第27章 二次函数 单元检测卷 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 （上海专用）

**基本信息** 沪教版九年级二次函数单元检测卷，通过基础辨析、图像分析及篮球发球机等真实情境题，分层考查定义、性质、变换及应用，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题20分|二次函数定义、性质、图像分析|结合图像辨析系数关系，考查几何直观| |填空题|11题44分|实际问题建模、图像平移与交点|正方形面积变化体现抽象能力，平移交点探究空间观念| |解答题|8题86分|函数表达式、实际应用、几何综合|篮球飞行数据建模培养模型意识，镜像抛物线概念创新考查推理能力|

2026-2027学年九年级第一学期数学第27章二次函数检测卷 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 3．二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 4．将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 5．已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 6．正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式是______． 7．已知一元二次方程的两个根分别为1、，请写出一个二次函数的函数解析式为__________________． 8．二次函数的一般式为______． 9．如果点、是抛物线上的两个点，那么m和n的大小关系是m_______n（填“”或“”或“”）． 10．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 11．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D，若直线与，共有3个不同的交点，请你探究： （1）对应的函数表达式为______________； （2）m的取值范围是_________________． 12．抛物线与y轴的交点坐标为 ___________． 13．若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 14．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 15．已知点都在二次函数的图像上，那么的大小关系是：______．（填“”、“”或“”） 16．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 三、填空题（本大题共8题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 17．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 18．篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h（单位：m）与水平距离s（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： （m） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … h（m） 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，插出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)发球机出口点的离地高度为 ； (2)求出该抛物线的解析式； (3)小亮在训练时发现，当球离地高度的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口的水平距离为5.8米，此时小亮站在罚球线处，他 （填“能”或“不能”）舒适地接到球． 19．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 21．如图，在中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）． (1)求证：； (2)设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； 22．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 23．在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 24．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                    (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级第一学期数学第27章二次函数 检测卷 (上海专用)（原卷版） (建议用时：100分钟，满分150分) 学生注意： 1.本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在 同一个平面内研究问题. 2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、 本试卷上答题一律无效. 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的 相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的 四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填 涂在答题纸的相应位置上.】 1.下列函数中，y是x的二次函数的是() A.y=4x B.y=2x-1 C.y=x2-3 2.对于二次函数y=-2(x-3)+1,下列说法中正确的是() A.图象的开口向上 B.函数的最小值为1 C.当x<3时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴为直线 x=3 3.二次函数y=2+bx+c(a≠0)的图像如图，给出下列四个结论： ①4ac-b2<0;②4a+c<2b:③3b+2c<0;④m(am+b)+b<a,⑤点(-4，y), (1,y2)都在抛物线上，则有y<y2·其中正确的结论其中正确结论的个数是() A.①③④ B.②④⑤ C.①③⑤ 4.将抛物线y=aπ2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)向下平移2个单位长度 后，得到的新抛物线恰好和抛物线y=2+x-4关于y轴对称，则6、c的值 为() A.b=-1,c=6B.b=-1,c=-2C.b=1,c=-2 5.已知抛物线y=am2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)与x轴交于A(-2,0), B两点，且点B在直线y=-x+2的下方，则下列说法正确的是() A.抛物线的项点不可能在第四象限 B.抛物线的开口一定向 上 C.抛物线与直线y=-x+2一定有两个交点D.抛物线的对称轴可能 在y轴右侧 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 试卷第1页 6.正方形的边长是1，若边长增加x,则面积增加y,y与x之间的关系式是 7.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为1、-2，请写出一个二次 函数y=ax2+bx+c的函数解析式为 8.二次函数y=(x-3)}'的一般式为一· 9.如果点A(3,m)、B(5,n)是抛物线y=2023(x-1)2+2024上的两个点，那么 和n的大小关系是mn(填“>”或“<”或“=”). 10.对于一次函数y=ax+b以及二次函数y=2+c(其中a、b、c均为常 数，且a>0),当1≤x≤1+1时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等， 则t的值为 11.如图，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其 上方的部分记作C,将C向右平移得C2,C2与x轴交于点B,D,若直线 y=x+m与C,C2共有3个不同的交点，请你探究： C OA B D (1)C2对应的函数表达式为 (2)m的取值范围是 12.抛物线y=3x2-x-4与y轴的交点坐标为 13.若A(-4,y),B(2,2),C(1,)为二次函数y=x2+k的图像上的三点， 则片，y2,片的大小关系是·（用“<”连接） 14.抛物线y=x2+mx+m-2与x轴交于A,B两点，且AB=√5，则m的值 为 15.已知点4(-5m川，B(-3,川都在=次函数y-=x+2-5的图像上，那么 m,n的大小关系是：mn.(填“>”、“=”或“<”) 16.设和是关于x的方程2+1-《=0的正数解，若1<<2，则实数k的取 x 值范围为一· 三、填空题（本大题共8题，第17-19题每题8分，第20-23题每 题12分，第24题14分，满分86分) 17.在直角坐标系中，设函数片=ax2+br-a(a,b是常数，a≠0) (1)已知函数y的图象经过点(1,2)和(-2，)，求函数y的表达式. (2)若函数y图象的顶点在函数2=2r的图象上，求证：b=2a. (共3页) 18.篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，发球机经 设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地 高度h(单位：m)与水平距离s(单位：m)之间的关系，测得一些数据如表： s(m) 0.5 1 1.5 25 3 3.5 h(m) 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 为观察h与s之间的关系，建立平面直角坐标系，以s为横坐标，h为纵坐标， 插出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看 成抛物线的一部分. Ah/m 地面 s/m (I)发球机出口点A的离地高度为_m: (2)求出该抛物线的解析式： (3)小亮在训练时发现，当球离地高度h的取值范围是1.1≤h≤1.65时，接球较 为舒适.已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口A的水平距离为5.8米，此 时小亮站在罚球线处，他（填“能”或不能”）舒适地接到球. 19.活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数 据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充 完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： 2 0 2 -2 上述表格中：m= (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x,2与x之间的关系.在同一平 面直角坐标系xOy中，已经画出与x的函数图象，请画出2与x的函数图象： 试卷第2页 (3)通过观察图象可知，当y>2时，x的取值范围 21.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5,点D是AB上一点， 且BDS 1B7过点D作DE⊥AC,垂足为B,点F是边AC上的一个动点，连 接DF,过点F作FG⊥FD交线段BC于点G(不与点B、C重合). 备用图 (I)求证：△FCG∽aDEF; (2)设AF=x,CG=y,求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值 范围； 22.如图，己知二次函数y=a2+2x+c的图象与x轴交于A,B两点，A点坐 标为(-1,0)，与y轴交于点C(0,3),点M为抛物线顶点，点E为AB中点. 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)若在直线BC上方的抛物线上存在点Q,使得∠QCB=2∠ABC,求点Q的 坐标 23.在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线x=m对称，那么我们把 一条抛物线称为另一条抛物线关于直线x=m的镜像抛物线： (1)如图，已知抛物线y=x2-2x项点为A. 共3页) ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式： ②己知该抛物线关于直线x=m的镜像抛物线的顶点为B,如果tan∠OBA=} 4 (∠OBA是锐角)，求m的值. (②)已知抛物线y-+br+c(b>0)的顶点为C,它的一条镜像抛物线的顶点 41 为D,这两条抛物线的交点为E(2,1).如果△CDE是直角三角形，求该抛物线 的表达式. 24.己知在直角坐标平面xOy中，抛物线y=ar2+bx+c(a≠0)经过点 A(-1,0八B(3,0)、C(03)三点. 各用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接ADBD,将抛物线向下平 移(>0O)个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段AD交于 点F ①如果m=2,求tan∠DBF的值： ②如果BDF与△ABD相似，求m的值. 试卷第3页（共3页） 2026-2027学年九年级第一学期数学第27章二次函数检测卷 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 3．二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 4．将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 5．已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 6．正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式是______． 7．已知一元二次方程的两个根分别为1、，请写出一个二次函数的函数解析式为__________________． 8．二次函数的一般式为______． 9．如果点、是抛物线上的两个点，那么m和n的大小关系是m_______n（填“”或“”或“”）． 10．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 11．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D，若直线与，共有3个不同的交点，请你探究： （1）对应的函数表达式为______________； （2）m的取值范围是_________________． 12．抛物线与y轴的交点坐标为 ___________． 13．若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 14．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 15．已知点都在二次函数的图像上，那么的大小关系是：______．（填“”、“”或“”） 16．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 三、填空题（本大题共8题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 17．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 18．篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h（单位：m）与水平距离s（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： （m） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … h（m） 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，插出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)发球机出口点的离地高度为 ； (2)求出该抛物线的解析式； (3)小亮在训练时发现，当球离地高度的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口的水平距离为5.8米，此时小亮站在罚球线处，他 （填“能”或“不能”）舒适地接到球． 19．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 21．如图，在中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）． (1)求证：； (2)设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； 22．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 23．在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 24．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                    (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级第一学期数学第27章二次函数检测卷 (上海专用)（原卷版） (建议用时：100分钟，满分150分) 学生注意： 1.本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题. 2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤， 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一 个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1.下列函数中，y是x的二次函数的是() A.y=4x B.y=2x-1 C.y=x2-3 D.y=1 2.对于二次函数y=-2(x-3)+1,下列说法中正确的是（) A.图象的开口向上 B.函数的最小值为1 C.当x<3时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴为直线x=3 3.二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图像如图，给出下列四个结论：①4ac-b2<0;②4a+c<2b: ③3b+2c<0;④m(am+b)+b<a,⑤点(-4，y),(1,2)都在抛物线上，则有%<y2.其中正确的结论其 中正确结论的个数是() A.①③④ B.②④⑤ C.①③⑤ D.②③④ 4.将抛物线y=x2+bx+c（ab、c为常数，a≠0)向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和 抛物线y=+x-4关于)轴对称，则、c的值为() A.b=-1,C=6B.b=-1,c=-2 C.b=1,c=-2 D.b=1,c=6 试卷第1页（共7页） 5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)与x轴交于A(-2,0),B两点，且点B在直线 y=一x+2的下方，则下列说法正确的是() A.抛物线的顶点不可能在第四象限 B.抛物线的开口一定向上 C.抛物线与直线y=-x+2一定有两个交点 D.抛物线的对称轴可能在y轴右侧 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分) 6.正方形的边长是1，若边长增加x,则面积增加y,y与x之间的关系式是 7.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为1、-2，请写出一个二次函数y=ar2+bx+c的函数 解析式为 8.二次函数y=(x-3)的一般式为 9.如果点A(3,m)、B(5,m)是抛物线y=2023(x-1)2+2024上的两个点，那么m和n的大小关系是mn (填“>”或“<”或“=”). 10.对于一次函数y=ax+b以及二次函数y=x2+c（其中a、b、c均为常数，且a>0),当t≤x≤t+1时， 这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 11.如图，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C,将C向 右平移得C2,C2与x轴交于点B,D,若直线y=x+m与C,C2共有3个不同的交点，请你探究： B D (1)C2对应的函数表达式为 (2)m的取值范围是 12.抛物线y=3x2-x-4与y轴的交点坐标为 13.若A(-4,),B(2,2),C(1,y)为二次函数y=x2+k的图像上的三点，则%，y2,3的大小关系是 一·（用<连接) 14.抛物线y=x2+mx+m-2与x轴交于A,B两点，且AB=V5,则m的值为 15。已知点4-5，m,B(-3)都在二次函数y=(x+2-5的图像上，郭么mn的大小关系是： m n.(填“>”、“=”或“<”) 试卷第2页（共7页） 16.设0是关于x的方程X+1-=0的正数解，若1<无<2，则实数k的取值范围为 三、填空题（本大题共8题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分， 满分86分) 17.在直角坐标系中，设函数y=ar2+bx-a(a,b是常数，a≠0). (1)已知函数y的图象经过点(1,2)和(-2，-1)，求函数y的表达式. (2)若函数y图象的顶点在函数y2=2ax的图象上，求证：b=2a. 18.篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备.发球机经设置按某一角度发球后，把 球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h(单位：)与水平距离s(单位：m)之间的关 系，测得一些数据如表： s (m) 0 0.5 1.5 2 2.5 3.5 4 h (m) 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 为观察h与3之间的关系，建立平面直角坐标系，以s为横坐标，h为纵坐标，插出表中各对对应值为坐标 的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分 A h/m 地面 s/m 试卷第3页（共7页） (1)发球机出口点A的离地高度为_m; (2)求出该抛物线的解析式： (3)小亮在训练时发现，当球离地高度h的取值范围是1.1≤h≤1.65时，接球较为舒适.己知标准篮球场地 罚球线距离发球机出口A的水平距离为58米，此时小亮站在罚球线处，他（填“能'或“不能）舒适地接 到球. 19.活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的 探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： -2 0 2 3 4 . 为 -2 0 2 3 4 y2 8 3 0 0 m 8 上述表格中：m (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画y与x,y2与x之间的关系.在同一平面直角坐标系xOy中，己经 画出与x的函数图象，请画出y2与x的函数图象： YA (3)通过观察图象可知，当y>y2时，x的取值范围 试卷第4页（共7页） 21如图，在sC中，∠C=0.4C=4,AB=5,点D是上一点，月0-号这点D作Ds14C 垂足为E,点F是边AC上的一个动点，连接DF,过点F作FG⊥FD交线段BC于点G(不与点B、C重 合). G B D 备用图 (1)求证：△FCG∽aDEF; (2)设AF=x,CG=y,求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； 22.如图，己知二次函数y=ax2+2x+C的图象与x轴交于4，B两点，A点坐标为(-1,0)，与y轴交于点 C(O,3),点M为抛物线顶点，点E为AB中点. 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)若在直线BC上方的抛物线上存在点Q,使得∠QCB=2∠ABC,求点Q的坐标 试卷第5页（共7页） 23.在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线x=m对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线 关于直线x=m的镜像抛物线 (1)如图，已知抛物线y=x2-2x顶点为A. A ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式： ②已知该抛物线关于直线x=m的镜像抛物线的顶点为B,如果tan∠OA=】(∠OBA是锐角)，求m的值. 2已知抛物线y=}+bx+c(b>0)的顶点为C,它的一条镜像抛物线的项点为D,这两条抛物线的交点 4 为E(2,1).如果△CDE是直角三角形，求该抛物线的表达式. 试卷第6页（共7页） 24.已知在直角坐标平面xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-1,0)B(3,0)、C(0,3)三点. 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接ADBD,将抛物线向下平移(m>O)个单位后，点D 落在点E处，过B、E两点的直线与线段AD交于点F. ①如果=2，求tan∠DBF的值： ②如果BDF与△ABD相似，求m的值. 试卷第7页（共7页）2026-2027学年九年级第一学期数学第27章二次函数检测卷 (上海专用)（解析版) (建议用时：100分钟，满分150分) 学生注意： 1.本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题. 2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一 个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1.下列函数中，y是x的二次函数的是() A.y=4x B.y=2x-1 C.y=x2-3 D.y=1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：b、c为常数，a≠0， 自变量最高次数为2.据此判断即可. 【详解】解：A.y=4x,y是x的一次函数，故该选项不符合题意： B.y=2x-1,y是x的一次函数，故该选项不符合题意： C.y=x2-3,y是x的二次函数，故该选项符合题意： 。y=,y是x的反比例函数，故该选项不符合思剧 故选：C. 2.对于二次函数y=-2(x-3)+1,下列说法中正确的是（) A.图象的开口向上 B.函数的最小值为1 C.当x<3时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴为直线x=3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】y=a(x-h)+k的图象和性质 答案第1页（共27页） 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据项点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐 分析选项即可. 【详解】解：：a=-2<0, ∴.图象开口向下，函数的最大值为1，因此A、B选项错误： ,该函数的对称轴为直线x=3,开口向下， ∴.当x<3时，y随x的增大而增大，因此C选项错误： 该函数图象的对称轴为直线x=3,因此D选项正确. 3.二次函数y=ar2+bx+c（a≠0)的图像如图，给出下列四个结论：①4ac-b2<0;②4a+c<2b; ③3b+2c<0:④m(am+b)+b<a,⑤点(-4，y),(1,y2)都在抛物线上，则有y<y2·其中正确的结论其 中正确结论的个数是() A.①③④ B.②④⑤ c.①③⑤ D.②③④ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=x+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结 合的思想分析问题.根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可. 【详解】解：：二次函数图像与x轴有两个交点， ∴.对于方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数解，即有b2-4ac>0, .4ac-b2<0,故结论①正确： :二次函数图像对称轴为x=-1,且当x=0时，有y>0, ∴.由抛物线的对称性质可知，当x=-2时，可有y=4a-2b+c>0, ∴.4a+c>2b,故结论②不正确： :二次函数图像的对称轴为x=-力。-1， 2a .b=2a, 又：当x=1时，可有y=a+b+c<0, 答案第2页（共27页） .2a+2b+2c<0, ∴.3b+2c<0,故结论③正确： ,二次函数图像的对称轴为x=-1,且开口向下， ∴.当x=-1时，y取最大值，此时y=a-b+c, 令x=m(m≠-1)，可有y=am2+bm+c<a-b+c, ∴.am2+bm<a-b, ∴.m(am+b)+b<a, 而本结论中没有说明m≠1，故结论④不正确： ,二次函数图像的对称轴为x=-1,且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值y越小， :4-(1=3>1-（-1=2, <2,故结论⑤正确 综上所述，结论正确的有①③⑤. 故选：C 4.将抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和 抛物线y=+x-4关于y轴对称，则6、c的值为() A.b=-1,c=6 B.b=-1,c=-2 C.b=1,c=-2 D.b=1,c=6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形变化一轴对称、二次函数图象的平移 【分析】先求出抛物线y=一x2+x-4关于y轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线 2 向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出b和℃的值. 【详解】解：，抛物线关于y轴对称时，只需将原解析式中的x替换为-x, 抛物线y=x+x-4关于y轴对称的抛物线为： y=2（-+(-4=)-x-4, 2 ,抛物线y=aπ2+bx+c向下平移2个单位， .平移后解析式为y=a2+bx+c-2, 又：平移后抛物线与上述关于y轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， 答案第3页（共27页） .b=-1,c-2=-4, 解得b=-1,c=-2, 5.己知抛物线y=a2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)与x轴交于A(-2,0),B两点，且点B在直线 y=-x+2的下方，则下列说法正确的是() A.抛物线的顶点不可能在第四象限 B. 抛物线的开口一定向上 C,抛物线与直线y=-x+2一定有两个交点 D.抛物线的对称轴可能在y轴右侧 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax2+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】先求出直线与x轴的交点，根据点B在直线下方得出B点横坐标的范围，进而得到抛物线对称轴 的位置，再判断各选项说法即可. 【详解】解：令直线y=-x+2中y=0,得x=2, 即直线与x轴交点为(2,0)： :点B是抛物线与x轴的交点， 点B的纵坐标为0，设B(xg,O), :点B在直线y=-x+2下方， .0<-xB+2,即xB<2. 抛物线与x轴交于A(-2,0),B(x,0)两点， ·抛物线对称轴为直线x=-2+x 2 xg<2, ,-2+<0,即对称轴在y轴左侧， 2 ∴.抛物线顶点的横坐标小于0， 第四象限内点的横坐标大于0， .抛物线的顶点不可能在第四象限，A选项说法正确： ,a的正负不确定， ∴.抛物线开口方向无法确定，B选项说法错误： 联立抛物线与直线解析式，整理得ax2+(b+1)x+c-2=0, 其判别式△=(b+1)2-4a(c-2), 答案第4页（共27页） 当a<0时，△的符号不确定，交点个数不确定，C选项说法错误： ,抛物线对称轴在y轴左侧， ∴.对称轴不可能在y轴右侧，D选项说法错误。 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 6.正方形的边长是1，若边长增加x,则面积增加y,y与x之间的关系式是 【答案】y=x2+2x/y=2x+x2 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据增加的面积等于新正方形的面积减去边长为1的正方形的面积，求出即可. 【详解】由题意得： y=(x+1)2-12=x2+2x. 故答案为：y=x2+2x. 7.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为1、-2，请写出一个二次函数y=ax2+bx+c的函数 解析式为 【答案】y=x2+x-2(答案不唯一) 【难度】0.85 【知识点】求抛物线与ⅹ轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系.根据方程的两个根得到抛物线与x轴的两个交点坐标， 利用交点式，写出二次函数的解析式即可 【详解】解：，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为1、-2， ∴.y=ax2+bx+c的图象与与x轴的两个交点坐标为(1,0)，（-2,0)， ∴.函数解析式可以为：y=(x-1)(x+2)=x2+x-2. 故答案为：y=x2+x-2. 8.二次函数y=(x-3)的一般式为 【答案】y=x2-6x+9 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、根据二次函数的定义求参数 答案第5页（共27页） 【分析】二次函数的一般形式为y=r2+bx+c(a≠0)，据此即可获得答案. 【详解】解：二次函数y=(x-3)的一般式为y=x2-6x+9. 故答案为：y=x2-6x+9, 【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式以及完全平方公式的应用，理解并掌握二次函数的一般形式 是解题关键. 9.如果点A(3,m)、B(5,nm)是抛物线y=2023(x-1)2+2024上的两个点，那么m和n的大小关系是 (填>”或<”或=”). 【答案】< 【难度】0.85 【知识点】y=a(x-h)+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的增减性，得到与的大小关系即可. 【详解】解：：y=2023(x-1)2+2024, ∴.抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上， 即：当x>1时，y随x增大而增大， 5>3>1, .m<n. 故答案为：< 10.对于一次函数y=ax+b以及二次函数y=ax2+c(其中a、b、c均为常数，且a>0),当t≤x≤t+1时， 这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则t的值为 【答案】-1或0 【难度】0.65 【知识点】根据一次函数增减性求参数、y=x+k的图象和性质 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数y=x+b(a>0）和 二次函数y=x2+c(a>0),我们要比较在x取值从t到1+1时，它们各自最大值与最小值的差值情况.一 次函数a>0时，x增大y增大：二次函数y=ax2+c图象是开口向上的抛物线，对称轴是x=0·我们通 过分别计算两个函数在x为t和1+1时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算t的值.本 题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况.解题关键在于准确求出两个函数在x为 t和1+1时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解t,同时要根据二次函 数对称轴与、1+1的位置关系进行分类讨论，避免漏解。 答案第6页（共27页） 【详解】解：当x=t时，函数值=at+b;当x=t+l时，函数值2=a(t+I)+b=at+a+b· ,a>0, ∴.y2>y,那么最大值与最小值的差为：y2-片=(l+a+b)-(a+b)=a· 二次函数y=ar2+c(a>0)图象开口向上，对称轴为x=0. 情况一：当t+1≤0，即1≤-1时当x=t时，函数值y=a2+c;当x=t+1时，函数值 ys=a(t+1)+c=at2+2al+a+c. t≤-1， ∴此时⅓>y4,最大值与最小值的差为：y3-y4=(at2+c)-（a2+2at+a+c)=-2at-a. 令-2at-a=a, ∴.-2al=2a, a>0, ∴.解得t=-1. 情况二：当t之0时当x=t时，函数值y,=a2+c;当x=t+1时，函数值 yo=a(t+1)'+c=at2+2at+a+c. :1≥0，此时y。>片，最大值与最小值的差为：y-y,=(a2+2a+a+c)-(a2+c)=2al+a·令 2at+a=a,等式两边同时减a得到2at=0, ,a>0,解得t=0. 情况三：当t<0<t+1,即-1<t<0时， 当x=0时，ymn=C. 当x=1时，函数值y2=a2+c; 当x=t+1时，函数值y=a(t+1)+c· 当0-t<1+1-0时，即-21<1， 0号 ∴.y>y7 此时a(t+1)2+c-c=a .(（+1)2=1, 答案第7页（共27页） 解得1=0（舍去）或-2（舍去）， 当0-t>t+1-0时，即-2t>1, 1 ∴.⅓<y 此时at2+c-c=a ∴.t=-1(舍去)或t=1(舍去) 综上所述，1=-1或0 故答案为：-1或0 11.如图，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C,将C向 右平移得C2,C与x轴交于点B,D,若直线y=x+m与C,C,共有3个不同的交点，请你探究： D衣 (1)C,对应的函数表达式为 (2)m的取值范围是 【答案】 y=-2(x-4)2+2(3≤x≤5) -3<x<-15 【难度】0.65 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、一次函数、二次函数图象综合判断、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确画 出图形，利用数形结合进行解题， (1)首先求出点A和点B的坐标，然后求出C,解析式， (2)分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图象即可 得到答案 【详解】解：（1)令y=-2x2+8x-6=0,即x2-4x+3=0, 解得x=1或x=3, ∴.点A(1,0),B(3,0) .y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2,AB=2 ∴.C向右平移2个长度单位得C2, 答案第8页（共27页） ∴.C,解析式为y=-2(x-2-2)}+2=-2(x-4)2+2(3≤x≤5)： 故答案为：y=-2(x-4)2+2(3≤x≤5)； (2)设当y=x+m,与C2相切时， ∴.x+m=-2(x-4)+2,即2x2-15x+30+m=0, ∴.△=b2-4ac=（-15)2-4×2(30+m)=0 .△=-8m-15=0, 解得m=-15 8 当y=x+m2过点B时，即0=3+m2, 解得m2=-3, VA y-x+m y=x+m2 D 由图象可得，当-3<x<-15 时直线y=x+m与C、C2共有3个不同交点， 故答案为：-3<x<- 8 12.抛物线y=3x2-x-4与y轴的交点坐标为 【答案】(0，-4) 【难度】0.65 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值 即可 【详解】把x=0代入y=3x2-x-4得y=-4, 所以抛物线y=3x2-x-4与y轴的交点坐标为(0，-4). 故答案为：(0，-4) 13.若A(4,),B(2,y2),C(1,⅓)为二次函数y=x2+k的图像上的三点，则y,y2,y的大小关系是 （用“<连接) 【答案】y<y2<y 答案第9页（共27页） 【难度】0.65 【知识点】y=ax+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象及其性质，根据抛物线的解析式，得出开口向上，和对称轴为y轴，再 根据二次函数的增减性判断即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用。 【详解】解：由y=x2+k,得出开口向上，和对称轴为y轴， ∴.A(-4)与点(4，)关于x=0即y轴对称， ,当x>0时，y随x的增大而增大， 1<2<4, ∴.3<y2<y, 故答案为：<2<y: 14.抛物线y=x2+mx+m-2与x轴交于A,B两点，且AB=√5，则m的值为 【答案】1或3 【难度】0.65 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】设A(x,0),B(x2,0),可得x,x2是一元二次方程x2+mx+m-2=0的两个根，利用根与系数的关 系表示x+x2与xx2,结合AB=√的条件，建立关于m的一元二次方程，求解即可得到m的值. 【详解】解：设A(x,0),B(x2,0), 令y=0,得 x2+mx+m-2=0, 由根与系数的关系得x+x2=-m,xx2=m-2, ABx-x上Vx+x)}-4xx=V(-m)}2-4(m-2)=vm2-4m+8, :AB=5, ∴.√m2-4m+8=V5, 两边平方得m2-4m+8=5, 整理得m2-4m+3=0, 因式分解得(m-1)(m-3)=0, 解得m=1或m=3. 答案第10页（共27页） 15已知点4(5网，8(-3m川都在二次函数yx+2-5的图像上，那么mn的大小关系是： n,（填“>”、“=”或“<”) 【答案】> 【难度】0.65 【知识点】y=a(x-h)+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质：掌握二次函数的增减性成为解题的关键. 先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的性质即可解答】 【详解】解：“点A-5,m),B(-3,川）都在=次函数y=+2-5的图像上， ∴二次函数图像的开口方向向上，对称轴为x=-2, ∴.当x<-2时，y随x的增大而减小， -5<-3, ∴.m>n. 故答案为：>. 16.设和是关于x的方程x+1-《=0的正数解，若1<名<2，则实数k的取值范围为 【答案】2<k<10 【难度】0.65 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题. 根据题意求出x=1时，k=2,x=2时，k=10,根据图象利用数形结合即可得到答案. 【详解】解：把=1代入2+1冬0用到1+1-车=0， 解得k=2, 把x=2代入+1-k=0得到4+1-=0， 2 解得k=10, 方程的解可以理解为函数y=x+1的图象和函数y=《的图象交点的横坐标，由图象可知， 10 .2<k<10 答案第11页（共27页） 故答案为：2<k<10 三、填空题（本大题共8题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分， 满分86分) 17.在直角坐标系中，设函数y=r2+bx-a(a,b是常数，a≠0). (1)已知函数y的图象经过点(1,2)和(-2,1)，求函数y的表达式. (2)若函数y图象的顶点在函数y2=2ax的图象上，求证：b=2a. 【答案】(1)y=x2+2x-1 (2) "'y=ax2+bx-a=ax+ b 4a2+b2 4a b 4a2+b2 顶点 2a 4a ,y图象的顶点在函数y2=2ax的图象上， 4a2+b2 b 4a 2a 2a ∴.4a2+b2=4ab, .(2a-b)2=0, .b=2a. 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax+bx+c的图象与性质、正比例函数的性质、y=a(x-h)2+k 的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的综合应用.理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键.(1)将(1,2)和 b 4a2+b2 (-2,-1)代入函数表达式，解方程组即可；(2)先得出函数顶点坐标 、2a’4a 代入y2=2ax化简 即可得出结论。 【详解】(1)：函数y=ax2+bx-a图象经过点(1,2)和(-2，-， a+b-a=2 4a-2b-a=-1' 答案第12页（共27页) a=1 解得 b=21 ∴y=x2+2x-1: (2)略 18.篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备.发球机经设置按某一角度发球后，把 球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h(单位：)与水平距离s(单位：m)之间的关 系，测得一些数据如表： s (m) 0 0.5 1.5 3 2.5 3.5 4 h (m) 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 为观察h与S之间的关系，建立平面直角坐标系， 以s为横坐标，h为纵坐标，插出表中各对对应值为坐标 的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分， Ah/m 地面 s/m (1)发球机出口点A的离地高度为m; (2)求出该抛物线的解析式： (3)小亮在训练时发现，当球离地高度h的取值范围是1.1≤h≤1.65时，接球较为舒适.已知标准篮球场地 罚球线距离发球机出口A的水平距离为5.8米，此时小亮站在罚球线处，他（填能”或“不能”）舒适地接 到球 【答案】(1)0.45 (2)h=-0.2s2+1.4s+0.45 (3)不能. 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题（实际问题与二次函数） 【分析】本题考查了二次函数的应用，本题的关键是理解题意，求出二次函数解析式： (1)根据表中的数据即可得的答案： (2)根据表中的数据利用待定系数法求出二次函数解析式： 答案第13页（共27页） (3)把s=5.8代入函数解析式求解，比较即可得的答案， 【详解】(1)解：根据表中的数据知，s=0m时，h=0.45m, ∴0A=0.45m, 故答案为：0.45； (2)解：小亮站在罚球线处，不能舒适地接到球，理由如下： 设抛物线的解析式为h=as2+bs+0.45, 把s=lm时，h=1.65m;s=2m时，h=2.45m a+b+0.45=1.65 代入得 4a+2b+0.45=2.45 a=-0.2 解得 b=1.4 ∴.抛物线的解析式为h=-0.2s2+1.4s+0.45, (3)当s=5.8时，h=1.842(米)， ∴.当球离地高度h的取值范围是1.1≤h≤1.65时，接球较为舒适，不能舒适地接到球， 故答案为：不能 19.活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的 探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： -2 0 2 3 4 -2 0 2 4 2 8 3 0 0 m 8 上述表格中：m (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画y,与x,y2与x之间的关系.在同一平面直角坐标系xOy中，已经 画出y与x的函数图象，请画出2与x的函数图象： 答案第14页（共27页） (3)通过观察图象可知，当乃>y2时，x的取值范围 【答案】(1)3 (2) (3)0<x<3 【难度】0.62 【知识点】用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值、根据交点确定不等式的解集 【分析】(1)观察表格中数据特点即可： (2)描点连线即可： (3)当y>y2时，即y2在y上方的图像所对应的x的取值. 【详解】(1)解：观察表格中数据特点，关于x=1对称的自变量所对应的y2的值相同， .x=3与x=-1时，y2的值相同为3， 故m=3; (2)解：略； (3)解：通过观察图象可知，当y>y2时，x的取值范围0<x<3. 20.某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本州（万元)与隔热层厚度 x(厘米)满足关系式w=20x.加建后该商场预计每年的能源消耗费用W2(万元)与隔热层厚度x(厘 米)满足关系式%=-x-3x+360≤x≤8).如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用 答案第15页（共27页） 之和为y(万元). (1)求y与x的关系式： (2)已知该商场未来5年的相关计划费用P（万元)满足p=y+x2-x,那么当192≤p≤208时，求隔热层 厚度x(厘米)的取值范围. 【答案】(1) y=-x2+5x+180(0≤x≤8) (2) 3≤x≤7 【难度】0.74 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题（实际问题与二次函数） 【分析】（①根据题意可得：y=g+5%,把网=20,4=写-3x+360≤x≤8）代入y=网+5%即 可得到y与x的关系式： (2)把y=-x2+5x+180代入p=y+x2-x,可得p=4x+180,根据192≤p≤208，可得关于x的不等式 组，解不等式组即可求出x的取值范围. 【详解】(1)解：根据题意可得：y=%+5%2, %=20x,%=写-3x+36(0≤x≤8)， y=20r+5写r-3x+36 整理可得：y=-x2+5x+180(0≤x≤8)： (2)解：y=-x2+5x+180(0≤x≤8)， ..p=y+x2-x =-x2+5x+180+x2-x =4x+180, :192≤p≤208， ∴.192≤4x+180≤208， 解得：3≤x≤7. 2L,如图，在△1BC中，∠C=90P,AC=4,AB=5,点D是AB上一点，且肥-过点D作DEL4C 垂足为E,点F是边AC上的一个动点，连接DF,过点F作FG⊥FD交线段BC于点G(不与点B、C重 合) 答案第16页（共27页） 备用图 (I)求证：△FCG∽aDEF: (2)设AF=x,CG=y,求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； (3)连接DG,若△DFG与△CFG相似，直接写出CG的长度. 【答案】(1) 证明：在△ABC中，∠C=90°，点D是AB上一点，过点D作DE⊥AC,垂足为E, ∴.∠DFE+∠CFG=90°，∠CFG+∠CGF=90°，∠C=∠DEF=90°， ∴∠DFE=∠CGF, ∴.△CG ADEF: ②y=-7r+36x-328 6 x<4 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、列二次函数关系式 【分析】(1)根据垂直的定义及同角的余角相等得出∠DFE=∠CGF,即可证明△FCG∽aDEF; (2)利用勾股定理求出BC,根据DE⊥AC,∠C=90°，得出DE∥BC,即可证明△ADE∽△ABC,根 据相似三角形的性质得出AE,DE,根据△FCG∽△DEF,利用相似三角形的性质求解，即可解题： (3)根据△DFG与△CFG相似，分以下两种情况：当△DFG∽△FCG时，过点F作FH⊥DG于H,当 △DFG∽△GCF时，结合全等三角形性质和判定，矩形的判定与性质，以及相似三角形性质和判定求解， 即可解题. 【详解】(1)略 2)解：在AABC中，点D是AB上一点，且B-)点F是边AC上的一个动点，FG⊥FD交线段BC 于点G(不与点B、C重合)， AD+BD=AB, 、AD2 AB7 ∠C=90°，AC=4,AB=5, .BC=VAB2-AC2=V52-42=3, 答案第17页（共27页） DE⊥AC,∠C=90°， .DE∥BC, ∴.△ADE∽△ABC, 4CBC号即4=40DE2 AE AD DE 2 4537 解得：4E=),DE0 .AF=x,CG=y, .EF =x-8 CF=4-x, :△FCG∽ADEF, CF CG 4-x=y 8, DEEF’即Dx-7」 整理得：y= -7x2+36x-32 6 “AE 7:AC=4, 8 <x<4, 7 3+6-2x<4 ∴y= 6 (3)解：如图1，当△DFG AFCG时，过点F作FH⊥DG于H, E △OFG AFCG, H D 图1 ∴.∠DGF=∠FGC, ∠C=∠FHG=90°， ∴.CF=FH, 在RIAFGC和RiL△FGH中， FG=FG CF=FH' .Rt△FGC≌RtAFGH(HL), .∠CFG=∠HFG, :∠EFD+∠CFG=90°，∠DFH+∠HFG=90°， ∴.∠EFD=∠DFH, 答案第18页（共27页） 在△EFD和△HIFD中， ∠FED=∠FHD=90° ∠EFD=∠HFD, FD=FD ∴AEFD≌aHFD(AAS), ∴EF=FH, ∴EF=CF, CF=4-x, 8 由(2)可知：EF=x- 74-x. 解得：x=18 y=7+36-27×8 (7 +36×18-32 50, 6 6 21 CG=50 如图，当△DFG∽aGCF时， G ·△DFG∽aGCF, A B D .∠CFG=∠FDG, :△FCG∽aDEF, ∴.∠CGF=∠EFD, ∴.∠EFD=∠FDG, ∴.DG∥AC, .∴∠CGD+∠C=180°， :∠C=90°， ∴.∠C=∠CED=∠CGD=90°， ∴.四边形CEDG是矩形， C-D- 综上所运：CG的长为引号 21 答案第19页（共27页) 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质， 矩形的判定与性质及勾股定理，平行线性质和判定，以及求函数解析式，熟练掌握相关性质及判定定理是 解题关键， 22.如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于4，B两点，A点坐标为(-1,0)，与y轴交于点 C(O,3),点M为抛物线顶点，点E为AB中点. 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)若在直线BC上方的抛物线上存在点Q,使得∠QCB=2∠ABC,求点Q的坐标. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)2(1,4) 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题（二次函数综合）、等腰三角形的性质和判定 【分析】(1)利用待定系数法即可求解： (2)求出点B坐标，可得△OBC是等腰直角三角形，即得∠ABC=∠OCB=45°，得到∠QCB=90°，过 点C作CQ⊥BC交抛物线于点2，过点Q作QG⊥y轴于点G,可得∠GCQ=45°，得到△GCQ是等腰直角 三角形，即得CG=0G,设0(9，-q+2q+3),则G(0,-g2+2g+3),可得CG=-9+2q+3-3=-92+2g, GQ=q,进而得到-q2+2q=q,解方程即可求解： 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二 次函数的图象和性质是解题的关键。 【详解】(1)解：把A(-1,0)、C(0,3)代入y=x2+2x+c得， a-2+c=0 (c=3 a=-1 解得 (c=3, ∴.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3: 答案第20页（共27页） (2)解：当y=0时，-x2+2x+3=0, 解得x=-1,x2=3, .B(3,0) ∴.OB=OC=3, ∴.△OBC是等腰直角三角形， ∴.∠ABC=∠OCB=45°， ,∠QCB=2∠ABC, ∴.∠QCB=90°， 如图，过点C作C2⊥BC交抛物线于点2，过点Q作QG⊥y轴于点G，,则∠QCB=∠QGC=90°， ∴.∠GC9=180°-∠QCB-∠0CB=180°-90°-45°=45°， ∴.△GCQ是等腰直角三角形， ..CG=0G, 设Q(9,-92+2q+3),则G(0,-g+2q+3, ∴.CG=-q2+2q+3-3=-q2+2q,G0=9, .-q2+2q=q, 解得q=0(不合，舍去)或9=1， .21,4) 23.(23-24九年级上·上海奉贤期末)在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线x=m对称，那么我 们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线x=m的镜像抛物线， (1)如图，已知抛物线y=x2-2x顶点为A. 答案第21页（共27页) ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式： 1 ②已知该抛物线关于直线x=m的镜像抛物线的顶点为B,如果tan∠OBA=三（∠OBA是锐角），求m的值. 4 知抛物线y=4x+bx+cb>0)的顶点为C,它的一条镜像抛物线的顶点为D,这两条抛物线 为E(2,1).如果△CDE是直角三角形，求该抛物线的表达式. 【答案】1)0y=x2+2x:②-3或 2以2 @+-3 【分析】(1)①由y=x2-2x=(x-1)-1,可得A(1,-1),则该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为 A(一1，一1)，然后求镜像抛物线的表达式即可：②当x=m在点A左侧时，该抛物线关于直线x=m的镜像抛 1 物线的顶点为B(2-lk-,如图1-1，连接AB交y轴于点丑，则o8=1,由am∠0BA=寻，可得 BE=-2+1=4,计算求解即可；如图1-2，当x=m在点A右侧时，同理可得，2-1=4，计算求解即 可： (2)如图2，由题意知，若ACDE是直角三角形，则△CDE是等腰直角三角形，则EH=CH=DH,设 BH=CH=DH=1,由B(2),可得C(2-1-),即抛物线的表达式为y=4-2+)+1-i,将B(2) 代入得，1=}(2-2+)+1-1，求出满足要求的4，进而可得抛物线的表达式。 【详解】(1)①解：·y=x2-2x=(x-1)2-1, .A(1,-1), ∴.该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为A(-1,-1), ∴.该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式为y=(x+1)-1,即y=x2+2x; ②当x=m在点A左侧时， :A(1,-1),该抛物线关于直线x=m的镜像抛物线的顶点为B, .B(2m-1,-1), 如图1-1，连接AB交y轴于点E,则OE=1, 答案第22页（共27页) B E A 2X=7m 图1-1 tan∠0B4=1 ..BE=-2+1=4, 解得，2三一，、、 如图1-2，当x=m在点A右侧时， x-m 图1-2 同理可得，2-1=4， 解得，m=2 综上所述，m的值为一。或： 2 (2)解：如图2， 图2 由题意知，若△CDE是直角三角形，则△CDE是等腰直角三角形，则EH=CH=DH, 设EH=CH=DH=t, E(2,1) ∴.C(2-tl-t) 答案第23页（共27页) 六抛物线的表达式为y=x-2++1-, 将E(2)代入y=x-2++1-t得，1子2-2++1-1 解得，t=4或t=0(舍去)， 抛物线的表达式为y=(+2-3。 【点睛】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切等知识，熟练掌握 二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键. 24.（23-24九年级上·上海崇明·期末)已知在直角坐标平面xOy中，抛物线y=a2+bx+c(a≠0)经过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. A 备用图 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接ADBD,将抛物线向下平移(m>O)个单位后，点D 落在点E处，过B、E两点的直线与线段AD交于点F. ①如果=2，求tan∠DBF的值： ②如果BDF与△ABD相似，求的值. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (203:②m=3或m= 2 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)①先求出抛物线对称轴为直线x=1,则D(2,3),进而得到E(2,1)求出直线BE的解析式为y=-x+3, 同理可得直线AD的解析式为y=x+1,进而求出F(1,2):利用勾股定理求出DF=√2，BF=22,BD=V10, 答案第24页（共27页） 进而利用勾股定理的逆定理证明BDR是直角三角形，且∠DPB=0°，则tan∠DBF=DP=上： ②△ABD∽△FBD时，则此时点F与点A重合，则BF与AB重合，可得=DE=3;当△ABDABFD时， 则∠DBF=∠DAB,如图所示，设直线DE交x轴于G,则G(2,O),推出∠DAG=∠ADG=45°，得到 ∠DBF=∠DAB=45°，如图所示，取点(-1,2)，则DH=√10，BH=√20，BD=√10，证明△BDH是等 腰直角三角形，得到∠DBH=45°，则点P在直线班上，同理可得直线BH的解析式为yx+,在 =+,气=2时=片则得到= 5 ~2之综上所述，m=3或m= 【详解】(1)解：把A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c(a≠0)中， a-b+c=0 得： 9a+3b+c=0, c=3 a=-1 .b=2, c=3 ∴.抛物线解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：①，抛物线解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)+4, ∴抛物线对称轴为直线x=1, ,点D是点C关于抛物线对称轴对称的点， .D(2,3), ,将抛物线向下平移(m>0)个单位后，点D落在点E处，且=2， ∴.E(21): 设直线BE的解析式为y=k+b', 做0丹 [k=-1 6=3' .直线BE的解析式为y=-x+3, 同理可得直线AD的解析式为y=x+1, y=-x+3 联立 y=x+1’ 答案第25页（共27页） [x=1 解得 y=2' .F(1,2) ∴DF=V2-1+(3-2}=V2,BF=V3-12+(0-2)-22,BD=V3-22+(0-3)2=0, ∴DF2+BF2=(W+(22=10=(M0j=BD2, ∴.BDF是直角三角形，且∠DFB=90°， tan∠DBF=DF=l A少 3米C A B -1 ②当△ABD∽△FBD时，则此时点F与点A重合，则BF与AB重合， ∴.=DE=3; 当△ABDABFD时，则∠DBF=∠DAB, 如图所示，设直线DE交x轴于G,则G(2,0), ∴.DG=AG=3, ∴.∠DAG=∠ADG=45°， ∴.∠DBF=∠DAB=45°， 如图所示，取点H(-1,2),则DH=V-1-2}3+(2-3)=0,BH=V-1-3)+(2-0=√20， BD=V3-2)}+(0-3)=10, .DH=BD,DH2+BD2=BH2, ∴.△BDH是等腰直角三角形， ∴.∠DBH=45°， ∴，点F在直线BH上， 同理可得直线BH的解析式为y+子 答案第26页（共27页） 在y=-1x3 号+中，当x=2时，y2 2 (1 ∴.E2,5 （2 m=3-15 综上所述，l=3或m= A少 3 D H A E B G 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定 理，一次函数与几何综合，坐标与图形变化一平移，等腰直角三角形的性质与判定等等，通过利用勾股定 理和勾股定理的逆定理证明直角三角形是解题的关键， 答案第27页（共27页） 2026-2027学年九年级第一学期数学第27章二次函数检测卷 （上海专用）（解析版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．据此判断即可． 【详解】解：．，是的一次函数，故该选项不符合题意； ．，是的一次函数 ，故该选项不符合题意； ．，是的二次函数 ，故该选项符合题意； ．，是的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 3．二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 4．将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称、二次函数图象的平移 【分析】先求出抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出和的值． 【详解】解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得，， 5．已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】先求出直线与x轴的交点，根据点B在直线下方得出B点横坐标的范围，进而得到抛物线对称轴的位置，再判断各选项说法即可． 【详解】解：令直线中，得， 即直线与x轴交点为． 点是抛物线与x轴的交点， 点的纵坐标为，设， 点在直线下方， ，即． 抛物线与x轴交于，两点， 抛物线对称轴为直线. ， ，即对称轴在y轴左侧， 抛物线顶点的横坐标小于， 第四象限内点的横坐标大于， 抛物线的顶点不可能在第四象限，A选项说法正确； 的正负不确定， 抛物线开口方向无法确定，B选项说法错误； 联立抛物线与直线解析式，整理得， 其判别式， 当时，的符号不确定，交点个数不确定，C选项说法错误； 抛物线对称轴在y轴左侧， 对称轴不可能在y轴右侧，D选项说法错误． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 6．正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式是______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据增加的面积等于新正方形的面积减去边长为1的正方形的面积，求出即可． 【详解】由题意得： ． 故答案为：． 7．已知一元二次方程的两个根分别为1、，请写出一个二次函数的函数解析式为__________________． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．根据方程的两个根得到抛物线与轴的两个交点坐标，利用交点式，写出二次函数的解析式即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为1、， ∴的图象与与轴的两个交点坐标为，， ∴函数解析式可以为：． 故答案为：． 8．二次函数的一般式为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、根据二次函数的定义求参数 【分析】二次函数的一般形式为，据此即可获得答案． 【详解】解：二次函数的一般式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式以及完全平方公式的应用，理解并掌握二次函数的一般形式是解题关键． 9．如果点、是抛物线上的两个点，那么m和n的大小关系是m_______n（填“”或“”或“”）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的增减性，得到m与n的大小关系即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 即：当时，随增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 10．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据一次函数增减性求参数、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 11．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D，若直线与，共有3个不同的交点，请你探究： （1）对应的函数表达式为______________； （2）m的取值范围是_________________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、一次函数、二次函数图象综合判断、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题． （1）首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式， （2）分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图象即可得到答案． 【详解】解：（1）令，即， 解得或， ∴点， ∵， ∴向右平移2个长度单位得， ∴解析式为； 故答案为：； （2）设当与相切时， ∴，即， ∴ ∴， 解得， 当过点B时，即， 解得， ∴由图象可得，当时直线与、共有3个不同交点， 故答案为：． 12．抛物线与y轴的交点坐标为 ___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可． 【详解】把代入得， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 13．若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象及其性质，根据抛物线的解析式，得出开口向上，和对称轴为轴，再根据二次函数的增减性判断即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 【详解】解：由，得出开口向上，和对称轴为轴， ∴与点关于即轴对称， ∵当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 14．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 15．已知点都在二次函数的图像上，那么的大小关系是：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质：掌握二次函数的增减性成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵点都在二次函数的图像上， ∴二次函数图像的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 16．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 三、填空题（本大题共8题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 17．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 【答案】(1) (2) ∵， ∴顶点， ∵图象的顶点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、正比例函数的性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的综合应用．理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．（1）将和代入函数表达式，解方程组即可；（2）先得出函数顶点坐标，代入化简，即可得出结论． 【详解】（1）∵函数图象经过点和， ∴， 解得 ， ∴； （2）略 18．篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h（单位：m）与水平距离s（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： （m） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … h（m） 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，插出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)发球机出口点的离地高度为 ； (2)求出该抛物线的解析式； (3)小亮在训练时发现，当球离地高度的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口的水平距离为5.8米，此时小亮站在罚球线处，他 （填“能”或“不能”）舒适地接到球． 【答案】(1) (2) (3)不能． 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，本题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）根据表中的数据即可得的答案； （2）根据表中的数据利用待定系数法求出二次函数解析式； （3）把代入函数解析式求解，比较即可得的答案． 【详解】（1）解：根据表中的数据知，时，， ， 故答案为：； （2）解：小亮站在罚球线处，不能舒适地接到球，理由如下： 设抛物线的解析式为， 把时，；时， 代入得， 解得， 抛物线的解析式为， （3）当时，米， 当球离地高度h的取值范围是时，接球较为舒适，不能舒适地接到球， 故答案为：不能． 19．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.62 【知识点】用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）观察表格中数据特点即可； （2）描点连线即可； （3）当时，即在上方的图像所对应的的取值． 【详解】（1）解：观察表格中数据特点，关于对称的自变量所对应的的值相同， ∴与时，的值相同为3， 故； （2）解：略； （3）解：通过观察图象可知，当时，的取值范围． 20．某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.74 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意可得：，把，代入即可得到与的关系式； （2）把代入，可得，根据，可得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ，， ， 整理可得：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 21．如图，在中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）． (1)求证：； (2)设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； (3)连接，若与相似，直接写出的长度． 【答案】(1) 证明：在中，，点D是上一点，过点D作，垂足为E， ，，， ， ； (2)； (3)或． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、列二次函数关系式 【分析】（1）根据垂直的定义及同角的余角相等得出，即可证明； （2）利用勾股定理求出，根据，，得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，，根据，利用相似三角形的性质求解，即可解题； （3）根据与相似，分以下两种情况：当时，过点F作于H，当时，结合全等三角形性质和判定，矩形的判定与性质，以及相似三角形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：在中，点D是上一点，且，点F是边上的一个动点，交线段于点G（不与点B、C重合）， ， ， ，，， ， ，， ， ， ，即， 解得：，， ，， ，， ， ，即， 整理得：， ，， ， ； （3）解：如图1，当时，过点F作于H， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， 解得：， ， ． 如图，当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及勾股定理，平行线性质和判定，以及求函数解析式，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 22．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到， 过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设，则，可得，，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得(不合，舍去) 或， ∴． 23．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①由，可得，则该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为，然后求镜像抛物线的表达式即可；②当在点左侧时，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为，如图，连接交轴于点，则，由，可得，计算求解即可；如图，当在点右侧时，同理可得，，计算求解即可； （2）如图2，由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，则，设，由，可得，即抛物线的表达式为，将代入得，，求出满足要求的，进而可得抛物线的表达式． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为， ∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式为，即； ②当在点左侧时， ∵，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B， ∴， 如图，连接交轴于点，则， 图 ∵， ∴， 解得，； 如图，当在点右侧时， 图 同理可得，， 解得，； 综上所述，的值为或； （2）解：如图2，         图2 由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，则， 设， ∵， ∴， ∴抛物线的表达式为， 将代入得，， 解得，或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切等知识，熟练掌握二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 24．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                   备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出抛物线对称轴为直线，则，进而得到；求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，进而求出；利用勾股定理求出，，，进而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则；②时，则此时点F与点A重合，则与重合，可得；当时，则，如图所示，设直线交x轴于G，则，推出，得到，如图所示，取点，则，，，证明是等腰直角三角形，得到，则点F在直线上，同理可得直线的解析式为，在中，当时，，则，即可得到；综上所述，或． 【详解】（1）解：把代入中， 得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点D是点C关于抛物线对称轴对称的点， ∴， ∵将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，且， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， ∴； ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ②当时，则此时点F与点A重合，则与重合， ∴； 当时，则， 如图所示，设直线交x轴于G，则， ∴， ∴， ∴， 如图所示，取点，则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点F在直线上， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—平移，等腰直角三角形的性质与判定等等，通过利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明直角三角形是解题的关键． 答案第1页（共3页） 答案第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $