30.3 正多边形与圆（第2课时 等分圆周及作正多边形）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“正多边形与圆（第二课时：等分圆周及作正多边形）”，引导学生理解等分圆周作正多边形的核心原理，通过温故知新回顾正n边形中心角公式及圆心角、弧、弦关系，以问题驱动建立知识联系，搭建从原理到作图的学习支架。 导学案以“原理回顾—方法探究—动手实操—归纳规律”为主线，融合自主学习与合作探究，对比量角器通用法与尺规特殊法，渗透一般与特殊思想，结合古塔纹样修复等文化实例和动手作图任务，培养学生几何直观、空间观念与推理意识，提升严谨规范的数学品质和应用能力。

30.3 正多边形与圆（第二课时：等分圆周及作正多边形） （导学案） （1）理解等分圆周作正多边形的几何原理：同圆中相等的圆心角所对的弧相等、弦相等.掌握量角器等分法，能绘制任意圆内接正n边形. 熟练掌握尺规作图法，能规范作出圆内接正六边形、正三角形、正四边形、正八边形.能根据基础正多边形，拓展作出倍边正多边形，规范保留作图痕迹. （2）经历“原理回顾—方法探究—动手实操—归纳规律”的作图探究过程，掌握几何作图的通用探究方法.通过对比通用画法与尺规特殊画法，体会一般与特殊的数学思想，提升归纳总结与动手实操能力.通过例题实操演练，规范作图步骤，养成严谨的几何操作习惯. （3）在绘制规整对称的正多边形图案中，感受几何图形的对称美、秩序美，激发几何学习兴趣.在严谨的作图实操、原理推导中，培养精益求精、严谨规范的数学学习品质.通过自主设计几何图案，体会数学的实用性与创造性，提升数学应用自信心. 重点：等分圆周作正多边形的核心原理；量角器等分法作任意正多边形的步骤；尺规作正六边形、正四边形、正三角形的规范操作. 难点：理解尺规作正多边形的几何本质，而非机械模仿步骤；掌握倍边正多边形（正八边形、正十二边形）的拓展作图规律；作图痕迹完整、步骤规范，规避作图疏漏与误差. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 知识回顾：正n边形中心角计算公式：、同圆中圆心角、弧、弦的关系. 问题驱动：只要将圆的圆心角n等分，对应的圆周会被几等分？连接分点会得到什么图形？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ163－164内容 【学法指导】自研课本Ｐ163－164内容 （一）等分圆周作正多边形的核心原理 实际生活中，我们经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造如图中的零件，也需要等分圆周. 下面我们探讨怎样进行等分圆周？ 原理推导：在同圆中，相等的圆心角→所对的弧相等→所对的弦相等. 归纳核心逻辑：将圆的圆心角n等分→圆周被n等分→顺次连接等分点→得到圆内接正n边形. 教师强调：所有正多边形作图，本质都是等分圆心角、等分圆周. （二） 通用方法——量角器等分法（任意正n边形） 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形. 操作：画一个边长为1.5cm的正六边形时，可以以1.5cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，再顺次连接各分点，即可得到正六边形(如图所示). 方法归纳：算角度、分圆心、定点、连线，适用于所有正多边形. （三） 特殊方法——尺规精准作图 由于正六边形的边长等于半径，在半径为R的圆上，从某一点开始，依次以R为半径画弧，就可以把圆六等分，顺次连接各分点就得到半径为R的正六边形(如左图)，进而可以作出正三角形、正十二边形，再如， 在上一章的数学活动中，我们已经用直尺和圆规四等分圆周，顺次连接各分点，便可以得到正方形(如右图)，进而可以作出正八边形、正十六边形. 原理：正六边形中心角60˚，半径与边长相等. 步骤：①作圆、画半径；②以半径长为弦长，在圆上依次截取六等分点；③顺次连线得正六边形. 方法：在正六边形等分点中，间隔取点，顺次连接即可. 尺规作正四边形、正八边形 步骤：①作圆的两条互相垂直的直径，四等分圆周，得正四边形； ②平分正四边形各边对应的弧，八等分圆周，得正八边形（倍边规律）. 规律总结：可尺规作图的正多边形可无限倍边拓展. 【自研自探】 自研课本Ｐ163－164内容 典型例题 例1.试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形． 例2.【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O，即为该圆的圆心O； ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，可将圆六等分，进而作出圆内接正六边形． 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图．（保留作图痕迹，不写作法） 第二环节 合作探究 1.讨论等分圆周作正多边形的核心原理？ 2.讨论量角器等分法？ 3.讨论尺规精准作图？ 1．下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 正多边形的嵌套 我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案．如图1所示的建筑图案就是一个正方形里面嵌套了一个正八边形．我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 已知：如图2，正方形． 求作：正八边形，使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下： ①正八边形的每个内角为 °； ②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点．连接，，，，可得 °， °． 【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案： ①连接，相交于点； ②作的角平分线交于点； 【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐．继续深入分析图3，设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ，于是得到了新的作图方案． 任务： (1)补全材料： ①正八边形的每个内角为 °； ②= °，= °； ③设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ；（用含的代数式表示） (2)在图2正方形的边上作出正八边形的边． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 课本课堂练习P165. 1．（2026阜阳单元测试）有一个边长为的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，求这个圆形纸片的最小半径． 2．（2026霍山校考）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 3．（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 知识技能：（1）作图核心原理：等 →等 →等 ，等分圆周得 ；（2）通用方法： ，适用于 ；（3）尺规特殊作图：熟练作 、 、 、 ；（4）拓展规律：正多边形可通过 . 思想方法：（1）数形结合思想： ；（2）一般与特殊思想： ；（3）转化思想： . 易错提醒：（1）作图无痕迹： ；（2）顺序错误： ；（3）原理混淆： ；（4）拓展失误： . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.3 正多边形与圆（第二课时：等分圆周及作正多边形） （导学案） （1）理解等分圆周作正多边形的几何原理：同圆中相等的圆心角所对的弧相等、弦相等.掌握量角器等分法，能绘制任意圆内接正n边形. 熟练掌握尺规作图法，能规范作出圆内接正六边形、正三角形、正四边形、正八边形.能根据基础正多边形，拓展作出倍边正多边形，规范保留作图痕迹. （2）经历“原理回顾—方法探究—动手实操—归纳规律”的作图探究过程，掌握几何作图的通用探究方法.通过对比通用画法与尺规特殊画法，体会一般与特殊的数学思想，提升归纳总结与动手实操能力.通过例题实操演练，规范作图步骤，养成严谨的几何操作习惯. （3）在绘制规整对称的正多边形图案中，感受几何图形的对称美、秩序美，激发几何学习兴趣.在严谨的作图实操、原理推导中，培养精益求精、严谨规范的数学学习品质.通过自主设计几何图案，体会数学的实用性与创造性，提升数学应用自信心. 重点：等分圆周作正多边形的核心原理；量角器等分法作任意正多边形的步骤；尺规作正六边形、正四边形、正三角形的规范操作. 难点：理解尺规作正多边形的几何本质，而非机械模仿步骤；掌握倍边正多边形（正八边形、正十二边形）的拓展作图规律；作图痕迹完整、步骤规范，规避作图疏漏与误差. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 知识回顾：正n边形中心角计算公式：、同圆中圆心角、弧、弦的关系. 问题驱动：只要将圆的圆心角n等分，对应的圆周会被几等分？连接分点会得到什么图形？ 导入课题：本节课学习如何等分圆周、精准作出各类正多边形. 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ163－164内容 【学法指导】自研课本Ｐ163－164内容 （一）等分圆周作正多边形的核心原理 实际生活中，我们经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造如图中的零件，也需要等分圆周. 下面我们探讨怎样进行等分圆周？ 原理推导：在同圆中，相等的圆心角→所对的弧相等→所对的弦相等. 归纳核心逻辑：将圆的圆心角n等分→圆周被n等分→顺次连接等分点→得到圆内接正n边形. 教师强调：所有正多边形作图，本质都是等分圆心角、等分圆周. （二） 通用方法——量角器等分法（任意正n边形） 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形. 操作：画一个边长为1.5cm的正六边形时，可以以1.5cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，再顺次连接各分点，即可得到正六边形(如图所示). 方法归纳：算角度、分圆心、定点、连线，适用于所有正多边形. （三） 特殊方法——尺规精准作图 由于正六边形的边长等于半径，在半径为R的圆上，从某一点开始，依次以R为半径画弧，就可以把圆六等分，顺次连接各分点就得到半径为R的正六边形(如左图)，进而可以作出正三角形、正十二边形，再如， 在上一章的数学活动中，我们已经用直尺和圆规四等分圆周，顺次连接各分点，便可以得到正方形(如右图)，进而可以作出正八边形、正十六边形. 原理：正六边形中心角60˚，半径与边长相等. 步骤：①作圆、画半径；②以半径长为弦长，在圆上依次截取六等分点；③顺次连线得正六边形. 方法：在正六边形等分点中，间隔取点，顺次连接即可. 尺规作正四边形、正八边形 步骤：①作圆的两条互相垂直的直径，四等分圆周，得正四边形； ②平分正四边形各边对应的弧，八等分圆周，得正八边形（倍边规律）. 规律总结：可尺规作图的正多边形可无限倍边拓展. 【自研自探】 自研课本Ｐ163－164内容 典型例题 例1.试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形． 【分析】在上任取一点，连接，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，再分别作，，，，，的垂直平分线交于，，，，，，连接，，，，，，，，，，，，十二边形即为所求． 【详解】如图，十二边形即为所求． 例2.【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O，即为该圆的圆心O； ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，可将圆六等分，进而作出圆内接正六边形． 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】在圆弧上任意取两条不平行的弦，分别用无刻度直尺和圆规作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该圆的圆心O，同时确定圆的半径R；以O为圆心、R为半径，用圆规补出完整的圆；在圆上任取一点A，以R为半径，用圆规在圆上依次截取，得到B、C、D、E、F六个等分点，顺次连接这六个点，就得到圆内接正六边形． 【详解】解：如图，正六边形纹样的复原设计图即为所求． 第二环节 合作探究 1.讨论等分圆周作正多边形的核心原理？ 2.讨论量角器等分法？ 3.讨论尺规精准作图？ 1．下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 正多边形的嵌套 我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案．如图1所示的建筑图案就是一个正方形里面嵌套了一个正八边形．我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 已知：如图2，正方形． 求作：正八边形，使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下： ①正八边形的每个内角为 °； ②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点．连接，，，，可得 °， °． 【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案： ①连接，相交于点； ②作的角平分线交于点； 【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐．继续深入分析图3，设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ，于是得到了新的作图方案． 任务： (1)补全材料： ①正八边形的每个内角为 °； ②= °，= °； ③设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ；（用含的代数式表示） (2)在图2正方形的边上作出正八边形的边． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】（）①根据正多边形单个内角度数公式，进而得出正八边形的内角度数． ②根据题意得出，，，，作出辅助线得出，，从而得出． ③利用②的结论得出，，进而得出，再得出，进而得出，进而得出，，再利用勾股定理得出． （）利用（）得出的画图． 【详解】（1）①∵正边形单个内角度数公式为：（其中）， ∴代入可得，正八边形每个内角为． ②∵正方形和正八边形的中心重合为点， ∴，， ，． 如图，过点作于 ∴， ， ∴． ③由②知，，，． ∴，， ∴， ∴， ∵八边形是正八边形，内角为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴正方形的边长为， ∵（勾股定理）， ∴， ∴， ∴． 综上，正方形的边长为，． （2）利用（）得出的画图． 如图，连接，相交于点．以点为圆心，为半径画弧交于点；再以点为圆心，为半径画弧交于点，则为正八边形的边． 课本课堂练习P165. 1．（2026阜阳单元测试）有一个边长为的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，求这个圆形纸片的最小半径． 【详解】解：∵正六边形的外接圆半径与正六边形的边长相等，该正六边形的边长为， ∴这个圆形纸片的最小半径是． 答：这个圆形纸片的最小半径是． 2．（2026霍山校考）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【详解】(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 3．（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【详解】如图所示，七边形即为所求． 知识技能：（1）作图核心原理：等圆心角→等弧→等弦，等分圆周得正多边形；（2）通用方法：量角器等分法，适用于任意正n边形；（3）尺规特殊作图：熟练作正六边形、正三角形、正四边形、正八边形；（4）拓展规律：正多边形可通过平分弧得到倍边正多边形. 思想方法：（1）数形结合思想：用角度运算指导图形作图，实现数与形统一；（2）一般与特殊思想：通用量角器法适配所有图形，尺规法聚焦特殊图形；（3）转化思想：将正多边形作图问题转化为等分圆周、等分圆心角问题. 易错提醒：（1）作图无痕迹：尺规作图必须保留画弧、截取痕迹，无痕迹不得分；（2）顺序错误：必须顺次连接等分点，不可乱序连线；（3）原理混淆：误认为所有正多边形都可以尺规精准作图；（4）拓展失误：倍边作图是平分弧，不是平分边长. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $