22.3 第1课时 平行线与相似三角形（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦平行线与相似三角形判定，承接平行线分线段成比例定理，构建“平行关系→比例线段→三角形相似”推理链条，通过A字型、X字型模型搭建学习支架，为后续相似判定定理学习奠定基础。 其亮点是以经典模型和分层练习为载体，结合易错点总结，培养学生几何直观（模型识别）、推理能力（证明与计算）、模型意识（如矩形面积最值问题）。学生能夯实基础提升解题能力，教师可高效开展分层教学。

22.3 第1课时 平行线与相似三角形专项练习 【核心知识梳理】 本节课是沪科版九年级下册相似三角形判定的第一课时，承接平行线分线段成比例定理，重点学习利用平行线判定三角形相似（相似预备定理），是所有相似判定方法的基础，也是中考几何证明、线段计算的核心高频考点。本节课搭建起“平行关系→比例线段→三角形相似”的完整推理链条，为后续多种相似判定定理的学习奠定核心基础。 一、相似三角形基本概念：三个角分别相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应角相等、对应边成比例，对应边的比值为相似比。书写相似三角形时，必须严格对应顶点顺序，保证角、边对应关系准确无误。全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。 二、平行线判定相似三角形定理（核心）：平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的新三角形与原三角形相似。这是判定三角形相似的第一个核心定理，俗称“平行即相似”。 三、两大经典几何模型：1. A字型模型：在△ABC中，DE∥BC，D、E分别在AB、AC上，则△ADE∽△ABC；2. X字型（8字型）模型：在三角形对顶延长线中，DE∥BC，直线截两边延长线，依旧满足新三角形与原三角形相似。两种模型是考试最常见图形，无论线段在边上还是延长线上，定理始终成立。 四、核心推理与延伸：由平行线可得同位角相等，结合公共角，可证三角形两角对应相等，同时结合平行线分线段成比例可得三边对应成比例，最终判定相似。解题可直接用平行条件证相似，再利用相似性质求角度、线段长度、比例关系。 【基础专项练习题】 1. 填空题：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________；相似三角形的________相等，________成比例。 2. 填空题：在△ABC中，DE∥BC，若△ADE∽△ABC，且AD:AB=2:5，则相似比为________。 3. 选择题：下列图形中，可直接由平行线判定两个三角形相似的是（） A. 任意两个直角三角形 B. A字型平行三角形 C. 任意两个等腰三角形 D. 两个周长相等三角形 4. 选择题：在△ABC中，DE∥BC，D、E在AB、AC延长线上，则下列结论正确的是（） A. △ADE与△ABC不相似 B. △ADE∽△ABC C. 对应角不相等 D. 对应边不成比例 【提升专项练习题】 5. 解答题：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3。（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）求线段EC的长度。 6. 解答题：已知在△ABC中，DE∥BC，DE=6，BC=10，AD=5。（1）求△ADE与△ABC的相似比；（2）求线段AB的长。 【参考答案与详细解析】 1. 答案：相似；对应角；对应边。解析：直接考查平行线判定相似定理与相似三角形的基本性质，是本节基础核心定义。 2. 答案：2:5。解析：相似比为新三角形与原三角形对应边的比值，AD与AB为对应边，故相似比为2:5。 3. 答案：B。解析：A字型模型满足平行条件，可直接判定三角形相似；其余选项无平行条件，无法直接判定相似。 4. 答案：B。解析：平行线判定相似定理适用于两边或两边延长线，延长线上截得的三角形依旧与原三角形相似。 5. 解析：（1）证明：∵DE∥BC，根据平行线判定相似三角形定理，平行于三角形一边的直线截其他两边，所构成三角形与原三角形相似，∴△ADE∽△ABC；（2）由相似对应边成比例，$$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$$，代入$$\dfrac{4}{6}=\dfrac{3}{EC}$$，解得$$EC=4.5$$。 6. 解析：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，相似比$$k=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$$；（2）由$$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{5}$$，AD=5，得$$AB=\dfrac{25}{3}$$。 【易错点总结】本节高频易错点：一是书写相似三角形时顶点顺序混乱，导致对应边、对应角找错；二是误以为线段在延长线上时定理不成立，遗漏X字型相似模型；三是混淆相似比顺序，颠倒新旧三角形边长比值；四是只会用比例求线段，不会用平行条件证明相似；五是忽略“平行”是判定核心前提，无平行条件乱判相似。解题核心：抓平行、定模型、对顶点、顺比例，牢记“有平行就有相似”的核心规律。 沪科版（新教材）数学九年级上册 22.3 第1课时 平行线与相似三角形 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第22章 相似形 我们就说 △ABC 与 △A′B′C′______，记作_________________，△ABC 与 △A′B′C′ 相似比是 k，则 △A′B′C′ 与 △ABC 的相似比是____. 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形. 在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，如果∠A = ∠A′， ∠B = ∠B′，∠C = ∠C′， △ABC∽△A′B′C′ 相似 相似三角形的性质及有关概念 1 探究新知 反之如果 △ABC∽△A′B′C′，则有∠A =_____，∠B =_____，∠C =____，且 ∠A′ ∠B′ ∠C′ 相似比为 1 时，相似的 两个图形有什么关系？ 探究新知 当相似比等于 1 时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似. 探究新知 例1 △ABC 与 △DEF 的各角度数和边长如图所示，则 △ABC 与 △DEF 能否相似？说明理由． 解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°. 因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°. 所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E. 典例精析 探究新知 ∴ △ABC∽△DFE. 探究新知 判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上． 方法总结 探究新知 例2 如图，已知 △ABC∽△ADE，AE＝50 cm，EC＝30 cm，BC＝58 cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求： (1) ∠AED 和 ∠ADE 的度数；(2) DE 的长． 解：(1)∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠ACB＝40°. 在 △ADE 中，∠ADE＝180°－40°－45°＝95°； (2) ∵△DFE∽△ABC. ∴DE ＝ 36.25 cm. 探究新知 当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段． 方法总结 探究新知 名师点金 1.有公共角的，公共角一般是对应角；有对顶角的，对 顶角一般是对应角. 2.相似三角形对应角所对的边是对应边， 两个对应角所夹的边是对应边. 3.相似三角形对应边所对的 角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. . . . . . . 举一反三 10 知识点1 相似三角形及其相似比 1. 已知,,，则 与 的相似比是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 11 （第2题） 2. [2026合肥期末] 如图，在平面直角 坐标系中， ，且 ，若点的坐标为 ， 则点 的坐标为______. 【点拨】,且, , 点 的坐标为,, , ,, 点的坐标为 . 返回 举一反三 12 探究：如图，在△ABC 中，D 为AB上任意一点， 过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E. 那么，△ADE 与△ABC 相似吗？ A B C D E 要证△ADE 与△ABC 相似，关键是要证明它们的对应边长度的比相等. 平行线与相似三角形 2 探究新知 过点 D 作 AC 的平行线交 BC 于点 F. A B C D E F ∵ DE // BC，DF // AC， ∴ ∵ 四边形 DFCE 是平行四边形， ∴DE = FC. ∵ ∵∠B =∠ADE，∠C =∠AED， 又∵∠A =∠A， ∵ DE //BC， ∴△ADE ∽△ABC . 探究新知 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似. “A”型 “X”型 （图2） D E O B C A B C D E （图1） 归纳总结 探究新知 例3 如图，已知在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 延长线上一点，AB＝3BE，DE 与 BC 相交于点 F.请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比． 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED， ∴△BEF∽△CDF∽△AED. 故当 △BEF∽△CDF 时， 相似比为 BE: CD＝BE: AB＝1:3； 当 △BEF∽△AED 时，相似比为 BE: AE＝1:4； 当 △CDF∽△AED 时，相似比为 CD: AE＝3:4. 探究新知 例4 已知如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户 2.5 m 处，已知窗户 AB 高为 2 m，B 点距地面高为 1.2 m，求下檐光线的落地点 N 与窗户的距离 NC. 解：∵AM∥BN， ∴△NBC∽△MAC， 探究新知 A B C D E 相似具有传递性 △ADE∽△ABC M N 如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？ △AMN∽△ADE △AMN∽△ABC 共有三对相似三角形 已知 DE∥BC 交流讨论 探究新知 如图，在 △ABC 中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果 AD = 1，DB = 3，那么 DG:BC=_____. A B C D E F G H I △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC 1:4 练一练 探究新知 19 知识点2 平行线判定两三角形相似 （第3题） 3. 如图，在中，过点 的直线 与对角线，边分别交于点和点 ， 过点作,交于点 ，则图中 相似三角形有( ) B A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 【点拨】题图中相似三角形有 , ,, , ,共5对. 返回 举一反三 20 （第4题） 4. 如图，正方形的顶点 在正方 形的边上，与交于点 ， 若，，则 的长为 ( ) B A. 2 B. 3 C. D. 举一反三 21 （第4题） 【点拨】 四边形 为正方形， ， 四边 形为正方形， ， ，即， . .由题意得 ， 返回 举一反三 22 （第5题） 5. 如图，在平面直角 坐标系中，为坐标原点， 的直 角边在轴上，， 分别与反比例 函数 的图象相交于点 ，,且为的中点，过点作 轴的垂 C A. B. C. 5 D. 10 线，垂足为，连接.若的面积为，则 的值为 ( ) 举一反三 23 （第5题） 【点拨】设， .由题意得 ， ， .又为 的中点， ,, , , ， , . 返回 举一反三 24 6. 一块三角形材料的形状如图所示， ， .用这块材料剪 出一个矩形，其中点，， 分别 在，，上，则可剪出矩形 的最大面积为____. 16 举一反三 25 【点拨】设在矩形 中， ， ， 是等腰直角三角形. 四边形是矩形， ， 为等腰直角三角形， 在二次函 举一反三 26 数中， ， 当时， 取最大值,最大值为 . 返回 举一反三 7. 如图，延长正方形的一边 至点，与相交于点，过 作 交于点，求证： . 举一反三 28 【证明】 四边形 为正方形， , , , . ,, , , ,. . 返回 举一反三 8. 如图， . （1）求证： ； 【证明】, , . , , , , . 举一反三 30 （2）若，，求 的长. 【解】由（1）可知,, ， , . 返回 举一反三 31 2. 当相似比等于 1 时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似； 3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似. 1. 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似比等于对应边的比； 课堂小结 谢谢观看 THANKS $