30.1.2圆的切线（第2课时）（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“圆的切线（第2课时）”，核心内容包括切线长概念、切线长定理的探索与证明，以及过圆外一点作圆的切线的尺规作图。课堂导入通过复习切线性质与判定定理，结合过圆上一点作切线的方法，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生自然过渡到新问题。 导学案以合作探究为主线，通过分析作图原理、猜想证明切线长定理，培养学生的推理能力。典例分析与中考演练融入实际情境，如团扇装饰问题，发展应用意识，几何直观的培养贯穿始终。分层作业设计满足不同学生需求，助力巩固知识与提升数学思维能力。

人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2圆的切线（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.理解切线长的概念；探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。 2.能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线。 学习重点： 探索并证明切线长定理。 学习难点： 能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线。 二、学习过程 （一）复习引入 1.切线的性质定理： . 2.切线的判定定理： . 3.已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线? 如图，点A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线l. 4.如何过圆外一点作圆的切线？ （二）合作探究 思考 如图，P是⊙O外一点，如何过点P作⊙O的切线？ 分析 因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与⊙O相切， 所以需在⊙O上确定一点A，满足 . 由此可知，点O，P，A可以确定一个圆， 是这个圆的直径. 因此以 为直径作圆，该圆与⊙O的交点即所要确定的点. 作法： 切线长 可以看到，过圆外一点可以作出 条直线与这个圆相切. 我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和 之间线段的长(如图中的线段 的长)，叫作这点到圆的切线长. 思考 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过点O，P作直线OP.线段PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系? 猜想 . 证明： 切线长定理 . 符号语言： ∵PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B， ∴ . （三）典例分析x2−x−56=0 例3 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长. 中考演练(2026河南) 团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为⊙O，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P作PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，得到．若⊙O的半径为9 cm，∠APB=60°，则小红想要装饰的的长为（      ） A．3π cm B．6π cm C．9π cm D．27π cm 中考演练(2023山东滨州) 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB=56°.若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 ． （四）巩固练习 1. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°.求∠P的度数. 2. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E. (1)写出图中所有垂直关系； (2)如果PA=4，PD=2，求⊙O的半径长. 4.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P=60°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（      ） A．110° B．120° C．125° D．130° 5.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E．AB与AC相等吗？为什么？ （五）当堂检测 1.如图，点P，C在弦AB的两侧，PA，PB是⊙O的切线，C在⊙O上，则∠P与∠C的关系是（      ） A．2∠P+∠C=180° B．2∠P+∠C=360° C．∠P+2∠C=180° D．∠P+∠C=180° 第1题图 第2题图 2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，PA=12 cm，则△PDE的周长是 cm． 3.如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB=PA，射线PO交⊙O于C、D两点． (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)求证：AC平分∠PAB. （六）课堂小结 切线长定理： . （七）布置作业 A组题：习题30.1：第5，7，8题. B组题：第11题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2圆的切线（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.理解切线长的概念；探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。 2.能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线。 学习重点： 探索并证明切线长定理。 学习难点： 能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线。 二、学习过程 （一）复习引入 1.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 2.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线? 如图，点A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线l. 作法：1.连接OA； 2.过点A作OA的垂线l，直线l即为所求. 4.如何过圆外一点作圆的切线？ （二）合作探究 思考 如图，P是⊙O外一点，如何过点P作⊙O的切线？ 分析 因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与⊙O相切， 所以需在⊙O上确定一点A，满足 OA⊥AP，即∠OAP=90° . 由此可知，点O，P，A可以确定一个圆，OP是这个圆的直径. 因此以OP为直径作圆，该圆与⊙O的交点即所要确定的点. 作法：(1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C； (2)以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点； (3)作直线PA，PB，即所求作的切线. 切线长 可以看到，过圆外一点可以作出 两 条直线与这个圆相切. 我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长(如图中的线段PA，PB的长)，叫作这点到圆的切线长. 思考 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过点O，P作直线OP.线段PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系? 猜想 PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△POA≌Rt△POB. ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言： ∵PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. （三）典例分析x2−x−56=0 例3 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长. 解：如图，连接OA. ∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. 又∠APO=30°，∴∠APB=60°. ∴△PAB是等边三角形.∴AB=PA=PB. 又 在Rt△POA中，∠APO=30°，OP=2， ∴OA=1，PA==. ∴△PAB的周长为3. 中考演练(2026河南) 团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为⊙O，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P作PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，得到．若⊙O的半径为9 cm，∠APB=60°，则小红想要装饰的的长为（  B   ） A．3π cm B．6π cm C．9π cm D．27π cm 中考演练(2023山东滨州) 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB=56°.若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为62°或118°． 分析 如图所示，连接AC，BC，当点C在优弧上时， ∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∵∠APB=56°．∴∠AOB=360°−90°−90°−56°=124°. ∴∠ACB=∠AOB=62°， 当点C′在上时，∵四边形AC′BC是圆内接四边形， ∴∠C′=180°−∠C=118°， ∴∠ACB的大小为62°或118°． （四）巩固练习 1. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°.求∠P的度数. 解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点， ∴PA=PB，∠OAP=90°. ∴∠PAB=∠PBA. ∵∠BAC=25°， ∴∠PAB=∠OAP-∠BAC=65°， ∴∠P=180°-65°×2=50°. 2. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E. (1)写出图中所有垂直关系； (2)如果PA=4，PD=2，求⊙O的半径长. 解：（1）OA⊥PA， OB⊥PB， OP⊥AB. （2）设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OP=OD+PD=r+2. ∵△OAP是直角三角形，由勾股定理得： OA2+PA2=OP2， 即r2+42=(r+2)2， 解得：r=3. 答：⊙O的半径长为3. 4.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P=60°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（  B   ） A．110° B．120° C．125° D．130° 5.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E．AB与AC相等吗？为什么？ 解：AB与AC相等，理由如下： 如图，连接OD、OE， ∵ AB，AC是小圆的两条切线，切点分别为D、E， ∴OD⊥AB，OE⊥AC，AD=AE. 又∵ AB，AC是大圆的弦，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AB=2AD，AC=2AE， ∴AB=AC． （五）当堂检测 1.如图，点P，C在弦AB的两侧，PA，PB是⊙O的切线，C在⊙O上，则∠P与∠C的关系是（  C   ） A．2∠P+∠C=180° B．2∠P+∠C=360° C．∠P+2∠C=180° D．∠P+∠C=180° 第1题图 第2题图 2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，PA=12 cm，则△PDE的周长是 24 cm． 3.如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB=PA，射线PO交⊙O于C、D两点． (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)求证：AC平分∠PAB. (1)证明：如图，连接OA，OB． ∵PA是切线， ∴PA⊥OA，∴∠PAO=90°， 在△PAO和△PBO中， PA=PB，PO=PO，OA=OB， ∴△PAO≌△PBO(SSS)， ∴∠PBO=∠PAO=90°，∴PB⊥OB， ∵OB为半径， ∴PB是⊙O的切线． (2)证明：如图，设∠PAC=α． ∵∠PAO=90°，∴∠OAC=90°−α， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC=90°−α， ∵PA=PB，OA=OB， ∴PO垂直平分AB， ∴∠CAB=90°−∠ACO=90°−90°−α=α， ∴∠PAC=∠CAB， ∴AC平分∠PAB． （六）课堂小结 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. （七）布置作业 A组题：习题30.1：第5，7，8题. B组题：第11题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $