精品解析：江苏苏州市震泽中学2025-2026学年高一第二学期第一次月考数学试卷

2025～2026学年震泽中学高一第二学期第一次月考数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，若，则（   ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 解得． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，再将利用二倍角公式展开，最后代入计算. 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 所以. 故选：B. 3. 在中，，点P在CD上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，利用共线定理推论可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又P，C，D三点共线，所以，得. 故选：D. 4. 如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】，又，故， 所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，故. 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为， 故选：D. 5. 已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直得到，即可表示出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，且，所以，即， 所以，又，所以. 故选：B 6. 已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（   ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】的最小正周期为，， ， 又， ， 则 ， ， 的最大值为． 7. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件代入数量积公式，计算，即可求解. 【详解】，即， 则，即，因为，所以， . 故选：D 8. 如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用表示，再利用数量积运算律求解. 【详解】由为边靠近的三等分点，得， 不妨设，由三点共线得， 设，则， 又不共线，则有， 即，解得，即， 由，得，因，， 因此 ， 因， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 向量不能作为平面内所有向量的一个基底 C. 向量在向量上的投影向量可表示为 D. 若，，则为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形重心的向量表示判断A；根据基底的概念判断B；根据投影向量的定义判断C，根据数量积的定义判断D. 【详解】对于A，由题意，取的中点为，并连接，作图如下： 由，即，则共线， 即所在直线经过中点，与边的中线共线， 同理可得，分别与，边的中线共线， 是三角形中三条中线的交点，为的重心，故A正确； 对于B，由，所以， 即与共线，所以与不能作为平面内的一组基底，故B正确； 对于C：向量在向量上的投影向量可表示为，故C错误； 对于D：作角的内角平分线与边交于点， 因为为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（），∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴为等边三角形，故D正确. 故选：ABD 10. 下列选项中，值为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角恒等变换以及诱导公式逐一验算即可求解. 【详解】A选项：； B选项： ； C选项： ； D选项：因为，可得； 故选：ABD. 11. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给线段长度关系判断A，建立平面直角坐标系，利用坐标运算判断B，根据三点共线判断C，利用向量的坐标运算求向量夹角判断D. 【详解】， ，故A错误； 以为原点，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，则， 则， ，故B正确； ， 三点共线，，即，故C正确. ， ， ， ， ， ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】化弦为切求出，再由两角差的正切公式求解. 【详解】由得， 整理得， 即 解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以在上， 又因为点为的外心， 所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点， 因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即， 又，所以 由于为锐角，所以 故答案为： 14. 如图，函数的图象与它在原点右侧的第二条对称轴交于点是图象在原点左侧与轴的第一个交点，点在图象上，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】设函数的最小正周期，，，由三角函数的图象与性质可得，由平面向量的知识可得，代入即可得，再由平面向量的数量积可得，即可得解. 【详解】设函数的最小正周期，，， 所以，结合函数的图象可得，， 则. 设，则，， 所以， 所以， 所以， 则，. 由可得，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，对，有． （1）求的值及的单调递增区间； （2）若时，求． 【答案】（1），单调递增区间为． （2） 【解析】 【分析】（1）由，可知当时，取得最值，结合三角函数的图象性质可得的值和的单调递增区间. （2）将表示为，利用两角和差公式化简得到结果. 【小问1详解】 ， 因为对，有，可得当时，取得最值， 所以， 可得，又， 所以， 所以， 由，可得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 由， 可得， 所以， 所以 . 16. 如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点. （1）若是线段的中点，，求的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）因为是线段的中点， 所以 ， 故. （2） 故； 设，则， 为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即时，. 所以的最小值为. 17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，，记． （1）试用向量表示向量，并求向量的坐标； （2）若函数的最大值为，求实数的值． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的加法法则，即可求解. (2)先得到的解析式，再通过换元，得到一个关于t的一元二次函数，再对m进行分类讨论，即可求出答案. 【详解】（1） （2）， 记 ①当时 ②当时舍去； ③当时舍去； 综上 18. 在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设. （1）试用表示； （2）若，求的余弦值； （3）若H在BC上，且，设，若，求的范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案. （2）由（1）及已知条件，利用数量积的运算律及向量的夹角公式求解. （3）设，结合及数量积的运算律得，再列出不等式求出的范围即可. 【小问1详解】 由共线，得，则， 整理得， 由共线，得，则， 整理得，而不共线， 由平面向量基本定理，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 由，得， 则， ， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，则， 由共线，设， 由，得，而，， 则， 整理得， 即，显然，则， 由，得，则，解得， 所以的范围是. 19. 定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）. （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）若函数，求其“相伴向量”的模的取值范围； （3）已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把化为形式，由定义即得. （2）把化为形式，得其“相伴向量”，由模公式可求模. （3）先根据定义得到函数取得最大值时对应的自变量，再结合基本不等式求出的取值范围，由正切的二倍角公式及函数的单调性可得结论. 【小问1详解】 函数， 所以函数的“相伴向量”. 【小问2详解】 依题意，， 则函数的“相伴向量”， 因此. 【小问3详解】 向量的相伴函数， 其中由确定， 当时，函数取到最大值，则， ， 由定点且，得， 设且， 因此， 当时，， 当且仅当时取等号； 当时，， 当且仅当时取等号，则， 令，于是， 函数在内单调递减， 当时，； 当时，，； 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年震泽中学高一第二学期第一次月考数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，若，则（   ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 在中，，点P在CD上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 5. 已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（   ） A. 0 B. C. 2 D. 7. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 向量不能作为平面内所有向量的一个基底 C. 向量在向量上的投影向量可表示为 D. 若，，则为等边三角形 10. 下列选项中，值为的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ） A. B. C. 满足的实数与的和为定值4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 14. 如图，函数的图象与它在原点右侧的第二条对称轴交于点是图象在原点左侧与轴的第一个交点，点在图象上，，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，对，有． （1）求的值及的单调递增区间； （2）若时，求． 16. 如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点. （1）若是线段的中点，，求的值； （2）若，求的最小值. 17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，，记． （1）试用向量表示向量，并求向量的坐标； （2）若函数的最大值为，求实数的值． 18. 在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设. （1）试用表示； （2）若，求的余弦值； （3）若H在BC上，且，设，若，求的范围 19. 定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）. （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）若函数，求其“相伴向量”的模的取值范围； （3）已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $