第四章 一次函数 单元测试卷2026–2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册一次函数单元分层测试卷，A（基础）、B（培优）卷适配差异化教学，深圳地域情境（如共享单车、地铁通勤）与数学建模结合，培养抽象能力、模型意识及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/24|函数概念、一次函数图象性质|A卷以深圳加油站变量判断为基础，B卷含参函数条件辨析| |填空|5/15|函数关系式、均匀变化|A卷深圳湾骑行路程关系，B卷新定义“变化率”探究| |解答|7/61|图象解读、实际应用建模|A卷共享单车费用对比（中档），B卷漏刻实验与地铁购票决策（提高）|

第四章 一次函数 单元测试卷 答案与详细解析 2026–2027学年北师大版八年级上册数学 A卷 · 基础过关卷 答案与解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.【基础】 答案：B 【知识点】常量与变量的辨识（4.1 函数） 【难度】基础（难度系数约0.92） 【来源】教材例题改编（深圳情境） 【解析】在一次加油过程中，油品单价是固定不变的量，是常量；加油数量随加油进行不断变化，加油金额随加油数量变化，二者都是变量。所以单价是常量，数量和金额是变量，故选 B。 【易错警示】常量与变量是相对于某一个变化过程而言的，同一个量在不同过程中身份可能改变；判断时要抓住“在这个变化过程中数值是否发生改变”。 2.【基础】 答案：C 【知识点】函数概念：由图象判断 y 是否为 x 的函数（4.1 函数） 【难度】基础（难度系数约0.88） 【来源】教材习题改编 【解析】判断 y 是 x 的函数的标准是：给定 x 一个值，y 有唯一确定的值与之对应，即“竖线检验”——任意一条垂直于 x 轴的直线与图象至多有一个交点。图①（直线）、图②（抛物线）、图④（水平射线）都满足“一个 x 对应唯一一个 y”；图③（圆）存在一条竖线与图象交于两个点，即一个 x 值对应两个 y 值，不表示函数。故图①②④表示函数，共3个，选 C。 【易错警示】函数的关键不是“曲线长什么样”，而是“一个 x 只能对应一个 y”；圆、开口向左右的曲线、竖直直线都不是函数图象，可借助“作竖线、看交点个数”的方法快速判断。 3.【基础】 答案：B 【知识点】一次函数与正比例函数的概念（4.2 认识一次函数） 【难度】基础（难度系数约0.86） 【来源】教材习题改编 【解析】一次函数的一般形式为 y = kx + b（k、b 为常数，且 k ≠ 0）；当 b = 0 时为正比例函数。① y = 2x、② y = -3x + 1、⑤ y = x + 5 符合一次函数形式（其中①是正比例函数）；③ y = x² 含自变量的二次项，④ y = 1/x 自变量在分母上，都不是一次函数。所以一次函数共3个，选 B。 【易错警示】一次函数要求自变量的次数为1且系数 k ≠ 0；y = x²、y = 1/x 等虽也是函数，但不是一次函数，它们只作为“不是一次函数”的干扰项，本章不研究其性质。 4.【基础】 答案：A 【知识点】均匀变化的判别（4.2 认识一次函数·均匀变化） 【难度】基础（难度系数约0.82） 【来源】教材"滴水/燃香"实验改编 【解析】均匀变化的判别程序：当自变量 x 每增加相同的值（等差）时，因变量 y 的改变量也相同（等差）。A 组 x 从0到1、1到2、2到3各增加1，y 依次增加 2、2、2，改变量相同，是均匀变化；B 组 y 的增量为 1、2、4，C 组 y 的增量为 -3、-2、-3，D 组 y 的增量为 3、4、5，增量都不相同。故选 A。 【易错警示】“均匀变化”看的是相邻 y 值的改变量是否相同，而不是 y 值本身是否为整数或是否递增；变化率 Δy/Δx 恒定才是本质，这正是一次函数“变化率恒定”的认识起点。 5.【基础】 答案：B 【知识点】正比例函数的图象特征（4.3 一次函数的图象） 【难度】基础（难度系数约0.85） 【来源】教材改编 【解析】正比例函数 y = kx 的图象是经过原点 (0, 0) 的一条直线。当 k > 0 时，直线经过第一、三象限；当 k < 0 时，直线经过第二、四象限。本题 k = -2 < 0，所以图象经过第二、四象限，选 B。 【易错警示】正比例函数图象一定经过原点；k 的符号决定直线经过的象限：“正一三、负二四”，不要记反。 6.【基础】 答案：C 【知识点】由一次函数图象判断 k、b 的符号（4.3 一次函数的图象） 【难度】基础（难度系数约0.80） 【来源】深圳中考真题改编 【解析】由图可知直线从左向右下降，说明 y 随 x 增大而减小，所以 k < 0；直线与 y 轴交于正半轴（交点在原点上方），说明 b > 0。故 k < 0，b > 0，选 C。 【易错警示】看 k：直线上升 k > 0，下降 k < 0；看 b：直线与 y 轴交于正半轴 b > 0，交于负半轴 b < 0，经过原点 b = 0。读图时两个符号要分别判断，不要互相干扰。 7.【基础】 答案：C 【知识点】一次函数的增减性与函数值比较（4.3 一次函数的图象） 【难度】基础（难度系数约0.78） 【来源】真题改编 【解析】在 y = -x + 3 中，k = -1 < 0，所以 y 随 x 的增大而减小。因为点 A 的横坐标 1 小于点 B 的横坐标 2，所以对应的函数值 y₁ > y₂（也可直接代入：y₁ = -1 + 3 = 2，y₂ = -2 + 3 = 1，y₁ > y₂）。故选 C。 【易错警示】比较函数值大小要先看 k 的符号定增减性：k > 0 时“x 大则 y 大”，k < 0 时“x 大则 y 小”，与平时“越往后越大”的直觉相反，最易出错。 8.【基础】 答案：A 【知识点】由实际情境与表达式特征选择图象（4.3 一次函数的图象） 【难度】基础（难度系数约0.76） 【来源】真题改编 【解析】供电开始时（x = 0）电量为100%，即图象起点在 y 轴正半轴 (0, 100)；电量随供电时间均匀减少，即图象是一条从 (0, 100) 向右下方向下降的线段；电量耗尽（y = 0）即停止，图象终止于 x 轴正半轴上某点。符合这一特征的是图①，选 A。图②上升、图③水平、图④起点为原点，都不符合。 【易错警示】实际情境中的函数图象要抓住“起点”“变化趋势（升/降/平）”“终点”三个要素；初始量为正对应起点在 y 轴正半轴，均匀减少对应下降线段，不要把“剩余量减少”画成从原点出发。 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.【基础】 答案：y = 100 - 2x（0 ≤ x ≤ 50，且 x 为整数）；60 【知识点】求函数关系式、自变量取值范围与函数值（4.1 函数） 【难度】基础（难度系数约0.82） 【来源】原创（深圳情境） 【解析】每次扣费2元，乘车 x 次共扣费 2x 元，所以余额 y = 100 - 2x。由实际意义，乘车次数不能为负（x ≥ 0），余额不能为负（100 - 2x ≥ 0，即 x ≤ 50），且 x 为整数，故自变量取值范围是 0 ≤ x ≤ 50 且 x 为整数。当 x = 20 时，y = 100 - 2 × 20 = 60（元）。 【易错警示】实际问题中自变量的取值范围必须同时满足“代数式有意义”和“实际意义合理”两个条件；乘车次数、商品件数等还必须是整数，最容易漏掉 x 为整数和上限（余额不为负）这两个限制。 10.【基础】 答案：s = 0.3t + 3（t ≥ 0） 【知识点】列一次函数关系式（4.2 认识一次函数） 【难度】基础（难度系数约0.80） 【来源】原创（深圳情境） 【解析】已经骑行的3 km 是初始路程（对应常数项），之后以0.3 km/min 匀速前进，t 分钟新增路程 0.3t km，所以总路程 s = 3 + 0.3t，即 s = 0.3t + 3（t ≥ 0）。 【易错警示】列关系式时“已经发生的量”是常数项 b，“单位时间的增量”是系数 k；本题 t 表示“继续骑行的时间”，不要把已骑行的3 km 重复计算进速度部分。 11.【基础】 答案：(2, 0)；(0, 4) 【知识点】求一次函数图象与坐标轴的交点（4.3 一次函数的图象） 【难度】基础（难度系数约0.78） 【来源】教材改编 【解析】求与 x 轴的交点时令 y = 0：0 = -2x + 4，解得 x = 2，所以与 x 轴交点为 (2, 0)；求与 y 轴的交点时令 x = 0：y = -2 × 0 + 4 = 4，所以与 y 轴交点为 (0, 4)。 【易错警示】x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0；求交点时“与哪个轴相交就令另一个坐标为0”，顺序不要弄反，写坐标时横纵位置也不要颠倒。 12.【基础】 答案：y = 2x + 3 【知识点】一次函数图象的平移（4.3 一次函数的图象） 【难度】基础（难度系数约0.76） 【来源】真题改编 【解析】直线平移时倾斜程度不变，即 k 不变，只改变与 y 轴的交点位置。把直线 y = 2x 向上平移3个单位长度，b 增加3，所以平移后直线的关系式为 y = 2x + 3。 【易错警示】平移规律：“上加下减”（沿 y 轴方向平移，向上平移 b 加、向下平移 b 减），且平移过程中 k 始终不变；注意平移的是 b 而不是 x。 13.【基础】 答案：（1）均匀；（2）y = 2x + 20；（3）80 【知识点】由均匀变化数据写一次函数关系式、补全数据（4.2 认识一次函数） 【难度】基础（难度系数约0.76） 【来源】教材"滴水实验"改编（深圳情境） 【解析】（1）充电时间每增加10 min，电量都增加 20%，改变量相同，所以电量随时间呈均匀变化。（2）设 y = kx + b，由 x = 0 时 y = 20，得 b = 20；由 x = 10 时 y = 40，得 40 = 10k + 20，解得 k = 2，所以 y = 2x + 20。（3）x = 30 时，y = 2 × 30 + 20 = 80（%），即空缺数据为80。（验证：x = 40 时 y = 2 × 40 + 20 = 100，与表中充满电数据一致。） 【易错警示】由数据写关系式时，先确认“x 等差时 y 也等差”才能判定为一次函数；x = 0 时对应的 y 值就是 b，再用任一组数据求 k。补全后要用其余数据回代验证，避免看错行、列。 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14.【基础】（8分） 【知识点】函数的概念与图象表示、读图象获取信息（4.1 函数） 【难度】基础（难度系数约0.80） 【来源】教材"气温变化图"改编（深圳情境） 【答案】 （1）自变量是时间 t，因变量是气温 T（气温 T 随时间 t 变化）。（2分） （2）这一天最高气温为31℃，出现在14时；最低气温为22℃，出现在4时。（2分） （3）由图象可知，14时的气温为31℃。（1分） （4）变化趋势：0时到4时气温逐渐下降，4时到14时气温逐渐上升，14时到24时气温又逐渐下降。（2分） （5）自变量 t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 24。（1分） 【易错警示】读图象要按“先看横纵轴表示什么，再看点的坐标和折线的升降”的顺序；自变量取值范围由实际问题决定（一天24小时），描述变化趋势时要按折点分段说明，不能笼统说“先升后降”。 15.【基础】（8分） 【知识点】均匀变化的实验探究与一次函数建模（4.2 认识一次函数） 【难度】基础（难度系数约0.78） 【来源】教材例题改编（深圳情境） 【答案】 （1）描点（略）。描出的各点在同一条直线上，说明量杯中的水量 V 随时间 t 呈均匀变化。（2分） （2）设 V = kt + b。由 t = 0 时 V = 0，得 b = 0；由 t = 10 时 V = 200，得 200 = 10k，解得 k = 20。所以 V = 20t。（2分） （3）一天 = 24 × 60 = 1440（min），V = 20 × 1440 = 28800（mL）= 28.8（L）；一个月漏水量 = 28.8 × 30 = 864（L）。（2分） （4）参考感想：一个看似不起眼的滴水水龙头，一个月竟能漏掉864升水，相当于十几桶桶装水。深圳是缺水城市，节约用水要从随手关紧水龙头做起，发现滴漏及时报修。（言之有理即可，1分） 【易错警示】①计算一天、一个月漏水量时要先统一时间单位（分钟），算出毫升再换算成升（1 L = 1000 mL），单位换算是本题最常见失分点；②“点在一条直线上”正是均匀变化（变化率恒定）的直观体现，描点后要说出这一规律。 16.【基础】（8分） 【知识点】画一次函数图象并探究图象性质（4.3 一次函数的图象） 【难度】基础（难度系数约0.78） 【来源】教材例题改编 【答案】 （1）列表、描点、连线（图略）。两个函数的图象都是直线：y = -x + 3 可取点 (0, 3)、(3, 0)；y = 2x 可取点 (0, 0)、(1, 2)，分别连线即得图象。（作图规范、图象正确共2分） （2）y = -x + 3 中 k = -1 < 0，y 随 x 的增大而减小；y = 2x 中 k = 2 > 0，y 随 x 的增大而增大。（2分） （3）y = -x + 3：与 x 轴交于 (3, 0)，与 y 轴交于 (0, 3)；y = 2x 经过原点 (0, 0)，与两坐标轴的交点都是原点。（2分） （4）y = -x + 3 的图象经过第一、二、四象限；y = 2x 的图象经过第一、三象限。（2分） 【易错警示】画一次函数图象用“两点法”最简便：正比例函数必取原点，再取一个点；一般一次函数可取它与两坐标轴的交点。经过的象限由 k、b 的符号共同决定，不要只看 k 而漏掉 b 对图象与 y 轴交点位置的影响。 17.【基础】（8分） 【知识点】用待定系数法确定一次函数表达式及其实际意义（4.4 一次函数的应用） 【难度】基础（难度系数约0.75） 【来源】原创（深圳情境，计费模型为命题简化） 【答案】 （1）设 y = kx + b（x ≥ 3）。由图象经过 (3, 12)、(8, 24) 两点，代入得：3k + b = 12，8k + b = 24。两式相减得 5k = 12，k = 2.4；代入 3 × 2.4 + b = 12，得 b = 4.8。所以 y = 2.4x + 4.8（x ≥ 3）。（3分） （2）k = 2.4 的实际意义：超过起步里程后，每多行驶1 km 加收2.4元；b = 4.8 是这个线性模型（x ≥ 3 部分）的常数项。（注：起步里程3 km 内按起步价12元计费，该关系式只适用于 x ≥ 3。）（2分） （3）当 x = 10 时，y = 2.4 × 10 + 4.8 = 28.8（元）。答：行驶10 km 应付车费28.8元。（3分） 【易错警示】①待定系数法“设式—代点—解方程—写式”四步要完整，代入两个点的坐标时横纵坐标不要写反；②用关系式计费时先确认里程在适用范围（x ≥ 3）内；③本题计费为命题简化的线性模型，b 是模型整体截距，不要直接把它当作“起步价”。 18.【基础】（8分） 【知识点】读单个一次函数（分段）图象解决实际问题（4.4 一次函数的应用） 【难度】基础（难度系数约0.70） 【来源】原创（深圳情境） 【答案】 （1）由图象终点可知，总路程为14 km。（2分） （2）实际骑行时间 = 30 + (90 - 50) = 70（min），骑行路程 = 14 km，平均速度 = 14 ÷ 70 = 0.2（km/min）= 12（km/h）。（2分） （3）图象中水平的一段（30 min 到 50 min，路程保持6 km 不变）表示小泽中途停留休息了20分钟，这段时间路程没有增加。（2分） （4）t = 40 min 时，图象处于水平段上，路程为6 km。（2分） 【易错警示】①水平线段表示“路程不变、时间在走”，即停留休息，不是往回骑；②求平均速度要用“实际骑行时间”（扣掉休息的20分钟），不能直接用总时间90分钟；③读指定时刻的路程要先判断该时刻落在哪一段图象上。 19.【中档】（9分） 【知识点】含参一次函数的增减性、图象位置与参数范围（4.3 一次函数的图象） 【难度】中档（难度系数约0.66） 【来源】深圳中考真题改编 【答案】 这里 k = 2m - 1，b = m + 3，且一次函数要求 2m - 1 ≠ 0，即 m ≠ 1/2。 （1）y 随 x 增大而增大，需 k > 0：2m - 1 > 0，解得 m > 1/2。（2分） （2）图象过原点，需 b = 0 且 k ≠ 0：m + 3 = 0，解得 m = -3；此时 k = 2 × (-3) - 1 = -7 ≠ 0，符合。所以 m = -3。（2分） （3）图象与 y 轴交于负半轴，需 b < 0：m + 3 < 0，解得 m < -3（此时 k = 2m - 1 < 0，仍为一次函数）。（2分） （4）图象不经过第一象限，需直线下降（k < 0）且与 y 轴交于负半轴或原点（b ≤ 0）同时成立：2m - 1 < 0，得 m < 1/2；m + 3 ≤ 0，得 m ≤ -3。取交集得 m ≤ -3。（2分）草图：画一条经过第二、三、四象限（或经过原点经第二、四象限）的下降直线即可。（1分） 【易错警示】①含参题每一问都要在“k ≠ 0（是一次函数）”的大前提下讨论；②“不经过第一象限”必须 k < 0 与 b ≤ 0 两个条件同时满足，等号（b = 0 过原点）要包含进去，边界值最容易漏；③画草图时根据 k、b 符号确定直线经过的象限。 20.【中档】（12分） ★ 【知识点】一次函数方案选择与决策（4.4 一次函数的应用，综合 4.2、4.3） 【难度】中档（难度系数约0.62） 【来源】原创（深圳情境） 【大图景点拨】本题是“用函数做决策”的典型：两种付费方式对应两个函数模型，图象的交点就是“费用相等”的临界点，交点两侧图象的高低直接对应方案的优劣。数形结合把“比较与选择”变成“看图说话”，最优化思想自然落地。 【答案】 （1）方式一：y₁ = 1.5x；方式二：y₂ = 25。自变量 x 表示一个月的骑行次数，取值范围为 x ≥ 0 且 x 为整数。（3分） （2）图象（略）：y₁ = 1.5x 是经过原点的上升直线（取 (0, 0)、(20, 30) 连线）；y₂ = 25 是与 x 轴平行的水平直线（y = 25）。两图象在同一坐标系中相交于一点。（3分） （3）令 y₁ = y₂，即 1.5x = 25，解得 x = 50/3 ≈ 16.7。由于骑行次数为整数：当骑行16次时，y₁ = 24元 < 25元；骑行17次时，y₁ = 25.5元 > 25元。所以从第17次起月卡更合算（费用相等的临界次数约为16.7次）。（3分） （4）建议：每月骑行不超过16次的市民，选择单次计费（方式一）更省钱；每月骑行17次及以上的市民，购买月卡（方式二）更省钱。（3分） 【易错警示】①月卡费用与次数无关，图象是水平直线，不要误画成过原点的直线；②临界次数 50/3 不是整数，必须结合“次数为整数”的实际意义给出16次、17次的分界结论，直接答“16.7次”不合实际；③写关系式时不要漏掉自变量的取值范围和整数要求。 B卷 · 培优提升卷 答案与解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.【基础】 答案：B 【知识点】函数概念的图象辨析（竖线检验）（4.1 函数） 【难度】基础（难度系数约0.78） 【来源】真题改编 【解析】用“竖线检验”：任意作一条垂直于 x 轴的直线，若与图象至多有一个交点，则 y 是 x 的函数。图①（上升射线）、图④（V形折线）中任意竖线都只与图象交于一点，表示函数；图②（开口向右的抛物线）存在一条竖线与图象交于两点，图③（竖直直线）上一个 x 值对应无数个 y 值，都不表示函数。所以表示函数的是图①和图④，共2个，选 B。 【易错警示】函数图象可以是折线、射线等任意形状，关键在“一个 x 只对应一个 y”；竖直直线和“躺倒的抛物线”是最典型的反例。判断口诀：“竖线切图，至多一点”。 2.【基础】 答案：B 【知识点】一次函数概念的条件结构（指数为1且系数不为0）（4.2 认识一次函数） 【难度】基础（难度系数约0.76） 【来源】真题改编 【解析】该函数是一次函数，需同时满足两个条件：①自变量的次数为1，即 |m| - 2 = 1，得 |m| = 3，m = 3 或 m = -3；②一次项系数不为0，即 m - 3 ≠ 0，得 m ≠ 3。两个条件同时成立，所以 m = -3，选 B。 【易错警示】含参的“一次函数”问题有两个缺一不可的条件：指数等于1、系数不等于0。只解指数方程会误选 C（±3），必须再用 k ≠ 0 排除 m = 3；常数项 m + 1 不影响“是否为一次函数”，无需为0。 3.【中档】 答案：B 【知识点】由图象综合判断 k、b 符号及函数值符号（4.3 一次函数的图象） 【难度】中档（难度系数约0.72） 【来源】深圳中考真题改编 【解析】由图象：直线从左下向右上上升，k > 0；与 y 轴交于负半轴 (0, -2)，b = -2 < 0。① kb = k × (-2) < 0，正确；②直线过点 (2, 0)，k + b 对应 x = 1 时的函数值，由图象 x = 1 时点在 x 轴下方，y < 0，故 k + b < 0，②“k + b > 0”错误；③直线与 x 轴交于 (2, 0) 且上升，所以 x > 2 时图象在 x 轴上方，y > 0，③“y < 0”错误；④直线与 y 轴交于 (0, -2)，所以 b = -2，正确。综上，①④正确，②③错误，正确结论共2个，选 B。 【易错警示】本题信息量大，要逐项判断：k 看升降、b 看与 y 轴交点；“x 取何值时 y > 0（或 y < 0）”要看图象在 x 轴上方（下方）对应的 x 范围，并注意交点处 y = 0 不带等号。 4.【中档】 答案：B 【知识点】一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积（4.3 一次函数的图象） 【难度】中档（难度系数约0.66） 【来源】真题改编 【解析】求与 x 轴交点：令 y = 0，2x - 6 = 0，x = 3，得 A(3, 0)；求与 y 轴交点：令 x = 0，y = -6，得 B(0, -6)。围成的三角形两直角边长分别为 |3| = 3 和 |-6| = 6，面积 S = 1/2 × 3 × 6 = 9。故选 B。 【易错警示】截距是坐标值，可正可负；计算面积时要用截距的绝对值（长度）。两交点与原点围成直角三角形，面积 = 1/2 × |x 轴截距| × |y 轴截距|，不要忘记取绝对值和乘 1/2。 5.【中档】 答案：A 【知识点】利用增减性在给定自变量范围内求函数最值（4.3 一次函数的图象） 【难度】中档（难度系数约0.62） 【来源】真题改编 【解析】在 y = -2x + 5 中 k = -2 < 0，所以 y 随 x 的增大而减小。因此在区间 -1 ≤ x ≤ 2 上，x 取最小值 -1 时 y 取最大值：y最大 = -2 × (-1) + 5 = 7；x 取最大值 2 时 y 取最小值 1。故最大值为7，选 A。 【易错警示】一次函数在闭区间上的最值一定在区间端点取得（端点意识）；但“哪个端点取最大值”取决于增减性：k < 0 时自变量越小函数值越大，与直觉相反，最容易把最大、最小对应的端点弄反。 6.【中档】 答案：A 【知识点】读两个一次函数图象进行方案选择（4.4 一次函数的应用） 【难度】中档（难度系数约0.60） 【来源】原创（深圳情境） 【大图景点拨】双图象方案题的核心是交点：交点处两方案费用相同，交点两侧谁的图象在下方谁就省钱。这就是“用图象高低做决策”的数形结合思想。 【解析】由图象，两射线交于 P(10, 30)，表示行驶10 km 时两平台车费都是30元，A 正确；在交点左侧（里程小于10 km），A 平台射线在下方（起步价10元 < 15元），故10 km 以内选 A 平台更省钱，B 错误；在交点右侧（里程大于10 km），B 平台射线在下方（B 较平缓、单价低），故超过10 km 选 B 平台更省钱，C 错误；交点表示“里程10 km 时车费相同”，两平台起步价分别为10元和15元并不相同，D 错误。综上选 A。 【易错警示】交点的实际意义是“在某里程处两车费相等”，不是“起步价相同”；判断哪个区间省钱，要看该区间内哪条图象在下方（费用低），分段结论不要与交点左右位置弄反。 7.【中档】 答案：B 【知识点】变化率（斜率）的现实意义（4.2 认识一次函数·均匀变化） 【难度】中档（难度系数约0.58） 【来源】教材"均匀变化"拓展（深圳情境） 【大图景点拨】在 y = kx + b 中，k 是变化率：|k| 越大，图象越陡，量的变化越快。水位下降问题中，k 为负，|k| 表示每小时水位下降的米数，即泄洪的快慢。 【解析】甲闸关系式 y = -0.3x + 20 中 k = -0.3，表示每小时水位下降0.3 m；乙闸 y = -0.5x + 20 中 k = -0.5，表示每小时水位下降0.5 m。因为 0.5 > 0.3，乙闸水位下降得更快（图象上乙的直线更陡），故选 B。 【易错警示】下降类问题 k 为负数，比较“下降快慢”要比较 |k| 的大小，而不是比较 k 本身（-0.3 > -0.5，但不代表甲下降快）；初始水位相同（b 都是20）不影响下降快慢的比较。 8.【提高】 答案：B 【知识点】一次函数图象信息的综合解读（4.3 一次函数的图象） 【难度】提高（难度系数约0.50） 【来源】深圳中考真题改编 【解析】由图象：直线上升，故 k > 0，①正确；直线与 y 轴交于负半轴，故 b < 0，②正确；k > 0 时 y 随 x 增大而增大，点 A 横坐标 -1 小于点 B 横坐标 2，所以 y₁ < y₂，③正确；直线与 x 轴交于 (-2, 0)，即方程 kx + b = 0 的解是 x = -2，而不是 x = -1，④错误。综上①②③正确，选 B。 【易错警示】“方程 kx + b = 0 的解”对应图象与 x 轴交点的横坐标，要读图读出交点的确切位置（本题为 -2），不能与点 A 的横坐标 -1 混淆；增减性比较函数值大小仍遵循“k > 0 时 x 大 y 大”。 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.【基础】 答案：y = -2x + 3 【知识点】直线关于 x 轴对称的变换（4.3 一次函数的图象） 【难度】基础（难度系数约0.75） 【来源】真题改编 【解析】关于 x 轴对称的点横坐标不变、纵坐标变号。在原直线 y = 2x - 3 上任取两点：(0, -3) 关于 x 轴的对称点为 (0, 3)，(1, -1) 的对称点为 (1, 1)。设对称直线为 y = kx + b，代入 (0, 3) 得 b = 3；代入 (1, 1) 得 1 = k + 3，k = -2。所以对称直线为 y = -2x + 3。（规律：关于 x 轴对称，k、b 同时变号。） 【易错警示】关于 x 轴对称是“横同纵反”，反映到关系式上 k 和 b 都变号；关于 y 轴对称则是 k 变号、b 不变。两条规律要分清，最稳妥的方法是取原直线上两个点求对称点，再用待定系数法求新关系式。 10.【基础】 答案：（1）y = 3x + 40；（2）76；（3）20 【知识点】由均匀变化数据确定一次函数关系式并预测（4.2 认识一次函数，待定系数法前置） 【难度】基础（难度系数约0.75） 【来源】原创（深圳情境） 【解析】（1）时间每增加4 min，电量增加 12%，变化率恒定。设 y = kx + b，由 x = 0 时 y = 40 得 b = 40；由 x = 4 时 y = 52 得 52 = 4k + 40，k = 3，所以 y = 3x + 40。（2）x = 12 时，y = 3 × 12 + 40 = 76（%）。（3）令 y = 100：3x + 40 = 100，3x = 60，x = 20（min）。 【易错警示】求充满时间是令 y = 100 解一元一次方程，而不是把表中最后一列外推；补全数据后要用其它列回代检验关系式是否正确，注意电量百分比不超过100。 11.【中档】 答案：1/2 < m ≤ 3 【知识点】含参一次函数图象不经过某象限的条件（分类讨论）（4.3 一次函数的图象） 【难度】中档（难度系数约0.56） 【来源】真题改编 【解析】一次函数 y = (2m - 1)x + m - 3 的图象不经过第二象限，需同时满足：①直线上升 k > 0：2m - 1 > 0，得 m > 1/2；②直线与 y 轴交于负半轴或原点 b ≤ 0：m - 3 ≤ 0，得 m ≤ 3。取交集得 1/2 < m ≤ 3。（注：题目已明确为一次函数，k = 2m - 1 ≠ 0 已由 m > 1/2 保证。） 【易错警示】“不经过第二象限”要求 k > 0（上升）且 b ≤ 0（与 y 轴交于负半轴或原点）两个条件同时成立；b = 0 时图象经过第一、三象限（过原点），也不经过第二象限，等号要取到。若题目没有“一次函数”前提，还要单独讨论 k = 0（常函数）的情形。 12.【中档】 答案：(2, 2)；6 【知识点】两直线交点与直线和坐标轴围成的面积（4.3 一次函数的图象） 【难度】中档（难度系数约0.56） 【来源】真题改编 【解析】求交点令 y₁ = y₂：-x + 4 = 2x - 2，3x = 6，x = 2；代入 y = -2 + 4 = 2，所以交点 P(2, 2)。两条直线与 y 轴的交点分别为：y = -x + 4 与 y 轴交于 (0, 4)，y = 2x - 2 与 y 轴交于 (0, -2)。这两个交点在 y 轴上相距 |4 - (-2)| = 6，以此为底，交点 P 到 y 轴的距离（即 P 的横坐标2）为高，三角形面积 S = 1/2 × 6 × 2 = 6。 【易错警示】①求两直线交点令两个表达式相等，解的是一元一次方程（本章方法），不要列二元一次方程组（第五章内容）；②围成三角形的底在 y 轴上、长度为两个截距之差的绝对值，高是交点到 y 轴的距离（交点横坐标的绝对值），底和高不要找错。 13.【提高】 答案：（1）3；（2）相同；（3）a 【知识点】新定义“变化率”探究、归纳推理（4.1 函数与 4.2 一次函数） 【难度】提高（难度系数约0.48） 【来源】原创 【大图景点拨】新定义题考查的是“系联性思考”：把陌生定义 f(x+1) - f(x) 与已学的一次函数结构联系起来，算几个具体例子再归纳一般规律——这正是数学中从特殊到一般的归纳推理。 【解析】（1）f(x) = 3x - 5，则 f(x+1) - f(x) = [3(x+1) - 5] - (3x - 5) = (3x + 3 - 5) - 3x + 5 = 3。（2）对 y = 3x + 2：f(x+1) - f(x) = [3(x+1) + 2] - (3x + 2) = 3；对 y = 3x - 7：f(x+1) - f(x) = [3(x+1) - 7] - (3x - 7) = 3，两者变化率相同。（3）一般地，y = ax + b 时，f(x+1) - f(x) = [a(x+1) + b] - (ax + b) = a，所以变化率与系数 a 相等（与 b 无关）。 【易错警示】新定义题要严格按定义代入计算，先把 f(x+1) 整体写出再相减，去括号时注意符号；归纳结论时会发现变化率只与一次项系数 a 有关、与常数项 b 无关，这与“k 决定变化快慢、b 只是初始量”的图象性质完全一致。 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14.【基础】（8分） 【知识点】两直线交点、图象与坐标轴围成面积、读图比较函数值（4.3 一次函数的图象） 【难度】基础（难度系数约0.75） 【来源】真题改编 【答案】 （1）令 y₁ = y₂：-x + 4 = 2x - 2，解得 x = 2；代入 y₁ = -2 + 4 = 2。所以交点 P(2, 2)。（3分） （2）y₁ = -x + 4 与 x 轴交于 (4, 0)，y₂ = 2x - 2 与 x 轴交于 (1, 0)。两交点在 x 轴上相距 |4 - 1| = 3，以此为底，交点 P(2, 2) 到 x 轴的距离（P 的纵坐标2）为高，面积 S = 1/2 × 3 × 2 = 3。（3分） （3）由图象，在交点 P 左侧 y₁ 的图象在 y₂ 上方，所以 y₁ > y₂ 时 x 的取值范围是 x < 2。（2分） 【易错警示】①求交点令两表达式相等解一元一次方程，交点坐标要同时写出横、纵坐标；②围成三角形的底在 x 轴上时，底长是两个 x 轴截距之差的绝对值，高是交点纵坐标的绝对值；③“y₁ > y₂”对应图象上 y₁ 在 y₂ 上方的部分，交点处二者相等不带等号。 15.【中档】（8分） 【知识点】待定系数法求一次函数表达式及 k、b 的实际意义、方案比较（4.4 一次函数的应用） 【难度】中档（难度系数约0.62） 【来源】原创（深圳情境） 【答案】 （1）设 y = kx + b（x ≥ 3）。图象经过 (3, 30)、(13, 50)，代入得：3k + b = 30，13k + b = 50。两式相减得 10k = 20，k = 2；代入 3 × 2 + b = 30，得 b = 24。所以 y = 2x + 24（x ≥ 3）。（3分） （2）k = 2 的实际意义：行驶里程每增加1 km，车费增加2元；b = 24 是该线性模型（x ≥ 3 部分）的常数项。该一口价模型适用于3 km 以上的远途行程。（2分） （3）当 x = 18 时，一口价平台：y = 2 × 18 + 24 = 60（元）；另一平台：y = 3 × 18 + 8 = 62（元）。因为 60 < 62，所以18 km 的行程选择“远途线性一口价”平台更省钱。（3分） 【易错警示】①两个点代入待定系数法时坐标不要写反，解出 k、b 后要用另一个点回代检验；②比较两平台费用要把同一里程分别代入两个关系式计算后再比较，不能只看起步价或凭感觉；③注意一口价关系式的适用范围是 x ≥ 3。 16.【中档】（8分） 【知识点】一次函数方案选择与最优化决策（4.4 一次函数的应用） 【难度】中档（难度系数约0.58） 【来源】真题改编（深圳情境） 【大图景点拨】旅行社优惠、计费比较类问题的数学本质相同：把两种方案抽象成两个一次函数，费用相等点就是决策的分界线。建模→求交点→分区间决策，是用数学解决现实选择问题的完整路径。 【答案】 （1）甲旅行社：每人200元打八折，即每人 200 × 0.8 = 160 元，所以 y₁ = 160x；乙旅行社：免去1名带队教师费用后其余人打九折，即每人 200 × 0.9 = 180 元，按 (x - 1) 人计费，所以 y₂ = 180(x - 1) = 180x - 180（x ≥ 1，x 为正整数）。（3分） （2）令 y₁ = y₂：160x = 180x - 180，20x = 180，x = 9。所以参加人数为9人时，两家旅行社费用相同（均为1440元）。（2分） （3）当 x < 9（即1~8人）时，y₂ < y₁，选乙旅行社更合算；当 x = 9 时，两家费用相同；当 x > 9（即10人及以上）时，y₁ < y₂，选甲旅行社更合算。（3分） 【易错警示】①乙旅行社“免1人费用后其余打九折”，计费人数是 (x - 1) 而不是 x，列关系式时最容易出错；②人数 x 为正整数，给出决策建议时分界点要落到具体人数（8人、9人、10人）；③比较方案要分“交点左侧、交点、交点右侧”三种情况说完整。 17.【中档】（8分） 【知识点】一次函数与动点、面积函数（4.3 一次函数的图象，数形结合） 【难度】中档（难度系数约0.58） 【来源】真题改编（深圳情境） 【大图景点拨】动点问题的核心思想是“用函数刻画运动变化”：点 P 在直线上运动时，△OPA 的面积随 P 的位置变化，把面积表示成 P 横坐标 x 的函数，运动问题就转化为一次函数问题，这是数形结合的典型应用。 【答案】 （1）令 y = 0：-3/4 x + 6 = 0，解得 x = 8，所以 A(8, 0)；令 x = 0：y = 6，所以 B(0, 6)。（2分） （2）点 P 在线段 AB 上，横坐标为 x，则 P(x, -3/4 x + 6)。△OPA 中，OA 在 x 轴上，OA = 8，OA 边上的高等于点 P 的纵坐标 -3/4 x + 6（P 在第一象限，纵坐标为正）。所以 S = 1/2 × 8 × (-3/4 x + 6) = -3x + 24。点 P 从 A(8, 0) 运动到 B(0, 6)，故自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 8。（4分） （3）令 S = 9：-3x + 24 = 9，3x = 15，x = 5；此时 y = -3/4 × 5 + 6 = 9/4。所以点 P 的坐标为 (5, 9/4)。（2分） 【易错警示】①三角形的底 OA 是固定值8，高是动点 P 的纵坐标（不是横坐标），写面积关系式时底、高不要张冠李戴；②P 在线段 AB 上运动，x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 8，写关系式必须带上自变量范围；③求出 x 后要代回直线方程求纵坐标，才能得到 P 的完整坐标。 18.【中档】（8分） 【知识点】行程问题的双一次函数图象（追及问题）（4.4 一次函数的应用） 【难度】中档（难度系数约0.56） 【来源】教材"追赶问题"例题改编（深圳情境） 【大图景点拨】行程 s-t 图象中，斜率 k 就是速度；两条图象的交点表示“同一时刻到达同一地点”，即追及。把现实中的“追赶”翻译成图象上的“相交”，是数形结合互译的典范。 【答案】 （1）私家车：60 min 行驶48 km，速度 = 48 ÷ 60 = 0.8（km/min）= 48（km/h）；穿梭巴士：行驶段为 10~30 min 行驶20 km、40~68 min 行驶28 km，速度 = 20 ÷ 20 = 1（km/min）= 60（km/h）。（2分） （2）延长线交点表示：若两车过了观景台仍按原速继续行驶，穿梭巴士在此处追上私家车。私家车路程 s₁ = 0.8t；穿梭巴士 40 min 后 s₂ = 20 + 1 × (t - 40) = t - 20。令 s₁ = s₂：0.8t = t - 20，0.2t = 20，t = 100（min），此时 s = 0.8 × 100 = 80（km）。即出发100分钟时追及，距出发点80 km。（3分） （3）不能。观景台距出发点48 km，而追及点距出发点80 km > 48 km，说明追及发生在两车都驶过观景台之后；在到达观景台之前（s ≤ 48），穿梭巴士的图象始终在私家车下方（同一时刻巴士路程更短），所以穿梭巴士在观景台前追不上私家车。（2分） （4）两个关系式中 k 的实际意义都是速度：私家车 k = 0.8 表示速度0.8 km/min，穿梭巴士行驶段 k = 1 表示速度1 km/min。（1分） 【易错警示】①读 s-t 图象求速度用“路程÷时间”，巴士有停留段，计算速度时只取实际行驶的时间段；②追及问题令两路程表达式相等解一元一次方程，交点横、纵坐标分别是追及时刻和追及地点；③判断“观景台前能否追上”，要比较追及地点与观景台的路程（80 > 48），不能只看图象大概位置。 19.【提高】（9分） ★ 【知识点】均匀变化建模与变化率的实际意义（4.2 认识一次函数，函数模型思想） 【难度】提高（难度系数约0.45） 【来源】教材阅读材料"中国古代漏刻"改编 【大图景点拨】漏刻是古人用“均匀变化”计时的智慧结晶：水位随时间均匀下降（变化率恒定），所以等时间间隔对应等水位间隔，刻出等距刻度就能计时。函数模型 y = kx + b 中 k 的实际意义，正是“每单位时间水位下降多少”，这就是变化率思想的源头。 【答案】 （1）时间每增加1 h，水位都下降3 cm，改变量相同，所以水位 h 随时间 t 呈均匀变化。设 h = kt + b，由 t = 0 时 h = 30 得 b = 30；由 t = 1 时 h = 27 得 27 = k + 30，k = -3。所以 h = -3t + 30。（3分） （2）k = -3 的实际意义：每经过1小时，壶中水位下降3 cm（即漏水速度对应水位每小时下降3 cm）。水漏尽时 h = 0：-3t + 30 = 0，t = 10，所以自变量 t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 10。（2分） （3）因为水位随时间均匀变化（h 是 t 的一次函数，变化率恒定），时间每增加相同的1小时，水位下降的量都相同（都是3 cm），所以相邻整点时刻在壶壁上对应的水位高度差相等，刻出的刻度间距自然相等。古人正是利用“均匀变化”实现了等距刻度计时。（2分） （4）刻度间距变小。理由：漏水速度（单位时间漏出的水的体积）不变，换用更粗的壶身（底面积更大）后，由“漏出体积 = 底面积 × 水位下降高度”，相同时间内漏出相同体积的水，底面积越大，水位下降的高度越小；而相邻整点的时间间隔不变，所以相邻刻度对应的水位高度差变小，刻度间距变小（刻度更密）。（2分） 【易错警示】①下降类问题 k 为负数，解释 k 的实际意义要说“每小时下降3 cm”，不要说成“k = -3 表示上升”；②自变量范围要由“水漏尽即止”（h = 0）确定，t 最大为10；③第(4)问要抓住“漏出体积相同、底面积变大→水位下降高度变小”的推理链条，这是变化率与容器形状关系的灵活应用。 20.【提高】（12分） ★ 【知识点】全章综合：函数概念、一次函数建模、图象性质与购票决策（4.1~4.4） 【难度】提高（难度系数约0.40） 【来源】原创（深圳情境，计费规则为命题简化） 【大图景点拨】本题完整走了一遍数学建模的全过程：从现实计费规则中识别变量（4.1）→ 抽象出一次函数关系式（4.2）→ 画出图象理解 k、b 的意义（4.3）→ 用临界值做购票决策（4.4）。函数是描述现实变化规律的模型，而模型最终服务于决策——这就是一次函数这一章的大图景。 【答案】 （1）【4.1】变量是乘车里程 x 和单程票价 y；常量是起步价2元、起步里程4 km、超出部分单价0.5元/km 等计费规则中的固定数据。y 是 x 的函数：给定一个乘车里程 x，按照计费规则有唯一确定的票价 y 与之对应，符合函数的定义。自变量 x 的取值范围是 x > 0（实际中里程为正数；本题按连续值计算）。（3分） （2）【4.2】当 x ≥ 4 时，票价 = 起步价 + 超出部分费用，即 y = 2 + 0.5(x - 4) = 0.5x。所以 y = 0.5x（x ≥ 4）。（3分） （3）【4.3】图象（略）：在 x ≥ 4 范围内取点 (4, 2)、(20, 10) 连线，是一条上升的射线（起点 (4, 2)）。k = 0.5 的实际意义：超过4 km 后，里程每增加1 km，票价增加0.5元；b = 0 是该射线（x ≥ 4）所在直线的截距。因为 k = 0.5 > 0，所以票价 y 随里程 x 的增大而增大。（3分） （4）【4.4】该市民每月乘车44次。若每次买单程票：先求一次单程票价与月票平均单次成本相等的临界里程——月票平均每次 110 ÷ 50 = 2.2 元，令 0.5x = 2.2，解得 x = 4.4 km。结合起步价规则：当单次通勤里程 x ≤ 4.4 km 时，单次票价不超过2.2元，44次买单程票费用 ≤ 2.2 × 44 = 96.8 元 < 110元，买单程票合算；当单次通勤里程 x ≥ 5 km 时，单次票价 y ≥ 0.5 × 5 = 2.5 元，44次费用 ≥ 2.5 × 44 = 110 元，且乘车里程越长买单程票越贵，此时买计次月票更合算。结论：通勤里程较短（约4.4 km 以内）的市民买单程票合算；通勤里程较长（5 km 及以上）、乘车频次高的市民买计次月票更合算。（3分） 【易错警示】①写关系式前要先按计费规则分段：4 km 以内是起步价2元，超过4 km 才用 y = 0.5x，不要直接对所有里程套公式；②图象是 x ≥ 4 的射线（起点 (4, 2)），不是整条直线，画图时要注意起点和取值范围；③决策题要先算出“临界里程”（单次票价等于月票平均单次成本2.2元）再分情况建议，月票110元可乘50次而该市民只乘44次，比较时要用44次的单程总费用与110元比，不要直接用50次。 题号 题型 分值 知识点（对应节次·考查内容·情境素材） 知识层次 能力层级 难度系数预估 学科大图景概念/连词 命题来源 1 选择 3 4.1 常量与变量：深圳某加油站加油机显示牌（单价、数量、金额），辨识其中的变量与常量 第一层·事实性知识（常量、变量的辨识） 了解 0.92 变化与对应 教材例题改编（深圳情境） 2 选择 3 4.1 函数概念：判断给定图象/表格中y是否为x的函数（抓住"给定x一个值，y有唯一值对应"，含一对多反例辨析） 第二层·学科概念（函数：单值对应关系） 理解 0.88 变化与对应 教材习题改编 3 选择 3 4.2 一次函数与正比例函数概念：辨识一组关系式（y=2x、y=-3x+1、y=x²、y=1/x等）中哪些是一次函数、哪些是正比例函数（干扰项仅作辨识，不研究其性质） 第一层·事实性知识（一次函数形式特征 y=kx+b，k≠0） 理解 0.86 抽象与概括 教材习题改编 4 选择 3 4.2 均匀变化：给出四组实验/计费表格数据，判断哪一组中y随x呈均匀变化（x等差时y等差） 第一层·事实性知识（均匀变化的判别程序） 理解 0.82 变化率思想（渗透） 教材"滴水/燃香"实验改编 5 选择 3 4.3 正比例函数图象：y=kx的图象特征（过原点的直线、经过象限与k的符号） 第一层·事实性知识（正比例函数图象事实） 掌握 0.85 数形结合 教材改编 6 选择 3 4.3 k、b与图象位置：由一次函数图象经过的象限判断k、b符号 第一层·事实性知识（k、b对图象位置的影响） 掌握 0.80 数形结合 深圳中考真题改编 7 选择 3 4.3 增减性：由k的符号判断y随x的增减趋势，比较图象上两点函数值大小 第一层·事实性知识（k决定增减性） 理解 0.78 变化与对应 真题改编 8 选择 3 4.3 表达式与图象互译：给定k<0、b>0等条件（或实际情境中初始量为正、均匀减少），选择对应的函数图象 第一层·事实性知识（表达式↔图象互译程序） 掌握 0.76 数形结合 真题改编 9 填空 3 4.1 自变量取值范围与函数值：深圳通卡余额 y=100-2x（x为乘车次数），确定x的取值范围并求x=20时的函数值 第一层·事实性知识（实际情境下自变量取值范围的确定） 掌握 0.82 模型受现实约束 原创（深圳情境） 10 填空 3 4.2 列一次函数关系式：深圳湾滨海绿道骑行，已行3 km后以0.3 km/min匀速前进，写出路程s与时间t的关系式 第一层·事实性知识（列式程序 y=kx+b） 掌握 0.80 建模（渗透） 原创（深圳情境） 11 填空 3 4.3 图象与坐标轴交点：求直线 y=-2x+4 与x轴、y轴的交点坐标 第一层·事实性知识（求交点坐标程序） 掌握 0.78 数形结合 教材改编 12 填空 3 4.3 图象平移：直线 y=2x 向上（下）平移若干单位后的关系式（或平移后图象过指定点求b） 第一层·事实性知识（平移规律：k不变、b增减） 掌握 0.76 变化与对应 真题改编 13 填空 3 4.2 均匀变化与关系式：深圳某新能源汽车快充站充电数据表（时长-电量，x等差），判断均匀变化、写出关系式并补全表中空缺数据 第一层·事实性知识（由均匀变化数据写关系式的程序） 运用 0.76 变化率、建模 教材"滴水实验"改编（深圳情境） 14 解答 8 4.1 函数三种表示法综合：深圳某日24小时气温变化图象，回答：①变量与常量；②最高、最低气温及对应时刻；③某时刻的函数值；④描述气温随时间的变化趋势；⑤自变量的取值范围 第二层·学科概念（函数概念与图象表示） 理解 0.80 变化与对应、数形结合 教材"气温变化图"改编（深圳情境） 15 解答 8 4.2 均匀变化实验探究：学校节水宣传周重复"滴漏水龙头"实验，给出量杯水量V与时间t的数据表：①描点并判断变化规律；②写出V与t的关系式；③估计一天、一个月的漏水量；④结合深圳水资源现状谈节水启示 第二层·学科概念（变化率恒定——一次函数的原型） 理解 0.78 建模、变化率思想 教材例题改编（深圳情境） 16 解答 8 4.3 画图象并探究性质：给定 y=-x+3 与 y=2x，①列表、描点、连线画图象；②分别指出增减性；③求与坐标轴的交点；④说明各自经过的象限 第一层·事实性知识（画图象步骤与图象性质结论） 掌握 0.78 数形结合 教材例题改编 17 解答 8 4.4 待定系数法：深圳出租车计费图象（里程x-费用y，起步价+续程单价的线性模型，命题简化）：①由图象上两点求表达式；②解释k与b的实际意义；③求指定里程的乘车费用 第一层·事实性知识（待定系数法步骤） 运用 0.75 建模、数形结合 原创（深圳情境，计费模型为命题简化） 18 解答 8 4.4 单个一次函数图象应用：周末骑行梧桐山的路程s-时间t图象（含中途休息的水平线段，仅读图不列式）：①读出起点、终点与总路程；②求骑行段速度；③解释折点（休息）的实际意义；④求指定时刻的路程 第二层·学科概念（函数图象的实际意义） 运用 0.70 数形结合、建模 原创（深圳情境） 19 解答 9 4.3 含参一次函数综合：已知 y=(2m-1)x+m+3，按条件求m或m的范围：①y随x增大而增大；②图象过原点；③图象与y轴交于负半轴；④图象不经过第一象限，并画出其中一种情形的草图 第二层·学科概念（k、b几何意义的概念性理解） 运用 0.66 数形结合、分类讨论（渗透） 深圳中考真题改编 20 解答 12 4.4+4.3 方案选择综合★：深圳通勤"共享单车单次计费（1.5元/次）"与"月卡（25元/月不限次）"两种方案：①分别写出月费用y₁、y₂与月骑行次数x的关系式及自变量取值范围；②在同一坐标系中画出两图象（或阅读给定图象）；③求两种方案费用相等的临界次数（令y₁=y₂解一元一次方程）；④为不同骑行频次的市民给出省钱方案建议 第三层·学科大图景（函数模型、数形结合、最优化思想萌芽） 运用 0.62 建模、数形结合、决策（最优化） 原创（深圳情境） 题号 题型 分值 知识点（对应节次·考查内容·情境素材） 知识层次 能力层级 难度系数预估 学科大图景概念/连词 命题来源 1 选择 3 4.1 函数概念深化：给出四个图象（含竖直特征、一对多反例），判断其中表示y是x的函数的个数（图象层面的"唯一对应"判别） 第二层·学科概念（函数：单值对应关系） 理解 0.78 变化与对应 真题改编 2 选择 3 4.2 含参概念辨析：已知 y=(m-3)x^{|m|-2}+m+1 是一次函数（或正比例函数），求m的值（指数条件与系数k≠0条件同时满足） 第二层·学科概念（一次函数概念的条件结构） 掌握 0.76 抽象与概括、批判性思维 真题改编 3 选择 3 4.3 k、b综合判断：由一次函数图象判断k、b符号，进而判断kb、k+b的符号及函数值取正（负）时对应的x范围（读图） 第一层·事实性知识（k、b与图象位置的关系） 掌握 0.72 数形结合 深圳中考真题改编 4 选择 3 4.3 图象与几何：一次函数 y=kx+b 与两坐标轴围成的三角形面积（由截距求面积，或由面积反求b） 第二层·学科概念（截距的几何意义） 运用 0.66 数形结合、转化 真题改编 5 选择 3 4.3 增减性与取值范围：给定自变量取值范围，利用增减性求函数值的最大（小）值（端点意识），或比较区间内函数值大小 第二层·学科概念（增减性与定义域的协同） 运用 0.62 变化与对应、数形结合 真题改编 6 选择 3 4.4 双图象方案选择读图：深圳A、B两个网约车平台计费图象（里程-费用），判断交点的实际意义及不同里程区间内哪个平台更省钱 第三层·学科大图景（数形结合、最优化） 运用 0.60 建模、决策 原创（深圳情境） 7 选择 3 4.2 变化率拓展：深圳水库两个泄洪闸放水（或两人匀速跑步）的数据/图象，比较变化快慢，说明两个k值的实际意义 第三层·学科大图景（变化率/斜率的现实意义） 运用 0.58 变化率思想、数形结合 教材"均匀变化"拓展（深圳情境） 8 选择 3 4.3 图象多结论判断：给定一次函数图象（标注与坐标轴交点及若干点），判断关于k符号、b符号、交点坐标、某点函数值正负的4个结论的正误 第二层·学科概念（图象信息的综合解读） 运用 0.50 数形结合 深圳中考真题改编 9 填空 3 4.3 图象变换：直线 y=kx+b 关于x轴（y轴）对称，或沿坐标轴平移后经过指定点，求新表达式或参数值 第一层·事实性知识（平移、轴对称变换程序） 运用 0.75 对称与变号、数形结合 真题改编 10 填空 3 4.2 均匀变化与待定系数：深圳某快充站充电数据表（时长-电量，含一组空缺与起始电量），判断均匀变化、写关系式、补全数据并估计充满所需时间 第一层·事实性知识（由数据确定关系式的程序） 运用 0.75 变化率、建模 原创（深圳情境） 11 填空 3 4.3 含参图象定位：一次函数 y=(m-1)x+2m+3 的图象不经过第二象限（或恒过某定点），求m的取值范围（需分类讨论） 第三层·学科大图景（分类讨论、数形结合） 运用 0.56 分类讨论、批判性思维 真题改编 12 填空 3 4.3 交点与面积：两条直线相交，结合它们与坐标轴的交点求所围成三角形的面积（或已知面积反求参数） 第二层·学科概念（交点、截距与几何直观） 运用 0.56 数形结合、转化 真题改编 13 填空 3 4.1 新定义探究：定义一次函数 y=ax+b 的"变化率"为 f(x+1)-f(x)，据此计算给定函数的变化率、判断两个函数变化率是否相同，并归纳变化率与a的关系 第四层·一般性人类思维（系联性思考、迁移） 运用 0.48 系联性思考、归纳推理 原创 14 解答 8 4.3 双直线图象综合：在同一坐标系中画出 y₁=k₁x+b₁ 与 y₂=k₂x+b₂：①求两直线交点（令y₁=y₂解一元一次方程）；②求两直线与坐标轴围成图形的面积；③据图象指出y₁>y₂时x的取值范围（读图作答） 第一层·事实性知识（画图、求交点、算面积的程序） 运用 0.75 数形结合 真题改编 15 解答 8 4.4 待定系数法应用：深圳某网约车平台"远途线性一口价"模型的里程-费用图象（一条直线，命题简化）：①由图象两点确定表达式；②解释k、b的实际意义；③比较指定行程下该平台与另一平台的费用高低 第二层·学科概念（k、b的实际意义与函数模型） 运用 0.62 建模、数形结合 原创（深圳情境） 16 解答 8 4.4 方案选择：某校赴大鹏研学，甲、乙两家旅行社报价相同、优惠方式不同（甲：每人打折；乙：免1名带队教师费用后其余打折）：①分别写出费用y₁、y₂与人数x的关系式；②求两家费用相等时的人数；③按人数区间给出选择建议（人数为正整数） 第三层·学科大图景（函数模型、最优化决策） 运用 0.58 建模、决策 真题改编（深圳情境） 17 解答 8 4.3 一次函数与动点几何：一直线与坐标轴交于A、B两点，动点P在直线上运动（以深圳湾无人机沿直线巡检为情境）：①用P点横坐标x表示△OPA的面积S；②写出x的取值范围；③求S为指定值时P点坐标 第三层·学科大图景（数形结合、用函数刻画运动变化） 运用 0.58 数形结合、变化思想 真题改编（深圳情境） 18 解答 8 4.4 行程双图象：粤港澳大桥深圳口岸穿梭巴士与私家车的路程s-时间t图象（巴士晚出发、途中停留、私家车匀速）：①分别求两者速度；②解释图象交点的实际意义（追及时刻与地点）；③判断巴士能否在到达指定观景台前追上私家车；④说明两表达式中k的实际意义 第二层·学科概念（图象信息与现实情境的互译） 运用 0.56 数形结合、建模 教材"追赶问题"例题改编（深圳情境） 19 解答 9 4.2 均匀变化探究★：中国古代计时器"漏刻"（教材阅读材料）漏水实验，水位h随时间t均匀下降：①据数据判断均匀变化并写出h与t的关系式；②解释k的实际意义及自变量取值范围（水漏尽即止）；③说明漏刻计时标尺上等距刻度的数学道理；④若换用更粗的壶身（漏水速度不变），刻度间距如何变化并说明理由 第三层·学科大图景（函数是描述变化规律的模型、变化率思想） 运用 0.45 建模、变化率、归纳推理 教材阅读材料"中国古代漏刻"改编 20 解答 12 4.1-4.4全章综合探究★：深圳地铁通勤购票方案决策（计费规则为命题简化的线性模型）：①【4.1】指出情境中的变量与常量，判断票价与里程是否构成函数关系并确定自变量取值范围；②【4.2】根据计费规则建立单程票价y与里程x的一次函数关系式；③【4.3】画出图象，说明k、b的实际意义与增减性；④【4.4】对比"计次月票"方案，求临界里程/次数，为不同通勤距离的市民给出购票决策建议 第四层·一般性人类思维（数学建模、最优化、决策思维） 运用 0.40 建模、数形结合、最优化、决策 原创（深圳情境，计费规则为命题简化） 节次 A卷分值 A卷占比 B卷分值 B卷占比 两卷合计 合计占比 蓝图基准 4.1 函数（概念与三种表示法） 17 17% 9 9% 26 13% 约15% 4.2 认识一次函数（含均匀变化、待定系数前置） 20 20% 21 21% 41 20.5% 约25% 4.3 一次函数的图象与性质 35 35% 40 40% 75 37.5% 约35% 4.4 一次函数的应用（待定系数法、图象应用、方案选择） 28 28% 30 30% 58 29% 约25% 合计 100 100% 100 100% 200 100% —— 知识层次 核心内容 A卷分值 B卷分值 两卷合计 第一层·事实性/程序性知识 常量变量辨识、一次函数形式判断、均匀变化判别、三种表示法、画图步骤、待定系数法步骤、k/b对图象影响、求交点、平移规律 52（52%） 17（17%） 69（34.5%） 第二层·学科概念 变量与常量、函数（单值对应）、一次函数/正比例函数、变化率与斜率、截距、函数图象、函数模型 36（36%） 34（34%） 70（35%） 第三层·学科大图景 函数是描述现实变化规律的模型；数形结合（图象与表达式互译）；变化与对应思想；分类讨论 12（12%） 34（34%） 46（23%） 第四层·一般性人类思维 数学建模（现实情境→函数关系）、最优化思想（方案选择）、决策思维、归纳推理、系联性思考 0 15（15%） 15（7.5%） 合计 —— 100 100 200 难度档位 难度系数区间 A卷分值 B卷分值 两卷合计 基础题 ≥0.75 71（71%） 20（20%） 91（45.5%） 中档题 0.55–0.74 29（29%） 53（53%） 82（41%） 提高题 ≤0.54 0 27（27%） 27（13.5%） 合计 —— 100 100 200 第四章 一次函数 双向细目表 A卷 · 基础过关卷 双向细目表 第1题｜选择题｜3分｜常量与变量辨识｜4.1｜第一层｜0.92｜教材例题改编（深圳情境）｜变化与对应 第2题｜选择题｜3分｜函数概念（单值对应）｜4.1｜第二层｜0.88｜教材习题改编｜变化与对应 第3题｜选择题｜3分｜一次函数与正比例函数概念｜4.2｜第一层｜0.86｜教材习题改编｜抽象与概括 第4题｜选择题｜3分｜均匀变化判别｜4.2｜第一层｜0.82｜教材“滴水/燃香”实验改编｜变化率思想（渗透） 第5题｜选择题｜3分｜正比例函数图象特征｜4.3｜第一层｜0.85｜教材改编｜数形结合 第6题｜选择题｜3分｜k、b与图象位置关系｜4.3｜第一层｜0.80｜深圳中考真题改编｜数形结合 第7题｜选择题｜3分｜增减性与函数值比较｜4.3｜第一层｜0.78｜真题改编｜变化与对应 第8题｜选择题｜3分｜表达式与图象互译｜4.3｜第一层｜0.76｜真题改编｜数形结合 第9题｜填空题｜3分｜自变量取值范围与函数值｜4.1｜第一层｜0.82｜原创（深圳情境）｜模型受现实约束 第10题｜填空题｜3分｜列一次函数关系式｜4.2｜第一层｜0.80｜原创（深圳情境）｜建模（渗透） 第11题｜填空题｜3分｜图象与坐标轴交点｜4.3｜第一层｜0.78｜教材改编｜数形结合 第12题｜填空题｜3分｜图象平移规律｜4.3｜第一层｜0.76｜真题改编｜变化与对应 第13题｜填空题｜3分｜均匀变化与关系式｜4.2｜第一层｜0.76｜教材“滴水实验”改编（深圳情境）｜变化率、建模 第14题｜解答题｜8分｜函数三种表示法综合｜4.1｜第二层｜0.80｜教材“气温变化图”改编（深圳情境）｜变化与对应、数形结合 第15题｜解答题｜8分｜均匀变化实验探究｜4.2｜第二层｜0.78｜教材例题改编（深圳情境）｜建模、变化率思想 第16题｜解答题｜8分｜画图象并探究性质｜4.3｜第一层｜0.78｜教材例题改编｜数形结合 第17题｜解答题｜8分｜待定系数法求表达式｜4.4｜第一层｜0.75｜原创（深圳情境，计费模型为命题简化）｜建模、数形结合 第18题｜解答题｜8分｜单个一次函数图象应用｜4.4｜第二层｜0.70｜原创（深圳情境）｜数形结合、建模 第19题｜解答题｜9分｜含参一次函数综合｜4.3｜第二层｜0.66｜深圳中考真题改编｜数形结合、分类讨论（渗透） 第20题｜解答题｜12分｜方案选择综合｜4.4+4.3｜第三层｜0.62｜原创（深圳情境）｜建模、数形结合、决策（最优化） B卷 · 培优提升卷 双向细目表 第1题｜选择题｜3分｜函数概念深化（图象判别）｜4.1｜第二层｜0.78｜真题改编｜变化与对应 第2题｜选择题｜3分｜含参概念辨析｜4.2｜第二层｜0.76｜真题改编｜抽象与概括、批判性思维 第3题｜选择题｜3分｜k、b综合判断｜4.3｜第一层｜0.72｜深圳中考真题改编｜数形结合 第4题｜选择题｜3分｜图象与坐标轴围成三角形面积｜4.3｜第二层｜0.66｜真题改编｜数形结合、转化 第5题｜选择题｜3分｜增减性与取值范围｜4.3｜第二层｜0.62｜真题改编｜变化与对应、数形结合 第6题｜选择题｜3分｜双图象方案选择读图｜4.4｜第三层｜0.60｜原创（深圳情境）｜建模、决策 第7题｜选择题｜3分｜变化率拓展（两k值比较）｜4.2｜第三层｜0.58｜教材“均匀变化”拓展（深圳情境）｜变化率思想、数形结合 第8题｜选择题｜3分｜图象多结论判断｜4.3｜第二层｜0.50｜深圳中考真题改编｜数形结合 第9题｜填空题｜3分｜图象变换（对称/平移）｜4.3｜第一层｜0.75｜真题改编｜对称与变号、数形结合 第10题｜填空题｜3分｜均匀变化与待定系数｜4.2｜第一层｜0.75｜原创（深圳情境）｜变化率、建模 第11题｜填空题｜3分｜含参图象定位（分类讨论）｜4.3｜第三层｜0.56｜真题改编｜分类讨论、批判性思维 第12题｜填空题｜3分｜交点与面积综合｜4.3｜第二层｜0.56｜真题改编｜数形结合、转化 第13题｜填空题｜3分｜新定义探究（变化率）｜4.1｜第四层｜0.48｜原创｜系联性思考、归纳推理 第14题｜解答题｜8分｜双直线图象综合｜4.3｜第一层｜0.75｜真题改编｜数形结合 第15题｜解答题｜8分｜待定系数法应用（网约车）｜4.4｜第二层｜0.62｜原创（深圳情境）｜建模、数形结合 第16题｜解答题｜8分｜方案选择（研学旅行）｜4.4｜第三层｜0.58｜真题改编（深圳情境）｜建模、决策 第17题｜解答题｜8分｜一次函数与动点几何｜4.3｜第三层｜0.58｜真题改编（深圳情境）｜数形结合、变化思想 第18题｜解答题｜8分｜行程双图象（粤港澳大桥）｜4.4｜第二层｜0.56｜教材“追赶问题”例题改编（深圳情境）｜数形结合、建模 第19题｜解答题｜9分｜均匀变化探究（漏刻）｜4.2｜第三层｜0.45｜教材阅读材料“中国古代漏刻”改编｜建模、变化率、归纳推理 第20题｜解答题｜12分｜全章综合探究（地铁通勤决策）｜4.1-4.4｜第四层｜0.40｜原创（深圳情境，计费规则为命题简化）｜建模、数形结合、最优化、决策 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数 单元测试卷 2026–2027学年北师大版八年级上册数学 学校：____________　班级：____________　姓名：____________　学号：____________ ───────────── 密 封 线 内 不 要 答 题 ───────────── 适用年级：八年级上学期　　适用教材：北师大版（2024版）　　适用区域：深圳市 考试时间：A卷标准答题时长60分钟；B卷标准答题时长60分钟；A+B拓展训练合计120分钟 试卷结构：A卷（基础过关卷）100分 + B卷（培优提升卷）100分 【系列说明】 本系列为专为深圳地区初二学生量身打造的同步单元作业卷，全套共七套，完整覆盖北师大版八年级上册七个教学单元，贴合深圳本地校历、课堂进度与中考命题导向，可作为日常课后作业、单元限时检测、周末巩固训练使用。整套统一采用 A 基础过关卷 + B 培优提升卷分层模式，精准适配深圳普通平行班、重点实验班差异化教学需求：A 卷立足课本基础，对标日常课后作业要求，夯实概念、基础技能与常规题型，重在巩固课堂所学；B 卷侧重逻辑推理、数学建模、分类讨论、规律探究，拔高函数思想与综合解题能力，满足尖子生拓展提升需求。 【使用指引】 A卷（基础过关卷）：适用普通班单元周测，侧重常量与变量、函数概念与三种表示法、一次函数与正比例函数的概念、均匀变化的判别、一次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的简单应用等基础知识和基本技能。 B卷（培优提升卷）：适用重点班培优提升，侧重含参一次函数的条件辨析、图象信息综合解读、变化率的现实意义、双图象方案选择与决策、动点与面积函数、新定义探究、均匀变化建模等核心能力。 试卷题型结构贴合深圳中考单元检测标准：8选择、5填空、7解答，全卷满分100分。 本套分层单元卷适配深圳市北师大版八上第四章一次函数，分基础A卷、培优B卷，贴合本地中考题型，全章覆盖函数、认识一次函数、一次函数的图象、一次函数的应用四大板块，适合普通班周测、重点班拔高训练。 说明：标注★的题目为综合性较强的情境探究题。本卷所有计费、运营类数据均为命题简化设计，与实际收费规则无关；坐标系中网格每个小正方形的边长均为1个单位长度。 A卷 得分栏 题号 一（选择题24分） 二（填空题15分） 三（解答题61分） 总分 得分 A卷 · 基础过关卷 满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个正确选项） 1.【基础】深圳某加油站的加油机显示牌上有三组数据：油品单价（元/升）、加油数量（升）、加油金额（元）。在一次加油过程中，下列说法正确的是（　　） A. 单价和数量都是变量 B. 单价是常量，数量和金额是变量 C. 金额是常量，单价和数量是变量 D. 单价、数量、金额都是常量 2.【基础】下列各图中，表示 y 是 x 的函数的图象是（　　） A. 图①和图② B. 图③ C. 图①、图②和图④ D. 图①、图②、图③和图④ 3.【基础】下列关系式：① y = 2x；② y = -3x + 1；③ y = x²；④ y = 1/x；⑤ y = x + 5。其中一次函数的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4.【基础】学校“燃香实验”小组记录了四组实验数据。下列四组数据中，y 随 x 呈均匀变化（x 每增加相同的值，y 也增加或减少相同的值）的一组是（　　） 选项 x 0 1 2 3 A y 2 4 6 8 B y 1 2 4 8 C y 10 7 5 2 D y 3 6 10 15 5.【基础】关于正比例函数 y = -2x 的图象，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过第一、三象限 B. 图象经过第二、四象限 C. 图象经过第一、二象限 D. 图象经过第三、四象限 6.【基础】一次函数 y = kx + b 的图象如图所示，则 k、b 的符号是（　　） A. k > 0，b > 0 B. k > 0，b < 0 C. k < 0，b > 0 D. k < 0，b < 0 7.【基础】已知点 A(1, y₁)、B(2, y₂) 都在一次函数 y = -x + 3 的图象上，则 y₁ 与 y₂ 的大小关系是（　　） A. y₁ < y₂ B. y₁ = y₂ C. y₁ > y₂ D. 无法确定 8.【基础】一个充满电的充电宝给手机供电时，剩余电量 y（单位：%）随供电时间 x（单位：分）均匀减少，供电开始时电量为100%，电量耗尽即停止供电。下列图象中能大致反映 y 与 x 之间关系的是（　　） A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.【基础】小宇的深圳通卡内原有余额100元，每次乘坐地铁刷卡扣费2元。若用 x 表示乘车次数，y 表示卡内余额（元），则 y 与 x 的关系式为________________；当 x = 20 时，卡内余额为________________元。 10.【基础】小泽沿深圳湾滨海绿道骑行，已经骑行了3 km，之后以0.3 km/min 的速度匀速前进。设继续骑行的时间为 t（单位：min），骑行的总路程为 s（单位：km），则 s 与 t 之间的关系式为________________。 11.【基础】直线 y = -2x + 4 与 x 轴的交点坐标为________________，与 y 轴的交点坐标为________________。 12.【基础】将直线 y = 2x 向上平移3个单位长度，所得直线的关系式为________________。 13.【基础】深圳某新能源汽车快充站记录了一辆电动汽车的充电数据（充电功率保持恒定，数据为命题简化）： 充电时间 x/min 0 10 20 30 40 电池电量 y/% 20 40 60 ____ 100 （1）电池电量随充电时间呈________________变化（填“均匀”或“不均匀”）； （2）y 与 x 的关系式为________________； （3）表中空缺的数据为________________。 三、解答题（本大题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题9分，第20题12分，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14.【基础】（8分）如图是深圳某日24小时气温随时间变化的图象（数据为命题简化）。 （1）这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ （2）这一天的最高气温和最低气温分别是多少？分别出现在什么时刻？ （3）14时的气温是多少？ （4）请描述这一天气温随时间的变化趋势； （5）自变量 t 的取值范围是什么？ 15.【基础】（8分）学校节水宣传周期间，数学小组重复了教材中的“滴漏水龙头”实验：在一个滴水的水龙头下放量杯，每隔10分钟记录一次量杯中的水量 V（单位：mL），数据如下表： 时间 t/min 0 10 20 30 40 水量 V/mL 0 200 400 600 800 （1）在如图所示的平面直角坐标系中描出各组对应值对应的点，观察这些点的分布有什么规律？ （2）写出 V 与 t 之间的关系式； （3）按这样的滴水速度，估计一个滴水水龙头一天（24小时）、一个月（按30天计）各漏水多少升？ （4）深圳是缺水城市，节约用水人人有责。结合第（3）问的计算结果，谈谈你的感想。 16.【基础】（8分）在同一平面直角坐标系中画出函数 y = -x + 3 与 y = 2x 的图象，并回答下列问题： （1）列表、描点、连线，分别画出两个函数的图象； （2）分别指出两个函数中 y 随 x 的变化趋势； （3）分别求出两个函数图象与坐标轴的交点坐标； （4）分别说明两个函数图象经过哪些象限。 17.【基础】（8分）深圳出租车的计费规则可以简化为线性模型（命题简化，与实际计费规则无关）：起步价12元（含起步里程3 km），超过3 km后每千米加收2.4元。如图是乘车费用 y（单位：元）与行驶里程 x（单位：km，x ≥ 3）关系的一段图象。 （1）求 y 与 x（x ≥ 3）的函数关系式； （2）说出关系式中 k 和 b 的实际意义； （3）小宇乘坐出租车行驶了10 km，应付车费多少元？ 18.【基础】（8分）周末小泽骑自行车去梧桐山，如图是他骑行的路程 s（单位：km）与时间 t（单位：min）关系的图象（数据为命题简化）。 （1）小泽从家到梧桐山的总路程是多少千米？ （2）求小泽骑行时（不含休息时间）的平均速度； （3）图象中水平的一段表示什么实际意义？ （4）出发40分钟时，小泽骑行的路程是多少千米？ 19.【中档】（9分）已知一次函数 y = (2m - 1)x + m + 3。 （1）若 y 随 x 的增大而增大，求 m 的取值范围； （2）若函数图象经过原点，求 m 的值； （3）若函数图象与 y 轴交于负半轴，求 m 的取值范围； （4）若函数图象不经过第一象限，求 m 的取值范围，并在如图所示的坐标系中画出一种满足条件的草图。 20.【中档】（12分）★ 共享单车是深圳市民常用的出行方式。某品牌共享单车有两种付费方式（计费规则为命题简化）： 　　方式一（单次计费）：每次骑行付费1.5元，没有其他费用； 　　方式二（月卡计费）：购买月卡25元/月，当月骑行不再另收费。 　　设某市民一个月内骑行 x 次，方式一、方式二的月费用分别为 y₁ 元、y₂ 元。 （1）分别写出 y₁、y₂ 与 x 的关系式，并指出自变量 x 的取值范围； （2）在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象； （3）一个月骑行多少次时，两种方式的费用相同？ （4）请你根据每月骑行次数，为市民选择更省钱的付费方式提出建议。 B卷 得分栏 题号 一（选择题24分） 二（填空题15分） 三（解答题61分） 总分 得分 B卷 · 培优提升卷 满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个正确选项） 1.【基础】下列四个图象中，表示 y 是 x 的函数的图象共有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.【基础】若函数 y = (m - 3)x|m| - 2 + m + 1 是关于 x 的一次函数，则 m 的值为（　　） A. 3 B. -3 C. ±3 D. 2 3.【中档】一次函数 y = kx + b 的图象如图所示，下列结论：① kb < 0；② k + b > 0；③ 当 x > 2 时，y < 0；④ b = -2。其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.【中档】一次函数 y = 2x - 6 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是（　　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 5.【中档】已知一次函数 y = -2x + 5，当 -1 ≤ x ≤ 2 时，函数 y 的最大值是（　　） A. 7 B. 3 C. 5 D. 1 6.【中档】如图是深圳A、B两个网约车平台的计费图象（计费规则为命题简化），横轴表示行驶里程 x（km），纵轴表示车费 y（元），两条射线分别表示两个平台的计费方式。根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A. 行驶里程为10 km时，两个平台的车费相同 B. 行驶里程在10 km以内时，选择B平台更省钱 C. 行驶里程超过10 km时，选择A平台更省钱 D. 交点 P 表示两个平台的起步价相同 7.【中档】深圳水库泄洪时，工作人员记录了甲、乙两个泄洪闸开启后水库水位的下降情况（命题简化）：甲闸开启后水位 y（m）与时间 x（h）的关系为 y = -0.3x + 20，乙闸开启后水位 y（m）与时间 x（h）的关系为 y = -0.5x + 20。下列说法正确的是（　　） A. 甲闸泄洪时水位下降得更快 B. 乙闸泄洪时水位下降得更快 C. 两个闸泄洪时水位下降的速度相同 D. 无法比较两个闸的泄洪速度 8.【提高】一次函数 y = kx + b 的图象如图所示，点 A(-1, y₁)、B(2, y₂) 是图象上的两点。下列结论：① k > 0；② b < 0；③ y₁ < y₂；④ 关于 x 的方程 kx + b = 0 的解是 x = -1。其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.【基础】直线 y = 2x - 3 关于 x 轴对称的直线的关系式为________________。 10.【基础】深圳某快充站记录了一辆新能源汽车的充电数据（充电功率保持恒定，数据为命题简化）： 充电时间 x/min 0 4 8 12 16 电池电量 y/% 40 52 64 ____ 88 （1）电池电量随充电时间呈均匀变化，则 y 与 x 的关系式为________________； （2）表中空缺的数据为________________； （3）若电池电量达到100%即充满，按此充电速度，该车从开始充电到充满共需________________分钟。 11.【中档】若一次函数 y = (2m - 1)x + m - 3 的图象不经过第二象限，则 m 的取值范围是________________。 12.【中档】直线 y = -x + 4 与直线 y = 2x - 2 的交点坐标为________________；这两条直线与 y 轴所围成的三角形的面积为________________。 13.【提高】【新定义】对于一次函数 y = ax + b，定义它的“变化率”为 f(x+1) - f(x)。根据这个定义： （1）函数 y = 3x - 5 的变化率为________________； （2）函数 y = 3x + 2 与函数 y = 3x - 7 的变化率________________（填“相同”或“不相同”）； （3）由此可归纳：一次函数 y = ax + b 的变化率与系数________________相等（填“a”或“b”）。 三、解答题（本大题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题9分，第20题12分，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14.【基础】（8分）在同一平面直角坐标系中，一次函数 y₁ = -x + 4 与 y₂ = 2x - 2 的图象如图所示。 （1）求两条直线的交点 P 的坐标； （2）求两条直线与 x 轴所围成的三角形的面积； （3）根据图象直接写出 y₁ > y₂ 时 x 的取值范围。 15.【中档】（8分）某网约车平台推出“远途线性一口价”服务（计费规则为命题简化）：车费 y（元）与行驶里程 x（km，x ≥ 3）成一次函数关系，图象如图所示。 （1）求 y 与 x（x ≥ 3）的函数关系式； （2）说出关系式中 k、b 的实际意义； （3）已知另一网约车平台的计费方式为 y = 3x + 8（x ≥ 0）。小宇一次行程为18 km，选择哪个平台更省钱？请通过计算说明。 16.【中档】（8分）某校组织八年级学生赴大鹏新区研学旅行，甲、乙两家旅行社的报价均为每人200元，优惠方式不同（命题简化）： 　　甲旅行社：所有人一律打八折； 　　乙旅行社：免去1名带队教师的费用，其余人一律打九折。 　　设参加研学的总人数为 x 人（x 为正整数），甲、乙两家旅行社收取的总费用分别为 y₁ 元、y₂ 元。 （1）分别写出 y₁、y₂ 与 x 的关系式； （2）参加人数为多少时，两家旅行社的费用相同？ （3）请你根据参加人数，为学校选择更合算的旅行社提出建议。 17.【中档】（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y = -3/4 x + 6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B。一架深圳湾巡检无人机从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 匀速飞行（命题简化）。设无人机飞至点 P 处时，点 P 的横坐标为 x，△OPA 的面积为 S（O 为坐标原点）。 （1）求点 A、B 的坐标； （2）求 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）当 S = 9 时，求点 P 的坐标。 18.【中档】（8分）粤港澳大桥深圳口岸附近，一辆穿梭巴士和一辆私家车同时从同一地点出发，前往距出发点48 km的观景台（命题简化）。私家车始终保持匀速行驶；穿梭巴士晚出发10分钟，途中在服务区停留了10分钟，其余时间匀速行驶。它们的路程 s（km）与时间 t（min）的关系图象如图所示。 （1）分别求私家车和穿梭巴士行驶时的速度； （2）若两车到达观景台后仍按各自原来的速度继续行驶，把两条图象按趋势延长，延长线的交点表示什么实际意义？求追及时两车已经出发了多长时间、距出发点多远； （3）实际上两车都在观景台结束行程。穿梭巴士能否在到达观景台之前追上私家车？请说明理由； （4）两个函数表达式中 k 的实际意义分别是什么？ 19.【提高】（9分）★ 漏刻是中国古代的计时工具（教材阅读材料）。数学小组仿制了一个简易漏刻进行漏水实验：壶中装满水后，水从壶底小孔均匀漏出，壶中水位 h（cm）随漏水时间 t（h）均匀下降，记录数据如下： 时间 t/h 0 1 2 3 4 水位 h/cm 30 27 24 21 18 （1）判断水位 h 随时间 t 是否呈均匀变化，并写出 h 与 t 的关系式； （2）解释关系式中 k 的实际意义，并指出自变量 t 的取值范围； （3）古人在漏刻的壶壁上刻上刻度来计时。请说明：为什么漏刻计时标尺上相邻整点时刻对应的刻度间距是相等的？ （4）若换用一个更粗的壶身（壶的底面积更大），而漏水速度（单位时间漏出的水的体积）保持不变，相邻整点刻度的间距会变大还是变小？请说明理由。 20.【提高】（12分）★ 深圳地铁通勤购票方案决策（计费规则为命题简化）： 　　深圳地铁单程票价可简化为如下线性模型：起步价2元，可乘坐4 km；超过4 km的部分，每千米加收0.5元（本题里程按连续值计算）。 　　此外，地铁公司还推出“计次月票”：110元/月，可乘车50次，当月有效，每次乘车不再另行付费。 　　设某市民单次通勤的乘车里程为 x km，单程票价为 y 元。 （1）【4.1】在“单程票价 y 随里程 x 变化”这一过程中，指出常量与变量；y 是 x 的函数吗？请说明理由，并指出自变量 x 的取值范围； （2）【4.2】求单程票价 y 与里程 x（x ≥ 4）的函数关系式； （3）【4.3】在如图所示的平面直角坐标系中画出 y 与 x（x ≥ 4）的图象，说出 k、b 的实际意义，并说明 y 随 x 的变化趋势； （4）【4.4】某市民每月工作日通勤22天、每天往返一次（每月共乘车44次）。请通过计算为他决策：每次买单程票，还是购买计次月票更合算？如果他的通勤里程发生变化，结论会怎样改变？ 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $