建 天数x(天)成反比例函数关系.若每天修40米，需要6天完工：若每天修建30米，则需要 天完 工 9.(25-26八年级下·上海松江·期末)汽车的功率P(瓦)与行驶速度v（米/秒)和汽车所受的牵引力 F(牛)之间的关系为P=Fv.某汽车的功率P(瓦)为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒)与它所受 的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示.当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为米/秒. v(米/秒) 504 40 30 20 10 )10002000300040005000产/件 第13页共17页 10.(2026·湖北武汉·二模)武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升.经统计，光 谷某高新产业园的入驻企业年均产值y(单位：亿元)与园区投入的研发资金x(单位：千万元)近似满足 反比例函数关系y=2m-5 已知当x>0时，入驻企业年均产值y随研发资金的增大而减小，请写出一个满 足条件的m的值： 围一个面积为12m2的矩形园子.设矩形园子的相邻两边长分别为xm,ym. A D B (1)y关于x的函数解析式为 (不用写自变量的取值范围)： (2)当相邻两边中一条边的长为7.5m时，求另一条边的长. 12.（26-27九年级上·全国·课后作业)如图1，砗磲（chēqú)是地球上最大的双壳类动物，某海洋 研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x(单位：岁)与平均日生长速率y(单位：m/ 天)的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 y 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 Ay(um/天) 30 251 20H 15 10H 5 ● 510152025 x(岁) 图1 图2 【模型构建1】如图2，数学小组A在平 面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过(0,26.0)的抛物 线，设解析式为y=ax2+bx+26. (1)选取两个点(10,14.0)，(20,7.0)，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年 第14页共17页 龄 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为k1=140,k2= 142.5,k=140,k4=137.5,猜想当x≥10时，y与x符合反比例关系，设解析式为y= (②)为减少偏差，取k=+++4,求反比例函数的解析式. 4 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低 (3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； (4)该阵磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为 4.3m/天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响. 13.(26-27九年级上·全国·课后作业)综合与实践：生物生长规律的模型研究. y(μm/天) 30 25 20L 15 104 J 510152025x(岁) 图1 图2 如图1，砗磲(chqú)是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗 磲样本年龄x(单位：岁)与平均日生长速率y(单位：μm/天)的数据如下表： 10 6 20 25 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建】 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为k1=140,k2=142.5,k3=140,k4= 137.5,猜想当x≥10时y与x符合反比例关系，设解析式为y=冬为减少偏差，取k=++4,求反 4 比例函数解析式， 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低， (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率. 第15页共17页 14.(25-26九年级上·江西景德镇·期末)图1为某电子秤的实物图，图2为其工作电路图，其工作原 理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻1的大小，从而改变电路中的电流1，最 终通过显示器显示物体质量.已知：①可变电阻R1(单位：kQ)与物体质量x(单位：kg)满足图3所示 的一次函数关系；②定值电阻R2=20kQ,总电阻R=R1+R2;③电路中的电流I(单位：mA)与总电阻 R(单位：k2)成反比例：④当在电子秤上放置质量为1kg的物体时，电流表显示电流I为0.2mA. ◆R1(k2) 60 A 03 (kg) 图1 图2 图3 (1)求可变电阻R1(单位：kQ)与物体质量x(单位：kg)之间满足的函数关系式； (2)求电流I(单位：mA)与总电阻R(单位：k2)之间满足的函数关系式： (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为0.15≤I≤0.6（单位：mA),求该电子秤可称量物品的最大质 量. 第16页共17页 15.(26-27九年级上·全国·课后作业)浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个 密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮.密度计上与液面平齐的刻度 为浸没深度h(单位：cm)，,且液体密度p(单位：g/cm3)是浸没深度h(单位：cm)的反比例函数.小 明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系 (如下表)· 酒精 水 蜂蜜 浸没深度五(cm) 17.5 14 10 液体密度p( 2 g/cm3) 图1 图2 (1)求出p关于h的函数解析式： (2)m= -,n= (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为5cm,最大浸没深度为20cm,求该密度计能测量的液 体密度p的范围. 第17页共17页