5.2.2同角三角函数的基本关系 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系，通过单位圆交点直角三角形推导平方关系与商数关系，衔接三角函数定义及终边相同角知识，为求值、化简、证明构建学习支架。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，结合“化切为弦”“1的代换”等策略，通过分层练习与规律总结培养思维，提升数学建模素养，为教师提供系统教学资源，助力学生掌握知识应用方法。

第 5 章 三角函数 人教A版2019必修第一册 5.2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系的推导与适用条件。 2.能根据已知三角函数值，利用基本关系求其余函数值，并正确判断符号。 3.能化简含同角的三角函数式并证明简单恒等式，体验“化切为弦” “1的代换”等策略。 4.在真实情境中抽象出三角关系模型，发展数学建模与逻辑推理素养。 01 5.2.2 同角三角函数的基本关系 同角三角函数 的基本关系 导入新知 探究 公式一表明终边相同的角的统一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系． 牛刀小试 已知正（余）弦求余（正）弦 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知正（余）弦求余（正）弦 角度1　直接利用基本关系式求值 【例1】　（1）（链接教材P183例6）若 sin α＝－ ，且α为第四象限角， 则tan α＝（　　） A. B. － C. D. － √ 解析：因为 sin α＝－ ，由 sin 2α＋ cos 2α＝1，所以 cos 2α＝1－ sin 2α ＝1－（－ ）2＝ ，又因α为第四象限角，所以 cos α＝ .由tan α＝ ＝ ＝－ .故选D. 数学·必修第一册 目 录 训练1　已知 cos α＝－ ，求 sin α，tan α的值. 解：∵ cos α＝－ ＜0， ∴α是第二或第三象限角. 当α是第二象限角时， sin α＞0，tan α＜0， ∴ sin α＝ ＝ ＝ ， tan α＝ ＝－ ； 当α是第三象限角时， sin α＜0，tan α＞0， ∴ sin α＝－ ＝－ ＝－ ， tan α＝ ＝ . 数学·必修第一册 目 录 （2）若tan α＝－ ，求 sin α的值. 解：因为tan α＝－ ＜0，则α为第二象限角或第四象限角， 由 可得 sin 2α＝（ ）2， 当α是第二象限角时， sin α＝ ， 当α为第四象限角时， sin α＝－ . 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　已知角的一个三角函数值求其他三角函数值的方法 （1）已知 sin θ（或 cos θ）求tan θ常用以下方法求解： （2）已知tan θ求 sin θ（或 cos θ）常用以下方法解： 数学·必修第一册 目 录 角度2　利用弦切互化求值 【例2】　已知tan α＝－ ，求下列各式的值： （1） ； 解：原式＝ ＝ ＝－ . 数学·必修第一册 目 录 （2）2 sin 2α＋ sin α cos α－3 cos 2α. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝－ . 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　已知角α的正切值求关于 sin α， cos α齐次式的值 （1）关于 sin α， cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin α， cos α的式子且每项次数相等，设为n次，将分子、分母同除以 cos α的n次幂， 其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值； （2）若无分母时，把分母看作1，并将1用 sin 2α＋ cos 2α来代换，将分 子、分母同除以 cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值. 数学·必修第一册 目 录 训练2　已知tan α＝3，求下列各式的值： （1） ＋ ； 解： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－ . （2） . 解： ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第一册 目 录 牛刀小试 正、余弦齐次式的计算、已知弦（切）求切（弦） PART 知识点 三角函数式的化简与证明 数学·必修第一册 目 录 牛刀小试 同角三角函数基本关系、已知弦（切）求切（弦） 牛刀小试 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 三角函数式的化简 【例】　化简：（1） ； 解：原式＝ ＝ ＝1. （2） sin 2αtan α＋ ＋2 sin α cos α. 解：原式＝ sin 2α· ＋ cos 2α· ＋2 sin α cos α ＝ ＝ ＝ . 【规律方法】 三角函数式的化简技巧 （1）化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到 化繁为简的目的； （2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根 号达到化简的目的； （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin 2α ＋ cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 训练　化简： ＋（1＋tan2α） cos 2α. 解：原式＝ ＋（1＋ ） cos 2α ＝ ＋ · cos 2α＝1＋1＝2. 训练5　求证：2（1－ sin α）（1＋ cos α）＝（1－ sin α＋ cos α）2. 证明：左边＝2（1－ sin α＋ cos α－ sin α cos α） ＝1＋（ sin 2α＋ cos 2α）－2 sin α＋2 cos α－2 sin α cos α ＝（1－2 sin α＋ sin 2α）＋2 cos α（1－ sin α）＋ cos 2α ＝（1－ sin α）2＋2 cos α（1－ sin α）＋ cos 2α ＝（1－ sin α＋ cos α）2＝右边. ∴原式成立. 能力提升 三角函数式的证明 知识点 sin α± cos α与 sin α cos α关系的应用 PART 【例3】　设α∈（0，π）， sin α＋ cos α＝ ，求 cos 2α－ sin 2α的值. 解：因为 sin α＋ cos α＝ ，所以1＋2 sin α cos α＝ ，所以2 sin α cos α＝ － . 又因为α∈（0，π），所以 sin α＞0， cos α＜0， 所以（ sin α－ cos α）2＝1－2 sin α cos α＝ ， 所以 sin α－ cos α＝ ，所以 cos 2α－ sin 2α＝（ cos α－ sin α）（ cos α＋ sin α）＝－ . 训练3　已知α∈（0，π）， sin α＋ cos α＝ ，求tan α的值. 解：因为 sin α＋ cos α＝ ，　① 所以2 sin α· cos α＝－ ＜0. 又因为 α∈（0，π），所以 sin α＞0， cos α＜0，所以 sin α－ cos α＞0， 所以 sin α－ cos α＝ ＝ .　② 联立①②解得 sin α＝ ， cos α＝－ ，所以tan α＝－ . 【规律方法】 sin θ± cos θ， sin θ cos θ三者的关系 （1）对于三角函数式 sin θ± cos θ， sin θ cos θ之间的关系，通过 （ sin θ± cos θ）2＝1±2 sin θ cos θ进行转化； （2）若已知 sin θ± cos θ， sin θ cos θ中三者之一，利用方程思想进 一步可以求得 sin θ， cos θ的值，从而求出其余的三角函数值. 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 牛刀小试 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 牛刀小试 sinα±cosα和sinα·cosα的关系 牛刀小试 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 能力提升 sinα±cosα，sinαcosα的应用 课堂总结 练习（第184页） 练习（第184页） 练习（第184页） 练习（第184页） 练习（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习】已知 ，，则 （   ） A． B． C． D． 【解析】因为 ，所以 ， 又因为 ， 所以 . 故选： . 【练习】若 ，且θ为第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 【解析】因为 ，且θ为第二象限角， 所以 . 故选：A 【变式】已知 ，则 的值为（    ） B． C． D． 【答案】D 【分析】将分式化为整式后可得 的值. 【详解】因为 ，故 即 ， 若 ，则 ，与平方和为1矛盾， 故 即 ，故选：D. 【练习7】已知 ，则 （   ） A． B． C．8 D． 【解析】因为 ，所以 ， 所以 . 故选：D. 【例】　求证：eq \f(1＋2sin αcos α,sin2α－cos2α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1). 证明：方法一　 左边＝eq \f(sin2α＋cos2α＋2sin αcos α,sin2α－cos2α) ＝eq \f(sin α＋cos α2,sin2α－cos2α)＝eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝右边．所以原等式成立． 方法二　右边＝eq \f(\f(sin α,cos α)＋1,\f(sin α,cos α)－1)＝eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝eq \f(sin α＋cos α2,sin α－cos αsin α＋cos α) ＝eq \f(1＋2sin αcos α,sin2α－cos2α)＝左边．所以原等式成立． 【练习8】化简 （   ） A． B． C． D． 【解析】原式 ． 故选：C. 【练习10】已知 是第一象限角，则 （    ） A． B．1 C． D． 【解析】因为 ，所以 . 又 是第一象限角，故原式 . 故选：A 证明：1＋tan2α＝1＋eq \f(sin2α,cos2α)＝eq \f(cos2α＋sin2α,cos2α)＝eq \f(1,cos2α). (2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 证明：因为tan2α＝2tan2β＋1， 所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.所以eq \f(sin2α,cos2α)＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2β,cos2β)＋1))，通分可得eq \f(1,cos2α)＝eq \f(2,cos2β)， 即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1. 【练习5】(1)求证：1＋tan2α＝eq \f(1,cos2α). 反思感悟　证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，可证ad＝bc，或证eq \f(d,b)＝eq \f(c,a)等． 【练习3】已知 ， ，则下列等式错误的是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于A，由 平方，得 ，即 ，∴ ，故A正确；对于B，由 ， ，则 ，即 ， ， ，故B正确； 对于C，由 ，解得 ，所以 ，故C错误； 对于D， ，故D正确.故选：C. 【练习4】已知 ，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】因 ， 则 ， 又 时， ，故 是第四象限角，则 . 则 . 故选：A 【练习5】已知 ，且 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【解析】因为 ，所以 .因为 由①得 ，代入②得： . 整理得： ，结合 ，所以 ， 所以 ，所以 .故选：B 【感悟提升】sinα±cosα，sinαcosα三者的关系 （1）sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以利用平方 关系求其他两个，即“知一求二”． (2)sinθ±cosθ的符号的判定方法 sinθ－cosθ的符号的判定方法：由三角函数的定义知， 当θ的终边落在直线y＝x上时，sinθ＝cosθ， sinθ－cosθ＝0， 当θ的终边落在直线y＝x的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即sinθ－cosθ>0； 当θ的终边落在直线y＝x的下半平面区域内时，sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0， 如图①所示．同理可得sinθ＋cosθ的符号如图②所示． $