精品解析：广东广州市玉岩中学2025-2026学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

2025学年第二学期期末教学质量监测 高二数学 说明：本试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】由题意，得，所以. 2. 若函数在处的瞬时变化率为，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义，直接代入求值. 【详解】根据导数的定义可知， . 故选：B 3. 已知向量，若，则（   ） A. B. 80 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 向量，，且， ∴，解得. ∴ ，. 4. 将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，则不同的分配方案有（   ） A. 540种 B. 90种 C. 60种 D. 10种 【答案】D 【解析】 【分析】对6个相同的元素进行分配，利用隔板法，在5个间隙中加入2块隔板即可. 【详解】6个相同的布娃娃排成一排，中间有5个间隙，要分给3位小朋友，且每位小朋友至少有一个布娃娃， 则只需插入2块隔板，把它分成3份，每份至少1个，共有种. 5. 已知随机变量，，且，若，则（ ） A. 0.09 B. 0.82 C. 0.91 D. 0.21 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的性质求出，再结合正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意得，则， 因为，所以， 即，解得， 由题意得， 由对称性可得， 则，故B正确. 故选：B 6. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点在线段上的位置关系得到系数约束，变形后利用基本不等式求最小值． 【详解】因点在线段上（不含端点），，得， 则， 因此 ， 当且仅当，即，且时，等号成立， 即当时，取得最小值为. 7. 已知正项等比数列{an}的公比不为1，为其前n项积，若，则集合 中的元素个数为（ ） A. 13 B. 17 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】求出，结合二次函数对称性求解. 【详解】设等比数列{an}的公比为且， ，所以， 所以， 因为关于直线对称，所以， 所以集合 中的元素个数为个 8. 已知正实数a，b满足，则ab的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得到，构造函数，求导确定单调性即可求解. 【详解】对两边取自然对数，得， 即， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以方程的解只有一个， 又因为， 所以， 所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 C. 回归分析中，样本决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 D. 在独立性检验中，当为的临界值时，推断零假设不成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式，结合方差的性质即可求解A，根据正态分布曲线的性质即可求解B，根据的性质即可求解C，根据独立性检验的原理即可求解D. 【详解】对于A，由可得,方差的运算性质可知，故A正确； 对于B，由正态密度函数可知，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高；B错误， 由决定系数和卡方独立性检验的定义和规则易知选项CD正确. 故选：ACD. 10. 下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据选项是的充分不必要条件，选项所给的不等式可以推出，但推不出选项所给的不等式即可． 【详解】对于选项：若 ，则，则， 反之，当时得不出， 所以是的充分不必要条件，故正确； 对于B选项：由可得，即能推出； 但不能推出因为的正负不确定) ， 所以是的充分不必要条件，故B正确； 对于C选项：由可得，则，不能推出； 由也不能推出(如) ， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项:若，则，反之得不出， 所以是的充分不必要条件，故选项D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 11. 设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由条件概率和事件的独立性求出有关事件的概率，再逐项判断． 【详解】由，可得，故C错误； 又，为两个相互独立的随机事件，所以，所以， 根据全概率公式可得， 解得，故正确； 又， 解得，故错误； 易知， 由，即D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式. 【详解】由题意知，由可得，所以， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 当且时，， 又不满足上式，所以. 13. 某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x与y的关系，设，x与z的数据如表格所示： x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 得到x与z的线性回归方程，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件，求得，进而代入回归方程可求得，从而得出，联立，即可求得本题答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，有，解得， 所以，， 由，得， 所以，，则. 故答案为： 14. 已知当时，有，若对任意的都有，则______. 【答案】228 【解析】 【分析】由得到，则可把化为，由为展开式中的系数即可求出. 【详解】当时，有， 所以， 则， 则为展开式中的系数， 因为，所以. 故答案为：228 四、 解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）两边取倒数，结合等差数列通项公式进行求解； （2）裂项相消法求和即可 【小问1详解】 两边取倒数得， 即，又，所以， 从而为首项为，公差为2的等差数列， 所以， 故， 【小问2详解】 ， 所以. 16. 某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验．研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标y（单位：）随给药剂量x（单位：mg）的变化情况．为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图（如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量）． （1）观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； （2）设这14组数据得到的经验回归方程为． （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； （ⅱ）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数．（结果精确到0.01） 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）模型一的拟合效果更好，理由如下： 模型一残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型二的带状宽度窄，所以模型一的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应就越高． （2）（ⅰ）点，理由如下： 因为模型一的拟合效果更好，经验回归方程为， 所以该方程相应于点的残差为，故选点； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据残差图，比较带状区域的宽度即可得出判断； （2）（ⅰ）计算出残差即可求解；（ⅱ）根据相关系数公式及经验回归方程计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由题可知，， 所以， 由，， 所以 ． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，，使得． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 由（1）可知，当时，在处取得最小值， 若，使得， 只需，即恒成立即可， 令，则， 当时，单调递增，当时，，单调递减， 故当时，， 所以，使得. 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论与两种情况即可得解； （2）结合（1）中结论，将问题转化为恒成立，从而构造函数，利用导数求得即可得证. 【小问1详解】 因为，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时， 当时，单调递减，时，单调递增； 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 18. 现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. （1）求的分布列和数学期望. （2）求概率. （3）证明：. 【答案】（1）分布列为 ； （2） （3） 由全概率公式知， 化简得 代入 即 即 即 由，所以 所以，即证． 【解析】 【分析】（1）分别求出取所有可能的值时的概率，再列出分布列，求出数学期望即可； （2）设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，先求出这一事件的概率，再求出的所有情况的概率，再求和即可. （3）根据全概率公式和等比数列求和公式即可得到证明. 【小问1详解】 由题意可知，的可能取值为， 其中，， ，， 所以分布列为 ； 【小问2详解】 个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞， 此事件概率， 所以 . 【小问3详解】 略 19. 已知关于x的函数与在区间D上恒有． （1）若，求h(x)的表达式； （2）若，求k的取值范围； （3）若求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）[方法一]：判别式+导数法 因为对任意恒成立， ①对任意恒成立， 等价于对任意恒成立. 故对任意恒成立. 令， 当，， 此时， 当，， 但对任意的恒成立. 等价于对任意的恒成立. 的两根为， 则， 所以. 令，构造函数，， 所以时，，递减，. 所以，即. [方法二]：判别式法 由，从而对任意的有恒成立，等价于对任意的①，恒成立． （事实上，直线为函数的图像在处的切线） 同理对任意的恒成立，即等价于对任意的恒成立． ② 当时，将①式看作一元二次方程，进而有，①式的解为或（不妨设）； 当时，，从而或，又，从而成立； 当时，由①式得或，又，所以． 当时，将②式看作一元二次方程，进而有． 由，得，此时②式的解为不妨设，从而． 综上所述，． [方法三]【最优解】：反证法 假设存在，使得满足条件的m，n有． 因为，所以． 因为，所以． 因为对恒成立，所以有 ．则有 ， ③ ， ④ 解得． 由③+④并化简得，． 因为在区间上递增，且， 所以，． 由对恒成立，即有 ⑤ 对恒成立，将⑤式看作一元二次方程，进而有． 设，则， 所以在区间上递减，所以，即． 设不等式⑤的解集为，则，这与假设矛盾．从而． 由均为偶函数．同样可证时，也成立． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）方法一：根据一元二次不等式恒成立问题的解法，即可求得的表达式； （2）方法一：先由，求得的一个取值范围，再由，求得的另一个取值范围，从而求得的取值范围. （3）方法一：根据题意可得两个含参数的一元二次不等式在区间上恒成立，再结合放缩，即可利用导数证得不等式成立. 【详解】（1）[方法一]:判别式法 由可得在R上恒成立， 即和， 从而有即， 所以， 因此，．所以． [方法二]【最优解】：特值+判别式法 由题设有对任意的恒成立. 令，则，所以. 因此即对任意的恒成立， 所以，因此. 故. （2）[方法一]令，. 又. 若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意. 当时，，符合题意. 当时， 在上递减，在上递增，则， 即，符合题意. 综上所述，. 由 当，即时，在为增函数， 因为， 故存在，使，不符合题意. 当，即时，，符合题意. 当，即时，则需，解得. 综上所述，的取值范围是. [方法二]【最优解】：特值辅助法 由已知得在内恒成立； 由已知得， 令，得，∴(*)， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，∴，∴当时在内恒成立； 由在内恒成立， 由(*)知，∴，∴，解得. ∴的取值范围是. （3）略 【整体点评】（1）的方法一利用不等式恒成立的意义，结合二次函数的性质，使用判别式得到不等式组，求解得到；方法二先利用特值求得的值，然后使用判别式进一步求解，简化了运算，是最优解；（2）中的方法一利用导数和二次函数的性质，使用分类讨论思想分别求得的取值范围，然后取交集；方法二先利用特殊值进行判定得到，然后在此基础上，利用导数验证不等式的一侧恒成立，利用二次函数的性质求得不等式的另一侧也成立的条件，进而得到结论，是最优解；（3）的方法一、方法二中的分解因式难度较大，方法三使用反证法，推出矛盾，思路清晰，运算简洁，是最优解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期末教学质量监测 高二数学 说明：本试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在处的瞬时变化率为，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 已知向量，若，则（   ） A. B. 80 C. D. 4. 将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，则不同的分配方案有（   ） A. 540种 B. 90种 C. 60种 D. 10种 5. 已知随机变量，，且，若，则（ ） A. 0.09 B. 0.82 C. 0.91 D. 0.21 6. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 7. 已知正项等比数列{an}的公比不为1，为其前n项积，若，则集合 中的元素个数为（ ） A. 13 B. 17 C. 18 D. 20 8. 已知正实数a，b满足，则ab的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 C. 回归分析中，样本决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 D. 在独立性检验中，当为的临界值时，推断零假设不成立 10. 下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 11. 设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且，，则______． 13. 某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x与y的关系，设，x与z的数据如表格所示： x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 得到x与z的线性回归方程，则___________. 14. 已知当时，有，若对任意的都有，则______. 四、 解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验．研究人员记录了14名志愿者服用不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标y（单位：）随给药剂量x（单位：mg）的变化情况．为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了拟合，并绘制了相应的残差图（如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量）． （1）观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由； （2）设这14组数据得到的经验回归方程为． （ⅰ）已知样本中的某位志愿者的给药剂量为，生化指标为．若该样本点在拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的四点之一，请指出该点并说明理由； （ⅱ）若在这14组数据中，给药剂量的标准差为，生化指标的标准差为，求生化指标与给药剂量的相关系数．（结果精确到0.01） 参考公式：相关系数；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，，使得． 18. 现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为. （1）求的分布列和数学期望. （2）求概率. （3）证明：. 19. 已知关于x的函数与在区间D上恒有． （1）若，求h(x)的表达式； （2）若，求k的取值范围； （3）若求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $