26.2.2《二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质》第3课时 教学课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质，通过复习回顾平移规律（左加右减、上加下减）搭建学习支架，从y=ax²出发，经探究任务（如平移路径分析）引导学生理解新旧知识联系，掌握图象平移关系及核心性质。 其亮点在于采用探究式教学，以具体函数实例（如y=-1/2(x+1)²-1的平移与性质分析）培养学生推理能力，结合喷水池问题建立模型体现模型意识。课堂小结通过口诀和参数结构化归纳强化几何直观，助力学生高效掌握知识，教师可直接用于提升教学互动与落实效果。

人教版·九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数数的的图象和性质 第3课时 探究 的图象与性质 1.7.2013 同学们好！今天我们将学习二次函数的最后一种，也是最一般的形式——y=a(x-h)²+k。它结合了我们之前学过的上下平移和左右平移，是二次函数知识的综合应用。 ‹#› 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数的图象与的图象之间的平移变换关系，明晰图象的位置关联。 熟练掌握二次函数 的图象性质，准确判断开口方向，快速确定对称轴与顶点坐标。 运用二次函数性质解决实际问题，体会数学建模思想与从特殊到一般的探究方法，提升数学应用能力。 1.7.2013 本节课我们有四个学习目标。首先，要理解y=a(x-h)²+k和y=ax²的关系。其次，要熟练掌握这个函数的性质。第三，要能运用所学知识解决复杂的实际问题。最后，要体会数学建模的思想。 ‹#› 复习回顾 二次函数图象平移的核心规律 01. 两种基本平移方式： 上下平移由 k 决定上移，下移； 左右平移由 决定：（右移，左移）。 02. 组合平移实战：将左移3个单位，再上移4个单位后的解析式是 。 小结口诀： 左加右减在括号，上加下减在末梢；顶点坐标直接看，平移规律要记牢。 1.7.2013 在开始新知识之前，我们先快速回顾一下前两节课的内容。我们学习了上下平移和左右平移。那么，如果把这两种平移结合起来，会得到什么呢？这就是我们今天要探究的问题。 ‹#› 新知探究 探究任务：二次函数的图象变换规律 形如 的二次函数，其图象和性质究竟是怎样的呢？ 🎯 探究切入点： 我们从最基础的二次函数 出发，探究如何通过图象的平移变换，逐步得到函数 的图象。通过这样的过程，我们将归纳出二次函数顶点式的图象特征与平移规律，进而掌握其核心性质。 1.7.2013 我们以最简单的 y=x² 为例，看看如何通过两次平移得到 y=(x-2)²+3 的图象。这就是我们今天的探究任务。通过这个具体的例子，我们将一步步揭开二次函数顶点式图象变换的规律，理解 h 和 k 对函数图象位置的影响，从而掌握这类函数的核心性质。 ‹#› 新知探究 (1)画出二次函数 与的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. (2)抛物线与抛物线有什么关系? 探究：从 到 的平移路径 1.7.2013 我们可以有两种平移路径。第一种是先左右平移，再上下平移。第二种是先上下平移，再左右平移。大家可以发现，平移的顺序不影响最终的结果。 ‹#› 新知探究 画二次函数 与的图象 探究：从 到 的平移路径 的的开口向下；对称轴为直线;顶点坐标为. 由函数图象可以看出抛物线是由抛物线经过平移得到的。 1.7.2013 我们可以有两种平移路径。第一种是先左右平移，再上下平移。第二种是先上下平移，再左右平移。大家可以发现，平移的顺序不影响最终的结果。 ‹#› 新知探究 二次函数图象的平移规律探索 探究：从 到 的平移路径 2. 再平移：将 的图象向 下 平移 1 个单位，最终得到的图象。 ▍方法一：先左右平移，再上下平移 1. 起点：以 的图象为基础，向左平移 1 个单位，得到 的图象； 1.7.2013 我们可以有两种平移路径。第一种是先左右平移，再上下平移。第二种是先上下平移，再左右平移。大家可以发现，平移的顺序不影响最终的结果。 ‹#› 新知探究 二次函数图象的平移规律探索 探究：从 到 的平移路径 ▍方法二：先上下平移，再左右平移 1. 起点：以的图象为基础，向下平移 1 个单位，得到 的图象； 2. 再平移：将 的图象向左平移 1 个单位，最终得到 的图象。 ★ 核心结论：平移的先后顺序不影响最终的图象位置，只需准确把握“左加右减、上加下减”的平移法则。 1.7.2013 我们可以有两种平移路径。第一种是先左右平移，再上下平移。第二种是先上下平移，再左右平移。大家可以发现，平移的顺序不影响最终的结果。 ‹#› 新知探究 01 探究顶点坐标 观察函数的图象，其顶点坐标位于何处？ 结论：顶点坐标为 02 分析对称轴 该抛物线关于哪条直线左右对称？它是图象的关键轴线。 结论：对称轴为直线 探究： 的性质 1.7.2013 我们可以有两种平移路径。第一种是先左右平移，再上下平移。第二种是先上下平移，再左右平移。大家可以发现，平移的顺序不影响最终的结果。 ‹#› 新知探究 探究： 的性质 核心归纳：二次函数的“顶点式” 形如的形式称为二次函数的顶点式。它的核心优势在于：无需画图，即可直接读出抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 。这是研究二次函数图象平移和性质的重要工具。 1.7.2013 我们可以有两种平移路径。第一种是先左右平移，再上下平移。第二种是先上下平移，再左右平移。大家可以发现，平移的顺序不影响最终的结果。 ‹#› 性质归纳 新知探究 二次函数的性质 01. 开口方向： 由系数的符号决定。当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下。 02. 对称轴： 抛物线的对称轴为直线，是垂直于x轴且经过顶点的直线。 1.7.2013 现在我们来总结一下 y=a(x-h)²+k 的性质。它的开口方向由a决定，对称轴是直线x=h，顶点坐标是(h,k)。最值也在顶点处取得，a>0时有最小值k，a<0时有最大值k。 ‹#› 性质归纳 新知探究 二次函数的性质 03. 顶点坐标： 抛物线的顶点坐标为 ，该点是函数的最值点。 04. 函数最值： 若 ，顶点为最低点，当 时， 取得最小值；若 ，顶点为最高点，当时，取得最大值 。 1.7.2013 现在我们来总结一下 y=a(x-h)²+k 的性质。它的开口方向由a决定，对称轴是直线x=h，顶点坐标是(h,k)。最值也在顶点处取得，a>0时有最小值k，a<0时有最大值k。 ‹#› 性质归纳 新知探究 二次函数的性质 05. 增减性（以对称轴 为分界）： ① 当 （开口向上）： 对称轴左侧（），随 的增大而减小；对称轴右侧，随的增大而增大。 ② 当（开口向下）： 对称轴左侧(，随的增大而增大；对称轴右侧（），随的增大而减小。 1.7.2013 现在我们来总结一下 y=a(x-h)²+k 的性质。它的开口方向由a决定，对称轴是直线x=h，顶点坐标是(h,k)。最值也在顶点处取得，a>0时有最小值k，a<0时有最大值k。 ‹#› 随堂练习 1.已知抛物线的顶点坐标是（       ） 2.抛物线的对称轴是（       ） A. B. C. D. B A 1.7.2013 我们来看一个基础例题。对于抛物线 y=-2(x+1)²-3，a=-2<0，所以开口向下。h=-1，k=-3，所以对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1,-3)。当x=-1时，y有最大值-3。 ‹#› 随堂练习 3.由抛物线，可知（       ） A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线 C.其图象与轴交点的纵坐标为1 D.当时，随的增大而减小 4.点是抛物线，则，，的大小关系是（       ） D A 1.7.2013 我们来看一个基础例题。对于抛物线 y=-2(x+1)²-3，a=-2<0，所以开口向下。h=-1，k=-3，所以对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1,-3)。当x=-1时，y有最大值-3。 ‹#› 随堂练习 5.将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为（       ） A 6.将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得的抛物线的顶点坐标为 。 1.7.2013 我们来看一个基础例题。对于抛物线 y=-2(x+1)²-3，a=-2<0，所以开口向下。h=-1，k=-3，所以对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1,-3)。当x=-1时，y有最大值-3。 ‹#› 例题解析 例1：求二次函数 的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值。 例题解析 解：① 系数 ，故抛物线开口向下； ② 根据顶点式特征，对称轴为直线； ③ 顶点坐标为 ； ④ 当 时，函数取得最大值 （无最小值） 1.7.2013 我们来看一个基础例题。对于抛物线 y=-2(x+1)²-3，a=-2<0，所以开口向下。h=-1，k=-3，所以对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1,-3)。当x=-1时，y有最大值-3。 ‹#› 例题解析 例2：把二次函数 的向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线经过点。 1）试确定、、的值； （2）指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．开口方向、对称轴、顶点坐标及最值。 例题解析 1.7.2013 我们来看一个基础例题。对于抛物线 y=-2(x+1)²-3，a=-2<0，所以开口向下。h=-1，k=-3，所以对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1,-3)。当x=-1时，y有最大值-3。 ‹#› 例题解析 解：二次函数的图像的顶点坐标为，把点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点的坐标为， 原二次函数的解析式为， ∴，，． （2）解：由（1）可知，二次函数，即， 二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 例题解析 1.7.2013 我们来看一个基础例题。对于抛物线 y=-2(x+1)²-3，a=-2<0，所以开口向下。h=-1，k=-3，所以对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1,-3)。当x=-1时，y有最大值-3。 ‹#› 例题解析 例题解析 例3 :要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，顶端安装喷水头。喷出的抛物线形水柱在离池中心水平距离1.6 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m。求水管的长度应为多少？ 1.7.2013 我们来看一个基础例题。对于抛物线 y=-2(x+1)²-3，a=-2<0，所以开口向下。h=-1，k=-3，所以对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1,-3)。当x=-1时，y有最大值-3。 ‹#› 例题解析 例题解析 思路分析与解题步骤 1. 建立坐标系： 以池中心为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为轴正方向。 2. 确定关键点： 抛物线顶点为，落地点为，水管顶端为时的点。 3. 设解析式： 利用顶点式设抛物线方程为。 4. 求解计算： 将代入求系数；再令，求出对应的值，即为水管的高度。 1.7.2013 我们来看一个基础例题。对于抛物线 y=-2(x+1)²-3，a=-2<0，所以开口向下。h=-1，k=-3，所以对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1,-3)。当x=-1时，y有最大值-3。 ‹#› 例题解析 解： 以水管与地面交点为原点建立平面直角坐标系，已知抛物线顶点为 ，设函数解析式为： ∵ 抛物线经过点 ，将其代入解析式得： ， 解方程求得系数：。 ∴ 抛物线的解析式为： 当时，代入解析式计算得： 答：水管的长度应为 1.08 米。 1.7.2013 我们来看一个实际应用的例子。这是一个喷水池问题。我们首先建立坐标系，确定顶点坐标，然后设出顶点式，求出解析式。最后，通过求与x轴的交点，就可以得到水池的半径。 ‹#› 课堂小结 一、参数：抛物线的“形状与朝向” 参数决定抛物线的开口方向与大小：当 时开口向上， 时开口向下；越大，开口越小，图像越陡峭； 越小，开口越大，图像越平缓。 二、参数 ：抛物线的“左右定位” 参数决定图像的左右位置，遵循“左加右减”的平移规律：在 中， 时图像向右平移， 时图像向左平移，的绝对值越大，平移距离越远。 1.7.2013 我们来梳理一下 a, h, k 这三个参数的作用。a决定开口方向和大小，h决定左右位置，k决定上下位置。顶点坐标(h,k)是解决最值问题的关键。 ‹#› 课堂小结 三、参数 k：抛物线的“上下升降” 参数 决定图像的上下位置： 时整体向上平移， 时整体向下平移，的绝对值直接对应上下移动的距离，是抛物线的“垂直位移量”。 四、核心要素：顶点与对称轴 抛物线的顶点坐标为 ，是解决最值问题的关键（最高点或最低点）；对称轴为直线 ，是抛物线的“脊梁”，决定图像的对称性，也是解题的重要突破口。 核心口诀：定开口与形状，定左右移，定上下移；顶点是关键，对称轴要牢记！ 1.7.2013 我们来梳理一下 a, h, k 这三个参数的作用。a决定开口方向和大小，h决定左右位置，k决定上下位置。顶点坐标(h,k)是解决最值问题的关键。 ‹#› 作业布置 基础题： 1. 完成教材Pxx页练习题C组第1、2、3题，通过基础练习巩固二次函数的图象特征、顶点坐标及对称轴等核心知识点。 提高题： 2. 求解二次函数 的图象与x轴、y轴的交点坐标，并计算由这些交点所围成的三角形的面积，加深对函数与方程关系的理解。 拓展题： 3. 查阅资料寻找生活中可用二次函数顶点式模型描述的实例（如拱桥的弧线、投篮的运动轨迹等），尝试建立对应的函数模型并简要分析其实际意义。 1.7.2013 为了巩固所学，我布置了三道作业。基础题帮助大家巩固今天的知识。提高题需要大家求交点并计算面积。拓展题则鼓励大家将数学知识与生活联系起来。 ‹#› 北师版·九年级上册 谢谢观看！ 请预习下节新课 1.7.2013 今天的课就到这里。至此，我们关于二次函数图象和性质的系列课件就全部制作完成了。感谢大家的聆听！ ‹#› $