1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第2课时　空间中直线、平面的垂直）课后练习 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习针对高中数学“空间中直线、平面的垂直”新授课，采用“A级基础+B级提升”分层设计，通过从单一向量关系判断到综合几何模型应用的递进路径，强化空间向量工具性，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|直线/平面垂直的向量判定、简单计算与证明|以选择、填空为主，聚焦方向向量与法向量关系（如题1-4），基础证明（题8）巩固概念| |B级|复杂几何模型中的垂直关系、综合证明与计算|多选题（题9、10）提升辨析能力，结合正方体、四棱锥（题12、13）深化空间建模与逻辑推理|

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时　空间中直线、平面的垂直 A级 必备知识基础练 1.已知直线l的方向向量为a=(1,1,2),平面α的法向量为n=(2,2,4),则(　　) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α相交 2.已知m=(-2,2,5),n=(3,-2,2)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系为(　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合 3.已知直线l的一个方向向量a=(1,2,m),平面α的一个法向量n=(-1,-2,3),若l⊥α,则m=(　　) A.-3 B.-1 C.0 D.1 4.若空间两直线l1与l2的方向向量分别为a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3),则两直线l1与l2垂直的充要条件为(　　) A.a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) B.存在实数k,使得a=kb C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.a·b=±|a||b| 5.(多选题)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是(　　) A.AB⊥AC B.与同向的单位向量是(,0) C.夹角的余弦值是 D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5) 6.已知三个互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3),k=(-1,4,3),则α,β两个平面的位置关系是　　　　　,α,γ两个平面的位置关系是　　　　　,γ,β两个平面的位置关系是　　　　　.  7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为棱C1D1的中点,M为棱BC的中点,则直线AM与PM的位置关系是　　　　　.  8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证: (1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1. B级 关键能力提升练 9.(多选题)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则(　　) A.EF⊥A1D B.EF⊥AD1 C.EF∥BD1 D.EF与BD1是异面直线 10.(多选题)给出下列命题,其中是真命题的是(　　) A.若a=(-1,1,-2)是直线l的方向向量,b=(-2,-1,)是直线m的方向向量,则直线l与m垂直 B.若a=(1,1,-1)是直线l的方向向量,n=(0,-1,-1)是平面α的法向量,则l⊥α C.若n1=(1,0,3),n2=(0,1,2)分别为平面α,β的法向量,则α⊥β D.若存在实数x,y,使=x+y,则P,M,A,B四点共面 11.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC=90°,且AA1=AD=DC=2,M∈平面ABCD,当D1M⊥平面A1C1D时,DM=　　　　　.  12.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点. (1)求EF的长; (2)证明:EF⊥平面A1CD. 13.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中点.求证:平面BDE⊥平面ABCD. 参考答案 1.B　因为n=(2,2,4),a=(1,1,2),故可得n=2a,即n∥a,则直线l⊥α.故选B. 2.B　因为m=(-2,2,5),n=(3,-2,2),所以m·n=-2×3+2×(-2)+5×2=0,故m⊥n,所以α⊥β.故选B. 3.A　∵l⊥α,∴a∥n,则=-1,∴m=-3.故选A. 4.C　由l1⊥l2可得a⊥b,则a·b=0,即a1b1+a2b2+a3b3=0. 同理,由a1b1+a2b2+a3b3=0可得a·b=0,进一步可得l1⊥l2,所以a⊥b,所以a1b1+a2b2+a3b3=0是l1⊥l2的充要条件,C正确.故选C. 5.ABD　空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1), 对于A,=(2,1,0),=(-1,2,1),∴=2×(-1)+1×2+0×1=0,∴,即AB⊥AC,故A正确; 对于B,=(2,1,0),=(,0),故B正确; 对于C,=(2,1,0),=(-3,1,1), ∴夹角的余弦值cos<>==-,故C错误; 对于D,设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则取x=1,则y=-2,z=5,得n=(1,-2,5),故D正确.故选ABD. 6.α∥β　α⊥γ　β⊥γ　三个互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3),k=(-1,4,3), 所以m=-2n,即m∥n,所以α∥β.又m·k=(2,-4,6)·(-1,4,3)=-2-16+18=0,则m⊥k,所以α⊥γ. 同理,n·k=(-1,2,-3)·(-1,4,3)=1+8-9=0,则n⊥k,所以β⊥γ. 7.AM⊥PM　以D点为原点,所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.可得D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0), ∴=(,1,-),=(-,2,0). =(,1,-)·(-,2,0)=-+1×2+0×(-)=0,即,可得AM⊥PM. 8.证明以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(,0),B1(1,1,1). (1)∵=(-1,-1,1),=(-1,1,0), ∴=1-1+0=0,∴,∴BD1⊥AC. (2)∵=(-1,-1,1),=(,1), ∴=-+1=0, ∴,∴BD1⊥EB1. 9.AC　如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),D1(0,0,3),A(3,0,0),A1(3,0,3),B(3,3,0),E(1,0,1),F(2,1,0), =(1,1,-1),=(-3,0,-3),=(-3,0,3),=(-3,-3,3). 对于A,=-3+0+3=0,则,即EF⊥A1D,故A正确; 对于B,=-3+0-3≠0,故B错误; 对于C,=-,则,故C正确,D错误. 故选AC. 10.AD　对于A,因为a·b=(-1)×(-2)+1×(-1)+(-2)×=0,可知a⊥b,所以直线l与m垂直,故A正确; 对于B,因为a·n=1×0+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,可知a⊥n,所以l⊂α或l∥α,故B错误; 对于C,因为n1·n2=1×0+0×1+3×2=6≠0,所以平面α,β不相互垂直,故C错误; 对于D,若存在实数x,y,使=x+y,则为共面向量,所以P,M,A,B四点共面,故D正确.故选AD. 11.2　如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2). 由题意可设M(a,b,0),则=(a,b,-2),=(2,0,2),=(0,2,2). 若D1M⊥平面A1C1D,则解得即M(2,2,0),则=(2,2,0), 故DM==2. 12.(1)解以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0). ∵E,F分别为AB,A1C的中点,∴E(2,1,0),F(1,1,1),则=(-1,0,1),∴||=,即EF的长为. (2)证明由(1)可得=(0,-2,0),=(-2,0,-2). ∵=0,=0,∴EF⊥CD,EF⊥A1D. 又CD∩A1D=D,CD,A1D⊂平面A1CD, ∴EF⊥平面A1CD. 13.证明易知AB,AD,AS两两垂直. 设AS=AB=1,以A为原点,AB,AD,AS所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,0),S(0,0,1),E(). (方法1)如图,连接AC,交BD于点O,连接OE, 则点O的坐标为(,0). ∵=(0,0,1),=(0,0,), ∴,∴OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD,∴OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABCD. (方法2)设平面BDE的法向量为n1=(x,y,z). 易知=(-1,1,0),=(-), 则令x=1,则y=1,z=0,得平面BDE的一个法向量为n1=(1,1,0). ∵AS⊥底面ABCD, ∴平面ABCD的一个法向量为n2==(0,0,1). ∵n1·n2=0,∴平面BDE⊥平面ABCD. 8 学科网（北京）股份有限公司 $