第一章 勾股定理（基础卷）单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册勾股定理单元基础卷，立足单元复习，通过基础巩固、实际应用及文化素材融合，全面考查勾股定理的概念、判定与应用，适配核心素养中几何直观、推理能力及模型意识的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|勾股数判定（1题）、直角三角形判定（3题）、实际应用（4题小鸟飞行）|基础概念与情境应用结合，如“折竹抵地”（10题）体现文化传承| |填空题|6题/18分|直角三角形计算（11题）、勾股树（15题）、赵爽弦图（16题）|融入数学文化与图形直观，如“勾股树”（15题）培养空间观念| |解答题|8题/72分|网格三角形计算（17题）、四边形中直角判定（18题）、消防救援（23题）|分层设计，从基础证明到复杂实际问题，如搜救艇（24题）提升模型应用能力|

第一章 勾股定理（基础卷）2026-2027学年北师大版数学八年级上册单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，2，25 D．8，15，17 2．六根木棒（单位：）的长度分别为5，9，12,13,15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（　　） A．5，9，12 B．4，5，6 C．12，15，17 D．5，12，13 3．在下列条件中，不能确定是直角三角形的条件是（　　） A． B． C． D． 4．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．17 B．15 C．10 D．8 5．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A．18m B．10m C．14m D．24m 6．如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D．5 7．在中，，，．现将按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（　　） A． B． C．4 D．5 8．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．16 C．32 D．64 9．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，AB=5，DC=1，BD=BA，则AC是（　　） A．8 B．4 C．5 D．3 10．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，书中有“折竹抵地”问题，今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断、竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图所示，直角三角形未知边的长度为　 　. 12．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为　 　（结果保留根号）． 13．如图，一架的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角，若梯子的顶端下滑，则梯足将滑动　 　． 14．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则坝底为　 　． 15．如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为4、6、2、4，则最大的正方形E的面积是　 　. 16．如图①是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．若图①中的直角三角形的长直角边为，大正方形的面积为，连接图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的面积为　 　． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17．如图，正方形网格中有△ABC，点A，B，C都在格点上，每个小方格的边长均为1. （1）求出AB， AC， BC的长； （2）求证：∠BAC=90°. 18．如图，四边形ABCD是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知AD=4dm，AB=12dm， BC=13dm， CD=3dm， 且∠ADC=90°. （1）求点A 到点 C的距离； （2）根据要求，该零件需要A，B，C三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格. 19．如图，从帐篷支撑竿AB的顶部向地面拉一根绳子AC 固定帐篷，若绳子 AC 的长度是8m，地面固定点 C 到帐篷支撑竿底部B的距离BC是6m，AB⊥BC，则帐篷支撑竿AB的高是多少? 20．如图，在中，E为边上一点，连接，过点A作交的延长线于点D，已知． （1）试说明：为直角三角形； （2）求的值． 21．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． （1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ （2）当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 22．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． （1）求的长． （2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 23．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 24．如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C． （1）若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离； （2）当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？ 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】12 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】145 15．【答案】16 16．【答案】 17．【答案】（1）解：由勾股定理得 （2）证明：由(1)知 ∴ △ABC 是直角三角形且∠BAC=90° 18．【答案】（1）解：连接AC， 如图所示： 在△ADC中 ∵AD=4dm， CD=3dm， ∠ADC=90°. 答：点A到点 C的距离为5dm （2）解：这个零件是合格的，理由如下： 由(1)得AC=5dm， ∵AB=12dm， BC=13dm， 即 ∴△ABC是直角三角形， ∴这个零件是合格的. 19．【答案】解：在Rt△ABC中，AC=8m，BC=6m， 由勾股定理，得： 即帐篷支撑杆AB 的高度为2 m 20．【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解： ． 21．【答案】（1）这架云梯的顶端到地面的距离是 （2）云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是 22．【答案】（1）解：根据题意得：，， 答：的长为； （2）解：这辆小汽车不超速，理由如下： 该小汽车的速度为， 20×3600÷1000=72（km/h） 72＜75 这辆小汽车不超速． 23．【答案】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 24．【答案】（1）解∶如图，连接BD， 依题意可得，AD⊥AB， 根据勾股定理可得∶BD＝．. ∵BD＝5，BC＝12，DC＝13， 根据勾股定理的逆定理可得∶BD2＋BC2＝CD2， ∴BD⊥BC，. ∴点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里． （2）解：如图，过点B作BE⊥CD于点E． 依题意可得，四边形ABED是矩形，故BE＝4，DE＝3． ∵点C在点B的东南方向， ∴∠CBE＝45°， 又∵BE⊥CD，∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝45°， ∴BE＝EC＝4， ∴DC＝DE＋EC＝7． ∵BE⊥CD，根据勾股定理可得∶BC＝． ∵≈1.414， ∴4≈5.656＜7． 当两艘搜救艇速度一样时，派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $