专题12 对数与对数函数高频考点讲义【16大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦对数与对数函数核心知识点，系统梳理从对数概念（含指数式与对数式关系）、基本性质及恒等式、运算性质、换底公式，到对数函数的概念、图象性质（定义域、单调性、定点等）及反函数的完整知识链，构建递进式学习支架。 该资料亮点在于以对比表格明晰指数式与对数式异同培养数学思维的推理意识，通过地震能量计算、药物浓度等实际应用问题发展数学语言的应用意识，例题分层设计覆盖基础到综合，助力课中教学效率提升，课后学生可通过练习查漏补缺，强化抽象能力与创新意识。

专题12 对数与对数函数高频考点精讲 知识点1：对数的概念 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数式与指数式的关 3．常用对数与自然对数 【注意】 1．logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数． 2．在x＝logaN中N>0． 3．在指数式与对数式中，a，x，N这三个量的异同． 类别 表达式 名称 a x N 指数式 ax＝N 底数 指数 幂值 对数式 x＝logaN 底数 对数 真数 知识点2：对数的基本性质及对数恒等式 1．对数的基本性质 (1)负数和0没有对数． (2)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 2．对数恒等式： ＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 知识点3：对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN． (2)loga＝logaM－logaN． (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【注意】(1)性质的逆运算仍然成立； (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义． 知识点4：对数的换底公式 1．对数换底公式：logab＝． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝． logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1． 【注意】(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)将不同底对数转换为相同底对数，在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝． 知识点5：对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 【注意】(1)对数函数的系数为1． (2)真数只能是一个x． (3)底数与指数函数的底数范围相同． 知识点6：对数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 特点 当x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) 当x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 【注意】(1)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (2)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 知识点7：反函数 1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示 2．互为反函数的两个函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)． (3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (4)互为反函数的两个函数的单调性相同． 考点一　对数的概念 考点二　对数的运算性质的应用 考点三　换底公式化简计算 考点四　对数函数的概念 考点五　对数型函数的定义域 考点六　与对数有关的函数的值域与最值问题 考点七　对数型函数的图象过定点问题 考点八　对数型函数的图象的判断及其求参 考点九　对数型函数的图象及应用 考点十　对数型函数的单调性问题 考点十一　比较对数值的大小 考点十二　由对数函数的单调性解不等式 考点十三　根据对数型函数的单调性求参数 考点十四　利用对数函数的性质综合解题 考点十五　对数函数的实际应用 考点十六　反函数的应用 考点一　对数的概念 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）化为对数式是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·全国·模拟预测），则________． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点二　对数的运算性质的应用 5．（26-27高一上·全国·课后作业）计算：. 6．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）__________． 7．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 考点三　换底公式化简计算 9．（26-27高一上·全国·课堂例题） ________　. 10．（26-27高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 11．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算. 12．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）化简求值（需要写出计算过程）. (1)； (2). 考点四　对数函数的概念 13．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 14．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列各式中的取值范围： (1) (2) (3) 15．（2026高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 16．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则_________． 考点五　对数型函数的定义域 17．（25-26高一上·湖南娄底·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 19．（25-26高二下·上海奉贤·期末）函数的定义域是______. 20．（25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 考点六　与对数有关的函数的值域与最值问题 21．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 22．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 23．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 24．（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 考点七　对数型函数的图象过定点问题 25．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 27．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 28．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 考点八　对数型函数的图象的判断及其求参 29．（26-27高一上·全国·课堂例题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A．B．C． D． 30．（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）（多选）设a与b为实数，，且，已知函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数的定义域为 D．函数在为增函数 考点九　对数型函数的图象及应用 33．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 34．（2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知实数，满足，则，可能的情况是（     ） A． B． C． D． 35．（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 36．（25-26高一上·青海海东·期末）（多选）设函数，，若有四个零点，，，（），则（   ） A．的最小值为 B． C． D．m的取值范围是 考点十　对数型函数的单调性问题 37．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间为___________. 38．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间为_______________． 39．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 40．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）函数的单调递减区间为_____． 考点十一　比较对数值的大小 41．（26-27高二上·浙江·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 42．（26-27高三上·广东·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 43．（2026高一上·全国·专题练习）尝试比较与大小 44．（2026高一上·全国·专题练习）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 考点十二　由对数函数的单调性解不等式 45．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 46．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）设函数，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 47．（26-27高一上·全国·课堂例题）设a为常数且，解关于x的不等式． 48．（2026高三·全国·专题练习）函数，若在区间内恒有，解关于x的不等式． 考点十三　根据对数型函数的单调性求参数 49．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______． 50．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 51．（25-26高二下·天津南开·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 52．（25-26高二下·湖南岳阳·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 考点十四　利用对数函数的性质综合解题 53．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 54．（25-26高二下·福建南平·期末）若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________． 55．（25-26高一上·青海西宁·阶段检测）已知函数. (1)当时，解不等式：； (2)若函数在上的最大值为，求的值. 56．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设. (1)求实数的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 考点十五　对数函数的实际应用 57．（25-26高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 58．（25-26高一上·天津·阶段检测）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 59．（25-26高一上·安徽宣城·期末）甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度随时间t的变化可以用指数衰减模型近似描述：（为峰值浓度，k为消除速率常数）．根据临床数据，某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，服用10小时后血药浓度降至峰值的50%，则k的值大约为（    ）（参考数据：，） A．0.087 B．0.076 C．0.0693 D．0.092 60．（25-26高一上·四川眉山·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 考点十六　反函数的应用 61．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 62．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求证：函数在内单调递增； (2)记为函数的反函数．若关于x的方程在上有解，求m的取值范围． 63．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 64．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知和它的反函数的图像都经过，则______． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 对数与对数函数高频考点精讲 知识点1：对数的概念 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数式与指数式的关 3．常用对数与自然对数 【注意】 1．logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数． 2．在x＝logaN中N>0． 3．在指数式与对数式中，a，x，N这三个量的异同． 类别 表达式 名称 a x N 指数式 ax＝N 底数 指数 幂值 对数式 x＝logaN 底数 对数 真数 知识点2：对数的基本性质及对数恒等式 1．对数的基本性质 (1)负数和0没有对数． (2)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 2．对数恒等式： ＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 知识点3：对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN． (2)loga＝logaM－logaN． (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【注意】(1)性质的逆运算仍然成立； (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义． 知识点4：对数的换底公式 1．对数换底公式：logab＝． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝． logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1． 【注意】(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)将不同底对数转换为相同底对数，在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝． 知识点5：对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 【注意】(1)对数函数的系数为1． (2)真数只能是一个x． (3)底数与指数函数的底数范围相同． 知识点6：对数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 特点 当x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) 当x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 【注意】(1)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (2)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 知识点7：反函数 1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示 2．互为反函数的两个函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)． (3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (4)互为反函数的两个函数的单调性相同． 考点一　对数的概念 考点二　对数的运算性质的应用 考点三　换底公式化简计算 考点四　对数函数的概念 考点五　对数型函数的定义域 考点六　与对数有关的函数的值域与最值问题 考点七　对数型函数的图象过定点问题 考点八　对数型函数的图象的判断及其求参 考点九　对数型函数的图象及应用 考点十　对数型函数的单调性问题 考点十一　比较对数值的大小 考点十二　由对数函数的单调性解不等式 考点十三　根据对数型函数的单调性求参数 考点十四　利用对数函数的性质综合解题 考点十五　对数函数的实际应用 考点十六　反函数的应用 考点一　对数的概念 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数与对数的互化直接求解即可. 【详解】因为，所以. 2．（2026·全国·模拟预测），则________． 【答案】 【分析】利用换元法令，转化为，求解，再求解. 【详解】，令 ，则变形为 所以，因为 ，所以 ，所以 所以，或 （舍去）， 又 ，所以，所以. 3．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】左右两边同时乘以得， 左右两边同时加得， 设，则单调递增， 又，， 所以， 所以，所以. 4．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号. 故选：B. 考点二　对数的运算性质的应用 5．（26-27高一上·全国·课后作业）计算：. 【答案】 【详解】 . 6．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）__________． 【答案】 【分析】分别计算有理数乘方、对数式、含对数的指数式，再合并结果即可. 【详解】根据乘方运算法则，， 利用对数运算性质可得： ， 再化简指数：， 然后根据对数恒等式可得： ， 所以. 7．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 【答案】 【分析】（1）根据对数运算性质可得； （2）根据对数定义及运算性质可得. 【详解】由，得，即 化为，解得或. 又∴.∴， （2）原方程可化为， 即 所以， 即，解得或 又且，所以. 所以不满足题意，因此应舍去. 故方程的解为 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 【答案】(1) (2) 【分析】先利用指对数互化公式，再由对数运算性质与换底公式化简所求式，代入整理即得. 【详解】（1）因为,所以. 所以; （2）. 考点三　换底公式化简计算 9．（26-27高一上·全国·课堂例题） ________　. 【答案】3 【分析】根据对数换底公式化简求解即可. 【详解】 10．（26-27高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1)111 (2) 【详解】（1） ； （2）. 11．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算. 【答案】 【分析】由于题目中各个对数的底数都不相同，解答本题时可先通过对数换底公式统一底数，再进行化简求值． 【详解】原式 . 12．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）化简求值（需要写出计算过程）. (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)7 【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，即可求解. 【详解】（1）解：由指数幂的运算公式得：原式； （2）解：由对数的运算法则和对数的换底公式，可得. 考点四　对数函数的概念 13．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)是 【分析】根据对数函数的定义判断. 【详解】（1）真数为，不是对数函数． （2）对数式后加3，∴不是对数函数． （3）真数为，且系数不为1，不是对数函数． （4）底数是8，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 14．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列各式中的取值范围： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)，且 (3)且，且 【详解】（1）由题意知， 所以. （2）由题意知满足，，且， 即，且， 所以，且. （3）由题意知满足，，且， 解得且，且. 15．（2026高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 16．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则_________． 【答案】/ 【分析】根据，求得对数函数解析式，再将代入计算即可. 【详解】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 考点五　对数型函数的定义域 17．（25-26高一上·湖南娄底·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出所满足的不等式组，求解即可. 【详解】由，解得，所以函数的定义域是. 故选：C. 18．（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质转化为恒成立问题，再建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，则，解得． 综上实数的取值范围为． 19．（25-26高二下·上海奉贤·期末）函数的定义域是______. 【答案】（或） 【详解】，解得，则此函数的定义域为或. 20．（25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 考点六　与对数有关的函数的值域与最值问题 21．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【答案】D 【详解】当时，. 当时， . 所以函数的值域为. 22．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. 23．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 【答案】最大值为，最小值为. 【详解】令，，则， ，， 因为在上单调递减． ∴当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故的最大值为，最小值为. 24．（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【答案】（1）的取值范围是，值域为； （2）的取值范围是，定义域为 【分析】（1）分析可知，可求出的取值范围，再利用配方法结合对数函数的单调性可求出原函数的值域； （2）分析可知，可求出的取值范围，由可求出原函数的定义域. 【详解】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． 考点七　对数型函数的图象过定点问题 25．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 26．（25-26高二下·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 【答案】 7 【分析】根据对数函数且恒过定点，令可求得定点坐标，得到，从而求得. 【详解】令，得. 所以函数（且）过定点， 所以， 故. 27．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【分析】先根据指数函数的定义，确定的值，再依据对数函数的性质，令中真数为1求出定点横坐标，进而得出定点坐标. 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 28．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 考点八　对数型函数的图象的判断及其求参 29．（26-27高一上·全国·课堂例题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】通过讨论的不同取值情况，再结合选项，即可判断. 【详解】当时，函数过定点且单调递减， 则函数过定点且单调递增， 函数过定点且单调递减，D选项符合； 当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减， 函数过定点且单调递增，各选项均不符合. 综上，ABC不可能，D可能. 30．（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过幂函数得出的值，再结合对数函数的平移规律与单调性，即可确定的图象特征. 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 31．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解. 【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D 32．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）（多选）设a与b为实数，，且，已知函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数的定义域为 D．函数在为增函数 【答案】ABD 【分析】由图像求出函数解析式为，则可求其定义域，判断单调性. 【详解】解：有题意可知， 即，解得，AB选项正确， ，则， 函数的定义域为，C选项错误； ，函数在为增函数，D选项正确； 故选：ABD. 考点九　对数型函数的图象及应用 33．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得，将三个解析式分别看成关于的对数函数，幂函数与指数函数，作出图象，根据交点情况及图象的位置即可逐一判断选项. 【详解】设，则，且， 在同一个坐标系中作出三个函数的图象： 其中与交于点，与交于点. 由图知，当时，，故D符合； 当时，，故A符合； 当时，，故B符合.即只有C项不合题意. 34．（2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知实数，满足，则，可能的情况是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由对数函数性质可知， 所以当时，，所以，选项A正确； 当时，，所以，选项B正确； 当时，，所以，选项C错误； 当时，，所以，选项D正确. 35．（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可. 【详解】如图所示： 由方程即有四个不同解， 即的图象与有四个不同的交点，由图可知， 不妨假设，由图可知， 又由图可知， 故，解得：， 又，结合图象可知，所以， 所以， 设， 任取，且， 则 ， 因为且， 所以且， 所以， 所以在上单调递减， 所以即，即， 所以. 36．（25-26高一上·青海海东·期末）（多选）设函数，，若有四个零点，，，（），则（   ） A．的最小值为 B． C． D．m的取值范围是 【答案】ACD 【分析】做出函数的图象，数形结合，可判断各选项是否正确. 【详解】作出函数的草图如下： 结合函数图象，可得： 当时，方程只有1解； 当或时，方程有2解； 当时，方程有3解； 当时，方程有4解. 所以有四个零点，则，故D正确； 因为有四个零点，，，（），由图可知： 当时，，，因为，所以，因为，所以， 当时，，所以的最小值为，故A正确； 当时，，，所以，故B错误； 因为， 所以，故C正确. 故选：ACD 考点十　对数型函数的单调性问题 37．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间为___________. 【答案】 【分析】应用换元法结合对数函数单调性及复合函数单调法则计算判断求解. 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则， 当时，由，得， 所以函数的单调递增区间是. 38．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间为_______________． 【答案】和 【分析】使用对数型复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得， 函数的定义域为， 令，当和时，是减函数， 当和时，是增函数， 因为是减函数， 所以的递增区间为和. 39．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 40．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）函数的单调递减区间为_____． 【答案】 【分析】结合复合函数“同增异减”的单调性规则，先求定义域再推导内层函数的对应单调区间即可 【详解】由题意可知，整理得， 解得定义域为，令， 由于底数，因此外层函数在上单调递减， 要使复合函数单调递减，需内层函数在定义域内单调递增， 是开口向下的二次函数，对称轴为，其单调递增区间为， 将该区间与定义域取交集，得， 因此函数的单调递减区间为. 考点十一　比较对数值的大小 41．（26-27高二上·浙江·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式、对数的换底公式、指数的运算，结合对数函数的单调性求解判断即可. 【详解】因为， 所以，即，也即. 又，，所以. 综上，. 42．（26-27高三上·广东·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以． 43．（2026高一上·全国·专题练习）尝试比较与大小 【答案】 【分析】由，且，可得，利用逐项加1法，结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 则，可得， 可得，所以， 因为，所以，可得， 可得，所以. 44．（2026高一上·全国·专题练习）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用对数的运算法则和对数函数的性质，结合，求得的范围，即可得到答案. 【详解】由对数的运算法则，可得， 因为，且，所以， 又因为，所以． 考点十二　由对数函数的单调性解不等式 45．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数， 所以　， 原不等式可化为， 又已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增， 所以，即，解得：. 故B，C正确. 46．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）设函数，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先换元令，分和求解外层不等式，再分段对和解内层不等式，取并集即可得到解集. 【详解】令，则不等式转化为. 当时，则，所以； 当时，则，解得， 综上：或，即或. 对于： 当时，则有， 所以； 当时，则有，即，无解； 对于： 当时，则有，所以； 当时，则有，即，所以， 综上，不等式的解集是. 47．（26-27高一上·全国·课堂例题）设a为常数且，解关于x的不等式． 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性去掉对数符号，转化为真数的大小关系，结合定义域得到不等式组，分解因式后即可求解． 【详解】解：∵，， ∴且， ∴，即， ∵，∴， ∴， ∴原不等式解集为． 48．（2026高三·全国·专题练习）函数，若在区间内恒有，解关于x的不等式． 【答案】 【分析】根据恒成立得出，再根据复合函数的单调性得出的单调性即可求解. 【详解】若，则， 因为在区间上恒成立，所以， 因为均在上单调递增， 所以， 因为均在上单调递增， 所以， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， 则由 可得， 则，即， 得（舍）或，得， 故不等式的解集为. 考点十三　根据对数型函数的单调性求参数 49．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性法则，结合对数函数的定义域，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 且函数在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 50．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及对数函数单调性条件可转化为函数在区间上有意义，且在上单调递减，讨论结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为函数在区间上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上有意义，且在上单调递减， 当时，或，解得， 当时，，此时函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，满足条件， 所以的取值范围为. 51．（25-26高二下·天津南开·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可. 【详解】令，则函数可看成由 与复合而成， 因为对数的底数且，所以是单调递减函数， 又因为函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到， 又在区间上，作为的真数要大于0恒成立， 所以，所以， 综上所述实数的取值范围为. 52．（25-26高二下·湖南岳阳·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，函数的外层函数为， 又，则外层函数为单调递减函数. ∵ 函数在区间上单调递增， ∴ 内层函数在区间上单调递减，且在上恒成立. ∵ 是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 要满足在上单调递减，需，解得. ∵ 在上单调递减，∴ 时，， 要满足在上恒成立，需，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 考点十四　利用对数函数的性质综合解题 53．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值； （2）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围． 【详解】（1），由于恒成立， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； （2）若对于任意，存在，使得不等式成立， 则恒成立， 令，当时，， 所以，所以当时，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 54．（25-26高二下·福建南平·期末）若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________． 【答案】1 【分析】令，转化问题为，进而根据函数的单调性求出，转化问题为，即可求解． 【详解】解：， ， ，， 令， 若存在使得不等式成立， ， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， ， 即， ， 解得：， ， 实数的最大值为1， 故答案为：1． 55．（25-26高一上·青海西宁·阶段检测）已知函数. (1)当时，解不等式：； (2)若函数在上的最大值为，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将代入得，再根据对数的基本运算及对数函数的性质求解即可； （2）由题意可得在上的最大值为，分和，分别求解即可. 【详解】（1）解：因为，所以， 所以，即为， 所以，解得， 所以原不等式的解集为：； （2）解：由复合函数的性质可知在上单调递增， 所以函数在上的最大值为， 若，则，解得或， 又因为，，所以此时无解； 若，则， 又因为， 所以，解得， 但此时，矛盾，故舍去； 综上. 56．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设. (1)求实数的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数性质及其最值即可求得， （2）利用换元法可得满足不等式即可，再利用二次函数单调性即可求得实数的取值范围为； （3）根据题意由方程有四个不同的实数解可转化为方程有两个不相等的正实数根，利用韦达定理即可求得实数的取值范围为. 【详解】（1）由可知，函数关于对称， 又，所以函数在单调递增， 可得，即， 解得 （2）由（1）可知， 则不等式可化为， 所以，即， 令，又，可得， 即，显然函数在上单调递增， 由题意可得即可，所以， 所以实数的取值范围为； （3）易知， 所以即为， 可化为, 令，即； 则关于的方程有四个不同的实数解等价为于 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根； 需满足，解得； 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解不等式恒（能）成立问题时，一般通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数取值范围. 考点十五　对数函数的实际应用 57．（25-26高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 【答案】4 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 58．（25-26高一上·天津·阶段检测）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求得半衰期，然后再计算可得． 【详解】由题意，即，，， 设降温到35℃大约需要，则， 即，， ， 所以， 故选：B． 59．（25-26高一上·安徽宣城·期末）甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度随时间t的变化可以用指数衰减模型近似描述：（为峰值浓度，k为消除速率常数）．根据临床数据，某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，服用10小时后血药浓度降至峰值的50%，则k的值大约为（    ）（参考数据：，） A．0.087 B．0.076 C．0.0693 D．0.092 【答案】A 【分析】依题意得，，即可求解． 【详解】某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，即进入消除期， 则， 得， 得， 故选：A 60．（25-26高一上·四川眉山·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，利用对数的运算性质可求得的值. 【详解】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、， 则，即， 所以，. 故选：B. 考点十六　反函数的应用 61．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反函数定义求出，由复合函数单调性满足同增异减进行求解，注意定义域 【详解】由反函数定义可知，其在上单调递增， 由得， 其中在上单调递增，在上单调递减， 由同增异减可知的单调递减区间是. 62．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求证：函数在内单调递增； (2)记为函数的反函数．若关于x的方程在上有解，求m的取值范围． 【答案】(1)任取，则， ，，，， ，即函数在内单调递增． (2) 【详解】（1）略. （2）， ， 当时，，，， 则，的取值范围是. 63．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据反函数的性质，利用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数的反函数的图象过点， 所以函数的图象过点， 所以有. 故选：B 64．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知和它的反函数的图像都经过，则______． 【答案】 【分析】根据反函数的性质可得，列方程求即可. 【详解】因为函数的反函数的图像经过， 所以函数的图像经过， 又的图像经过， 所以. 故答案为： 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $