精品解析：江苏省木渎高级中学2025-2026学年第二学期阶段性考试高一数学试题

江苏省木渎高级中学2025-2026学年第二学期阶段性考试高一数学试题 总分150分 考试时间120分钟 命题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则（ ） A. B. 62 C. 28 D. 2. 设D为所在平面内一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，分别是三内角的对边，若满足条件的三角形的解有两个，则的长度范围是（　　） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C. 在中，是为锐角三角形的充要条件 D. 在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 6. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，则破裂的断点两点间距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知的两个内角都是关于x的方程的解，其中，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于，下列说法正确的有（ ） A. 若，则符合条件的有两个 B. 若，则 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则为等腰三角形 11. 在中，，，，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，，（x，），线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍，则（ ） A. B. x＋y的取值范围为 C. 若，则的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知平面向量满足，且，则向量的夹角大小为__________. 13. 的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，角的平分线交于，则_____． 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共78分. 15. 已知向量满足，且. （1）求向量的夹角； （2）求的值. 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点和单位圆上的两点，，点是劣弧上一点，，． （1）若，求的值； （2）设，当的最小值为时，求的值． 17. 已知、、分别为内角的对边，已知且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）求周长的取值范围． 18. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，. （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点． （1）若，且面积为． （i）求角B； （ii）求； （2）若，，，的面积为，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省木渎高级中学2025-2026学年第二学期阶段性考试高一数学试题 总分150分 考试时间120分钟 命题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则（ ） A. B. 62 C. 28 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量加法的坐标运算求得，再根据向量共线的坐标表示列出方程即可求解． 【详解】由题可知，， 因为A，B，D三点共线，所以， 所以， 故选：C． 2. 设D为所在平面内一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理，把作为基底，再利用向量的加减法法则把向量用基底表示出来即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 3. 在中，分别是三内角的对边，若满足条件的三角形的解有两个，则的长度范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的解有两个，可得，然后求出的范围． 【详解】因为满足条件，的三角形的解有两个， 所以，所以， 所以的取值范围为． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中正弦定理的应用，考查运算能力，属基础题． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，而，可得， 所以. 5. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C. 在中，是为锐角三角形的充要条件 D. 在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量减法法则判断A，根据向量的定义判断B，根据数量积的定义判断C，根据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量， 故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误； 对于C：由，即，即， 又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立， 故C错误； 对于D：由，可得 又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角， 故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：D 6. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，则破裂的断点两点间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，求得，根据正弦定理即可求得，进而可求得，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】如图，延长交于点，因为，所以， 在中，由正弦定理，得， 由题意得20， 在中，由余弦定理，得， 故两点之间的距离为. 故选：D. 7. 已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，利用向量的减法运算和数量积化简，将问题转化为求的最值，再利用正弦定理和三角函数范围即可求最值. 【详解】过点作，垂足分别为， 因为是外接圆的圆心，则为的中点， 则， 由正弦定理得， 等号当且仅当时成立， 则， 所以的最大值为. 故选：C 8. 已知的两个内角都是关于x的方程的解，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，进一步，，进一步结合三角恒等变换即可求解. 【详解】因为，所以方程可化为：， 又根据题意由韦达定理有，， 则，整理可得， 又根据 ， 又因为，所以， 所以在中， ， 则. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】拆角后由两角差的正切公式可判断A；由二倍角的余弦公式结合余弦值可得B错误；由二倍角的正弦公式和诱导公式可得C正确；由二倍角的正弦和辅助角公式可得D错误. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，， 故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：AC 10. 对于，下列说法正确的有（ ） A. 若，则符合条件的有两个 B. 若，则 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则为等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，利用余弦定理即可判断；对B，根据大角对大边并结合正弦定理即可判断；对C，根据正、余弦定理即可判断；对D，分类讨论即可判断. 【详解】对于选项A：由余弦定理可得： ， 即，只有一解，故A错误； 对于选项B：若，则，由正弦定理可得成立.故B正确； 对于选项C：若，由正弦定理得， 由余弦定理，且 所以为钝角，即是钝角三角形，故C正确； 对于选项D：因为在三角形中，， 故若，则或，可得或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D不正确， 故选：BC. 11. 在中，，，，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，，（x，），线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍，则（ ） A. B. x＋y的取值范围为 C. 若，则的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形面积公式即可得到，利用对勾函数的性质和基本不等式即可判断B，利用共线向量定理的推论即可判断C，利用转化法计算即可判断D. 【详解】对A，， ， 又因为，即， 解得，故A正确， 对B，因为，，则，解得，则， 则， 当且仅当时等号成立， 根据对勾函数的图象与性质可知当或1时，，则，故B错误， 对C，因为，，所以， 因为点三点共线， 则存在，使得 则有，则，，故C正确； 对D，，， 则 ， 因为，则，则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题较难的CD选项的判定，需要利用共线向量定理的推论，从而得到，然后解出，从而得到其范围；对于D选项，则利用转化法来计算，最后得到，再进行消元转化为单变量表示即可得到其范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知平面向量满足，且，则向量的夹角大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积与向量的运算律以及向量夹角公式计算即可. 【详解】设向量的夹角，因为， 所以， 即解得：， 因为，所以. 13. 的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，角的平分线交于，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据余弦定理，先计算出边的长度，然后利用面积等于与的面积的和计算角平分线的长度，或者求出各个角的大小，用正弦定理求出的长度. 【详解】由图可知，记， 方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由可得，， 解得：． 方法二：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由正弦定理可得，， 解得：，因为， 所以，又， 所以，即． 故答案为：. 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理结合面积公式化简得，利用辅助角公式求出，由正弦定理得，根据正切函数的性质求得，，最后利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得， 因为，化简可得，所以， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，则，所以可得，即， 所以， 则， 因为锐角，所以，， 则，又在单调递增， 则，令，所以， 所以， 由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，取到最小值，当或时，最大值， 则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共78分. 15. 已知向量满足，且. （1）求向量的夹角； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得； （2）由及数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 设向量与的夹角为，则， 即，解得， 所以，，故， 故向量与的夹角为. 【小问2详解】 . 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点和单位圆上的两点，，点是劣弧上一点，，． （1）若，求的值； （2）设，当的最小值为时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据任意角三角函数定义可求得，利用可求得，结合诱导公式可化简求出结果；（2）利用向量坐标表示可得到，可求得，根据二次函数性质可求得，从而利用的最小值构造方程可求得，根据角的范围可求得和，进而根据数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】（1）由可知：， （2）由题意得： ， 当时， ，解得： 【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值、平面向量数量积的求解，涉及到任意角三角函数定义、向量坐标运算、向量模长最值的求解等知识；本题的解题关键是能够通过求解模长平方，结合二次函数的性质求得模长的最值. 17. 已知、、分别为内角的对边，已知且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简求解； （2）由面积公式得，再根据余弦定理求的值； （3）根据，，将周长化为三角函数求最值． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得 ， 所以， ，则，所以，即， ，则，故，因此，． 【小问2详解】 由三角形的面积公式可得， ，由余弦定理可得： ， 即 因此． 【小问3详解】 由正弦定理可得， 故， 所以， 所以 ， ，所以，则，所以， 所以， 因此，的周长的取值范围是． 18. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，. （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据和正弦定理可得，由余弦定理可得，进而，即可求解； （2）设，根据平面向量的线性运算可得，则结合数量积的运算律和定义可得，由得，化简得，利用同角三角函数关系和三角形面积公式计算即可求解； （3）设，，、.由向量的线性运算可得.结合得，解得，，利用三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 在中，由正弦定理，得， 在中，由余弦定理，所以， 得，又∵，∴. 【小问2详解】 设，∵AD为边上的中线，∴， 则， ， ，① 整理得，即， 得或， 由①，得，∴，∴， ∴，∴. 【小问3详解】 由（2）知，， D为BC的中点，则， 设，，、. 所以，得， 又E、G、F三点共线，所以，即. 由，得， 又，所以， 化简得，解得，， ∴，， ∴. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点． （1）若，且面积为． （i）求角B； （ii）求； （2）若，，，的面积为，，，求的最小值． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）． 【解析】 【分析】（1）（i）利用两角和的正弦公式和即可求解； （ii）由（i）得P为内的费马点，即，利用面积为得，即可求解； （2）由利用二倍角的余弦公式有，即，利用正弦定理有，即，从而求出角，利用面积公式得，再由正弦定理即可得，，最后利用均值不等式即可求解. 【小问1详解】 （i）∵，， ∴， ∴， 在中，，∴，∴， 又，∴． （ii）∵，∴不存在大于等于120°的角，∴P为内的费马点． 所以， ∵， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 ∵，∴，即， 在中有正弦定理得，， ∴，∴， 在中，，∴， 又，∴． ∴， 设，，则在由正弦定理得，， 在由正弦定理得，， ∴， 当且仅当，，时等号成立． ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $