第4章 4.2 4.2.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦指数函数的图象与性质的应用，系统梳理利用单调性解不等式、比较大小、求最值的方法，结合函数图象的平移与对称变换，搭建从基本性质到复合函数及实际应用的学习支架。 以“红色代码”病毒复制为情境引入，通过分层例题与变式训练，培养逻辑推理（单调性分析）、数学运算（换元法）及数学建模（人口增长问题）素养，课中助力教师教学，课后便于学生巩固查漏。

第2课时　指数函数的图象与性质的应用 课程标准 素养解读 1.能利用指数函数的单调性解不等式、比较大小、求最值 2．掌握指数函数在实际生活中的简单应用 1.通过指数函数的性质培养学生逻辑推理和数学运算素养 2．通过学习指数函数的应用提升数学建模素养 [情境引入] “红色代码”被认为史上破坏性极强的计算机病毒之一，具有快速自我复制能力，它可以由1个变成2个，2个变成4个，……，复制x次后，你知道所得病毒的个数y与x的函数关系式是什么，你了解此函数的性质吗？ 提示：y＝2x. [知识梳理] [知识点一]　指数函数的图象和性质　 a的范围 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 　R　 值域 　(0，＋∞)　 过定点 　(0,1)　 单调性 在R上是　增函数　 在R上是　减函数　 奇偶性 非奇非偶函数 [知识点二]　函数图象的平移　 1．平移变换 y＝f(x)y＝f(x－h)． y＝f(x)y＝f(x)＋k. 2．对称变换 y＝f(x)y＝－f(x)． y＝f(x)y＝f(－x)． y＝f(x) y＝f(2a－x)． y＝f(x)y＝－f(－x)． [预习自测] 1．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的取值范围是(　　) A.　　　　　 B．[－1,1] C. D．[0,1] 答案：C 2．函数y＝2x＋1的图象是(　　) 答案：A 3．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝　________　. 答案：2 　　　解含指数型不等式 [例1] (1)如果a－5x>ax＋7(a>0，a≠1)，求x的取值范围． [思路点拨]　分0<a<1和a>1两种情况讨论． (2)设f(x)＝3x，g(x)＝10－，如果f(x)<g(x)，那么x的取值范围是多少？ [思路点拨]　令t＝3x，整体代换，转化为二次函数范围问题． [解]　(1)①当0<a<1时，y＝ax为减函数， 则－5x<x＋7，解得x>－. ②当a>1时，y＝ax为增函数， 则－5x>x＋7，∴x<－， 综上，当0<a<1时，x∈， 当a>1时，x∈. (2)由f(x)<g(x)，得3x<10－， 即(3x)2－10×3x＋9<0. 设t＝3x>0，故有t2－10t＋9<0,1<t<9， 即1<3x<9，∴0<x<2. 指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法： 当a>1时，f(x)>g(x)； 当0<a<1时，f(x)<g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝x(a>0，且a≠1)等． [变式训练] 1．不等式的解集为　________　. 解析： ∴原不等式等价于 ∵y＝2x是R上的增函数，∴2－x2≤x， ∴x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1， ∴原不等式的解集是{x|x≥1，或x≤－2}． 答案：{x|x≥1，或x≤－2} 　　　指数型函数的单调性 [例2] 判断的单调性，并求其值域． [思路点拨]　令u＝x2－2x，则与u＝x2－2x的单调性相反． [解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在(1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减， ∴ 在(－∞，1]上递增，在(1，＋∞)上递减． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝u，u∈[－1，＋∞)， ∴0<u≤－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]． 函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性． [变式训练] 2．已知函数，求f(x)的值域与单调区间． 解：令u＝2x－x2，则u＝－(x－1)2＋1≤1，定义域为R，故u在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，又y＝u为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以≥1＝，故函数的值域为[，＋∞)，单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)． 3．求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间． 解：函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈(0，＋∞)．y＝(2x)2－2×2x＋5＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，t∈(0，＋∞)．当t≥1时，2x≥1，x≥0；当0<t≤1时，0<2x≤1，x≤0.故函数y＝4x－2×2x＋5，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 　　指数函数图象的应用 [例3] 已知函数y＝2|x＋2|. (1)画出该函数的图象； (2)由图象指出其单调区间． [思路点拨]　先去掉解析式中的绝对值，再利用平移变换作图． [解]　(1)∵y＝ ∴y＝2x＋2(x≥－2)的图象可由y＝2x的图象向左平移2个单位，再截取x≥－2的部分得到．y＝x＋2(x<－2)的图象可由y＝x的图象向左平移2个单位，再截取x<－2的部分得到． ∴函数y＝2|x＋2|的图象如图． (2)由图象可知其单调递增区间为[－2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－2]． 作函数图象的方法一般有：一是列表、描点、连线法作图象；二是利用已知函数图象作平移、对称等变换得到，函数图象形象直观，只要能作出函数的图象，便可由图象求出函数的单调性、最值、值域、奇偶性等性质． [变式训练] 4．画出下列函数的图象并根据图象求单调区间： (1)y＝|2x－2|； (2)y＝2－|x|. 解：(1)y＝|2x－2|＝的图象如下图． 由图象可得函数y＝|2x－2|的递增区间为[1，＋∞)，递减区间为(－∞，1]． (2)y＝2－|x|＝的图象如下图． 由图象可得函数y＝2－|x|的递增区间为(－∞，0]，递减区间为[0，＋∞)． 　 　　指数函数性质的综合应用问题 [例4] 设a＞0，f(x)＝＋是定义在R上的偶函数． (1)求a的值； (2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数． [思路点拨]　利用等式f(－x)＝f(x)恒成立确定a的值，利用单调性的定义证明是增函数． [解]　(1)依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)， 即＋＝＋aex. 所以＝0对一切x∈R恒成立． 由此可得a－＝0，即a2＝1. 又因为a＞0，所以a＝1. (2)证明：由(1)知，f(x)＝ex＋，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则 1．形如y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的求法 (1)定义法．即“取值——作差——变形——定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性． (2)利用复合函数的单调性的规律来判断． 2．由指数函数构成的复合函数的值域求法 一般用换元法即可，但应注意在变量的值域和指数函数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况． 3．判定函数奇偶性要注意的问题 (1)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)正确利用变形技巧：分析f(x)和f(－x)的关系，必要时可利用f(x)±f(－x)＝0来判定． (3)巧用图象的特征：在解答有图象信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，进行快速判定． [变式训练] 5．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数f(x)的单调性； (3)若对任意的t∈R，不等式f(2kt2＋kt)＋f(kt－kt2＋1)＜0恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝＝0，即b＝1，所以f(x)＝，所以－f(1)＝－＝f(－1)＝，解得a＝2.故a＝2，b＝1，则f(x)＝.经检验，符合题意． (3)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(2kt2＋kt)＋f(kt－kt2＋1)＜0⇒f(2kt2＋kt)＜－f(kt－kt2＋1)＝f(－kt＋kt2－1)． 因为f(x)在R上单调递减，所以2kt2＋kt＞－kt＋kt2－1，即kt2＋2kt＋1＞0，从而对任意的t∈R，kt2＋2kt＋1＞0恒成立． 当k＝0时，不等式kt2＋2kt＋1＞0恒成立，满足题意；当k≠0时，欲使对任意的t∈R，kt2＋2kt＋1＞0恒成立，只需解得0＜k＜1. 综上所述，实数k的取值范围为[0,1)． 　　　指数型函数的实际应用 [例5] 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) [思路点拨]　先列出关系式，再代入求解． [解]　(1)1年后该城市人口总数为： y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3； … x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)． 解决指数型函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论． [变式训练] 6．(多选)如图，某湖泊蓝藻的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系满足y＝at，则下列说法正确的是(　　) A．蓝藻面积每个月的增长率为200% B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第4个月时，蓝藻面积就会超过80 m2 D．若蓝藻面积蔓延到2 m2,4 m2,8 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有2t2＝t1＋t3 解析：ACD　[由题图可知，函数y＝at的图象经过点(1,3)，即a1＝3，则a＝3，∴y＝3t，∴3t＋1－3t＝2×3t不是常数．由y＝3t可知蓝藻每个月的面积是上个月面积的3倍，则每个月的增长率为200%，A正确，B错误；当t＝4时，y＝34＝81＞80，C正确；若蓝藻面积蔓延到2 m2,4 m2，8 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则则t1＋t3＝2t2，D正确．] 7．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%. (1)写出产量y随年数x变化的函数解析式； (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p. 解：(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x， 定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}． (2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100. 1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 答案：B 2．(多选)下列结论中，正确的是(　　) A．函数y＝2x－1是指数函数 B．函数的单调递增区间是(1，＋∞) C．若am＞an(a＞0，a≠1)，则m＞n D．函数f(x)＝ax－2－3(a＞0，a≠1)的图象必过定点(2，－2) 答案：BD 3．若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝　________　. 答案： 4．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个交点，则a的取值范围是　________　. 答案：0＜a＜ 5．已知函数 (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间； (2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值． 解：(1)当a＝－1时， 令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝x在R上是减函数，所以f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 1．函数y＝1－x的单调递增区间为(　　) A．(－∞，＋∞)　　　 B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1) 答案：A 2．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在(0,2)上的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案：B 3．已知函数f(x)＝，则f(x)的(　　) A．图象关于原点对称，且在[0，＋∞)上单调递增 B．图象关于y轴对称，且在[0，＋∞)上单调递增 C．图象关于原点对称，且在[0，＋∞)上单调递减 D．图象关于y轴对称，且在[0，＋∞)上单调递减 答案：A 4．设函数f(x)＝3x(x－a)在区间上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．[－3,0) C．(0,1] D．[3，＋∞) 答案：D 5．(多选)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为，则a的值可以为(　　) A.　　 B.　　 C．2　　　D. 解析：AB　[当a>1时，y＝ax在[1,2]上的最大值为a2，最小值为a，故有a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)． 当0<a<1时，y＝ax在[1,2]上的最大值为a，最小值为a2， 故有a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)． 综上，a＝或a＝.] 6．(多选)已知函数f(x)＝，则(　　) A．函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的图象关于y轴对称 C．函数f(x)的值域为(－1,1) D．函数f(x)是减函数 解析：AC　[f(x)的定义域为R，f(x)＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，A正确，B错误；f(x)＝＝1－，因为2x＋1＞1，所以0＜＜1，所以0＜＜2，所以－1＜1－＜1，故f(x)的值域为(－1,1)，C正确； 7．已知函数 (a＞0且a≠1)在区间上单调递减，则实数a的取值范围是　________　. 解析：函数可以看作由函数y＝at，t＝x2－(a－2)x＋1复合而成，当a＞1时，外函数y＝at单调递增，所以内函数t＝x2－(a－2)x＋1在上单调递减，则≥1，解得a≥4；当0＜a＜1时，外函数y＝at单调递减，所以内函数t＝x2－(a－2)x＋1在上单调递增，则≤－，解得a≤. 综上所述，a≥4或0＜a≤. 答案：∪[4，＋∞) 8．若函数f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于原点对称，则f(x)＝　________　. 解析：设(x，y)是所求函数图象上任一点，则(－x，－y)是原函数图象上的点，即－y＝2－x，即f(x)＝－x. 答案：－x 9．已知指数函数f(x)＝(2a－1)x，若f(－3)>f(－2)，则实数a的取值范围是　__________　，若f(－3)<f(－2)，则实数 a的取值范围是　________　. 解析：∵指数函数f(x)＝(2a－1)x， 若f(－3)>f(－2)， ∴函数f(x)单调递减，∴0<2a－1<1，解得<a<1，同理，若 f(－3)<f(－2)，则2a－1>1，解得a>1. 答案：　(1，＋∞) 10．判断的单调性，并求其值域． 解：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴在(－∞，1]上单调递增， 在[1，＋∞)上单调递减． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0＜u≤－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]． 11．已知函数f(x)＝2x－2－x. (1)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由； (2)证明：函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数． 解：(1)f(x)是奇函数．理由如下：函数f(x)的定义域是R.因为f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以函数f(x)＝2x－2－x是奇函数． (2)证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2， ∴f(x1)－f(x2)＜0， ∴f(x1)＜f(x2)， ∴函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数． 12．已知不等式9x－4·3x＋3≤0的解集为集合A，函数f(x)＝4－x－3·2－x－1＋1，x∈A. (1)求集合A； (2)求函数f(x)的值域． 解：(1)由9x－4×3x＋3≤0，得(3x)2－4×3x＋3≤0，即(3x－1)·(3x－3)≤0，即1≤3x≤3，解得0≤x≤1，故集合A＝{x|0≤x≤1}． (2)f(x)＝4－x－3×2－x－1＋1＝(2－x)2－×2－x＋1，令t＝2－x，则f(x)可化为g(t)＝t2－t＋1. ∵x∈[0,1]，∴t∈，而函数g(t)＝t2－t＋1的图象的对称轴为直线t＝∈， ∴g(t)＝t2－t＋1在区间上单调递减，在区间上单调递增．故g(t)在上的最大值为g＝g(1)＝，最小值为g＝－×＋1＝，故函数f(x)的值域为. 13．已知定义在R上的函数f(x)＝m·4x－2x＋1－m(m∈R)． (1)当m＝1时，求f(x)的值域； (2)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围； (3)若函数y＝g(x)的定义域内存在x0，使得g(a＋x0)＋g(a－x0)＝2b成立，则称g(x)为局部对称函数，其中(a，b)为函数g(x)的局部对称点，若(1,0)是函数y＝f(x)的局部对称点，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝1时，f(x)＝4x－2x＋1－1， 令2x＝n＞0，则f(x)＝4x－2x＋1－1可转化为y＝n2－2n－1(n＞0)，即y＝(n－1)2－2≥－2， ∴f(x)的值域为[－2，＋∞)． (2)令s＝2x，∵x＞1，∴s＞2，则f(x)可转化为y＝ms2－2s－m(s＞2)． ∵s＝2x在(1，＋∞)上单调递增， ∴要使f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 只需y＝ms2－2s－m在(2，＋∞)上单调递增即可． ①当m＝0时，y＝－2s在(2，＋∞)上单调递减，不符合题意； ②当m＜0时，y＝ms2－2s－m的图象开口向下，不符合题意； ③当m＞0时，要满足解得m≥. 综上，实数m的取值范围是. (3)由(1,0)是函数y＝f(x)的局部对称点，得∃x∈R，f(1＋x)＋f(1－x)＝0， 代入整理得2m(4x＋4－x)－2(2x＋2－x)－m＝0.① 令t＝2x＋2－x，则t≥2，当且仅当x＝0时取等号， 则4x＋4－x＝(2x＋2－x)2－2＝t2－2， 代入①式得2mt2－2t－5m＝0， 即m＝＝. 当t≥2时，函数y＝2t和y＝－均单调递增， ∴y＝2t－在[2，＋∞)上单调递增， ∴2t－≥，∴∈， ∴实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $