精品解析：广东湛江市廉江市实验学校2024-2025学年度第二学期期末考试高二数学试卷（普通班）

廉江市实验学校2024-2025学年第二学期期末考试试卷 高二数学试卷 试卷满分：150分；考试时间：120分钟；命题人：蒋燕；审题人：李群英 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式求出集合，再求两集合的交集即可. 【详解】由，得，解得， 所以， 因为，所以， 故选：B 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而求出其模. 【详解】∵， ∴. 故选：C. 3. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的对称性有，再应用“1”的代换和基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，即的最小值为2. 故选：D 4. 已知是边长为1的正三角形，为中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算和向量的数量积运算，先将用已知条件的向量表示出来，然后计算向量的数量积. 【详解】由为中点，为正三角形，所以，如图所示： 由图可知， 所以. 因为边长，所以根据勾股定理可得. 所以. 故选：D. 5. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和与差的正、余弦公式化简可得，再由同角三角函数的基本关系和两角和的正切公式可求出，两式联立即可得出答案. 【详解】因为， 所以，分子分母同时除以，得①， 由于，所以所以, 所以，所以， 即，分子分母同时除以得， ， 代入①得：，解得. 故选：D. 6. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质结合可得，然后再求得后可得公差． 【详解】因为，所以，解得， 又，所以， 所以公差为. 故选：A． 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性、单调性利用排除法可得答案. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，图象关于轴对称，故C错误； 当时，，故D错误； ， 当，，单调递增， 当，，单调递减，再根据对称性，故B正确. 故选：B. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率． 【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C的离心率为. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 记为数列的前项和.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A令即可；利用降标作差求出，即可求出数列的通项公式，即可判断BC选项；D将通项公式代入即可. 【详解】当时，，解得，A正确. 当时，，所以，即， 则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确； 由上知，B错误； ，D正确. 故选：ACD 10. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 利润／亿元 2 3 4 5 7 已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量与之间的线性相关系数 C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元 D. 残差绝对值的最大值为0.4 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，即可判断A；从而得到回归直线方程，根据与成正相关，即可得到相关系数，即可判断B；再令求出，即可预测第6年的利润，即可判断C，最后根据残差的定义求解判断D. 【详解】依题意，， 因为回归直线方程为必过样本中心点， 则，解得，故A正确； 回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误； 当时，，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确； 当时，，残差绝对值为， 当时，，残差绝对值为， 当时，，残差绝对值为， 当时，，残差绝对值为， 当时，，残差绝对值为， 所以残差绝对值的最大值为0.4，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，棱长为的正方体中中，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 二面角平面角的正切值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可知异面直线与所成角为（或其补角），由长度关系可知A正确；由线面角定义可知所求角为，由长度关系知B错误；由二面角平面角定义可知所求角为，通过可知C正确；利用割补法可求得，由棱锥体积公式可构造方程求得点面距离，知D正确. 【详解】对于A，连接， ，，四边形为平行四边形，， 异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角）， ，为等边三角形，， 即异面直线与所成角为，A正确； 对于B，连接， 平面，即为直线与平面所成角， ，，，， ，即直线与平面所成角不是，B错误； 对于C，连接，交于点，连接， 四边形为正方形，，为中点， ，， 二面角的平面角为， 平面，平面，， 又，，， ， 即二面角的正切值为，C正确； 对于D，连接， ，， ， 又，， 设点到平面的距离为，则，解得：， 即点到平面的距离为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 二项式的展开式中，的系数为__________． 【答案】80 【解析】 【详解】展开式的通项公式为，令，则. ∴. 13. 在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用排列组合先确定无重复的三位数，再分别计算个位是2和4时的情况，由古典概率求解可得. 【详解】首先无重复的三位数共有个， 当个位是2时，有； 同理当个位是4时，也有， 所以偶数的概率为. 故答案为： 14. 若函数，则曲线在点处的切线的斜率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】结合求导公式先求，根据导数的几何意义求切线斜率. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 由导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且． （1）求A； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据共线向量的性质，结合正弦定理、余弦定理进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合三角形面积公式、周长公式进行求解即可. 【详解】解：（1）因为，所以， 故由正弦定理得：，即． 由余弦定理得 因为，所以 （2）由余弦定理得：， ， 又 周长为. 16. 疫苗保障着人类的生命安全，但随着病毒的变异，过去用于防治疾病的疫苗逐渐降低了对病毒的有效率，针对疾病的特效疫苗在历经了研发、试验的阶段后开始投入使用，以下为某次试验时的数据（生成抗体意味着疫苗起效）. 疫苗 特效疫苗 生成抗体人数 未生成抗体人数 （1）可否有把握认为特效疫苗在防治疾病方面相对于疫苗有较大提升？ （2）统计学上通常用疫苗的有效率来衡量疫苗的真实效果.在全面投入使用特效疫苗的试点城市中，疫苗的接种率达到了，若在一段时间内统计得感染疾病的人群中接种过疫苗的比例为，试评价疫苗在投入使用之后的表现. 参考公式及数据：，其中.，，. 【答案】（1）有的把握可以认为特效疫苗在防治疾病方面相对于疫苗有较大提升 （2）疫苗在投入使用之后的表现优于试验阶段，且对疾病防治效果良好 【解析】 【分析】（1）利用卡方直接求解，然后根据问题直接下结论即可； （2）根据题目中用疫苗的有效率直接求解，然后下结论即可. 【小问1详解】 由 ， 又，， 所以有的把握可以认为特效疫苗在防治疾病方面相对于疫苗有较大提升 【小问2详解】 设城市共有人，在这段时间内感染人数为， 则有效率 ， 可见疫苗在投入使用之后的表现优于试验阶段，且对疾病防治效果良好. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 方法一：如图，连接交与点，连接， 因为，所以， 又，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 方法二：（1）在中，过点作，因为平面， 所以，， 如图，以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，． 则，，． 设平面的法向量，则， 令得 此时，又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量法证明线面平行； （2）方法一：由线面角向量法计算即可；方法二：作出二面角的平面角，计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由（1）知平面的法向量 设平面的法向量为，则， 令得 设二面角的大小为，则 所以二面角的正弦值为． 方法二：因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角大小与二面角大小互余， 所以二面角的正弦值就等于二面角的余弦值， 如图，在中，过点作，过点作，连接， 则，所以即为二面角的平面角 ，在中，， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程； （2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值． 【小问1详解】 由离心率，则， 又上顶点，知，又，可知，， ∴椭圆E的方程为； 【小问2详解】 设直线l：，设，， 则，整理得：， ，即， ∴，， ∴， 即，解得：或（舍去） ∴ 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为, 求； （2）若有三个零点，求的取值范围； （3）若只有一个极值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）考查导数的几何意义，即利用导数求曲线在某点处的切线方程.关键点在于计算函数在该点的导数值(切线斜率)和函数值，联立方程求解参数； （2）考查函数零点问题，需将原方程转化为三次方程，通过分析三次函数的极值点与x轴的相对位置，确定参数范围.核心思路是三次函数的极值异号时存在三个零点； （3）考查极值点的存在条件，需分析导数方程的实根数目.关键点在于导数方程的实根数目与原函数极值点的关系，通过三次方程的极值分析确定参数范围. 【小问1详解】 ∵，∴ ∴曲线在点处的斜率为：； 由切线方程为得，斜率，解得. 由，代入切线方程 得， 解得 所以. 【小问2详解】 函数的定义域为 令，即， 设 ∴， 令解得或，令解得， ∴在上单调递增；在上单调递减； ∴的极大值为,的极小值为. 要使有三个根，需且, 即,解得 ∴的取值范围为. 【小问3详解】 只有一个极值即有且仅有一个根或者虽有多个根但是仅有一个为极值点. 即等价于. 设，则 令解得或； ∴在上单调递增，在上单调递减； ∴的极大值为，的极小值为. ∴当或时仅有一个实数根； 当或时，有两个实数根（其中一个为重根且非极值点），故仅有一个极值点. 综上， 或. ∴的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 廉江市实验学校2024-2025学年第二学期期末考试试卷 高二数学试卷 试卷满分：150分；考试时间：120分钟；命题人：蒋燕；审题人：李群英 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知是边长为1的正三角形，为中点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 记为数列的前项和.若，则（ ） A. B. C. D. 10. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示： 第年 1 2 3 4 5 利润／亿元 2 3 4 5 7 已知变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量与之间的线性相关系数 C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元 D. 残差绝对值的最大值为0.4 11. 如图，棱长为的正方体中中，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 二面角平面角的正切值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 二项式的展开式中，的系数为__________． 13. 在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为______． 14. 若函数，则曲线在点处的切线的斜率为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且． （1）求A； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 疫苗保障着人类的生命安全，但随着病毒的变异，过去用于防治疾病的疫苗逐渐降低了对病毒的有效率，针对疾病的特效疫苗在历经了研发、试验的阶段后开始投入使用，以下为某次试验时的数据（生成抗体意味着疫苗起效）. 疫苗 特效疫苗 生成抗体人数 未生成抗体人数 （1）可否有把握认为特效疫苗在防治疾病方面相对于疫苗有较大提升？ （2）统计学上通常用疫苗的有效率来衡量疫苗的真实效果.在全面投入使用特效疫苗的试点城市中，疫苗的接种率达到了，若在一段时间内统计得感染疾病的人群中接种过疫苗的比例为，试评价疫苗在投入使用之后的表现. 参考公式及数据：，其中.，，. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为, 求； （2）若有三个零点，求的取值范围； （3）若只有一个极值，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $