江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学2024-2025学年高三上学期期初迎考数学试卷

绝密★启用前 江苏省2024—2025学年高三上学期期初迎考卷 数　　学 注意事项: 1. 本试卷满分150分,考试时间为120分钟. 2. 答题前,考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在密封线内. 一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 1. 已知i是虚数单位,5+7i=(1+i)z,则= (　　) 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 A. 5 B. C. 6 D. 50 2. 已知等差数列{an}的公差大于0,a5+a3-a2=0,a5a7=-1,则{an}的前10项和为 (　　) A. -4 B. 0 C. -5 D. 5 3. 已知直线l:+=1及圆C:x2+y2-6x-2y+2=0,则“a=8”是“直线l与圆C相切”的 (　　) A. 充分不必要条件　 B. 必要不充分条件 C. 充要条件　　 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知向量=(-1,1),=(2,m),·=-6,则m= (　　) A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 5. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为e1,若椭圆C的长轴、短轴同时增加2m(m>0),得到离心率为e2的椭圆C',则 (　　) A. e1>e2 B. e1=e2 C. e1<e2 D. 无法比较e1与e2的大小 6. 已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,随机变量ξ服从正态分布,其正态密度曲线如图所示,若=D(ξ),则n= (　　) (第6题) A. 5 B. 8 C. 9 D. 14 7. 已知α,β∈,tan α·tan β=,tan(α+β)=,则cos(α-β)= (　　) A. B. C. D. 8. 在备战巴黎奥运会期间,教练组举办羽毛球训练比赛,派出甲、乙两名单打主力,为了提高两名主力的能力,教练安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与陪练打2局,当两人获胜局数不少于3局时,则认为这轮训练过关;否则不过关.已知甲、乙两人每局获胜的概率分别为P1,P2,且满足P1+P2=,每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,若E(X)=16,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为 (　　) A. 32 B. 31 C. 28 D. 27　 二、 多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 已知一组数据x1,x2,…,xm的平均数为,另一组数据y1,y2,…,yn的平均数为.若数据x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn的平均数为,则 (　　) A. 当m=n时,= B. 当=时,m=n C. 当=时, = D. 当>时, > 10. 已知定义在R上的函数f(x)(f(x)≠0),导函数为f'(x),且满足f'(x)+f'(-x)=0,f(1+x)+f(1-x)=0,则 (　　) A. f(x+4)=f(x) B. f'(-1)=f'(3) C. y=f(1-x)-f'(x)一定为偶函数 D. y= 一定为奇函数 11. 已知三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,平面PAB⊥平面ABC,PA=1,AC=,则 (　　) A. PA⊥平面ABC B. 当BC⊥AB时,平面PBC⊥平面PAB C. 当PC⊥AB时,二面角P-BC-A的最小值为 D. 当BC⊥AB时,点A到平面PBC的距离小于 三、 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 已知loga b+4logb a=4,则=　　　　.  13. 已知圆台的母线与底面所成角为60°,下底面的半径为2,其体积为,则该圆台的高等于　　　　.  14. 在平面直角坐标系xOy中,曲线E:(x2+y2)3=8x2y2的图象是四叶草曲线,设P(x0,y0)为E上任意一点,且满足P∈{(x0,y0)|x0∈Z或y0∈Z},则任取一点P,该点为格点(横、纵坐标均为整数)的概率为　　　　.  四、 解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=3AB=3,点E,F分别在棱BB1,CC1上,BE=C1F=BB1. (1) 判断BD与平面AEF的位置关系并证明; (2) 求平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值. (第15题) 16. (15分)在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,满足=2,AD=. (1) 若AC=BD,求△ABC的面积; (2) 求∠ADC余弦值的最小值. 17. (15分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0),动直线l过点M(2,0),当直线l与双曲线C有且仅有一个公共点时,点B到直线l的距离为. (1) 求双曲线C的标准方程. (2) 当直线l与双曲线C交于异于A,B的两点P,Q时,记直线AP的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,是否存在实数λ,使得k2=λk1恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 18. (17分)已知函数f(x)=ln(e为自然对数的底数,e=2.718…). (1) 求函数f(x)的最小值; (2) 已知g(x)=f(x)+ln(a+x)(a>0). ①若g(x)在定义域上单调递增,求实数a的取值范围; ②若直线y=-x与曲线g(x)相切,求实数a的值. 19. (17分)有无穷多个首项均为1的等比数列,记第n(n∈N*)个等比数列的第m(m∈N,m≥2)项为am(n),公比为qn(qn>0). (1) 若=2,求的值; (2) 若m为给定的值,且对任意n有am(n+1)=2am(n),证明:存在实数λ,μ,满足λ+μ=1,q100=; (3) 若{qn}为等比数列,证明:am(1)+am(2)+…+am(n)≤. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省2024—2025学年高三上学期期初迎考卷 数学参考答案 1. A　解析:由5+7i=(1+i)z可知z====6+i,所以z+1=7+i,则=5.另解:由5+7i=(1+i)z可知6+8i=(1+i)z+(1+i)=(1+i)(z+1),故=,所以=5. 2. C　解析:设等差数列{an}的公差为d,则d>0.由a5+a3-a2=0得a5+d=a6=0.又a5a7=-1=(a6-d)(a6+d)=-d2,结合d>0,有d=1,所以a5=-1,有S10==5(a5+a6)=-5. 3. C　解析:若直线l:x+y-a=0(a≠0)与圆C:(x-3)2+(y-1)2=8相切,则=2,解得a=0(舍去)或a=8,所以“a=8”是“直线l与圆C相切”的充要条件. 4. B　解析:·=·(-)=·-=-2+m-2=-6,故m=-2. 5. A　解析:由题知e1====,则e2=.因为a>b>0,m>0,则<,所以e1>e2. 6. B　解析:由ξ的分布密度曲线知μ=1,σ=,所以D(ξ)=σ2=,则===,解得n=8. 7. A　解析:因为tan(α+β)=,α,β∈,则α+β∈,所以cos(α+β)=.又tan α·tan β=,所以解得所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+=. 8. D　解析:由题可知每一轮过关的概率P=2P2(1-P2)+2P1(1-P1)+=-3+2P1P2(P1+P2)=-3+,因为P1+P2=,所以P1P2≤=,当且仅当P1=P2=时等号成立,故P≤.因为X~B(n,P),所以E(X)=nP=16,则n=≥16×=27. 9. ACD　解析:当m=n时,=+=+=,A正确;当=时,取x1=x2=…=xm=0,y1=y2=…=yn=0,则m与n不一定相等,B错误;当=时,=+=+===,C正确;当>时,=+>,有+>0,即-=(-)>0,所以>,D正确. 10. ABD　解析:由f'(x)+f'(-x)=0,可知f(x)-f(-x)=C(C为常数),令x=0,有C=0,故f(x)=f(-x).而f(1+x)+f(1-x)=0,则f(1+x)=-f(1-x)=-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=f(x),故A正确.由f(1+x)+f(1-x)=0,可得f'(1+x)-f'(1-x)=0.令x=-2,有f'(-1)=f'(3),故B正确.因为f'(x)+f'(-x)=0,f(1+x)+f(1-x)=0,所以f'(x)-f(1-x)+f'(-x)-f(1+x)=0,即f'(x)-f(1-x)=-f'(-x)+f(1+x),所以y=f(1-x)-f'(x)为奇函数,故C错误.由f(x)=f(-x)知f(x)为偶函数,由f'(x)+f'(-x)=0知f'(x)为奇函数,又f(x)≠0,所以y=一定为奇函数,故D正确. 11. AB　解析:如图(1),在BC上任取一点D,过点D作DE⊥AC于点E,作DF⊥AB于点F,因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,DE⊂平面ABC,所以DE⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,所以DE⊥PA,同理DF⊥PA.又DE∩DF=D,所以PA⊥平面ABC,故A正确.由PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,当BC⊥AB时,BC⊥平面PAB,又BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB,故B正确.由PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,当PC⊥AB时,可知AB⊥平面PAC,则AB⊥AC.如图(2),过点A作AH⊥BC于点H,连接PH,则∠PHA为二面角P-BC-A的平面角,tan∠PHA=>=,故∠PHA>,故C错误.当BC⊥AB时,过点A作AT⊥PB于点T,又BC⊥PA,易知BC⊥平面PAB,则BC⊥AT,从而AT⊥平面PBC,则点A到平面PBC的距离为AT,当AB=时,AT=>,故D错误. 图(1)　　图(2)(第11题) 12. 　解析:因为logab+4logba=4,所以logab+=4,可得(logab)2-4logab+4=0,即(logab-2)2=0,所以logab=2,即a2=b,所以=. 13. 　解析:设圆台的上底面半径为x,高为h,则π(x2+2x+4)h=,即(x2+2x+4)h=7.又母线与底面所成角为60°,有h=(2-x),则有(x2+2x+4)(2-x)=7,所以23-x3=7,解得x=1,所以h=. 14. 　解析:由(x2+y2)3=8x2y2≤8,得x2+y2≤2,当且仅当x2=y2=1时取等号,可知≤,故满足x0∈Z且y0∈Z的点P仅有(-1,-1),(-1,1),(0,0),(1,-1),(1,1),共5个.令x0=0,则y0=0,由于(x2+y2)3=8x2y2的图象关于x轴、y轴、坐标原点、y=x对称,因此只需研究第一象限图象上横坐标或纵坐标为整数的点的情况.令x0=1,则=8y2,不妨设y>0,则有1+y2=2,令=t,t>0,则有1+t3=2t,化简有(t-1)(t2+t-1)=0,解得t=1或t=,则1+y2=2有两个正根1,.故在第一象限,横坐标或纵坐标为整数的点共有3个:(1,1),,.故整个曲线上横坐标或纵坐标为整数的点共有13个,所以任取一点P,该点为格点的概率为. 15. 解答:以DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,1,1),F(0,1,2),=(0,-1,-1),=(-1,0,1). (1) BD∥平面AEF.证明如下:由+=(0,-1,-1)+(-1,0,1)=(-1,-1,0),=(-1,-1,0),所以=+.因为(+)⊂平面AEF,点B不在平面AEF内,故BD∥平面AEF. (2) 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则有不妨令x=1,得y=-1,z=1,则n=(1,-1,1).又平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),所以cos<m,n>===,所以平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为. (第15题) 16. 解答:(1) 设AC=BD=x,则AB=x,CD=2x.在△ABC中,cos C===.在△ADC中,cos C===,解得x2=1,故x=1,所以S△ABC=×AC×BC×sin C=×3×1×=. (第16题) (2) 设BD=x,AC=y,则AB=y,CD=2x.因为cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以+=0,即+=0,整理得2x2-5y2+3=0.在△ADC中,cos∠ADC======+≥,当且仅当x=,y=时取等号,经检验,此时三角形存在,符合题意.所以∠ADC余弦值的最小值为. 17. 解答:(1) 因为a=1,所以x2-=1,故当直线l过点M(2,0)且与双曲线C有且仅有一个公共点时,l与C的渐近线平行.设直线l:y=±b(x-2),则点B(1,0)到直线l的距离为=,解得b=1,所以双曲线C的标准方程为x2-y2=1. (2) 由题知,直线l的斜率不为0,如图,设直线l:x=my+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(m2-1)y2+4my+3=0(m2-1≠0),Δ=4m2+12>0,则y1+y2=,y1y2=,所以my1y2=-(y1+y2).因为k1=,k2=(k1k2≠0),所以λ========-3.故存在实数λ=-3,使得k2=λk1恒成立. (第17题) 18. 解答:f(x)=ln=-x-ln(a-x),定义域为(-∞,a). (1) f'(x)=-1+=,令f'(x)=0,有x=a-1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x(-∞,a-1)a-1(a-1,a) f'(x)-0+ f(x)单调递减单调递增 故当x=a-1时,f(x)取得的最小值为f(a-1)=1-a. (2) g(x)=-x-ln(a-x)+ln(a+x)(a>0),g'(x)=-1++. ①g(x)=-x-ln(a-x)+ln(a+x)(a>0),则x∈(-a,a).若g(x)在定义域上单调递增,则g'(x)=-1++=-1+≥0,即x2≥a2-2a恒成立,所以0≥a2-2a,又a>0,解得0<a≤2,即实数a的取值范围为(0,2]. ②若直线y=-x与曲线g(x)相切,设切点为(x0,g(x0)),则即 化简得令φ(x)=ln(a+x)-ln(a-x)-x(-a<x<a),则φ'(x)=+-=-==.若0<x0<a,则x∈(0,x0)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,有φ(x0)<φ(0)=0,与φ(x0)=0矛盾,舍去.若-a<x0<0,则x∈(x0,0)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,有φ(x0)>φ(0)=0,与φ(x0)=0矛盾,舍去.若x0=0,解得a=4或a=0(舍去),经检验符合题意.综上,所求实数a的值为4. 19. 解答:(1) 由题意得===2. (2) 因为am(n+1)=2am(n),所以1×=2×1×,即qn+1=qn×,所以=,因此q100=q1×.又=,所以q100=q1×=q1×=,所以存在实数λ=-98,μ=99,满足λ+μ=1,q100=. (3) 因为{qn}为等比数列,所以qn=q1qn-1,其中q为{qn}的公比,于是am(n)=q(n-1)(m-1),当1≤i≤n时,am(n+1-i)+am(i)-=(q(n-i)(m-1)+q(i-1)(m-1)-q(n-1)(m-1)-1)=-(q(n-i)(m-1)-1)·(q(i-1)(m-1)-1).因为q>0,(i-1)(m-1)≥0,(i-1)(m-1)≥0,因此(q(n-i)(m-1)-1)(q(i-1)(m-1)-1)≥0.又-<0,所以am(n+1-i)+am(i)≤am(n)+am(1),因此≤n,即2[am(1)+am(2)+…+am(n)]≤n,所以am(1)+am(2)+…+am(n)≤. 学科网（北京）股份有限公司 $$