第08讲 函数的奇偶性、周期性、对称性 讲义-2027届高三数学一轮复习（中等难题突破）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性、周期性、对称性三大核心考点，按定义性质、常见函数、题型应用的逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学环节，帮助学生突破判断、求值、参数求解等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出数学抽象与逻辑推理素养培养，如在奇偶性与单调性结合题型中，引导学生先判断奇偶性再利用单调性转化不等式，配合分层变式训练和综合题组，确保高效突破考点。为教师提供清晰复习路径，助力学生提升应考能力。

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的定义，会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性，通过函数奇偶性的判断及其应用，培养数学抽象和逻辑推理素养． 2．了解函数周期性、最小正周期的定义，会判断、应用简单函数的周期性，通过函数的周期性及其应用，培养逻辑推理素养． 3．了解函数的对称性，能判断函数的对称性，通过函数对称性的判断及其应用，培养数学运算和逻辑推理素养． 1．奇偶性 定义：若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称． 性质： （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称； （2）若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝0； （3）在关于原点对称的两个区间内，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反． （4）一般地：奇＋奇＝奇；偶＋偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇． （5）复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外． （6）既奇又偶的函数只有一个y＝0，但定义域可以有无数个． 2．常见的奇偶函数 （1）正比例函数y＝kx(k≠0)是奇函数； （2）反比例函数(k≠0，x≠0)是奇函数； （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数； （4）kZ时，是奇函数，是偶函数； （5）常数函数，当c≠0时是偶函数，当c＝0时既是奇函数又是偶函数； （6）函数是偶函数． 3．函数的周期性 （1）对定义域内任意x，存在非零常数T(T＞0)，使f(x＋T)＝f(x)成立，则T为f(x)的周期； （2）若T存在最小值，则该值为最小正周期． 4．对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则： （1）f(x＋a)＝f(x＋b)：可得f(x)为周期函数，其周期T＝|b－a|； （2）f(x＋a)＝－f(x)⇒f(x)的周期T＝2a； （3）f(x＋a)＝⇒f(x)的周期T＝2a； （4）f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a； （5）f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a． 5．函数的对称性 （1）轴对称 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．特别地，当a＝0时，f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数为偶函数．推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． （2）中心对称 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝﹣f(a－x)或f(x)＝﹣f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)中心对称．特别地，当a＝0时，f(x)＝﹣f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于原点对称，函数为奇函数．推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝﹣f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(，0)中心对称． 进一步总结：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数y＝f(x)的图象关于点对称． 6．由双对称判断周期性 （1）如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a＜b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)． （2）如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a＜b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)． （3）如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|． 7．两个函数的对称性 函数与关于直线x＝轴对称；函数y＝f(x)与y＝2b﹣f(2a﹣x)关于点(a，b)中心对称． 题型一：奇偶性的判断 例1．判断函数的奇偶性 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 例2．已知函数f(x)不恒为0，xR，若对，R，都有＋＝2，判断 f(x)的奇偶性，并说明理由． 变式训练： 1．判断函数的奇偶性 （1）； （2）； （3）； （4）． 2．（多选）已知函数满足，则 A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 3．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)·f(y)﹣f(x)﹣f(y)＋2，判断f(x)的奇偶性，并证明． 题型二：奇偶性的应用 1．已知奇偶性求函数的值 例3．已知函数(a，bR)，若，则 ． 2．已知奇偶性求函数解析式 例4．当x＞0时，． （1）若是R上的奇函数，求以及的解析式； （2）若是R上的偶函数，求以及在(，0)的解析式． 3．已知奇偶性确定参数的值 例5．（1）已知a＞0且a≠1，若函数是偶函数，则a＝ ． （2）已知函数为奇函数，则a＋b＝ ． 4．奇偶性与单调性相结合（比较大小、解函数不等式等） 例6．（1）若，则，，的大小关系为 （用“＜”连接）． （2）已知函数，其中e是自然对数的底数，若≤0，则实数a的取值范围是 ． （3）设函数，则满足的x的取值范围为 ． （4）函数是定义在R上的奇函数，，若，(0，)且，都有 ＞0，则不等式的解集为 ． 变式训练： 1．已知函数．若，，，则 A． B． C． D． 2．若定义在R上的偶函数在(，0]上单调递减，且，则满足的x的取值范围是 （结果用区间表示）． 3．若定义在上的函数同时满足①为奇函数；②；③对任意的， (0，)，且，都有，则不等式的解集为 ． 4．已知函数，则满足的实数a的取值范围是 ． 题型三：周期性及其应用 例7．（1）函数为定义在R上的奇函数，且满足，若，则＋＋ ＋……＋＝ ． （2）已知函数对于任意实数x满足条件，若，则＝ ． 变式训练： 1．已知函数是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，，当x(0，2)时，f(x)＝x2，则＝ A． B． C． D． 2．已知函数是定义在R上的奇函数，xR，恒有，且当x(0，1]时，f(x)＝1＋2x，则＋＋＋……＋＝ ． 题型四：对称性及其应用 例8．（1）已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)＜f(－7)的解集为 ． （2）下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是 A．y＝log2(2＋x) B．y＝log2(2－x) C．y＝log2(4＋x) D．y＝log2(4－x) （3）已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2， y2)，…，(x10，y10)，则(xi＋yi)＝ ． 变式训练： 1．函数的图象关于点(b，4)对称，且a≠1，则a＋b＝ ． 2．函数的图象的对称中心为 ，＝ ． 3．已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 ． 例9．（1）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是 A．2 B．3 C．4 D．5 （2）（多选）已知函数，的定义域均为R，其中的图像关于点(1，1)中心对称，的图像关于直线x＝2对称，，，则 A． B． C． D． 变式训练： 1．（多选）已知是奇函数，的图像关于直线x＝﹣1对称，则下列结论正确的是 A．是周期为4的周期函数 B．是偶函数 C．的图像关于点(﹣3，0)对称 D．f(5)＝0 2．定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数n， ． 1．已知函数是偶函数，在上是单调减函数，则 A． B． C． D． 2．已知对于任意的，都有成立，且在上单调递减，则不等式的解集为 A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则 A．1 B．0 C．-1 D．-2 4．已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为 A． B． C． D． 5．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为 A． B． C． D． 6．已知奇函数的定义域为，满足对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 7．（多选）已知函数在上单调递增，且对任意，，则 A． B． C．是奇函数 D．函数是奇函数 8．（多选）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法正确的是 A．的图象关于轴对称 B．4为的一个周期 C． D． 9．已知奇函数的周期为2，且当时，，则 ． 10．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则的解集为 ． 11．研究表明，函数g(x)＝f(x＋a)﹣b为奇函数时，函数f(x)图象关于点P(a，b)成中心对称．试分析函数图象的对称中心为 ，＝ ． 12．已知为奇函数，为偶函数，且． （1）求，的解析式； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 13．已知函数是定义在上的偶函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若，求的取值范围． 14．已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的定义，会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性，通过函数奇偶性的判断及其应用，培养数学抽象和逻辑推理素养． 2．了解函数周期性、最小正周期的定义，会判断、应用简单函数的周期性，通过函数的周期性及其应用，培养逻辑推理素养． 3．了解函数的对称性，能判断函数的对称性，通过函数对称性的判断及其应用，培养数学运算和逻辑推理素养． 1．奇偶性 定义：若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称． 性质： （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称； （2）若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝0； （3）在关于原点对称的两个区间内，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反． （4）一般地：奇＋奇＝奇；偶＋偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇． （5）复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外． （6）既奇又偶的函数只有一个y＝0，但定义域可以有无数个． 2．常见的奇偶函数 （1）正比例函数y＝kx(k≠0)是奇函数； （2）反比例函数(k≠0，x≠0)是奇函数； （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数； （4）kZ时，是奇函数，是偶函数； （5）常数函数，当c≠0时是偶函数，当c＝0时既是奇函数又是偶函数； （6）函数是偶函数． 3．函数的周期性 （1）对定义域内任意x，存在非零常数T(T＞0)，使f(x＋T)＝f(x)成立，则T为f(x)的周期； （2）若T存在最小值，则该值为最小正周期． 4．对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则： （1）f(x＋a)＝f(x＋b)：可得f(x)为周期函数，其周期T＝|b－a|； （2）f(x＋a)＝－f(x)⇒f(x)的周期T＝2a； （3）f(x＋a)＝⇒f(x)的周期T＝2a； （4）f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a； （5）f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a． 5．函数的对称性 （1）轴对称 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．特别地，当a＝0时，f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数为偶函数．推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． （2）中心对称 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝﹣f(a－x)或f(x)＝﹣f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)中心对称．特别地，当a＝0时，f(x)＝﹣f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于原点对称，函数为奇函数．推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝﹣f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(，0)中心对称． 进一步总结：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数y＝f(x)的图象关于点对称． 6．由双对称判断周期性 （1）如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a＜b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)． （2）如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a＜b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)． （3）如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|． 7．两个函数的对称性 函数与关于直线x＝轴对称；函数y＝f(x)与y＝2b﹣f(2a﹣x)关于点(a，b)中心对称． 题型一：奇偶性的判断 例1．判断函数的奇偶性 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【解析】解：（1）定义域为R，， 所以是偶函数； （2）定义域为R，，所以是偶函数； （3）定义域为R，，所以是奇函数； （4）定义域为R，， 所以是奇函数； （5）定义域为R，， 所以是奇函数； （6）定义域为[﹣1，1)，不关于原点对称，故是非奇非偶函数； （7）定义域为， 当x＞0时，﹣x＜0，则， 当x＜0时，﹣x＞0，则， 综上，当x≠0时，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； （8）定义域为{﹣1，1}，且，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 例2．已知函数f(x)不恒为0，xR，若对，R，都有＋＝2，判断 f(x)的奇偶性，并说明理由． 【解析】解：先令，得＋＝2，即2＝2，又f(x)不恒为0， 所以f(0)＝1， 再令，，得＋＝2＝2， 则f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数． 变式训练： 1．判断函数的奇偶性 （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】解：（1）定义域为R，， 所以是奇函数； （2）定义域﹣2＜x＜2，所以x﹣2＜0，x＋4＞0， ，， 所以是偶函数； （3）定义域为R，， 所以，故是奇函数； （4）定义域为R， 当x＞0，则﹣x＜0，所以， 当x＜0，则﹣x＞0，所以， 当x＝0，求得f(0)＝0，综上，f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数． 2．（多选）已知函数满足，则 A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【解析】令y＝0，则①，再令x＝0，则②，由②得或0（舍），A正确；所以，，且是偶函数，则B、D错误，C正确．故选AC． 3．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)·f(y)﹣f(x)﹣f(y)＋2，判断f(x)的奇偶性，并证明． 【解析】解：令x＝1，y＝﹣1，则，则[f(1)﹣2][f(﹣1)﹣1]＝0①， 令x＝y＝1，则，则[f(1)﹣1][f(1)﹣2]＝0②， 令x＝y＝﹣1，则③，由①、②、③解得f(1)＝f(﹣1)＝2， 令y＝﹣1得，f(﹣x)＝f(x)·f(﹣1)﹣f(x)﹣f(﹣1)＋2，则f(﹣x)＝f(x)·2﹣f(x)﹣2＋2， 则f(﹣x)＝f(x)，则f(x)是偶函数． 题型二：奇偶性的应用 1．已知奇偶性求函数的值 例3．已知函数(a，bR)，若，则 ． 【解析】令是奇函数，，又，则，所以，根据奇函数性质得，则． 2．已知奇偶性求函数解析式 例4．当x＞0时，． （1）若是R上的奇函数，求以及的解析式； （2）若是R上的偶函数，求以及在(，0)的解析式． 【解析】解：（1）f(2)＝23＋2×22＋1＝17， 因为是R上的奇函数，则， 当x＜0时，﹣x＞0，则， 综上，； （2）因为是R上的偶函数，则， 当x＜0时，﹣x＞0，则， 所以在(，0)的解析式为． 3．已知奇偶性确定参数的值 例5．（1）已知a＞0且a≠1，若函数是偶函数，则a＝ ． （2）已知函数为奇函数，则a＋b＝ ． 【解析】（1）因为函数是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则，则可得，，则，所以，因为a＞0且a≠1，故a＝． （2）2﹣x≠0且≠0，则x≠2且，则，解得，所以＝，根据，所以b＝1，故，经检验是奇函数，所以a＋b＝． 4．奇偶性与单调性相结合（比较大小、解函数不等式等） 例6．（1）若，则，，的大小关系为 （用“＜”连接）． （2）已知函数，其中e是自然对数的底数，若≤0，则实数a的取值范围是 ． （3）设函数，则满足的x的取值范围为 ． （4）函数是定义在R上的奇函数，，若，(0，)且，都有 ＞0，则不等式的解集为 ． 【解析】（1）定义域为R，，f(x)是偶函数，则＝f(3)，，当≤x≤π时，，所以在[，π]单调递减，又＜2＜3，所以＜＜，即＜＜． （2）定义域为R，，f(x)是奇函数，≥0，f(x)是R上的增函数，因为≤0，则，所以a﹣1≤﹣2a2，解得﹣1≤a≤，则实数a的取值范围是[﹣1，]． （3）定义域为，，f(x)是偶函数，当x＞0时，，所以在(0，)单调递增，在(，0)单调递减，要使，则，解得﹣1＜x＜且x≠，故不等式的解集为(﹣1，)(，)． （4）令，由，(0，)且， ＞0，则 ＞0，则g(x)在(0，)单调递增，又是定义在R上的奇函数，所以是R上的偶函数，因为g(x)在(0，)单调递增，所以g(x)在(，0)单调递减，因为，则，因为，所以，则﹣2＜x﹣3＜2，所以1＜x＜5，综上，原不等式的解集为(1，5)． 变式训练： 1．已知函数．若，，，则 A． B． C． D． 【解析】因为，所以是偶函数，因此，求导，当时：，令，则，在单调递增，，可得，故，又时，，故，所以在单调递增，对取对数得，令，求导得，当时，单调递增；当时，单调递减；因为，计算得，所以，即，因为在单调递增，所以，即． 2．若定义在R上的偶函数在(，0]上单调递减，且，则满足的x的取值范围是 （结果用区间表示）． 【解析】由题意得，，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，；当或时，，不等式等价于或，解得或，所以满足的的取值范围是． 3．若定义在上的函数同时满足①为奇函数；②；③对任意的， (0，)，且，都有，则不等式的解集为 ． 【解析】因为对任意的，且，都有，不妨设，可得，所以，所以函数是上减函数，又为奇函数，所以函数为偶函数，，则，则， ，得或，则解为，因为，则不等式的解集与不等式的解集相同，即． 4．已知函数，则满足的实数a的取值范围是 ． 【解析】因为函数，当，则，可得，可知函数为偶函数，且当时，为增函数，若，等价于，可得，整理可得，解得，所以实数的取值范围是． 题型三：周期性及其应用 例7．（1）函数为定义在R上的奇函数，且满足，若，则＋＋ ＋……＋＝ ． （2）已知函数对于任意实数x满足条件，若，则＝ ． 【解析】（1）因为为定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，因为，得＝﹣，故，即的周期为4，，，f(3)＝f(﹣1)＝﹣f(1)＝﹣5，，因此，一个周期内的和为＋＋＋＝5＋0﹣5＋0＝0，又2026＝4×506＋2，故＋＋ ＋……＋＝506×0＋＋＝5． （2）由，则，即的周期为4，因为2026＝4×506＋2，则＝＝＝＝﹣4052． 变式训练： 1．已知函数是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，，当x(0，2)时，f(x)＝x2，则＝ A． B． C． D． 【解析】因为，所以的周期为4，＝＝＝﹣＝． 2．已知函数是定义在R上的奇函数，xR，恒有，且当x(0，1]时，f(x)＝1＋2x，则＋＋＋……＋＝ ． 【解析】由x(0，1]时，f(x)＝1＋2x，则f(1)＝3，因为函数是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，由，，，所以，且的周期为4，则＋＋ ＋……＋＝506×[＋＋＋]＋＋＝506×0＋3＋0＝3． 题型四：对称性及其应用 例8．（1）已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)＜f(－7)的解集为 ． （2）下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是 A．y＝log2(2＋x) B．y＝log2(2－x) C．y＝log2(4＋x) D．y＝log2(4－x) （3）已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2， y2)，…，(x10，y10)，则(xi＋yi)＝ ． 【解析】（1）因为f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x＝－1对称．因为f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减．因为f(1－2x)＜f(－7)＝f(5)，所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3．原不等式解集为(－∞，3)． （2）设所求函数图象上的任意一点P(x，y)，点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x)．选D． （3）因为函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，即满足，所以y＝f(x)关于点(0，1)对称．又函数y＝＝1＋关于点(0，1)对称，所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)也关于点(0，1)对称，故交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)成对出现，且每一对点都关于(0，1)对称，故 (xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x10)＋(y1＋y2＋…＋y10)＝0＋×2＝10． 变式训练： 1．函数的图象关于点(b，4)对称，且a≠1，则a＋b＝ ． 【解析】已知函数的图象关于点对称，则对任意有，则 ，化简得，，解得，若，则，与题设矛盾，舍去；若，则，解得，． 2．函数的图象的对称中心为 ，＝ ． 【解析】设的图象的对称中心为，则有，即，，，解得，故函数的图象的对称中心为； 令S＝，则S＝， 2S＝＝，则S＝＝． 3．已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 ． 【解析】由函数为偶函数，可知函数关于对称，又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，由，知，作出函数的大致图象，如下：  由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为． 例9．（1）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是 A．2 B．3 C．4 D．5 （2）（多选）已知函数，的定义域均为R，其中的图像关于点(1，1)中心对称，的图像关于直线x＝2对称，，，则 A． B． C． D． 【解析】（1）因为为奇函数，所以f(x)关于点(2，0)中心对称，因为为偶函数，所以f(x)关于直线x＝1轴对称，则函数f(x)的周期＝4×(2﹣1)＝4，选C． （2）因为，所以，因为的图像关于直线x＝2对称，所以g(2＋x)＝g(2﹣x)，所以，A错误；所以f(x)是偶函数，关于y轴对称，因为f(x)的图像关于点(1，1)中心对称，因此的周期为4，则，B正确；由得，f(2025)﹣g(2027)＝4，其中f(2025)＝f(1)＝1，所以g(2027)＝﹣3，C错误；由得，f(0)﹣g(2)＝4，所以f(0)＝7，则f(4)＝f(0)＝7，又f(2)＝2﹣f(0)＝﹣5，f(3)＝f(﹣1)＝f(1)＝1，所以＋＋＋＝4，所以，D正确．综上选BD． 变式训练： 1．（多选）已知是奇函数，的图像关于直线x＝﹣1对称，则下列结论正确的是 A．是周期为4的周期函数 B．是偶函数 C．的图像关于点(﹣3，0)对称 D．f(5)＝0 【解析】因为是奇函数，所以的图像关于点(1，0)中心对称，又的图像关于直线x＝﹣1对称，所以的周期＝4×[1﹣(﹣1)]＝8，A错误；，B正确；f(﹣6﹣x)＝f(2﹣x)＝﹣f(x)，则的图像关于点(﹣3，0)对称，C正确；f(5)＝f(﹣7)＝f(1)＝0，D正确．综上，选BCD． 2．定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数n， ． 【解析】因为函数为偶函数，所以——①， 又因为，所以，即——②， 因为，所以——③， ②③代入①得，，故，即，所以，则，所以4是函数的一个周期，由，得，所以，再由②，得，且，故，， ，所以函数是偶函数，所以，且，所以，所以． 1．已知函数是偶函数，在上是单调减函数，则 A． B． C． D． 【解析】已知函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，因为在上是单调减函数，所以在上是单调递增函数，所以．故选：D． 2．已知对于任意的，都有成立，且在上单调递减，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【解析】，则关于对称，又在上单调递减，故在上单调递增，由得即，转化得，可得．故选：C． 3．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则 A．1 B．0 C．-1 D．-2 【解析】因为，，所以，则，则，则，则是的一个周期，因为当时，，所以，，则，，则，则，则，选A． 4．已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为 A． B． C． D． 【解析】∵ 要使函数有意义，则，即，解得，故函数定义域为，若函数存在对称中心，则横坐标为区间中点，接下来验证的值： ， ， ∴ ，即对任意定义域内的，都满足，故函数的图象的对称中心为，选A． 5．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为 A． B． C． D． 【解析】由，可知定义域为，又，即，则，所以，，因为在定义域内单调递增，所以在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知，在定义域内单调递增，所以函数在上单调递增，因为，正实数，满足，，若，则，不满足，所以，因为，所以可变形为，又函数在上单调递增，故，即，所以， 则，当且仅当时，取等号，即的最小值为，故选项C正确． 6．已知奇函数的定义域为，满足对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【解析】令，定义域为，对任意，由且，得，故在上单调递减，是奇函数，即，则，故是偶函数，在上单调递增，由，得，由偶函数性质，，令，即；分母，即，原不等式，当时，，即，由在单调递减，得，即，解得；当时，，即，由在单调递增，得，即，解得；解得或，所以，综上，不等式解集为．选A． 7．（多选）已知函数在上单调递增，且对任意，，则 A． B． C．是奇函数 D．函数是奇函数 【解析】令，得：得，得或，若，令，得，，解得，与单调递增矛盾，则，A正确；令x＝1，y＝﹣1，所以f(0)＝f(1)＋f(﹣1)＋ f(1)f(﹣1)，则f(1)＋f(﹣1)＋f(1)f(﹣1)＝0，故[f(1)＋1][f(﹣1)＋1]＝1，B错误；由，得，不恒等于，所以不是奇函数，C错误；对于D，令，得，所以，即，所以函数是奇函数，D正确．选AD． 8．（多选）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法正确的是 A．的图象关于轴对称 B．4为的一个周期 C． D． 【解析】对于A：因为，所以，由可得，，所以，即，即是偶函数，故的图象关于轴对称，A正确；对于B：由，可得，所以，又，所以，则，所以，即的一个周期为4，B正确；对于C：因为的周期为4，所以，由，令可得，由，令，则，又，所以，故，则，C错误； 对于D：由，令，则，即，令，则， 又是偶函数，则，所以，因，故．，D正确．选ABD． 9．已知奇函数的周期为2，且当时，，则 ． 【解析】由的周期为2，可得，由是奇函数，可得，再由的周期为2，可得，因为当时，，所以，即． 10．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则的解集为 ． 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且， 则函数在上也为减函数，且， 作出函数的草图如下图所示：由可知， 当时，则，则或， 解得或，此时，； 当时，则，则或， 解得或，此时．综上所述，不等式的解集为． 11．研究表明，函数g(x)＝f(x＋a)﹣b为奇函数时，函数f(x)图象关于点P(a，b)成中心对称．试分析函数图象的对称中心为 ，＝ ． 【解析】函数为奇函数，，，，设图象的对称中心为，，，，，，当时，，当时，，解得，检验，成立，即，故图象的对称中心为， 令S＝，则S＝， 所以2S＝＝4053×(﹣4)＝﹣16212，所以S＝﹣8106，即＝﹣8106． 12．已知为奇函数，为偶函数，且． （1）求，的解析式； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】解：（1）因为为奇函数，为偶函数，且有， 所以， 所以， 解方程组得； （2）因为，当且仅当，即时，等号成立，即， 所以对任意的恒成立，即， 则，即，解得， 所以实数的取值范围是． 13．已知函数是定义在上的偶函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若，求的取值范围． 【解析】解：（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以，因为，则， 解得，故； （2）函数在上单调递增， 证明如下：任取，且，因为， 则 由，则，即， 故函数在上单调递增； （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或， 因此，不等式的解集为． 14．已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【解析】解：（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为； （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立， 当，则当时，， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时， 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为， 综上，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $