30.1.2 圆的切线（第1课时 切线的性质与判定）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“圆的切线（第一课时：性质与判定）”，通过温故知新复习直线与圆相切的旧判定方法，问题进阶引出新判定方法及性质，构建前后知识脉络，搭建学习支架。 亮点在于“观察动态图形—提出猜想—逻辑证明—归纳定理”的探究过程，培养推理意识，归纳切线证明辅助线模型提升模型意识，结合典型例题与中考真题，规范书写，通过自主与合作学习发展创新意识和应用能力。

30.1.2 圆的切线（第一课时：切线的性质与判定） （导学案） （1）理解并熟记切线的判定定理和切线的性质定理，掌握定理的两个缺一不可的核心条件;能准确区分切线判定与性质的使用场景，掌握切线证明的两种基础辅助线方法;能运用切线判定、性质定理完成基础几何证明、角度与线段计算. （2）经历“观察动态图形—提出猜想—逻辑证明—归纳定理”的探究过程，掌握几何定理的通用探究方法;通过例题探究、变式辨析，归纳切线问题的解题模型，提升几何识图、推理、规范书写的能力. （3）在定理推导与严谨证明中，体会几何逻辑的严谨性，培养严谨细致的数学学习态度;通过自主探究、合作交流，提升几何学习自信心，养成主动归纳解题方法的学习习惯. 重点：圆的切线判定定理、性质定理的理解与记忆；两大定理的直接应用，规范切线证明的解题步骤. 难点：区分切线判定与性质的因果关系（判定：证相切→用条件；性质：已知相切→得垂直）；根据题型条件灵活选用两种切线证明辅助线方法；规避定理条件遗漏导致的证明漏洞. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：直线与圆相切的两种判定方法是什么？ ①有且只有1个公共点；②圆心到直线距离d=r. 问题进阶：除了以上两种方法，有没有更适合几何证明的判定方法？若已知直线是圆的切线，能得到什么核心结论？ 点出课题：30.1.2 圆的切线（切线的性质与判定） 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ150－151内容 【学法指导】自研课本Ｐ150－151内容 （一）切线的判定定理 首先来看切线的性质.如图，直线与⊙O相切于点A.考虑到圆的有关性质多是通过与圆有关的线段和角来体现的，连接O，A两点，得到过切点A的半径OA. 接下来，研究OA与切线的关系. 思考 ⊙O的半径OA与过点A的切线有什么关系？ 动态演示：在⊙O中，取半径OA，过半径外端点A作直线OA 猜想探究：直线与⊙O有几个公共点？是否为圆的切线？ 推理验证：圆心O到直线的距离即为线段OA的长，即d=r，可证直线是⊙O的切线. 师生归纳切线判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 定理条件拆解（缺一不可）：①直线经过半径外端点；②直线与该半径互相垂直. （二）切线的性质定理 思考 按上述性质，若⊙O的切线经过半径OA的外端点A，那么⊥OA.反过来，如图，若直线过半径OA的外端点A，且⊥OA，那么直线L是OO的切线吗？ 反向猜想：若直线是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线有什么位置关系？ 反证法简单推理：假设OA与不垂直，则圆心到直线距离小于半径，直线与圆有两个公共点，与切线定义矛盾，故⊥OA. 师生归纳切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 逻辑辨析： 判定：满足两个条件,证直线是切线（由条件得结论） 性质：已知是切线,得垂直关系（由已知推结论） （三）切线证明两种辅助线模型 师生归纳本节课两大基础模型： 1. 有公共点，连半径，证垂直（已知直线与圆有交点） 2. 无公共点，作垂直，证半径（未知直线与圆交点） （四）生活中的切线 在生活中，有许多直线与圆相切的实例，例如，列车车轮的边沿与铁轨的上沿是相切的，在砂轮上打磨工件时产生的火星是沿着圆的切线飞出的（如下图). 同学交流列举直线与圆相切的实例. 【自研自探】 自研课本Ｐ150－151内容 典型例题 例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与OO相切于点D.求证：AC是OO的切线. 【分析】：要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是OO的半径即可.由于OD是 OO的半径，故只需证明OE=OD. 【详解】证明：如图，过点O作OE[AC，垂足为E，连接OD，OA. ∵AB与OO相切于点D， ∴ OD⊥AB. 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∵AO是∠BAC的平分线. ∴OE=OD，即OE是OO的半径,AC经过GO的半径OE的外端点E，并且垂直于半径OE， 所以AC是OO的切线. 例2.如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【分析】（1）通过连接，证明，结合得出，从而证明是的切线； （2）先判断为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴． ∴ ． ∴ ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴ ∴是的切线； （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中， ， ∴长为5． 第二环节 合作探究 1.讨论如何判定一条直线与圆相切. 2.讨论直线与圆相切的性质. 3.讨论与圆相切相关问题的常见辅助线. 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像分别交x轴、y铀于点A、B，点C、D分别是射线、射线上的动点，且．连接，以为直径作．设． (1)若，则点D的坐标是______； (2)若点C在线段上且的面积是，求t的值； (3)若直线与相切，求t的值． 【详解】（1）解：令，则，∴， 令，则，∴， ， 为等腰直角三角形，， 当时，，， ， 如图1，           过点D作轴于H，则， 在等腰直角中，， ，．故答案为：； （2）解：一次函数的图像分别交x轴于点，交y轴于点，则， ∴， 如图1，过点D作轴于H，则， ∵，， ∴，∴， ∵的面积是，∴， 在中，， ∴， ∴，∴，．, （3）解：过点D作轴于H，则． 若直线与相切，则，由（2）问可知， 为等腰直角三角形， ，分两种情况：, ①如图2，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当时，由题意可知，点D与点B重合，点H与点O重合，如图3， 是等腰直角三角形， ， ∴．综上所述，当与相切时，t的值是或． 课本课堂练习P151. 1.（2026.淮安校考）如图，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在圆O上，边交线段于点C．若，的半径长为2，求的长． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， 为等边三角形， ， 与相切于点B， ， 根据旋转可知：， ，， ， ， ． 2．（2026安徽省）如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，设与交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵正方形的各边与所在的圆分别相切于点， ∴所在的圆为以点为圆心、长为半径的， ∴图中阴影部分的面积为 ． 3.（2026贵州）如图，已知是的直径，点，在上，． (1)线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； (2)求证：； (3)过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴线段与线段的数量关系是相等； 连接， ∵， ∴垂直平分 ∴直线与的位置关系是互相垂直； （2）略(2)证明：延长交于点， 由（1）可得，垂直平分，即， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； （3）解：如图，连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵直线是的切线，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 知识技能：（1）切线判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线（双条件：外端+垂直）.（2）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.（3）两种解题模型：有交点→连半径证垂直；无交点→作垂直证半径. 思想方法：（1）数形结合思想：结合图形定位半径、切点、垂直关系，实现图形与条件互通.（2）逻辑推理思想：严谨步步推证，构建几何证明的因果逻辑.（3）模型化思想：归纳固定辅助线模型，实现题型归类、方法迁移. 易错提醒：（1）判定定理证明缺一不可，严禁遗漏“过半径外端”或“垂直”任一条件.（2）禁止混淆因果：判定是证切线，性质是用切线，不可颠倒使用.（3）切线垂直的是过切点的半径，不是任意半径，表述必须严谨.（4）证明过程跳步、无依据、不写定理依据，书写不规范. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1.2 圆的切线（第一课时：切线的性质与判定） （导学案） （1）理解并熟记切线的判定定理和切线的性质定理，掌握定理的两个缺一不可的核心条件;能准确区分切线判定与性质的使用场景，掌握切线证明的两种基础辅助线方法;能运用切线判定、性质定理完成基础几何证明、角度与线段计算. （2）经历“观察动态图形—提出猜想—逻辑证明—归纳定理”的探究过程，掌握几何定理的通用探究方法;通过例题探究、变式辨析，归纳切线问题的解题模型，提升几何识图、推理、规范书写的能力. （3）在定理推导与严谨证明中，体会几何逻辑的严谨性，培养严谨细致的数学学习态度;通过自主探究、合作交流，提升几何学习自信心，养成主动归纳解题方法的学习习惯. 重点：圆的切线判定定理、性质定理的理解与记忆；两大定理的直接应用，规范切线证明的解题步骤. 难点：区分切线判定与性质的因果关系（判定：证相切→用条件；性质：已知相切→得垂直）；根据题型条件灵活选用两种切线证明辅助线方法；规避定理条件遗漏导致的证明漏洞. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：直线与圆相切的两种判定方法是什么？ 问题进阶：除了以上两种方法，有没有更适合几何证明的判定方法？若已知直线是圆的切线，能得到什么核心结论？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ150－151内容 【学法指导】自研课本Ｐ150－151内容 （一）切线的判定定理 首先来看切线的性质.如图，直线与⊙O相切于点A.考虑到圆的有关性质多是通过与圆有关的线段和角来体现的，连接O，A两点，得到过切点A的半径OA. 接下来，研究OA与切线的关系. 思考 ⊙O的半径OA与过点A的切线有什么关系？ 动态演示：在⊙O中，取半径OA，过半径外端点A作直线OA 猜想探究：直线与⊙O有几个公共点？是否为圆的切线？ 推理验证：圆心O到直线的距离即为线段OA的长，即d=r，可证直线是⊙O的切线. 师生归纳切线判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 定理条件拆解（缺一不可）：①直线经过半径外端点；②直线与该半径互相垂直. （二）切线的性质定理 思考 按上述性质，若⊙O的切线经过半径OA的外端点A，那么⊥OA.反过来，如图，若直线过半径OA的外端点A，且⊥OA，那么直线L是OO的切线吗？ 反向猜想：若直线是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线有什么位置关系？ 反证法简单推理：假设OA与不垂直，则圆心到直线距离小于半径，直线与圆有两个公共点，与切线定义矛盾，故⊥OA. 师生归纳切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 逻辑辨析： 判定：满足两个条件,证直线是切线（由条件得结论） 性质：已知是切线,得垂直关系（由已知推结论） （三）切线证明两种辅助线模型 师生归纳本节课两大基础模型： 1. 有公共点，连半径，证垂直（已知直线与圆有交点） 2. 无公共点，作垂直，证半径（未知直线与圆交点） （四）生活中的切线 【自研自探】 自研课本Ｐ150－151内容 典型例题 例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与OO相切于点D.求证：AC是OO的切线. 例2.如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 第二环节 合作探究 1.讨论如何判定一条直线与圆相切. 2.讨论直线与圆相切的性质. 3.讨论与圆相切相关问题的常见辅助线. 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像分别交x轴、y铀于点A、B，点C、D分别是射线、射线上的动点，且．连接，以为直径作．设． (1)若，则点D的坐标是______； (2)若点C在线段上且的面积是，求t的值； (3)若直线与相切，求t的值． 课本课堂练习P151. 1.（2026.淮安校考）如图，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在圆O上，边交线段于点C．若，的半径长为2，求的长． 2．（2026安徽省）如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 3.（2026贵州）如图，已知是的直径，点，在上，． (1)线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； (2)求证：； (3)过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 知识技能：（1）切线判定定理： 直线是圆的切线（双条件：外端+垂直）.（2）切线性质定理：圆的切线 .（3）两种解题模型：有交点→ 证 ；无交点→ 证 . 思想方法：（1）数形结合思想： .（2）逻辑推理思想： .（3）模型化思想： . 易错提醒：（1）判定定理证明缺一不可，严禁遗漏“ ”或“ ”任一条件.（2）禁止混淆因果：判定是 线，性质是 ，不可颠倒使用.（3）切线垂直的是 ，不是 ，表述必须严谨.（4）证明过程 、无 、不写 ，书写 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $