21.5 第3课时 反比例函数的应用（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的实际应用，通过“湿地压强问题”等生活实例导入，衔接反比例函数定义、图象与性质的旧知，以核心知识梳理（原理、模型分类、解题步骤）搭建学习支架，引导学生从实际情境抽象函数模型。 其亮点在于结合工程、几何、经济等三类现实问题，通过典例精析与分层练习，培养学生的抽象能力、模型意识和应用意识，如用“圆柱形储存室底面积与深度关系”实例强化建模思维，易错点总结助力精准掌握。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助结构化资料高效开展教学。

21.5 第3课时 反比例函数的应用专项练习 【核心知识梳理】 本节课是沪科版九年级上册反比例函数章节的收尾课时，重点学习反比例函数在实际生活中的应用。在掌握反比例函数定义、图象与性质的基础上，将生活中的反比例变化关系抽象为函数模型，利用反比例函数的图象和性质解决实际问题，是中考应用题高频考点，核心考查数形结合与数学建模思想。 反比例函数应用的核心原理：在实际问题中，若两个变量的乘积为固定不变的常量，那么这两个变量就成反比例关系，可建立反比例函数模型 $$y=\dfrac{k}{x}(k≠0，x>0，y>0)$$。实际应用中，自变量和函数值均代表实际数量，因此取值范围恒为正数，图象仅为双曲线在第一象限的一支，无需考虑其他象限。 常见实际应用模型分为三类：一是工程与行程问题，工作总量、路程为定值，工作效率与工作时间、速度与时间成反比例；二是几何面积、体积问题，图形面积、几何体体积固定，边长、高、底等变量成反比例；三是生活经济问题，总费用、总数量固定，单价与数量、单量与份数成反比例。 标准解题步骤：第一步，分析题意，确定定值变量，判断两个变化量成反比例关系；第二步，设出反比例函数解析式 $$y=\dfrac{k}{x}$$；第三步，代入已知一组对应数值，求出比例系数 $$k$$；第四步，确定自变量实际取值范围；第五步，利用解析式求值、分析变化规律、解决最值与范围问题。 【基础专项练习题】 1. 填空题：已知路程一定，汽车行驶速度 $$v$$（km/h）与行驶时间 $$t$$（h）成反比例，若路程为120km，则 $$v$$ 与 $$t$$ 的函数解析式为________。 2. 填空题：矩形面积固定为48，设矩形长为 $$x$$，宽为 $$y$$，则 $$y$$ 关于 $$x$$ 的函数关系式为________，当长 $$x=8$$ 时，宽 $$y=$$________。 3. 选择题：下列实际问题中，两个变量成反比例函数关系的是（） A. 正方形周长与边长 B. 单价固定，总价与数量 C. 总工作量固定，工作效率与时间 D. 圆的面积与半径 4. 选择题：已知一定质量的气体，压强 $$p$$ 与体积 $$V$$ 成反比例，当 $$V=5$$ 时，$$p=20$$，则 $$k$$ 的值为（） A. 4 B. 25 C. 100 D. 0.25 【提升专项练习题】 5. 解答题：一项工程，总工作量固定，甲团队完成工程的工作效率 $$y$$ 与工作时间 $$x$$ 成反比例。已知工作时间为10天时，工作效率为8。（1）求 $$y$$ 与 $$x$$ 的函数解析式；（2）若要求5天内完成工程，求每天的工作效率至少为多少？ 6. 解答题：某商店采购一批货物，总采购费用固定，货物单价 $$x$$（元）与采购数量 $$y$$（件）成反比例。已知单价为40元时，可采购30件。（1）求函数解析式；（2）若单价上调至60元，可采购多少件货物？ 【参考答案与详细解析】 1. 答案：$$v=\dfrac{120}{t}(t>0)$$。解析：路程=速度×时间，定值120，故 $$v=\dfrac{120}{t}$$，时间为正数，$$t>0$$。 2. 答案：$$y=\dfrac{48}{x}(x>0)$$；6。解析：矩形面积 $$xy=48$$，变形得解析式，代入 $$x=8$$，解得 $$y=6$$。 3. 答案：C。解析：A、B为正比例函数关系，D为二次函数关系，只有C选项，总工作量固定时，效率与时间成反比例关系。 4. 答案：C。解析：设 $$p=\dfrac{k}{V}$$，代入 $$V=5，p=20$$，得 $$k=pV=100$$。 5. 解析：（1）设解析式 $$y=\dfrac{k}{x}$$，代入 $$x=10，y=8$$，解得 $$k=80$$，解析式为 $$y=\dfrac{80}{x}(x>0)$$；（2）当 $$x=5$$ 时，$$y=16$$，即每天工作效率至少为16。 6. 解析：（1）设 $$y=\dfrac{k}{x}$$，代入 $$x=40，y=30$$，得 $$k=1200$$，解析式为 $$y=\dfrac{1200}{x}(x>0)$$；（2）将 $$x=60$$ 代入，得 $$y=20$$，可采购20件货物。 【易错点总结】本节高频易错点：一是混淆正比例与反比例关系，无法判断定值变量；二是忽略实际问题自变量取值范围，未标注 $$x>0$$；三是求 $$k$$ 时代入数值计算失误；四是曲解题意，无法根据实际要求求解最值、限定数值。解题核心是找准固定总量，明确两个变量的反向变化关系，结合实际意义建模求解，杜绝纯理论函数计算脱离实际的问题。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.5 第3课时 反比例函数的应用 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 反比例函数在实际生活中的应用 引例：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合计 600 N， 那么： (1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例 函数吗？为什么？ 1 2 解：由 p＝ ，得 p＝ p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，就有唯一的一个 p 值和它相对应，这符合反比例函数的定义． (2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？ 解：当 S＝0.2 m2 时，p＝ ＝3000 (Pa) ． 答：当木板面积为 0.2 m2 时，压强是 3000 Pa． (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象． 解：图象如右. (3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？ 解：当 p≤6000 Pa 时，S≥0.1 m2. 0.1 0.5 O 0.6 0.3 0.2 0.4 1000 3000 4000 2000 5000 6000 p/Pa S/ 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 104 m3 的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于 d 的函数关系式为 典例精析 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 答：如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时 应向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)? 解得 S≈666.67. 答：当储存室的深度为 15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 想一想： 名师点金 用反比例函数解决实际问题的步骤 1.审清题意，找出问题中的常量、变量（有时常量、变量以 图象的形式给出），并且厘清常量与变量之间的关系； 2.根据常量与变量之间的关系，设出反比例函数的表达式； 3.利用待定系数法确定函数表达式，并注意自变量的取值范 围； 4.利用反比例函数的图象与性质解决实际问题. . . . . 举一反三 9 知识点1 利用反比例函数解实际问题 1. 甲、乙两地相距 ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则 汽车行驶时间（单位：）关于行驶速度（单位： ） 的函数表达式是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 2. 某市举行中学生党史知 识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、 丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率 （该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比 C A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 值）与该校参加竞赛人数 的情况，其中描述乙、丁两所学 校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学 校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是( ) 返回 举一反三 11 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用图象可表示为 ( ) B A x y O B x y O C x y O D x y O 练一练 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为 1 升 (1升＝1 dm3) 的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位：dm) 有怎样的函数关系？ d 解：有反比例函数关系 (2) 如果漏斗的深为 10 cm，那么漏斗口的面积为多少 dm2？ 解：10 cm = 1 dm， 把 d = 1 代入解析式，得 S = 3. 所以漏斗口的面积为 3 dm2. (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，那么漏斗的深为多少? 解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S = 0.6 代入解析式，得 d = 5. 所以漏斗的深为 5 dm. 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 v (单位： 吨/天) 与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函数表达式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k = 30×8 = 240， 所以 v 关于 t 的函数表达式为 (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t = 5 代入 ，得 3. 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． (1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： 练一练 (2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解：x = 12×5 = 60，代入函数解析式得 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完. (3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了 8 天后剩余的垃圾有 1200－8×60 = 720 (m3)， 剩下的任务要在不超过 6 天的时间完成，则每天 至少运 720÷6 =120 (m3)， 所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)， 即至少需要增加拖拉机 10－5 = 5 (辆). 例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80 千米/时的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80×6 = 480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt = 480， 整理得 (t ＞0). 例 某药物研究所开发一种新药，经多年动物实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度 у μg/mL 与服药时间 x h 之间的函数关系如图所示(当 0≤x＜4 时，у 与 x 成正比例；当 4≤x≤10 时，y 与 x 成反比例). 解 (1) ①当 0≤x＜4 时，设正比例函数表达式为 у = ax. 函数图象经过点 (4，8)，代入上式，得 8 = 4a， 解方程，得 a = 2. 故正比例函数表达式为 y = 2x. ②当 4≤x≤10 时，设反比例函数表达式为 . 函数图象经过点(4，8)，代入上式，得 解方程，得 k = 32. 综上所述，血液中药物浓度 y 与服药时间 x 之间的函数表达式为 故反比例函数表达式为 y = 2x，0≤x＜4， ，4≤x≤10 知识点2 利用反比例函数解表格信息问题 3. 调查显示,某商场一款运动鞋的销售量（双）是售价 （元/双）的反比例函数,调查获得的部分数据如下表. 售价 （元/双） 200 240 250 400 销售量 双 30 25 24 15 已知该款运动鞋的进价为180元/双,要使该款运动鞋每天的销 售利润达到2 400元,则其售价应定为_____元/双. 300 举一反三 23 【点拨】由表中数据得， . 由题意得，把 代入，得 ，解得.经检验， 是 原方程的根，故该款运动鞋的售价应定为300元/双. 返回 举一反三 24 知识点3 利用反比例函数解跨学科问题 4. [2025长春] 在功 一定的条件下，功率 与做功时间成反比例，与 之 间的函数关系如图所示.当时， 的 值可以为( ) C A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 举一反三 25 【点拨】由题意设关于 的函数表达式为 ,代入点的坐标,得 , 解得,关于 的函数表达式为 ,当时,；当 时, , 在第一象限内,随着 的 增大而减小. 的值可以为45. 返回 举一反三 26 5. 如图，取一根长为 的匀质木杆，用细绳绑 在木杆的中点处并将其吊起来，在中点 的左侧距离中点 处挂一个重 的物体， 在中点 的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态， 弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数 （单位：）满足,以的数值为横坐标， 的数值 为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于 的函数图象大致是 ( ) B 返回 举一反三 27 易错点 忽视自变量的实际意义而出错 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系 . 下列反映电流与电阻 之间函数关系的图象大致是( ) D A. B. C. D. 举一反三 28 此题易因忽略, 的范围而误选C.在实际应用题中判 断函数图象时,要考虑自变量的取值范围. 返回 举一反三 29 7. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升 ，加 热到即停止加热，水温开始下降，此时水温 与通 电时间成反比例关系.当水温降至 时，饮水机再 自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间 之 间的关系如图所示，则下列说法中正确的是 ( ) D （第7题） A. 水温从升高到，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 早晨8点接通电源从 开始加热，可以保证 当天上午9:30喝到不超过 的水 D. 在单次加热—降温的过程中，水温不低于 的时间为 举一反三 30 （第7题） 【点拨】A. 开机加热时水温每分钟上升 , 水温从升高到 ,需要的时间为 ,故A选项不符合题意.B.由题意 可得点 在反比例函数的图象上，设反比 例函数的表达式为,将点 的坐标代入，可 得, 水温下降过程中，与的函数关系式是 , 举一反三 31 故B选项不符合题意. C.令,则 , ,即饮水机每经过,要重新从 开始加热一次.从8点至9点30分，经过的时间为 , ,而水温加热到 ,需要的时间为 ,故9点30分时，饮水 机第三次从开始加热了.令 ,则 ,即9点30分时，饮水机的水 （第7题） 举一反三 温为,故C选项不符合题意.D.水温从 升 高到所需要的时间为 .令 ,则,解得 , 水温不低于的时间为 , 故D选项符合题意.故选D. （第7题） 返回 举一反三 （第8题） 8. 如图是一次药物临床试验中受试者服 药后血液中的药物浓度 （微克/毫升）与用 药的时间 （小时）变化的图象.第一次服药 后对应的图象由线段 和部分双曲线 组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高， 16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段 和部 分双曲线组成，其中与 平行.血液中的 药物浓度不低于5微克/毫升时有疗效．#1 举一反三 34 （1）受试者第16小时血液中的药物浓度为___微克/毫升，第 22小时血液中的药物浓度为____微克/毫升. 3 11 （第8题） 举一反三 35 （第8题） 【点拨】把点的坐标代入双曲线 的表达式得, 双曲线 的函 数表达式为,当时， , 即第16小时血液中的药物浓度为3微克/毫升.设直线 的表达 式为,把点的坐标代入,得. 与 举一反三 36 平行， 设直线 的表达式为 ,把点 的坐标代入，得 , 直线 的函数表达式为 .当时， ,即第22 小时血液中的药物浓度为11微克/毫升. （第8题） 举一反三 （第8题） （2）受试者第一次服药后第二次服药前 这16小时内，有疗效的持续时间______ 达到6小时（填“能”或“不能”）. 不能 当时，若,则 ,解得 ,当时，若,则,解得 , （小时）小时， 这16小时内药物 有疗效的持续时间不能达到6小时. 举一反三 38 （第8题） （3）若血液中的药物浓度不高于4微克/毫 升时才能进行第三次服药，则受试者第二 次服药后至少经过____小时可进行第三次 服药. 48 把点的坐标代入,得, 双曲线 的函数表达式为,当时， , （小时）， 受试者第二次服药后至少经过48 小时，才能进行第三次服药. 返回 举一反三 39 实际问题中的反比例函数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $