第07讲 函数的单调性与最值 讲义-2027届江苏省高三数学一轮复习（中等难题突破）

该高中数学讲义聚焦函数单调性与最值高考核心考点，以概念定义为基础，通过基本函数性质、复合函数规律构建知识体系，设置考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生系统掌握判断、应用及求最值方法，突破复习难点。 讲义突出数学抽象与逻辑推理素养培养，如通过复合函数“同增异减”法则训练提升运算能力，设计分层变式练习与综合题组，确保学生高效掌握比较大小、解不等式等题型，为教师把控复习节奏、学生提升应考能力提供有力支持。

1．理解函数的单调性，通过确定函数的单调性（区间），培养数学抽象与数学运算素养． 2．通过应用单调性求最值、比较大小、解不等式等，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．理解函数的最大值、最小值及其几何意义，通过求函数的值域（最值），培养数学运算素养． 4．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，提升运用数形结合思想解决问题的能力． 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为D，区间ID： （1）如果，I，当时，都有，那么就称函数在区间I上单调递增（如图①）．特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． （2）如果，I，当时，都有，那么就称函数在区间I上单调递减（如图②）．特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 注意： ①，，若，都有，则在I上单调递增；，，若，都有，则在I上单调递减． ②，，，则在I上单调递增；，则在I上单调递减． ③，，，则在I上单调递增；，则在I上单调递减． ④，，，则在I上单调递增． ⑤，，，且，则在I上单调递增． ⑥，，，则在I上单调递减． 2．单调性与单调区间 如果函数在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做的单调区间． 关于函数单调性的常用结论： ①函数（c为常数）与函数的单调性相同； ②函数，当c＞0时，与函数的单调性相同；当c＜0时，与函数的单调性相反； ③若在区间I上恒为正数或负数，且具有单调性，则在区间I上函数与函数单调性相反； ④若，则函数与函数单调性相同； ⑤在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．复合函数的单调性 （1）复合函数的定义：设，，则函数叫复合函数． （2）复合函数的单调性口诀：同增异减，即内外两层函数的单调性相同时，复合函数为增函数；内外两层函数的单调性相反时，复合函数为减函数． 注：用复合函数的单调性法则判断单调性时，要先认识什么函数是复合函数，不能将复合函数与两个函数的和、差、积、商等混淆． 4．基本函数的单调性 （1）f(x)＝kx＋m，当k＞0，f(x)在R上单调递增；当k＜0，f(x)在R上单调递减． （2），当k＞0，f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递减；当k＜0，f(x)在(，0)单调递增，在(0，)单调递增． （3）f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0，f(x)在(，)单调递减，在(，)单调递增；当a＜0，f(x)在(，)单调递增，在(，)单调递减． （4）在(，0)单调递增，在(0，)单调递增． （5）在(，)单调递增，在(，0)单调递减，在(0，)单调递减，在(，)单调递增． 5．判断函数单调性的方法 定义法、图像法、复合法（同增异减）、求导、单调性的性质（增＋增＝增，减＋减＝减）等． 6．函数的最大值与最小值 一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足： （1）D，都有； （2）D，使得． 那么，我们称M是函数的最大值（最小值），而称为的最大值点（最小值点）．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点． 题型一：单调性的判断 例1．判断下列函数的单调性 （1）(x＜0)； （2）； （3）； （4）(x＞0)． 例2．试讨论函数(a≠0)在(﹣1，1)上的单调性． 例3．设函数的定义域为R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x＞0时，有0＜f(x)＜1． （1）求证：f(0)＝1，且当x＜0时，有f(x)＞1； （2）判断f(x)在R上的单调性． 变式训练： 1．（多选）下列说法中，正确的是 A．函数在(﹣2，)单调递增 B．函数的减区间为(，﹣1]和[2，5] C．若是R上的增函数，则是R上的增函数 D．函数的单调递增区间为[1，) 2．求函数的单调区间． 题型二：单调性的应用 1．比较大小 例3．已知，，，，则 A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 2．已知单调性求参数 例4．（1）若函数在(a，)上单调递增，则实数a的取值范围为 ． （2）已知函数满足，且，有成立，则实数m的取值范围是 ． （3）已知a＞0且a≠1，函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 3．解函数不等式 例5．（1）设函数，则满足的k的取值范围是 ． （2）已知定义在R上的函数满足，当，，则不等式的解集为 ． （3）定义在(0，)的函数满足：对，(0，)且，均有＞0成立，若f(3)＝9，则不等式f(x)＜3x的解集为 ． 变式训练： 1．已知函数，则比较，，的大小． 2．函数满足对，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 3．f(x)是定义在[﹣1，1]上的减函数，且f(x﹣1)＜f(1﹣3x)，则x的取值范围是 ． 4．已知f(x)的定义域为(0，)，，(0，)，且，均有＜0，则不等式f(x＋5)＞的解集为 ． 5．设函数是定义在(0，)上的函数，对，(0，)且，都有＜0，且f(3)＝1，则不等式的解集是 ． 6．已知f(x)定义域为R，对任意x，yR都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)﹣1，当x＞0时，f(x)＜1，f(﹣1)＝2． （1）试判断f(x)在R上的单调性，并证明； （2）解不等式：． 题型三：求函数的最值（值域） 例6．求下列函数的值域 （1），x(﹣1，3]； （2）； （3），x[﹣4，4]； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 例7．已知函数的值域为R，则实数m的取值范围是 ． 变式训练： 1．（多选）下列函数中，值域正确的是 A．函数的值域为(，1] B．函数的值域为{} C．函数的值域为[，2] D．函数的值域为(2，6] 2．已知函数f(x)，若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 3．（多选）一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[a，b]为f(x)的“倍跟随区间”；特别地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”．下列结论正确的是 A．函数f(x)＝x存在跟随区间 B．函数不存在跟随区间 C．若函数存在跟随区间，则m(，0] D．二次函数存在“2倍跟随区间” 1．设函数的定义域为，则“在区间上的最大值为，最小值为”是“在区间上单调递增”的 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数的值域为 A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是 A． B． C． D． 4．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 A． B． C． D． 5．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 7．（多选）设函数是上的单调函数，且，则 A． B． C． D．在上单调递增 8．（多选）给定函数，，，用表示，中的较小者，记为，则 A．的图象不可能是一条直线 B．的图象可能是一条抛物线 C．当时，的值域为 D．若关于x的不等式的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围是(4，10] 9．已知函数，则该函数的单调递增区间为 ． 10．定义在上的函数满足，若，则满足的解集是 ． 11．已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 ． 12．求下列函数的值域： （1）； （2）(0＜x≤4)； （3）； （4）． 13．已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：是上的单调递减函数； （3）若对，，求实数的取值范围． 14．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． （1）写出函数的一个“优美区间”； （2）试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； （3）已知函数有“优美区间”，当a变化时，求出n﹣m的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．理解函数的单调性，通过确定函数的单调性（区间），培养数学抽象与数学运算素养． 2．通过应用单调性求最值、比较大小、解不等式等，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．理解函数的最大值、最小值及其几何意义，通过求函数的值域（最值），培养数学运算素养． 4．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，提升运用数形结合思想解决问题的能力． 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为D，区间ID： （1）如果，I，当时，都有，那么就称函数在区间I上单调递增（如图①）．特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． （2）如果，I，当时，都有，那么就称函数在区间I上单调递减（如图②）．特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 注意： ①，，若，都有，则在I上单调递增；，，若，都有，则在I上单调递减． ②，，，则在I上单调递增；，则在I上单调递减． ③，，，则在I上单调递增；，则在I上单调递减． ④，，，则在I上单调递增． ⑤，，，且，则在I上单调递增． ⑥，，，则在I上单调递减． 2．单调性与单调区间 如果函数在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做的单调区间． 关于函数单调性的常用结论： ①函数（c为常数）与函数的单调性相同； ②函数，当c＞0时，与函数的单调性相同；当c＜0时，与函数的单调性相反； ③若在区间I上恒为正数或负数，且具有单调性，则在区间I上函数与函数单调性相反； ④若，则函数与函数单调性相同； ⑤在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．复合函数的单调性 （1）复合函数的定义：设，，则函数叫复合函数． （2）复合函数的单调性口诀：同增异减，即内外两层函数的单调性相同时，复合函数为增函数；内外两层函数的单调性相反时，复合函数为减函数． 注：用复合函数的单调性法则判断单调性时，要先认识什么函数是复合函数，不能将复合函数与两个函数的和、差、积、商等混淆． 4．基本函数的单调性 （1）f(x)＝kx＋m，当k＞0，f(x)在R上单调递增；当k＜0，f(x)在R上单调递减． （2），当k＞0，f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递减；当k＜0，f(x)在(，0)单调递增，在(0，)单调递增． （3）f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0，f(x)在(，)单调递减，在(，)单调递增；当a＜0，f(x)在(，)单调递增，在(，)单调递减． （4）在(，0)单调递增，在(0，)单调递增． （5）在(，)单调递增，在(，0)单调递减，在(0，)单调递减，在(，)单调递增． 5．判断函数单调性的方法 定义法、图像法、复合法（同增异减）、求导、单调性的性质（增＋增＝增，减＋减＝减）等． 6．函数的最大值与最小值 一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足： （1）D，都有； （2）D，使得． 那么，我们称M是函数的最大值（最小值），而称为的最大值点（最小值点）．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点． 题型一：单调性的判断 例1．判断下列函数的单调性 （1）(x＜0)； （2）； （3）； （4）(x＞0)． 【解析】解：（1），因为x＜0，＜0，所以，则在(，0)单调递减． （2）因为，所以，所以原函数在(，﹣1]单调递减，在[﹣1，)单调递增． （3）因为﹣x2＋2x＋3＞0，即x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，令u＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1，①当﹣1＜x≤1时，内层函数u＝﹣x2＋2x＋3单调递增，外层函数y＝lnu单调递增，所以在(﹣1，1]单调递增；②当1≤x＜3时，内层函数u＝﹣x2＋2x＋3单调递减，外层函数y＝lnu单调递增，所以在[1，3)单调递减． （4）因为在(0，)单调递减，在(0，)单调递减，在(0，)单调递减， 所以在(0，)单调递减． 例2．试讨论函数(a≠0)在(﹣1，1)上的单调性． 【解析】解：方法一： 因为，所以， 当a＞0时，，所以在(﹣1，1)单调递减； 当a＜0时，，所以在(﹣1，1)单调递增． 方法二： 因为， 所以当a＞0时，在(﹣1，1)单调递减，则在(﹣1，1)单调递减； 当a＜0时，在(﹣1，1)单调递增，则在(﹣1，1)单调递增． 综上所述，a＞0，在(﹣1，1)单调递减；a＜0，在(﹣1，1)单调递增． 例3．设函数的定义域为R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x＞0时，有0＜f(x)＜1． （1）求证：f(0)＝1，且当x＜0时，有f(x)＞1； （2）判断f(x)在R上的单调性． 【解析】解：（1）证明：当m＞0，n＝0时，原式即为f(m＋0)＝f(m)·f(0)，则f(m)＝f(m)·f(0)， 因为m＞0，0＜f(m)＜1，即f(m)≠0，所以f(0)＝1， 令m＝x＜0，n＝﹣x＞0，则原式即为f(0)＝f(x)·f(﹣x)， 所以，因为﹣x＞0，所以0＜f(﹣x)＜1，则， 即当x＜0时，有f(x)＞1； （2），R，且， 令m＝，n＝，由f(m＋n)＝f(m)·f(n)，则， 所以，因为，所以，所以， 所以，由（1）得，所以， 所以f(x)在R上单调递减． 变式训练： 1．（多选）下列说法中，正确的是 A．函数在(﹣2，)单调递增 B．函数的减区间为(，﹣1]和[2，5] C．若是R上的增函数，则是R上的增函数 D．函数的单调递增区间为[1，) 【解析】因为，该函数由平移得到，故原函数在(﹣2，)单调递增，A正确；令u＝﹣x2＋4x＋5＝﹣(x﹣5)(x＋1)，对称轴x＝2，当﹣1≤x≤5时，﹣x2＋4x＋5≥0，当x＜﹣1或x＞5时，﹣x2＋4x＋5＜0，则，则减区间为(，﹣1]，[2，5]，B正确；的定义域不一定是R，故C错误；令u＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1，所以u＝﹣x2＋2x＋3在[1，)单调递减，又y＝2u单调递增，所以函数在[1，)单调递减，D错误．综上，选AB． 2．求函数的单调区间． 【解析】解：，函数图象如图所示： 函数的单调增区间是(，﹣1]和[0，1]，单调减区间是[﹣1，0]和[1，)． 题型二：单调性的应用 1．比较大小 例3．已知，，，，则 A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【解析】因为在(1，)单调递增，在(1，)单调递增，所以在(1，)单调递增，又1＜＜＜，所以，即a＜b＜c，故选D． 2．已知单调性求参数 例4．（1）若函数在(a，)上单调递增，则实数a的取值范围为 ． （2）已知函数满足，且，有成立，则实数m的取值范围是 ． （3）已知a＞0且a≠1，函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【解析】（1），若在(a，)上单调递增，则，解得1≤a＜2． （2）当x≥1时，单调递增，即[1，)，恒成立，所以，即2m﹣3≤(x2)min＝1，解得m≤2；当x＜1时，单调递增，则4＋m＞0，即m＞﹣4；最后(4＋m)﹣9≤1＋2m﹣3，解得m≥﹣3．综上所述，m的取值范围是﹣3≤m≤2． （3）由题意，得，则，解得≤a≤． 3．解函数不等式 例5．（1）设函数，则满足的k的取值范围是 ． （2）已知定义在R上的函数满足，当，，则不等式的解集为 ． （3）定义在(0，)的函数满足：对，(0，)且，均有＞0成立，若f(3)＝9，则不等式f(x)＜3x的解集为 ． 【解析】（1）作出函数图像，如图所示： 由图可知在R上单调递增，又，所以k﹣1＜2k，解得k＞﹣1，即(﹣1，)． （2）因为，，则，令，所以，，所以在R上单调递减，因为，所以﹣1013＝1013，因为，所以，即g(x﹣1013)＜g(1013)，又在R上单调递减，所以x﹣1013＞1013，解得x＞2026，即原不等式的解集为(2026，)． （3）因为＞0，且＞0，不等式两边同时除以，得＞0，令g(x)＝，则＞0，所以g(x)在(0，)单调递增，因为f(3)＝9，所以g(3)＝＝3，因为f(x)＜3x，x＞0，所以，则g(x)＜g(3)，又g(x)在(0，)单调递增，所以0＜x＜3，故原不等式的解集为(0，3)． 变式训练： 1．已知函数，则比较，，的大小． 【解析】解：因为在(0，)单调递增，在(0，)单调递增，在(0，)单调递增， 所以在(0，)单调递增， 因为0＜＜2＜3，所以＜＜． 2．函数满足对，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 【解析】因为，且，都有，所以在R上单调递增，则，故，解得≤a≤． 3．f(x)是定义在[﹣1，1]上的减函数，且f(x﹣1)＜f(1﹣3x)，则x的取值范围是 ． 【解析】因为f(x)是定义在[﹣1，1]上的减函数，且f(x﹣1)＜f(1﹣3x)，所以1≥x﹣1＞1﹣3x≥﹣1，解得＜x≤，即x的取值范围是(，]． 4．已知f(x)的定义域为(0，)，，(0，)，且，均有＜0，则不等式f(x＋5)＞的解集为 ． 【解析】因为＜0，且＞0，不等式两边同时除以，得＜0，令g(x)＝，则＜0，所以g(x)在(0，)单调递减，因为f(x＋5)＞，所以＞，即g(x＋5)＞g(x2﹣25)，又因为g(x)在(0，)单调递减，所以0＜x＋5＜x2﹣25，解得x＞6，即原不等式的解集为(6，)． 5．设函数是定义在(0，)上的函数，对，(0，)且，都有＜0，且f(3)＝1，则不等式的解集是 ． 【解析】因为，所以在(0，)单调递减，且g(3)＝3f(3)＝3×1＝3，因为，且x﹣1＞0，所以(x﹣1)f(x﹣1)＞3，即g(x﹣1)＞g(3)，则0＜x﹣1＜3，解得1＜x＜4，即原不等式解集为(1，4)． 6．已知f(x)定义域为R，对任意x，yR都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)﹣1，当x＞0时，f(x)＜1，f(﹣1)＝2． （1）试判断f(x)在R上的单调性，并证明； （2）解不等式：． 【解析】解：（1）f(x)在R上单调递减，证明如下， 令，，，且， 则， 因为，所以，，即，， 所以在上单调递减． （2），即， 即为，即为， 即为. 因为在上单调递减， 所以，即， 则，解得， 所以不等式的解集为． 题型三：求函数的最值（值域） 例6．求下列函数的值域 （1），x(﹣1，3]； （2）； （3），x[﹣4，4]； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【解析】解：（1）配方法：， 则函数在(﹣1，)单调递减，在(，3]单调递增， 当x＝时，y＝，当x＝﹣1时，y＝9，所以函数的值域为[，9)； （2）分离常数法：≠2，故值域为(，2)(2，)； （3）分离常数法：，因为﹣4≤x≤4，﹣7≤x﹣3≤1， 所以或≥1，因此或≥9， 故值域为(，1][9，)； （4）换元法：令，则x＝t2＋1，t≥0， y＝2(t2＋1)﹣t＝2t2﹣t＋2＝2(t﹣)2＋，因为t≥0，所以当t＝时，ymin＝， 所以函数的值域为[，)； （5）单调性法：原函数的定义域为[1，)， 因为在[1，)单调递增，在[1，)单调递增， 所以在[1，)单调递增，所以当x＝1时，ymin＝2， 所以函数的值域为[2，)； （6）单调性法：原函数的定义域为[1，)， 因为在[1，)单调递增，在[1，)单调递增， 所以在[1，)单调递增，所以当x＝1时，ymin＝， 所以函数的值域为[，)； （7）平方法：原函数的定义域为[﹣1，1]， 因为，所以， 当﹣1≤x≤1时，0≤1﹣x2≤1，则2≤≤4，即2≤≤4， 所以，所以函数的值域为[，2]； （8）基本不等式法：因为，当x≤1时，y＝x2≥0， 当x＞1时，，当且仅当x＝3取“＝”， 综上，y≥﹣2，所以函数的值域为[﹣2，)； （9）法一：判别式法 因为定义域为R，则(2y﹣1)x2﹣(2y﹣1)x＋3y﹣1＝0， 当y＝时，＝0，不成立； 当y≠时，(2y﹣1)2﹣4(2y﹣1)(3y﹣1)≥0，得(2y﹣1)(10y﹣3)≤0， 解得，所以函数的值域为[，)； 法二：分离常数 因为， 令，则＝4(x﹣)2＋5≥5， 所以0＜≤，则≤＜，即，所以函数的值域为[，)． 例7．已知函数的值域为R，则实数m的取值范围是 ． 【解析】对于函数，则，当且仅当时取等号，且函数在上单调递减，在上单调递增，对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，令，解得或，所以与的两个交点分别为、，则函数与的图象如下所示： 当时，当时，当时，显然，此时函数的值域不为，不符合题意； 当时，当时，当时，此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意； 当时，在时，即，此时的值域为，符合题意， 当时，当时，当时，此时，即，此时函数的值域为，符合题意；综上可得． 变式训练： 1．（多选）下列函数中，值域正确的是 A．函数的值域为(，1] B．函数的值域为{} C．函数的值域为[，2] D．函数的值域为(2，6] 【解析】在定义域(，]上单调递增，所以当x＝，y取最大值，即的值域为(，]，A错误；，因为，则，即﹣1＜＜0，故，所以的值域为(0，1)，B错误；因为，所以＋2，定义域为[1，3]，此时0≤≤1，因此2≤y2≤4，即≤y≤2，所以的值域为[，2]，C正确；，因为x2＋x＋1≥，所以0＜≤4，则2＜2＋≤6，即函数的值域为(2，6]，D正确．选CD． 2．已知函数f(x)，若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 【解析】函数y＝x＋4在(﹣∞，a)上为增函数，值域为(﹣∞，a＋4)．若a≤1，y＝x2﹣2x(x≥a)的值域为[﹣1，+∞)，要使函数f(x)值域为R，则a＋4≥﹣1，得a≥﹣5，∴﹣5≤a≤1；若a＞1，y＝x2﹣2x(x≥a)的值域为[a2﹣2a，+∞)，要使函数f(x)的值域为R，则a＋4≥a2﹣2a，解得﹣1≤a≤4，∴1＜a≤4．综上，使函数f(x)的值域为R的实数a的取值范围是[﹣5，4]． 3．（多选）一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[a，b]为f(x)的“倍跟随区间”；特别地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”．下列结论正确的是 A．函数f(x)＝x存在跟随区间 B．函数不存在跟随区间 C．若函数存在跟随区间，则m(，0] D．二次函数存在“2倍跟随区间” 【解析】对于A，函数在上单调递增，当时，，所以函数存在跟随区间，故A正确； 对于B，因为函数在区间与上均为增函数，若存在跟随区间[a，b]，则有，即为的两根，即为的根，解方程得或4，则函数存在跟随区间，故B错误； 对于C，若函数存在跟随区间，因为为减函数，故由跟随区间的定义可知，即，因为，则，易得．所以，令代入化简可得，同理，令也满足，即在区间上有两不相等的实数根．故，解得，故C正确； 对于D，若二次函数存在2倍跟随区间，则可设定义域为，值域为，而函数开口向下，对称轴为，当时，函数在区间上单调递增，则，即为方程的两根，解方程得或0，则函数存在2倍跟随区间，故D正确．故选：ACD． 1．设函数的定义域为，则“在区间上的最大值为，最小值为”是“在区间上单调递增”的 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若在区间上的最大值为，最小值为，此时在区间上不一定单调，充分性不成立； 但当在区间上单调递增时，在区间上的最大值为，最小值为，必要性成立． 综上所述：“在区间上的最大值为，最小值为”是“在区间上单调递增”的必要不充分条件．选C． 2．函数的值域为 A． B． C． D． 【解析】由题意得，解得，即的定义域为，令，则，所以，且，则原函数转化为，因为与在上均为单调递减函数，所以在上单调递减，所以的最大值为，最小值为，所以的值域为，即原函数的值域为．选A． 3．已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是 A． B． C． D． 【解析】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，所以函数在上单调递增，因为，所以，即；故选：D． 4．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【解析】因为在上单调递增，时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是．故选：B． 5．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【解析】因为函数的值域为，所以，所以故选：C． 6．已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【解析】任取，，且，因为，所以，因为时，，且，所以，所以，即，所以在上是增函数，令，所以，令，，则，不等式等价于，所以，即，因为在上是增函数，所以，解得或，所以不等式的解集为．选B． 7．（多选）设函数是上的单调函数，且，则 A． B． C． D．在上单调递增 【解析】设，则，，所以，即．因为函数在上单调递增，，所以，则，则，A正确．，B错误．，C正确．易得在上单调递增，D正确．故选：ACD． 8．（多选）给定函数，，，用表示，中的较小者，记为，则 A．的图象不可能是一条直线 B．的图象可能是一条抛物线 C．当时，的值域为 D．若关于x的不等式的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围是(4，10] 【解析】对于A，由，故总存在使得，又，所以不可能始终等于，即的图象不可能是一条直线，故A正确； 对于B，由，当，即时，得恒成立，即恒成立，故，所以的图象可能是一条抛物线，故B正确； 对于C，当时，，令，得，解得，当或时，，此时；当时，，此时，综上所述，的值域为，故C错误； 对于D，由题意，令，，时，解得，当或时，，则，当时，，此时，又时，，所以关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为1，所以，解得，所以实数的取值范围为，故D正确．故选：ABD． 9．已知函数，则该函数的单调递增区间为 ． 【解析】函数，则，解得或，函数的定义域为，函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为． 10．定义在上的函数满足，若，则满足的解集是 ． 【解析】因为函数满足，所以在上单调递减，且，所以当时，＞0，当时，＜0，所以由，得或解得． 11．已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 ． 【解析】因为，且，当时，则在单调递增，可得，则；当时，则在单调递增，在单调递减，可得，则；当时， 因为，（i）当时，可得，则；（ii）当时，可得，则；综上所述，的取值范围是． 12．求下列函数的值域： （1）； （2）(0＜x≤4)； （3）； （4）． 【解析】（1）原函数可化为，故原函数值域为[﹣4，4]； （2），因为0＜x≤4，所以﹣3＜x﹣3≤1， 所以＜或≥10，则＜或≥13， 故原函数的值域为(，)[13，)； （3）令x＋1＝t，则x＝t﹣1，， ①当t＝0，y＝0， ②当t＞0，，当且仅当t＝1取“＝”，此时0＜y≤1， ③当t＜0，，当且仅当t＝﹣1取“＝”，此时﹣1≤y＜0， 综上，原函数的值域为[﹣1，1]； （4）令≥0，则1﹣x＝t2，解得x＝1﹣t2， 则， 所以原函数的值域为(，]． 13．已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：是上的单调递减函数； （3）若对，，求实数的取值范围． 【解析】解：（1）令，可得，结合知； （2）任取，且，则， 由条件知， 所以， 所以，故是上的单调递减函数； （3）令，知，，故， 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，，即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得，综上所述，实数的取值范围是． 14．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． （1）写出函数的一个“优美区间”； （2）试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； （3）已知函数有“优美区间”，当a变化时，求出n﹣m的最大值． 【解析】（1）设函数在上单调递增，假设是它的“优美区间”， 则，解得，所以函数的一个“优美区间”为； （2）函数不存在“优美区间”，理由如下： 的定义域为，且在上单调递减， 假设存在“优美区间”，则， 所以，因为，所以无解，故不存在“优美区间”； （3），定义域为，且在上单调递增， 假设存在“优美区间”，则，整理得， 所以为二次方程的两个不相等实根， 所以判别式，解得或， 由韦达定理得， 则， 令，则，所以当时，即时，有最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $