2.10 圆的面积（二） 课件-2026-2027学年北师大版六年级数学上册

该小学数学课件聚焦圆的面积计算及实际问题解决，课堂导入通过复习圆的直径、周长、面积公式搭建旧知支架，再结合喷水龙头浇灌农田、圆形羊圈等情境提出问题，引导学生从旧知过渡到新知应用。 其亮点在于结合真实情境设计探究活动，如两种花坛方案对比让学生发现半径变化与面积的关系，发展几何直观和量感。通过剪拼三角形推导圆面积公式，体会等积变形思想，培养推理意识。拓展延伸中比较周长相等的正方形与圆的面积，激发探究兴趣。学生能提升解决实际问题能力，教师可借助丰富素材有效培养学生核心素养。

今天咱们聊一个有意思的话题，为什么在自然界当中周长固定的时候圆的面积是最大的？然后包括为什么球体会在表面积固定的情况下体积是最大的？其实这背后既涉及到一个非常古老的数学问题叫等周问题，同时它也反映了自然界当中一个非常普遍的极值法则。没错。这个话题真的很有意思，我们现在就开始。首先就是等周问题的定义，然后包括圆为什么是最优解，这个其实很多人都知道说，在周长固定的情况下，圆的面积是最大的。但是为什么呢？对，这个就是等周问题，它是一个非常古老的数学问题。它就是说在周长固定的情况下，什么样的图形面积最大。我们可以通过一个很简单的例子来看，比如说拿同样长的一根绳子，你把它围成长方形或者是正方形。你会发现其实越扁的长方形它的面积会越小，然后越接近正方形的话，它的面积会越大。但是如果我们把它围成一个圆的话，它的面积是要比任何的多边形都要大的。明白了，那为什么这个最优解它一定是一个凸的曲线？它为什么不能是一个凹进去的图形呢？这个其实也很好理解，就是你只要这个图形有凹进去的部分，那你就可以把凹进去的这部分给它拉平。拉平之后你这个图形的周长是没有变的，但是它的面积会变大。所以说最优解一定是一个处处外凸的一条光滑曲线，原来是这样。那为什么平分这个周长的弦一定是直径呢？是因为如果这条弦不是直径的话，那你把图形沿着这条弦翻转过去，得到的新图形和原来的图形拼在一起，可以得到一个更大面积的图形。所以只有这条弦是直径的时候，你这个面积才没有办法再变大了。对，然后再加上前面说的这个凸的性质，就只有圆是同时满足这两个条件的。所以等周不等式就是说任何一个图形它的面积都不可能超过同样周长的圆的面积。我还有个问题，就是为什么边数越多这个图形就越接近圆呢？是因为当这个周长固定的时候，正多边形的边数越多，它就会越接近于圆，然后面积也会越大当这个边数趋于无穷的时候，它就是一个圆了。OK. 我们刚才讲的都是二维的情况，如果我们把这个问题拓展到三维会是什么情况呢？其实到了三维的话，就是在所有表面积相同的立体图形当中，球的体积是最大的。这个就是三维的等周问题的答案。那就是说这个等周原理在大自然当中有哪些体现呢？其实你能看到很多这种现象，比如说水珠它为什么会天然的形成球形？就是因为表面张力会让它的表面积最小化。然后包括很多星球它也是一个球形，肥皂泡它也是一个球形，都是因为这个原理，就是要最小的表面积去包住最大的体积。所以说这个等周问题它其实不只是一个数学上的一个问题，它其实在现实生活当中是有很多很多的应用的。是吗？等周问题它本质上体现的是自然界的一种极值法则，就是系统会自发的去寻求某种最小消耗或者最大效率的这样的一个状态。然后这种极值的思维其实也是现代人工智能里面优化算法的一个核心的思想。就是数学其实是我们理解宇宙规律的一个很基础的语言，所以这也是数学的魅力所在。好吧，今天我们就聊到这儿，然后咱们下期节目再见，拜拜。 nullnull 北京师范大学出版社 六年级上册 第二单元 圆 圆的面积（二） (解决与圆的面积有关的实际问题) 学习目标 1. 能结合实际情境，发现数学信息并分析相关的数量关系，运用圆的面积公式计算圆的面积，解决问题；能通过对比不同花坛修建方案，发现圆直径 (或半径) 的变化与面积的变化之间的关系，提升对图形面积大小的直观判断和分析能力，发展量感和几何直观。 2. 结合剪杯垫的活动，进一步丰富探索圆面积公式的方法，体会 “等积变形” 的数学思想，进一步感受数学的应用价值，激发探索定量刻画图形特征的兴趣。 复习导入 d r O 圆的直径与半径的关系： 圆的面积计算的公式： d＝2r S＝πr² 圆的周长计算的公式： C＝2πr 我们学过哪些圆的知识？ 节水农业 示范基地 3m 喷水头转动一周，浇灌农田的形状是圆。 探究新知 你能提出什么数学问题？ 喷水半径是3m，喷水头转动一周， 能浇灌多大面积的农田？ S＝π×32 S＝9π 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（m2） 答：能浇灌28.26m2的农田。 就是求圆的面积。 探究新知 量得圆形羊圈的周长是125.6m。 这个羊圈的面积是多少平方米？ 要计算圆形羊圈的面积，可以先求出羊圈的半径。 半径：125.6÷3.14÷2＝20（m） 面积：3.14×202＝1256（m2） 答：这个羊圈的面积是1256m2。 探究新知 准备在绿地修建花坛，设计师设计了两种方案，哪种方案花坛面积更大？与同伴交流。 方案一 方案二 修建两个直径是4m的小花坛。 修建一个直径是8m的大花坛。 大花坛的直径是小花坛的2倍，两个小花坛的面积应该和一个大花坛的面积一样大吧。 方案二的花坛面积大，而且 比方案一大这么多！怎么回事？ 答：方案二的花坛面积更大。 下面是一种有意思的推导圆的面积的方法，读一读，填一填。 探究新知 沿线剪开 这是一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片。 下面是一种有意思的推导圆的面积的方法，读一读，填一填。 探究新知 沿线剪开 2 r π r 这时，三角形的面积相当于圆的面积。 观察这个三角形，底相当于的( )，高相当于圆的（ ）。 周长 半径 这是一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片。 下面是一种有意思的推导圆的面积的方法，读一读，填一填。 探究新知 2πr r 三角形的面积＝（ ）， 所以圆的积：S＝（ ）＝（ ）。 下面是一种有意思的推导圆的面积的方法，读一读，填一填。 探究新知 一个圆形杯垫的半径是4cm，这个杯垫的面积是多少平方厘米？ 3.14×42＝50.24（cm2） 答：这个杯垫的面积是50.24cm2。 北京天坛公园的回音壁是世界闻名的声学奇迹，它是一道圆形围墙。围墙的周长大约是204.1m，面积大约是多少平方米？（结果保留一位小数） 半径：204.1÷3.14÷2＝32.5（m） 答：面积大约是3316.6 m2。 面积：3.14×32.52≈3316.6（m2） 一个运动场跑道的形状与大小如图。两边是半圆形，中间是长方 形，这个运动场的占地面积是多少平方米？ 50m 20m 长方形面积：50×20＝1000（m2） 答：这个运动场的占地面积是1314m2。 圆面积：3.14×（20÷2）2＝314（m2） 占地面积：1000+314＝1314（m2） 下图中大圆半径等于小圆的直径，请你求出阴影部分的面积。 4cm 大圆面积：3.14×42＝50.24（cm2） 小圆面积：3.14×（4÷2）2＝12.56（cm2） 阴影面积：50.24－12.56＝37.68（cm2） 拓展延伸 奇思用两根长度都是31.4cm的铁丝分别围成正方形和圆，它们围成的面积一样大吗？ 正方形的边长： 7.85（cm） 31.4÷4＝ 7.85×7.85＝ 答：它们围成的面积不一样大。 61.6225（cm²） 正方形的面积： 圆的半径： 5（cm） 31.4÷3.14÷2＝ 圆的面积： 31.4×5²＝ 78.5（cm²） 61.622＜78.5 拓展延伸 在周长相等的平面图形里，有没有面积最大的图形？如果有，它是什么图形？ 拓展延伸 在周长相等的平面图形里，有没有面积最大的图形？如果有，它是什么图形？ 拓展延伸 在周长相等的平面图形里，有没有面积最大的图形？如果有，它是什么图形？ 板书设计 圆的面积(二) S＝πr² 2 r π r 下 课 Lavf60.16.100 Lavf60.16.100 Lavf60.16.100 vid:v0200fg10000ciq0j8nog65v5g9cagq0 $今天我们用实验证明圆的面积最大。首先我用线穿入固定数量珠子表示周长固定。然后在图右侧标出了实时变化的面积。当我尝试不同形状时，你可以看到面积是如何变化的。现在这个形状是凹的，因为这里凹进去了，还可以藏水。我们看看如果沿着这条线翻转凹面会发生什么？你看到面积增加了吗？我们的目标是找到最大可能的面积，所以我们进行翻转。这里还有一个我会不断重复这个操作，直到我们的多边形变为凸形面积，每次移动都会增加这个过程。就像爬山，现在我们已经到达山顶，所以我们不能再往别的地方走了，因为任何翻转都会让我们下山。问题是这并不是我们要找的形状。你看如果我们从不同的形状开始进行几次翻转，我们会得到一个面积更大的不同的形状。有无穷多的起始形状，做另一种移动面积就更大了，或者说爬的更高了，这不是一个好的办法。再来我们将这个链条对半分，即每边有相同数量的珠子，一个区域会比另一个大，所以我们可以重新移动这个区域，变成对称的，从而面积可以得到提升。现在看看这个凹面，这时一开始的翻转操作再次起作用。更重要的是，这个镜像对称操作就像让我们登上了另一座山，使得面积更大了。你可以将这些想象成更高的维度，但这相当抽象，所以不会过多强调，只需要注意新的移动是如何帮助我们的。我们现在可进行翻转或镜像操作，因为这个区域比那个大我将翻转并重复直至无法再进行。虽然形状为凸，但我们仍能在此处进行一次镜像。就像这样，无论如何切分这个链条，两个区域始终等大。因此我们又一次停滞，有无数类似的形状可选择，面积各异，我们还需做些工作。再来我将展示第三，移动关注这半边和这里的角度，这个角度问题是不等于90度。看如果我向此切分形状并像剪刀般旋转外部部分，三角形外部面积不变，但三角形内面积会变，三角形面积是底乘高。如果这是底这是高底不变，但高会变，显然最大高适当角度为直角，那就是我们的第三步。如果角度不是90度，就像剪刀一样剪成90度，并在另一半边做同样改变，你可以视其为负荷操作，现在其他移动又能使用，如同以前我只用镜像它同时解决翻转问题。似乎我们又回到这里，但我们可以稍展开这角度，那个也是让我们把这个角度稍微收起来。那个也是这每次我们动作面积稍大一点，但不能无限增长，必须在某点停止及所有角度都是90度。无论起始形状是什么，过程总以这种形状结束。这是什么形状的？所有角都是直角的形状。直角三角形有个重要属性及中线是斜边长度的一半，所以所有这些点都与中心点等距，这就是一个圆。三个操作下来，面积不断变为最大，形状也逐渐变成了一个圆。