第一章 《特殊平行四边形》单元基础练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册《特殊平行四边形》单元基础练习，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖菱形、矩形、正方形性质与判定，强化几何直观与推理能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|菱形判定（第2题）、矩形性质（第8题）|结合命题辨析，考查概念准确性| |填空题|6题/18分|中点四边形（第12题）、正方形性质（第14题）|融入动态变形（第13题），培养空间观念| |解答题|8题/72分|菱形判定（第23题）、矩形计算（第19题）|综合平行四边形性质，强化逻辑推理与运算能力|

第一章 《特殊平行四边形》单元基础练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列命题正确的是(　　) A．正五边形的外角和是540° B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 C．三角形两边的和大于第三边 D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形 2．下列说法中错误的是 (　　) A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线平分一组对角 C．平行四边形的对边相等 D．矩形的对角线互相平分 3．将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（　　） A．13 B．26 C． D． 4．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝5，则菱形ABCD的面积为（　　） A．40 B．80 C．160 D． 6．如图，在菱形 中，，对角线， 交于点 O，E为的中点，连接 ，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 ，点P为AB边上一动点(不与点A、B重合)，于点，于点，若 ，，则EF的最小值为 (　　) A．3 B．2 C． D． 8．如图，矩形中，交于点，分别为的中点．若，则的长为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 9．如图，在矩形中，对角线，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题（每题3分，共18分） 11．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则（2）处可以添加的条件是　 　． 12．矩形各边中点构成的四边形是　 　． 13．四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是 　 　． 14．如图，等边△AEF的顶点E， F分别在正方形ABCD的边BC， CD上，则∠AEB=　 　°. 15．如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为　 　． 16．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，，若，则的度数为　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的平分线AD交 BC于点 D，DE∥AB，DF∥AC. （1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由； （2）若AD=2，请求出四边形AFDE 的面积. 19．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，过对角线BD的中点O的线段分别交AB，CD边于点E，F. （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）当四边形DEBF 是菱形时，求线段DE的长. 20．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，. 交AC于点E， 交AC于点 F. （1） 求证： （2） 若AC平分. ，求BD的长. 21．如图，在▱ABCD中， AC， BD相交于点O， E、F分别是OA、OC的中点. （1）求证： BE =DF. （2）连接DE，BF，已知　 　(从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号)，请判断四边形DEBF的形状，并证明你的结论. 条件①： AC =2BD； 条件②： AB=BC. 22．如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长． 23． 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点 P，连接OP. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=12， BD=16，求OP的长. 24．如图，在中，是的平分线，，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，如果，求的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：选项A：任意多边形的外角和均为，与边数无关，因此正五边形外角和为，不是，故A错误； 选项B：对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线垂直无法判定四边形为菱形，故B错误； 选项C：根据三角形三边关系，任意三角形中两边之和大于第三边，该命题成立，故C正确； 选项D：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，仅一组对角相等无法判定平行四边形，故D错误。 故答案为： 【分析】本题考查多边形外角和、菱形判定、三角形三边关系、平行四边形判定的命题辨析。结合对应几何定理逐一验证每个命题：多边形外角和恒为；菱形需同时满足对角线垂直与互相平分；三角形天然满足两边之和大于第三边；平行四边形需要两组对角分别相等，据此即可选出正确的命题。 2．【答案】A 【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的平行四边形才是菱形，仅对角线垂直的普通四边形不一定是菱形，A错误； B、菱形的对角线平分一组对角，这是菱形的性质，B正确； C、平行四边形的对边相等，这是平行四边形的基本性质，C正确； D、矩形属于平行四边形，平行四边形对角线互相平分，故矩形对角线互相平分，D正确． 故答案为：A． 【分析】根据菱形判定定理，菱形性质，平行四边形的性质，矩形的性质，逐项分析判断即可． 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的面积为． 故答案为：D． 【分析】根据勾股定理可得AC=13，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：如图：延长到H，由于纸条是长方形， ∴， ∴， 根据翻折不变性得， ∴， 又∵， ∴，． 在梯形中，， 根据翻折不变性，． 故选C． 【分析】延长到H，由于纸条是长方形，根据直线平行性质可得，根据折叠性质可得，则，再根据角之间的关系可得∠FGD，再根据折叠性质即可求出答案. 5．【答案】B 【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC=8，OB=OD，AC⊥BD， ∴AC=20A=2 x 8 =16， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD=90°， ∵OH = 5， ∴BD = 2OH =2 x 5 =10， ∴AC·BD=×16×10=80，菱形ABCD的面积为80， 故答案为：B. 【分析】首先根据菱形的性质可得出AC=20A=2 x 8 =16，OB=OD，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BD = 2OH =2 x 5 =10，进而即可得出菱形ABCD的面积=AC·BD=×16×10=80。 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵在菱形中，， ∴，，O为的中点， ∵E为的中点，即是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】本题由菱形的性质，即“菱形的对角线互相垂直平分”，先得出，，然后根据三角形中位线定理得到，并结合“两直线平行、同位角相等”求得，最后求和即可得出答案。 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD， ∴ 连接OP ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F ∴四边形OEPF是矩形 ∴EF=OP 当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小 ∵ ∴ ∴EF的最小值为 故答案为：C 【分析】根据菱形性质可得AC⊥BD，，根据勾股定理可得AB，连接OP，根据矩形判定定理可得四边形OEPF是矩形，则EF=OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，根据三角形面积即可求出答案. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：四边形是矩形， ∴∠ABC=90°， ∵， ∴AC=2AB=16， ∵交于点，即O为AC中点， ， 分别为的中点，即MN是的中位线， ， 故答案为：B． 【分析】根据矩形的性质和含角的直角三角形的性质，计算得出AC=16，然后根据矩形的对角线互相平分及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出BO=8，再依据中位线的性质计算得出=4。 9．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，对角线，交于点， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故答案为：C ． 【分析】 根据矩形的性质可得，由等边对等角得到，由是的外角根据三角形外角和的性质即可求解． 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． 故答案为：B． 【分析】 由矩形对角线互相平分、对边平行的性质，结合对顶角相等的条件，利用 AAS 判定△AOE与△COF全等，得到二者面积相等；通过面积的等量代换，将分散的三块阴影面积拼接转化为△BCD的面积；最后代入边长，利用直角三角形面积公式计算出阴影部分的总面积. 11．【答案】有一组邻边相等（答案不唯一） 【解析】【解答】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填一个角是直角；对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填对角线相等； 有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填有一组邻边相等；对角线互相垂直的矩形是正方形，则（2）处可填 对角线互相垂直 ； 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处填有一组邻边相等； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则（3）处填 对角线互相垂直； 有一个角是直角的菱形是正方形，则（4）处可填有一个角是直角；对角线相等的菱形是正方形，则（4）处可填 对角线相等 . 故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）． 【分析】由于矩形、菱形是特殊的平行四边形，故在平行四边形的基础上添加矩形具有的特殊性质“一个内角是直角或对角线相等”可得该平行四边形是矩形；在平行四边形的基础上添加菱形具有的特殊性质“邻边相等或对角线互相垂直”可得该平行四边形是菱形；由于正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故在菱形基础上添加矩形的特殊性质“一个内角是直角或对角线相等”可得该菱形是矩形；在矩形基础上添加菱形的特殊性质“邻边相等或对角线互相垂直”可得该矩形是正方形，据此解答即可. 12．【答案】菱形 【解析】【解答】解：如图，矩形，取出各边中点为，连接、， 矩形， ， 在中，分别为的中点， ， 同理可得，，，， ， 四边形是菱形， 矩形各边中点构成的四边形是菱形． 故答案为：菱形． 【分析】本题考查中点四边形的判定、矩形的性质及菱形的判定，解题需借助三角形中位线定理推导。首先作出矩形，取各边中点、、、，连接矩形的对角线、。根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得、、、。又因为矩形的对角线相等（），所以，根据“四条边相等的四边形是菱形”，可得出矩形各边中点构成的四边形是菱形。 13．【答案】6 【解析】【解答】解：过点作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【分析】过点作于点E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E，再根据平行四边形面积即可求出答案. 14．【答案】75 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴AD=AB，∠D=∠B=90° ∵△AEF为等边三角形 ∴AF=AE，∠FAE=60° 在Rt△ADF和Rt△ABE中， ∴Rt△ADF≌Rt△ABE ∴ ∴∠AEB=180°-90°-15°=75° 故答案为：75 【分析】根据正方形性质可得AD=AB，∠D=∠B=90°，根据等边三角形性质可得AF=AE，∠FAE=60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADF≌Rt△ABE，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案. 15．【答案】 【解析】【解答】解：四边形为正方形，且边长为4， ，， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 由三角形的面积得：， ， ， ， ． 故答案为：． 【分析】首先证明和全等得，然后在中由勾股定理求出，则，再根据面积法求出，进而可得的长． 16．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，∠ACB=45°， ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-35°=55°， ∴。 故答案为： ． 【分析】本题先根据正方形的性质得到，∠ACB=45°，然后计算出∠EBC=55°，最后根据三角形内角和定理计算即可求出。 17．【答案】（1）证明：， ． 在中，点是的中点， ． 同理． ， （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 点，，是的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形． 【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，再根据全等三角形判定定理即可求出答案. （2）根据三角形中位线定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案. 18．【答案】（1）解：四边形AFDE 是正方形， 理由如下： ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE 是平行四边形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD=∠EAD， ∵DE∥AB， ∴∠EDA=∠FAD， ∴∠EDA=∠EAD， ∴AE=DE， ∴平行四边形 AFDE 是菱形. ∵∠BAC=90°， ∴四边形是AFDE 正方形. （2）解：由(1)知四边形AFDE 是正方形， ∴AE2=2， ∴四边形AFDE 的面积为2. 【解析】【分析】(1)先证明四边形AFDE是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出∠EDA=∠EAD，则可得到AE=DE，据此可得结论； (2)由(1)知四边形AFDE 是正方形，再根据正方形面积公式即可求解. 19．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形， O是BD的中点， ∴∠A=90°， AD=BC=4， AB∥DC， OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF， 又∵∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF(ASA)， ∴EO=FO， 又∵OB=OD， ∴四边形DEBF 是平行四边形； （2）解：当四边形DEBF是菱形时， BE=DE=DF， 设BE=x，则DE=x， AE=AB-BE=6-x， 在Rt△ADE中， 解得： ∴即菱形的边长为 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质利用ASA得到△BOE≌△DOF，即可得到EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据菱形的性质得到 BE=DE=DF，设BE=x，根据勾股定理列方程求出x的值解答即可. 20．【答案】（1）解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AB=CD， ∴∠BAC=∠DCA， ∵BE⊥BA，DF⊥DC ∴∠ABE=∠CDF=90°， 在△ABE和△CDF中 ∴△ABE ≌△CDF（ASA） （2）解：∵AC平分∠DAB，得∠DAC=∠BAC， 又∵∠BAC=∠DCA， ∴∠DAC=∠DCA， ∴AD=CD ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD ∵∠DAB=2∠DAC=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AD=12. 【解析】【分析】(1)利用平行四边形的对边平行且相等，推导出角相等和边相等，从而构造全等条件，进而利用ASA定理即可证明； (2)根据“对角线平分一组对角’判定四边形ABCD为菱形，进而利用菱形的性质，可得△ABD是等边三角形，进而即可求解. 21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB =CD AB∥CD OA=OC ∴∠BAE =∠DCF E、F 分别是OA、OC 的中点， ∴ 在△ABE 和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS) ∴ （2）① 【解析】【解答】（2）解： 连接DE、BF， 选择条件，四边形DEBF 是矩形； 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴OD =OB OA=OC， E，F 分别是OA，OC的中点， ∴OE =OF ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴EF =BD ∴四边形DEBF是矩形； 选择条件②，四边形DEBF 是菱形. 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴OD =OB OA=OC E，F 分别是OA，OC的中点， ∴OE =OF ∴四边形DEBF是平行四边形， AB =BC，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD ∴四边形DEBF是菱形. 【分析】（1）由平行四边形的性质，利用证明，根据对应边相等证明结论即可； （2）若选择①，先根据对角线互相平分得到四边形是平行四边形，得到，即可证明结论；若选择②，先得到四边形是平行四边形，然后哦推理得到，证明结论即可． 22．【答案】（1）证明：连接AC交EF于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵DE＝BF， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，， ∴BO＝DO＝2， ， ∵四边形AFCE是矩形， ∴AO＝CO，EO＝FO，AC＝EF， ， ． ​​​​​ 【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用。其中，通过勾股定理求出AO的长度是解决本题的关键步骤。（1）连接AC交EF于点O，根据平行四边形的性质可知AO＝CO，BO＝DO。可证明OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定定理，可证得四边形AFCE是平行四边形。 （2）利用勾股定理求出BD和AO的长度。根据矩形的性质可得AO＝EO＝，从而进一步求解。 （1）证明：连接AC交EF于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵DE＝BF， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3， ， ∴BO＝DO＝2， ， ∵四边形AFCE是矩形， ∴AO＝CO，EO＝FO，AC＝EF， ， ． 23．【答案】（1）证明：在▱ABCD中， AD∥BC， ∴∠DAC =∠ACB ， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC =∠BAC ， ∴∠ACB =∠BAC ， ∴AB =BC ， ∴四边形ABCD 是菱形； （2）解：DP∥AC ， CP∥BD， ∴四边形OCPD 是平行四边形 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD =90°， ∴四边形OCPD 是矩形， ∴OP = CD ， 在ABCD中， 在Rt△OCD中， ∴OP = CD =10. 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，利用等角对等边得到AB =BC，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到是矩形，即可得到OP=CD，根据勾股定理求出CD的长解答即可． 24．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解： 如图，过点C作交的延长线于点G， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【解析】【分析】（1）由大平行四边形ABCD得DF∥AE；结合EF∥AD，两组对边平行，先证AEFD是平行四边形；DE平分∠ADC，得∠ADE=∠EDF；DF∥AE推出内错角∠EDF=∠AED，等量代换得∠ADE=∠AED；等角对等边，得到邻边AD=AE；平行四边形 + 一组邻边相等，判定菱形. （2）平行四边形ABCD，得AB=DC=6，BC=AD=4，AD∥BC；延长AB，作CG⊥AG，由平行线同位角得∠CBG=∠BAD=60∘；Rt△CBG中∠BCG=30∘，求出BG=2，勾股算出高CG=；计算AG=AB+BG=8；在Rt△ACG中再次使用勾股定理，算出AC并化简二次根式. 学科网（北京）股份有限公司 $