精品解析：江苏省如皋中学2027届高三年级暑期第二阶段质量调研（二）数学试题

高三年级暑期第二阶段质量调研（二） 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，所以A错误； ，所以B错误； ，所以C正确； ，所以D错误. 2. 已知集合，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性把集合A具体化，再利用集合的交集运算法则可得答案. 【详解】由，得：， 根据对数函数的性质，底数， 所以函数在上单调递增， 所以， 因此，集合； 由，可得：； 所以，. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知，则， 故. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 5. 函数图象的大致形状为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性以及在上的函数值符号，可得出合适的选项. 【详解】，该函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，排除C，D， 当时，，，，此时，排除B， 因此，函数图象的大致形状是A选项中的函数图象. 6. 已知，均为正实数，且，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式结合对数与指数的运算性质逐一分析即可得出答案. 【详解】对于A，，∴，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C错误： 对于D， ， 当且仅当时等号成立，故D正确． 所以不正确的选C. 7. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 8. 已知函数，则方程的解的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程，解得或5，作出，和的图象，根据交点个数，即可得答案. 【详解】有，得，解得或5， 当时，单调递减， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 令，解得或5， 所以当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 作出，和的图象，如下图所示： 由图象可得直线与的图象有4个交点， 直线与的图象有2个交点，共有6个交点， 所以方程解的个数为6. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用分数指数幂的运算即可判断A；利用完全平方公式计算即可判断B；利用换底公式计算即可判断C；根据对数的运算法则计算即可判断D． 【详解】对于A，由，则，即，所以，故A正确； 对于B，由，则，所以，故B错误； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D正确． 10. 已知是复数，且为纯虚数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在实轴上 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先设，，代入化简，根据为纯虚数得出；再根据向量模的计算方法可判断选项A，根据共轭复数和复数乘法运算可判断选项B；根据复数的几何意义可判断选项C和D. 【详解】设，. 则. 因为为纯虚数， 所以，即. 所以，，故选项A正确，选项B正确. 因为复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点均不在实轴上，故选项C错误； 因为的几何意义为表示点到点， 所以最大值为，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 若定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ） A. 图象关于轴对称 B. 为奇函数 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可. 【详解】因为定义在上的函数的图象关于点成中心对称， 所以， 又是偶函数，所以，且函数的图象关于轴对称， 即， 即， 对于A项，由上不能得出图象关于轴对称， 只能得出关于中心对称，故A错误； 对于B项，易知，所以为奇函数，故B正确； 对于C项，由上只能得出的一个周期为，故C错误； 对于D项，由上易知，， 所以，故D正确； 故选：BD 【点睛】方法点睛：利用抽象函数的性质结合赋值法或者取特殊函数模型都是处理此类问题的方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合幂函数在上的单调递减性质筛选出符合条件的. 【详解】  根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有：  ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 13. 已知随机变量服从正态分布，且，则的展开式中的系数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求，结合二项式定理展开式的通项公式求展开式中的系数. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，故， 则展开式的通项， 令，得， 所以的展开式中的系数的值为. 14. 已知函数.若有四个不同实根，，，且满足，则________，的取值范围为________ 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】①通过画出函数图像确认各个实根的位置后将代入到对数函数求解.②通过韦达定理表示出后求解范围. 【详解】①因为，所以可大致画出该图像， 且点坐标为，由此可知，时才能取到四个不同的实根， 且位于内，位于上. 可知，解得， 同理，解得，所以. ②由韦达定理可知，，， 所以， 因为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的单调性可得，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以，即，即，，则，解得，因为，所以. 当时，，由，得，解得，即的定义域为，，满足题意. 综上，； 【小问2详解】 因为，使得，所以，由（1）知，. 由为上的单调递增函数，为单调递增函数，所以在上单调递增，故. ，当时，， 所以，由题意得，即，解得，即实数的取值范围为. 16. 甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题.答题者若答对则得1分，答错则对方得1分.当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜.已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为. （1）记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望； （2）求甲在这次竞赛中获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析总分各取值，求其概率并列出分布列，进而按期望公式求出期望. （2）利用全概率公式，根据第一轮后甲得分三种情形进行递归分解，其中时比赛状态重置，时甲失败、时甲获胜，从而建立关于获胜概率的方程并求解. 【小问1详解】 第一轮答题后甲的总分X可取， ，，， X的分布列为 . 【小问2详解】 记D="甲在这次竞赛中获胜"，因为甲获胜至少经过一轮答题，由（1）知， 一轮回答后有三种情形，由全概率公式得： ， 是指一轮答题后甲得0分的条件下甲获胜的概率，为0（乙获胜，比赛结束）； 是指一轮答题后甲得1分的条件下甲获胜的概率为； 是指一轮答题后甲得2分的条件下甲获胜的概率为1； 所以 解得 ， 所以甲在这次竞赛中获胜的概率. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，，平面，所以平面． （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得，，故， 设，以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立坐标系， ，，，，， 设，，， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则： ， 解得，故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，对其求导，结合导数几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解； （3）结合导数与单调性关系及有解条件即可求解. 【小问1详解】 当 时，， ， ，， 因此切线过点 且斜率为0，即切线方程为 . 【小问2详解】 ，， 令，则或， 当，即时，，因此 在 上单调递增； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】  ，即，即， 所以 在上有解， 令 ，则  ， 令 ，则， 所以  在 单调递增且 ， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增； 可得 的最小值为 ，因此只要 ，就存在 使得在上有解； 故的取值范围为. 19. 指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间的平均变化率随的增大而增大.已知实数、，满足. （1）比较和的大小； （2）当时， （i）证明：； （ii）判断的符号. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，分、两种情况讨论，结合对数函数的单调性得出，即可得出和的大小； （2）（i）由已知可得， 方法一：讨论与的大小，结合对数函数的单调性分析即可； 方法二：设，则，分析可知函数在上为增函数，再构造函数，分析该函数的单调性，结合零点存在定理可知在存在唯一的零点，可得出，即可得出，即可证得结论成立； 方法三：等式两边除以可得，即，构造，分析函数在上的单调性，可得出，由（1）可知、，进而得出； （ii）由题意得出，只需比较与、的大小，构造函数，则，利用零点存在定理可得出，再由指数函数在区间上的平均变化率，随的增大而增大，可得出，化简得出关于的不等式，解得，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意得：，，则，所以， 当时，则在定义域内单调递减，解得，所以； 当时，则在定义域内单调递增，解得，所以. 综上所述，，即，即. 【小问2详解】 （i）当时，则， （方法一）①假设，则，即， 由，且，所以，则， 所以，与已知矛盾，故假设不成立； ②假设，则，即， 由，且＞0，所以，则， 所以，与已知矛盾，假设不成立； ③当，则，可得，符合题意； 由①②③可得：. （方法二）设，则是的零点， 对、，且，因为在单调递增， 则，，， 可得，，即， 故在单调递增，所以函数有唯一的零点， 设，对、，且， 因为都在单调递增，则，， 可得，即，故在单调递增， 且，， 故函数零点存在性定理知在存在唯一的零点， 则满足，即，可得，即， 故，即， 所以的零点即为的零点，所以，即. （方法三）等式两边除以可得， 变形得：， 构造，对、，且， 因为、都在单调递增，则，， 可得，即， 故在上单调递增，且， 由（1）可知：当时，则，所以，，所以. （ii）， 由（1）可知，故只需比较与、的大小， 设，对、，且， 因为、都在单调递增，则，， 可得，即，故在单调递增， 因为，且，即，所以， 由（i）得，则，故； 由指数函数在区间上的平均变化率，随的增大而增大， 所以指数函数在区间上的平均变化率小于在区间上的平均变化率， 即，化简得，所以， 解得或（舍去）， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级暑期第二阶段质量调研（二） 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数图象的大致形状为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，均为正实数，且，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则方程的解的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 10. 已知是复数，且为纯虚数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在实轴上 D. 的最大值为 11. 若定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ） A. 图象关于轴对称 B. 为奇函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 13. 已知随机变量服从正态分布，且，则的展开式中的系数的值为______． 14. 已知函数.若有四个不同实根，，，且满足，则________，的取值范围为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，，使得，求实数的取值范围. 16. 甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题.答题者若答对则得1分，答错则对方得1分.当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜.已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为. （1）记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望； （2）求甲在这次竞赛中获胜的概率. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若在上有解，求实数的取值范围． 19. 指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间的平均变化率随的增大而增大.已知实数、，满足. （1）比较和的大小； （2）当时， （i）证明：； （ii）判断的符号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $