22.4 相似三角形的性质（第1课时 对应线段比与相似比的关系）（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦“相似三角形对应线段比与相似比的关系”，通过故宫斗拱房梁实例导入，类比全等三角形对应高、角平分线、中线的性质，引导学生猜想相似三角形对应线段比与相似比的关系，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过类比探究（从高到角平分线、中线）发展数学思维，结合矩形零件加工、小孔成像等实例提升数学语言表达。采用问题驱动和由特殊到一般的方法，小结明确性质与思想，助力学生掌握知识与方法，教师可高效开展教学。

22.4 相似三角形的性质 第一课时 对应线段比与相似比的关系 第二十二章 相似三角形 沪科版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 经历探索相似三角形中对应线段之比与相似比的关系的过程，掌握相似三角形的性质。 能熟练运用相似三角形的性质解决相关问题。 在探索过程中体会类比思想、由特殊到一般的数学思想.。 导入新课 上面北京故宫太和殿的斗拱和房梁结构图.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一,距今已有600多年历史.古代工匠没有现代的测量仪器,却能按照1:100甚至更小的比例图纸,精准建造出几十米高的宫殿.他们的秘诀就藏在相似三角形的性质里.今天我们就沿着古代工匠的智慧之路,一起探究相似三角形的奥秘. 3 导入新课 我们已经学习了全等三角形的性质,全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线有什么关系？ 全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线都相等 全等是相似的特殊情况（相似比为1）,如果两个三角形相似比为k（k≠1）,那么它们的对应高、对应角平分线、对应中线还会相等吗？你能大胆猜想它们之间的关系吗？ 不会相等，猜想它们的比和相似比k有关系 回到上图,小王以1:2的比例建造了模型房梁△A´B´C´，CD和C´D´分别是它们的立柱.△ACD与△A´C´D´相似吗？为什么？ 4 新知探究 相似.因为△ABC∽△A'B'C’,所以∠A=∠A’;又因为CD⊥AB,C'D'⊥A'B'，所以∠ADC=∠A'D'C'=90°.根据 "两角分别相等的两个三角形相似"，可得△ACD∽△A'C'D' 由△ACD∽△A'C'D'，你能推出 CD 与 C'D' 的比和△ABC与△A'B'C' 的相似比有什么关系吗？ ，即相似三角形对应高的比等于相似比 新知探究 如果图纸上的立柱CD=1.5cm,那么实际建造的模型房立柱 C'D' 有多高？ C'D'=2×CD=3cm 刚才我们证明了对应高的比等于相似比，那么对应角平分线的比是否也等于相似比呢？请你仿照刚才的方法,写出已知、求证并证明. 已知△ABC∽△A'B'C’,相似比为k,AD和A'D' 分别是角平分线.求证: =k. 证明:由相似得∠B=∠B’,∠BAC=∠B'A'C’ 因为角平分线,所以∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'= ∠B'A'C’， 故∠BAD=∠B'A’D’. 所以△ABD∽△A'B'D'，得 k 新知探究 类似地,你能证明相似三角形对应中线的比等于相似比吗？ 已知△ABC∽△A'B'C’,相似比为k,AD和A'D' 分别是中线. 求证: k. 证明:由相似得∠B=∠B’ =k； 因为中线,所以 BD= BC,B'D'= B'C’， 故k 所以△ABD∽△A'B'D’,得 k. 问题3:通过以上证明,我们得到了相似三角形的第一个重要定理,你能完整地总结出来吗？ 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 新知探究 如图,已知△ABC∽△A'B'C’,△ABC 与△A'B'C' 的相似比为k,点D,E在BC边上,点D’,E'在B'C’ 边上. 若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'= ∠B'A'C’,则等于多少？若BE=BC,B'E'= B'C’,则等于多少？ 比值都等于借助类比探究可证明 你能提出更一般性的问题吗？与同伴进行交流. 借助探索规律的思路,把题目中的,结论是否成立？ 相似三角形所有对应线段的比都等于相似比 新知探究 例1.如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E．当SR=BC时，求DE的长．如果SR=BC呢？ A B C S R E D 新知探究 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC． ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C． ∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）． ∴ （相似三角形对应高的比等于相似比）． 即 ． 当SR=BC时，得 .解得DE=h． 当SR=BC时，得 ．解得DE=h． A B C S R E D 新知探究 例2.如图,一块三角形铁皮,它的边BC=80 cm,高AD=60 cm.要把该铁皮加工成矩形零件,使矩形的两边之比为2∶1,且矩形长的一边位于边BC上,另两个顶点分别在边AB,AC上.求这个矩形零件的边长。 新知探究 解:如图,矩形PSRQ为加工后的矩形零件,边SR在边BC上,顶点P,Q分别在边AB,AC上,△ABC的高AD交PQ于点E.设PS为x cm,则PQ为2x cm. 答:这个矩形零件的相邻两边长分别是48 cm和24 cm. ∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC. 解方程,得x=24,则2x=48. 课堂训练 1.已知两个相似三角形的对应边的中线的比为4∶1,则它们对应高的比为 (　　) A.2∶1　B.4∶1　C.1∶2　D.16∶1 2.若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3,则这两个三角形的相似比为 (　　) A.5∶3　B.3∶5　C.25∶9　D.5∶3 3.两个相似三角形的对应中线之比是3∶5,其中较大的三角形一边上的高是10厘米,那么另一个三角形对应边上的高为　　　厘米.  B A 课堂训练 4.已知△ABC∽△A'B'C',相似比为2∶3. (1)如果AD,A'D'分别为这两个三角形的对应高,且AD=9 cm,求A'D'的长; (2)如果AE,A'E'分别为这两个三角形的对应中线,且A'E'=10 cm,求AE的长; (3)如果AF,A'F'分别为这两个三角形的对应角平分线,求的值. 解：（1）∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为2：3，∴对应高的比等于2：3， 即AD：A′D′=2：3，∵AD=9cm,∴9：A′D′=2：3，解得：A′D′=13.5， ∴A'D′的长为13.5cm； （2）∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为2：3， ∴对应中线的比等于2：3，即AE：A′E′=2：3， ∵A′E′=10cm,∴AE：10=2：3，解得：AE=，∴AE的长为cm； （3）∵AF，A′F′分别为这两个三角形的对应角平分线，∴=． 新知巩固 条件变式·高之比→角平分线之比 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的点，∠BAC的平分线分别交DE，BC于点G，F. 若AD∶AB＝AE∶AC＝1∶2，则AG∶AF＝(　C　) C 变式题图 A. 1∶1 B. 1∶ C. 1∶2 D. 1∶3 课堂训练 5.如图,△ABC中,内接矩形DEFG的一边DE在BC上,AH是BC上的高,AH交GF于点K,BC=48,EF=10,DE=18.求AK的长. 解：∵四边形DEFG为矩形，∴GF//BC,GF=DE=18,KH=FE=10. ∴△AGF∽△ABC, ∴=，即= ∴AK=6. 新知巩固 1. 如图，已知△ADE∽△ABC，相似比为2∶5，AF，AG分别为△ADE，△ABC的高，则AF∶AG＝(　A　) 第1题图 A. 2∶5 B. 5∶2 C. 5∶1 D. 1∶5 A 2. 如图，△ABC∽△A'B'C'，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A'D'，B'E'分别是△A'B'C'的高和中线，且AD＝4，A'D'＝3，BE＝6，则B'E'的长为(　D　) A. B. C. D. 第2题图 D 新知巩固 3. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'，设AB＝36cm，A'B'＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm， 则小孔O到A'B'的距离为 cm. 20　 第3题图 新知巩固 4. 如图，AC，BD交于O点，∠A＝∠D，M，N分别为AB，CD的中点，且OM∶ON＝5∶4.若AC＝13，BD＝14，则AO的长为(　B　) A. 4 B. 5 C. D. 第4题图 B 新知巩固 5. 如图，E是△ABC的中线AD的延长线上一点，EG∥AC交BC于点G. 若DG＝2BG，则 ＝_____ 　 　 　 第5题图 新知巩固 6. 如图，小明为测得学校操场上小树的高CD，他站在教室里的A点处，从教室的窗口望去，恰好能看见小树的整个树冠HD. 经测量，窗口高EF＝1.2m，树干高CH＝0.9m，A点距墙根G1.5m，C点距墙根G4.5m，且A，G，C三点在同一水平线上. 请根据上面的信息，帮小明计算 出小树的高CD. 新知巩固 解：∵FG⊥AC，DC⊥AC，∴FG∥DC. ∴△BEF∽△BHD. ∴ ＝ ＝ . ∵AG＝1.5m，CG＝4.5m，EF＝1.2m， ∴ ＝ .∴DH＝4.8m. ∴小树的高CD＝DH＋CH＝4.8＋0.9＝5.7(m). 解：∵FG⊥AC，DC⊥AC，∴FG∥DC. ∴△BEF∽△BHD. ∴ ＝ ＝ . ∵AG＝1.5m，CG＝4.5m，EF＝1.2m， ∴ ＝ .∴DH＝4.8m. ∴小树的高CD＝DH＋CH＝4.8＋0.9＝5.7(m). 新知巩固 7. 如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm. (1)求证：△AEH∽△ABC； (1)证明：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC. ∴△AEH∽△ABC. (1)证明：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC. ∴△AEH∽△ABC. 新知巩固 8. 如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高， 正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在 AB，AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm. (2)求这个正方形的边长. 新知巩固 (2)解：如图，设AD与EH交于点M. ∵四边形EFGH是正方形，AD是BC边上的高， ∴∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°. ∴四边形EFDM是矩形.∴EF＝DM，AM⊥EH. 设正方形EFGH的边长为xcm. 由(1)知△AEH∽△ABC， ∴ ＝ .∴ ＝ .解得x＝ . ∴正方形EFGH的边长为 cm. (2)解：如图，设AD与EH交于点M. ∵四边形EFGH是正方形，AD是BC边上的高， ∴∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°. ∴四边形EFDM是矩形.∴EF＝DM，AM⊥EH. 设正方形EFGH的边长为xcm. 由(1)知△AEH∽△ABC， ∴ ＝ .∴ ＝ .解得x＝ . ∴正方形EFGH的边长为 cm. 新知巩固 条件变式 新视角 模块结合 如图，在△ABC中，点F，G在BC上，点E，H分别在AB，AC上，四边形EFGH是矩形，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，求当矩形EFGH的面积最大时EH的长. 新知巩固 解：设AD交EH于点R， ∵矩形EFGH的边FG在BC上， ∴EH∥BC，∠EFC＝90°. ∴△AEH∽△ABC. ∵AD⊥BC于点D， ∴∠ARE＝∠ADB＝90°. ∴AR⊥EH. ∴ ＝ . 新知巩固 易得四边形EFDR为矩形，设EF＝x，则RD＝x. ∵BC＝8，AD＝6，AR＝6－x，∴ ＝ . 解得EH＝8－ x. S矩形EFGH＝x(8－ x)＝－ x2＋8x＝－ (x－3)2＋12. ∴当x＝3时，S矩形EFGH有最大值，此时EH＝4. 课堂小结 相 似 三 角 形 的 性 质 相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 相似三角形对应中线的比等于相似比 思想方法 课堂小结 （1）类比思想； （2）由特殊到一般的数学思想； （3）化归思想； 谢谢聆听 $