22.2 第2课时 比例的性质和黄金分割（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“比例的性质和黄金分割”，在比例基本性质基础上，通过合作探究引导学生进阶学习合比、等比、反比更比性质，结合实例引入黄金分割，构建从基础到应用的知识支架。 其亮点在于采用探究式学习，通过问题推导比例性质培养推理意识，结合五角星、巴台农神庙实例渗透数学眼光，易错点总结强化应用意识。学生能提升思维能力，教师可高效开展教学。

22.2 第2课时 比例的性质和黄金分割专项练习 【核心知识梳理】 本节课是22.2比例线段的进阶课时，在比例基本性质基础上，重点学习比例的三大常用性质与黄金分割两大核心内容，是九年级相似几何高频基础考点。比例性质用于快速化简比例式、求解比值，黄金分割是线段特殊比例模型，常结合线段计算、几何求值考查，为后续相似综合计算奠定基础。 一、比例的四大核心性质（重难点） 1. 基本性质：若$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$（$$b eq0,d eq0$$），则$$ad=bc$$，可实现比例式与等积式双向转化。 2. 合比性质：若$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则$$\dfrac{a\pm b}{b}=\dfrac{c\pm d}{d}$$。用于分子加减分母的比例化简，是分式型几何计算常用技巧。 3. 等比性质：若$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dots=\dfrac{m}{n}$$（$$b+d+\dots+n eq0$$），则$$\dfrac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\dfrac{a}{b}$$。适用于多组等比线段求和比值计算，需注意分母和不为零的前提条件。 4. 反比、更比性质：反比性质（上下互换）：$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$$；更比性质（交叉互换）：$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$$。 二、黄金分割（本节重点） 定义：点$$P$$把线段$$AB$$分成两条线段$$AP$$、$$BP$$（$$AP>BP$$），若$$\dfrac{BP}{AP}=\dfrac{AP}{AB}$$，则称线段$$AB$$被点$$P$$黄金分割，点$$P$$为黄金分割点。 黄金比值：黄金比$$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$$。一条线段有两个黄金分割点，分别靠近线段两端。核心公式：较长线段$$AP=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}AB$$，较短线段$$BP=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}AB$$。 【基础专项练习题】 1. 填空题：若$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$$，根据合比性质可得$$\dfrac{a+b}{b}=$$________，$$\dfrac{a-b}{b}=$$________。 2. 填空题：已知线段$$AB=10\mathrm{cm}$$，点$$P$$是$$AB$$的黄金分割点（$$AP>BP$$），则$$AP=$$________$$\mathrm{cm}$$。 3. 选择题：若$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}$$，则$$\dfrac{x+y+z}{2+3+4}$$的值为（） A. $$\dfrac{x}{2}$$ B. $$\dfrac{y}{2}$$ C. $$\dfrac{z}{2}$$ D. 无法确定 4. 选择题：关于黄金分割，下列说法正确的是（） A. 一条线段只有一个黄金分割点 B. 黄金比约为0.618 C. 较长线段是原线段的2倍 D. 黄金分割比值是整数 【提升专项练习题】 5. 解答题：已知$$\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{6}$$，且$$a+b+c=30$$，求$$a、b、c$$的值。 6. 解答题：已知线段$$AB=20\mathrm{cm}$$，点$$P$$是线段$$AB$$的黄金分割点（$$AP>BP$$）。（1）求较长线段$$AP$$的长度；（2）求较短线段$$BP$$的长度。 【参考答案与详细解析】 1. 答案：$$\dfrac{8}{5}$$；$$-\dfrac{2}{5}$$。解析：由合比性质，$$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{3+5}{5}=\dfrac{8}{5}$$，$$\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{3-5}{5}=-\dfrac{2}{5}$$。 2. 答案：$$5\sqrt{5}-5$$。解析：黄金分割较长线段$$AP=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\times10=5\sqrt{5}-5$$。 3. 答案：A。解析：根据等比性质，多组相等比例，分子和与分母和的比值等于原比值，故原式$$=\dfrac{x}{2}$$。 4. 答案：B。解析：一条线段有两个黄金分割点，黄金比$$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$$，是无理数，ACD错误。 5. 解析：设$$\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{6}=k$$（$$k eq0$$），则$$a=4k，b=5k，c=6k$$。代入$$a+b+c=30$$得$$15k=30$$，解得$$k=2$$，因此$$a=8，b=10，c=12$$。 6. 解析：（1）由黄金分割公式得$$AP=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\times20=10\sqrt{5}-10(\mathrm{cm})$$；（2）$$BP=AB-AP=20-(10\sqrt{5}-10)=30-10\sqrt{5}(\mathrm{cm})$$。 【易错点总结】本节高频易错点：一是运用等比性质时忽略分母和不为0的前提，直接套用公式出错；二是混淆黄金分割长短线段公式，记错系数；三是忽略一条线段有两个黄金分割点；四是合比、反比性质变形时符号、分子分母对应错误；五是黄金比取值记错，混淆精确值与近似值。解题核心：比例变形守顺序，等比性质看分母，黄金分割分清长短线段，牢记固定比值公式。 沪科版（新教材）数学九年级上册 22.2 第2课时 比例的性质和黄金分割 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第22章 相似形 比例的基本性质 【合作探究】 问题1：如果四个数 a，b，c，d 成比例，即 . 那么 ad = bc 吗？反过来如果 ad = bc，那么 a，b，c，d 四个数成比例吗？ 1 2 如果四个数 a，b，c，d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘以 bd，得 ad = bc 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad = bc.(b，d≠0) 3 由此可得到比例的基本性质： 如果 ad = bc，那么等式 还成立吗？ 在等式中，四个数 a，b，c，d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0. 如果 ad = bc，那么 .(b，d≠0) 4 例1 根据下列条件，求 a∶b 的值： （1） 4a = 5b ； （2） （2）∵ ，∴8a = 7b，∴ 解 （1）∵ 4a = 5b，∴ 典例精析 例2 已知 ，求 的值. 解：解法1：由比例的基本性质， 得 2(a + 3b) = 7×2b. ∴a = 4b，∴ = 4. 解法2：由 ，得 . ∴ ， ，那么 、 各等于多少？ 2．已知 1．已知线段 a、b、c 满足关系式 且 b＝4，那么 ac＝______． ， 16 练一练 ，还有什么其他性质吗？ 在等式两边同时加上 1，得 . 由此可得到比例的合比性质： 如果 ，那么 .(b，d≠0) 知识要点 8 问题2：已知 a，b，c，d，e，f 六个数，如果 (b + d + f ≠ 0)，那么 成立吗？为什么？ 设 ，则 a = kb，c = kd，e = kf . 所以 【合作探究】 9 由此可得到比例的又一性质(等比性质)： 10 求证：(1) ；(2) . 例1 已知：如图，在△ABC中， . A B C D E 证明(1) ∵ ， ∴ . ∴ . （2）∵ , ∴ . ∴ . ∴ . ∴ . A B C D E 例3 在 △ABC 与 △DEF 中，已知 ， 且 △ABC 的周长为 18 cm，求 △DEF 的周长. 解：∵ ∴ ∴4(AB + BC + CA) = 3(DE + EF + FD). 即 AB + BC + CA = (DE + EF + FD) . 又 △ABC 的周长为 18 cm，即 AB + BC + CA = 18 cm. ∴△DEF 的周长为 24 cm. 例2 现在一长比例尺为 1:5000 的图纸上，在图纸上量得一个 △ABC 的三边：AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，这个图纸上的△ABC 所对应的实际 △A′B′C′ 的周长是多少米？ A B C 14 答：实际 △A'B'C' 的周长是 600 m 解：根据题意，得 A B C ∴ 又 A'B' ² + B'C' + A'C' ≠ 0， 15 名师点金 比例的性质：1. ； 2. ； 3. .<> 举一反三 16 知识点1 比例的基本性质 1. 若，则 ( ) A A. 6 B. C. 1 D. 2. 已知 ，则下列比例式正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 17 知识点2 合比性质 3. [2025成都] 若，则 的值为___. 4 返回 举一反三 18 4. 已知，则__，__， __. 【点拨】解法1：，. . ， . 解法2：令，则， ， ，， . 返回 举一反三 19 黄金分割的概念 一个五角星如下图所示. 问题：度量 C 到点 A、B 的距离， 与 相等吗？ A C B A B C 3 20 例6 如图，已知线段 AB 的长度为 a，点 P 是 AB 上一点，且使 AB : AP = AP : PB，求线段 AB 的长和 的值. A P B 解：设 AP = x，那么 PB = a - x. 根据题意，得 a : x = x : (a - x)， 即 x2 + ax - a2 = 0. 解方程，得 . A P B 因为线段长不能是负值，所以取 . . 于是 即 A B C 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段叫作黄金分割.分割叫作这条线段的黄金分割点，A 比值 叫作黄金数. 知识要点 23 如图所示，已知线段 AB 按照如下方法作图: 1.经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD = AB. 2.连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB. 3.在 AB 上截取 AC = AE. 思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗? A B D E C 24 巴台农神庙 （Parthenom Temple） F C A E B D 想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ， 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？为什么? 点 E 是 AB 的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. A B C D E F 知识点3 等比性质 5. [2025南充] 已知，则 的值是 ( ) D A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 若且，则 的值 是( ) D A. 14 B. 42 C. 7 D. 返回 举一反三 28 7. 已知，则 的值为 ________. 3或 【点拨】分两种情况：当 时，根据等比性 质，可得 ;当 时， ， .综上所述，的值为3或 . 返回 举一反三 29 知识点4 比例尺 8. 地图上淮北到合肥的距离为2.8厘米,比例尺是 ，那么淮北到合肥的实际距离是( ) C A. 2 800米 B. 28 000米 C. 280 000米 D. 2 800 000米 9. 在比例尺是 的地图上，量得甲、乙两地的距离 是，如果改用 的比例尺，甲、乙两地的距离 应画____ . 7.2 返回 举一反三 30 易错点 运用等比性质时忽略了公式的适用条件而致错 10. 若,则 _______. 或 【点拨】当时， ，则 ；当 时，根据等比性质可以得 到.综上，或 . 举一反三 31 运用等比性质的条件是分母之和不等于0，往往易 忽视这一隐含条件而出错.本题题目中并没有交代 ，所以应分两种情况讨论，容易出现的错误是 忽视讨论 这种情况. 返回 举一反三 32 11. 已知非负数，， 满足 ，设，则 的取值范围是 ____________. 举一反三 33 【点拨】设，则, , , . ,随的增大而减小.,, 为非负数, 解得 . 举一反三 34 当时，取最大值，最大值为 ; 当时，取最小值，最小值为 . 的取值范围是 . 返回 举一反三 比例的 性质 如果 那么 ad = bc.(b，d≠0) 基本 性质 等比 性质 如果 ad = bc都不等于 0，那么 (b，d ≠ 0) 课堂小结 黄金分割 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段叫作黄金分割.分割叫作这条线段的黄金分割点，A 比值 叫作黄金数. 一条线段有两个黄金分割点 定义 课堂小结 谢谢观看 THANKS $