21.5 第2课时 反比例函数的图象和性质(2)（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象和性质进阶内容，涵盖对称性、k的几何意义、图象比较及与一次函数综合，通过复习基础象限与增减性导入，构建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以几何直观呈现k的面积不变性，通过推理意识推导对称点特征，结合合作探究、典例精析及易错点总结，培养学生数学思维与应用意识，助力教师高效教学，提升学生解题能力。

21.5 第2课时 反比例函数的图象和性质(2)专项练习 【核心知识梳理】 本课时是反比例函数图象与性质的进阶内容，在基础象限、增减性之上，重点讲解反比例函数图象的对称性、k的几何意义、图象综合比较三大核心考点，是沪科版九年级上册高频重难点，也是中考选择、填空压轴常考题型。本节课知识点灵活性强，侧重数形结合计算与规律应用，是反比例函数综合题的解题基础。 一、反比例函数图象的双重对称性。反比例函数$$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$$ 的双曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形。中心对称：对称中心为坐标原点，若点 $$(x,y)$$ 在图象上，则点$$(-x,-y)$$ 也在图象上。轴对称：有两条对称轴，分别为直线 $$y=x$$ 和直线 $$y=-x$$，若点 $$(x,y)$$ 在图象上，则 $$(y,x)$$、$$(-y,-x)$$ 也在图象上。 二、比例系数k的几何意义（本节核心）。过双曲线上任意一点，分别作x轴、y轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积恒等于 $$|k|$$；连接该点与原点，所得直角三角形的面积恒等于 $$\dfrac{1}{2}|k|$$。无论动点在双曲线哪一支上运动，矩形、三角形面积始终不变，这是反比例函数独有的定值规律，常用于面积求值、求参数k。 三、图象进阶性质与函数值比较。|k|的大小决定双曲线的舒展程度：|k|越大，双曲线离坐标轴越远，图象越开阔；|k|越小，双曲线越靠近坐标轴。同时熟练掌握跨象限、同象限多点函数值比较技巧，结合正负性与增减性综合判断，解决复杂比较大小题型。 【基础专项练习题】 1. 填空题：已知点 $$(2,-3)$$ 在反比例函数 $$y=\dfrac{k}{x}$$ 图象上，则该点关于原点的对称点坐标为________，且该对称点________（填“在”或“不在”）双曲线上。 2. 填空题：过反比例函数 $$y=\dfrac{6}{x}$$ 图象上任意一点作两坐标轴的垂线，围成矩形面积为________，直角三角形面积为________。 3. 选择题：下列关于反比例函数图象对称性说法正确的是（） A. 仅关于x轴对称 B. 仅关于y轴对称 C. 关于原点中心对称 D. 无对称性 4. 选择题：若双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为9，则k的值为（） A. 9 B. -9 C. ±9 D. 无法确定 【提升专项练习题】 5. 解答题：已知反比例函数 $$y=\dfrac{k}{x}$$ 的图象经过点 $$(-4,2)$$。（1）求k的值；（2）求图象上任意一点与坐标轴围成的直角三角形面积；（3）写出该图象的对称点特征。 6. 解答题：已知反比例函数 $$y=\dfrac{k}{x}$$，图象上一点P作x轴、y轴垂线，所得矩形面积为16，且图象在二、四象限。（1）求函数解析式；（2）若点 $$P(a,4)$$ 在图象上，求a的值。 【参考答案与详细解析】 1. 答案：$$(-2,3)$$；在。解析：反比例函数图象关于原点中心对称，图象上点的中心对称点仍在双曲线上。 2. 答案：6；3。解析：由k的几何意义，矩形面积 $$|k|=6$$，直角三角形面积 $$\dfrac{1}{2}|k|=3$$。 3. 答案：C。解析：反比例函数双曲线关于原点中心对称，关于直线 $$y=x、y=-x$$ 轴对称，不关于坐标轴对称。 4. 答案：C。解析：矩形面积为 $$|k|=9$$，k可正可负，故 $$k=±9$$。 5. 解析：（1）将 $$(-4,2)$$ 代入解析式，得 $$k=-8$$；（2）三角形面积 $$S=\dfrac{1}{2}|-8|=4$$；（3）若点 $$(x,y)$$ 在图象上，则 $$(-x,-y)$$、$$(y,x)$$、$$(-y,-x)$$ 均在图象上。 6. 解析：（1）矩形面积$$|k|=16$$，图象在二、四象限则 $$k<0$$，故 $$k=-16$$，解析式为 $$y=-\dfrac{16}{x}$$；（2）将 $$y=4$$ 代入，解得 $$a=-4$$。 【易错点总结】本节高频易错点：一是运用k的几何意义时忽略绝对值，直接将面积当作k值，遗漏负k情况；二是混淆反比例函数对称类型，误判关于坐标轴对称；三是不理解“面积定值”，误以为动点位置改变面积会变化；四是结合象限求参数时，忘记根据象限判定k的正负。解题核心：面积看绝对值，象限定正负，对称抓原点和直线y=±x，熟练运用数形结合可快速解题。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.5 第2课时 反比例函数的图象和性质(2) 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 反比例函数的图象和性质的运用 1 (1) 如果这个函数图象经过点 (-3，5)，求 k 的值； 例1 已知反比例函数 解：(1) 因为函数图象经过点 (-3，5)，代入函数的表达式，得 . 解得 k = -7. 探究新知 (2) 根据题意，有 2k - 1＞0. 解得 k＞ (2) 如果当 x > 0 或 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的范围. 例1 已知反比例函数 探究新知 (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 【练一练】1. 如图是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数图象位于第一、三象限，所以 m－5＞0，解得 m＞5. 探究新知 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5＞0，所以在这个函数图象的每一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当 x1＞x2 时， y1＜y2. 探究新知 名师点金 反比例函数的函数值大小比较的方法 1.代入法，若已知点的横坐标及函数表达式，可先直接代入 求函数值，再比较. 2.图象法，可画草图，利用数形结合的思想直接观察，比较 函数值的大小. 3.性质法，若点在同一支曲线上，直接利用函数的增减性比 较；若点不在同一支曲线上，则应结合图象判断函数值的正 负，再比较.#1.1.3 . . . . . . . . 举一反三 6 知识点1 反比例函数图象的对称性 1. 已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于，两点，若点 的坐标是 ，则点 的坐标是_________. 返回 举一反三 7 2. 如图，将反比例函数 的图象向右平移1个单位，可以 得到函数的图象．下列关于函数 的说法中， 错误的是( ) （第2题） A. 该函数图象关于点 对称 B. 该函数图象关于直线 对称 C. 若点 在该函数图象上，则点 也在该函数图象上 D. 两个分支关于 轴成轴对称 D 返回 举一反三 8 反比例函数解析式中 k 的几何意义 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，并填写下页表格： 【合作探究】 2 探究新知 5 1 2 3 4 -1 5 x y O P S1 S2 P (2，2)，Q (4，1) S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = k -5 -4 -3 -2 1 4 3 2 -3 -2 -4 -5 -1 Q 探究新知 S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 的图象 上也用同样的方法取 P，Q 两 点，并分别向两坐标轴引垂线， 围成面积为 S1，S2 的矩形，填写表格： 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = -k y x O P Q S1 S2 探究新知 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 (k ≠ 0) 图象上的任意一点，作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，点 O 为坐标原点，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP = | k |. 探究新知 y x O P S 我们就 k＜0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b). A B ∵ 点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab = k. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k. 若点 P 在第二象限，则 a＜0，b＞0. 若点 P 在第四象限，则 a＞0，b＜0. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a·(-b) = -ab = -k. B P A 综上可知， S矩形 AOBP = |k|. 自己尝试证明 k ＞ 0的情况. k＞0 的情况请同学们自行证明！ 探究新知 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA ⊥y 轴于点 A，作 QB ⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = . 推论：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = . 对于反比例函数 (k ≠ 0)， A B | k | y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 Q 探究新知 A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，SB，SC，则 ( ) A. SA＞SB＞SC B. SA＜SB＜SC C. SA = SB = SC D. SA＜SC＜SB 2. 如图，在函数 (x＞0) 的图象上有三点 y x O A B C C 【练一练】 探究新知 3. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . -12 提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0. y x O P A 探究新知 4. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 探究新知 的任意两点，过 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD，垂足为 D，连接 OC 交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积 为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小 关系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是 S3 S2. 例2 如图，P，C 是函数 (x＞0) 图象上 【典例精析】 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 探究新知 5.如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点， 【练一练】 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3 的大小关系为 S1 = S2 ＜ S3 F S1 S2 S3 P是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1，△BOD 的面积 S2，△POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 ＜ S3 探究新知 反比例函数与一次函数的综合 在同一坐标系中，函数 　　和 y = k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 【合作探究】 ① x y O x y O ② 3 探究新知 k2 < 0 b < 0 k1 < 0 k2 < 0 b > 0 ③ x y O k1 > 0 ④ x y O 探究新知 例3 函数 y = kx－k 与 (k ≠ 0)的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 k＞0 由一次函数与 y 轴交点知－k＞0，则k＜0 x 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 探究新知 6. 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( ) A. y x O B. y x O C. y x O D. y x O B a＞0， a＜0，矛盾 a＞0 a＞0，成立 不满足与 y 轴交点为（0，1） a＜0， a＞0，矛盾 练一练 探究新知 例4 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，故点 P (－3，4) 同时在这两个函数图象上， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式. 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y = k1x 和 . 所以 ， . 解得 ， . 探究新知 P 则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示. 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？ 想一想： 探究新知 例5 正比例函数 y = kx 与反比例函数 的图象都经过点 A(m，2). (1) 求 k，m 的值； 解 (1) 将点 A 的坐标 (m，2) 代人反比例函数，得 解方程，得 m = 3. 将点 A 的坐标 (3，2) 代人正比例函数，得 2 = 3k. 解方程，得 探究新知 (2) 在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 y = kx 和反比例函数 的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时 x 的取值范围. 如图，由图象可知，这两个函数的图象有两个交点，交点坐标分别是 (3，2) 和 (-3，-2). 所以当正比例函数值大于反比例函数值时，x 的取值范围为 x > 3 或 -3< x < 0. 你能用代数的方法得到这两 个函数图象的交点坐标吗？ 探究新知 由 (1) 得，正比例函数解析式为 联立 解得 或 x = 3， y = 2， x = -3， y = -2. 交点坐标分别是 (3，2) 和 (-3，-2). 探究新知 例6 如图是一次函数 y1= kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x 0 －2< x <0 或 x >3 解析：y1＞y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3. 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加清晰明了. 探究新知 知识点2 反比例函数中 的几何意义 （第3题） 3. 如图，这是反比例函数 的图象，点 是反比例函数图象上任意一点，过 点作轴于点,连接,则 的 面积是( ) B A. 1 B. C. 2 D. 举一反三 30 模型特征：过双曲线 上任意一点，向坐标轴 作垂线，以该点、垂足和另一坐标轴上任意一点为顶点的三 角形的面积为常数 . 模型图示： 返回 举一反三 31 （第4题） 4. 如图，过函数的图象上点 ， 分别作轴、轴的平行线交函数 的图象 于，两点，以，为邻边的矩形 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 C A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 ，，，，若，则 的值为( ) 举一反三 32 （第4题） 【点拨】设.在中，令 ，得 ；令，得 ， ，.， ).易知 ， . ，，解得 ，故选C. 返回 举一反三 33 （第5题） 5. [2025淄博] 如图，为矩形 （边，分别在， 轴的正半轴上）对 角线上的点，且，经过点 的反 比例函数的图象分别与， 相交于 D A. 25 B. 26 C. D. 点，，连接，，，若 的面积是24，则 的面积为( ) 举一反三 34 （第5题） 【点拨】设点的坐标为，点 的坐标为 ，则点的坐标为，点 的坐标为 . 又 点在反比例函数 的图象上， 举一反三 35 .又 点， 在反比例函数的图象上， 点的坐标为，点的坐标为 . ， ， （第5题） 举一反三 解得 . （第5题） 返回 举一反三 易错点 已知图形面积求反比例函数中比例系数 的值时， 易忽视图象的位置 （第6题） 6. 如图，在平面直角坐标系中， 是坐标 原点，点是反比例函数 图 象上的一点，过点分别作 轴于点 ，轴于点，若四边形 的 面积为2，则 的值是____. 返回 举一反三 38 7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 是边长为2 的正方形，点，在坐标轴上，反比例函数 的 图象经过点 . 举一反三 39 （1）该反比例函数的表达式为_________ _________； 【点拨】 四边形 是边长为2的正方 形，点，在坐标轴上， 反比 例函数的图象经过点, 该反 比例函数的表达式为 . 举一反三 40 （2）点在反比例函数图象上，且横坐标大于2， , 则直线 的函数表达式为_____________. 举一反三 41 作轴于点, 轴， .设 ,则, . ,， ，即 举一反三 42 ,整理得 ,解得或 （舍去）..设直线 的函数表达式为 ,把点, 的坐标代入，得 解得 直线的函数表达式为 . 返回 举一反三 8. [2025自贡] 如图，正比例函数 与反比例函数 的图象在第二象限交于 点，点是线段 上异于端点的一 点，过点作 轴的垂线.交反比例函数的图象 于点 . 举一反三 44 （1）求 的值； 【解】 点在反比例函数 的图 象上， ，即 , 将的坐标代入中，得 ， 解得 . 举一反三 45 （2）若，求点 坐标； 在直线上，设 , 过点作 轴的垂线，交反比例函数的图象于 点 . , , , 解得或 （不符合题意，舍去）， . 举一反三 46 （3）双曲线关于轴对称的图象为 ，直接写出射线 绕点旋转 后与 的交点坐标. 射线绕点旋转 后与的交点坐标为或 . 举一反三 47 【点拨】 双曲线关于 轴对称的图 象为, , 如图，由旋转可得 , , 过作轴于，过作轴于 , , , 举一反三 48 , , . , , , , 当时， , 在 的图象上. 由反比例函数的图象是中心对称图形可得 , 射线绕点旋转 后与 的交点坐标 为或 . 返回 举一反三 9. [2025内江] 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与一次函数的图象相交于 ， 两点. （1）求反比例函数和一次函数的表达式； 举一反三 50 【解】 反比例函数的图象过点 , . 故反比例函数的表达式为 . 把点的坐标代入,得, ,解得 , 点的坐标为 . 举一反三 51 一次函数的图象经过, 两点, 解得 故一次函数的表达式为 . 举一反三 （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于 的不等 式 的解集； . 举一反三 53 （3）过直线上的点作 轴，交反比例函数的图象于 点.若点的横坐标为，求 的面积. 举一反三 54 点的横坐标为,代入 ,解得 , .当时,代入,得 , 如图,过点,分别作轴的垂线,垂足分别为,, , , ,, , , 解得, , 举一反三 55 , . 举一反三 面积问题 →面积不变性 与一次函数的综合 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 反比例函数的图象和性质的综合运用 课堂小结 谢谢观看 THANKS $