21.4 第3课时 二次函数应用中的其他问题（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数应用中的利润最值、行程等实际问题，以激励语导入课堂，衔接面积最值等前序知识，通过核心知识梳理、通用解题步骤及分层练习搭建学习支架。 其亮点在于以实际问题为载体，培养数学眼光（观察制动距离等现象）、思维（建模求最值）和语言（函数表达式），如制动距离问题通过描点确定二次函数模型，销售问题列表分析变量关系。专项练习与易错点总结助力学生掌握建模方法，教师可高效开展综合应用教学。

21.4 第3课时 二次函数应用中的其他问题专项练习 【核心知识梳理】 本节课是沪科版九年级上册21.4二次函数应用的收尾课时，在面积最值、抛物线实物模型基础上，拓展二次函数在实际生活中的利润最值、销售问题、动态变化、方案最值等综合应用，是中考解答题核心必考题型。本课时题型覆盖面广、实用性强，核心依旧是建模思想，将生活中的变量关系转化为二次函数模型，利用函数性质求解最值与取值范围。 本节最核心、最常考的题型为销售利润最值问题，固定公式模型：单件利润=售价－进价，总利润=单件利润×销售数量。在实际销售问题中，售价涨跌会直接影响销量，二者呈一次函数变化关系，代入总利润公式后即可整理出二次函数解析式。由于二次项系数多为负数，函数开口向下，顶点处即为最大利润。 除利润问题外，还包含两类常见应用：一是数量、周长、费用等最值问题，通过变量替换建立函数模型，求解最优数值；二是限定条件下的实际最值问题，区别于纯函数理论最值，实际问题中自变量往往为正整数、存在取值区间限制，顶点不一定可取，此时最值需取自变量区间端点。 通用解题步骤：审题找准常量与变量，设出自变量（通常设涨价或降价金额、销售单价）；用含自变量的式子表示出单件利润与销售数量；根据总利润公式列出二次函数解析式；确定自变量的实际取值范围（价格为正、销量为正、符合题意涨跌范围）；结合开口方向与定义域，求解最大、最小值，最后作答。 【基础专项练习题】 1. 填空题：某商品进价为20元，售价为x元，每日销量为(100－2x)件，则每日总利润y与售价x的函数解析式为________。 2. 填空题：已知销售利润函数 \(y=-5x^2+200x-1200\)，该函数开口向下，则商品销售的________利润为________元。 3. 选择题：利用二次函数求解销售利润最值问题时，自变量取值范围优先考虑（） A. 全体实数 B. 正数即可 C. 符合实际的非负区间 D. 任意整数 4. 选择题：某商品涨价x元，销量随之减少，利润函数开口向下，下列说法正确的是（） A. 涨价越多利润越大 B. 降价越多利润越大 C. 存在唯一涨价数值使利润最大 D. 利润无最大值 【提升专项练习题】 5. 解答题：某商店销售一种纪念品，每件进价30元，根据市场调查：当售价为40元时，每天售出300件，售价每上涨1元，销量减少10件。（1）设每件涨价x元，求每天总利润y关于x的函数解析式；（2）求涨价多少元时，每天利润最大，最大利润是多少？ 6. 解答题：某工厂生产配件，每件成本16元，销售单价x（元）与月销量m（件）满足一次函数关系 \(m=-10x+800\)。（1）求月利润w与销售单价x的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，月利润最大，最大月利润为多少？ 【参考答案与详细解析】 1. 答案：\(y=-2x^2+140x-2000\)。解析：单件利润为\((x-20)\)元，总利润 \(y=(x-20)(100-2x)\)，展开整理可得解析式。 2. 答案：最大；800。解析：\(a=-5<0\)，函数有最大值，配方或代入顶点公式可得最大利润为800元。 3. 答案：C。解析：销售问题中售价、销量均为正数，自变量必须符合实际意义，不能取全体实数或任意数。 4. 答案：C。解析：开口向下的二次函数存在唯一顶点最大值，即存在唯一涨价幅度使利润最大，过高或过低定价都会导致利润下降。 5. 解析：（1）涨价x元后，单件利润为\((10+x)\)元，销量为\((300-10x)\)件，总利润 \(y=(10+x)(300-10x)=-10x^2+200x+3000\)；（2）\(a=-10<0\)，对称轴 \(x=10\)，在取值范围内，当涨价10元时，最大利润 \(y=4000\) 元。 6. 解析：（1）单件利润为\((x-16)\)元，月利润 \(w=(x-16)(-10x+800)=-10x^2+960x-12800\)；（2）对称轴 \(x=48\)，代入得最大月利润 \(w=5120\) 元，即单价48元时利润最大。 【易错点总结】本节高频易错点：一是利润公式混淆，误将售价直接当作利润，忘记减去进价；二是销量与价格的变化关系列式错误，涨跌对应的数量增减写反；三是忽略自变量取值范围，未考虑销量、售价为正数，直接套用顶点最值；四是展开整理解析式时计算失误，导致最值求解错误；五是无法区分理论最值与实际最值，定义域受限时代替端点求值。解题核心是先找利润、销量表达式，再定范围，最后求最值，严格贴合实际生活条件建模。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.4 第3课时 二次函数应用中的其他问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 引例：行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”.为了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表： 建立二次函数模型解决实际问题 制动时车速 (km/h) 0 10 20 30 40 50 制动距离 (m) 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 有一辆该型号的汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为 46.5 m，试问事故发生时车速是多少？是否因超速(该段公路限速为 110 km/h)行驶导致了交通事故？ 1 【分析】 要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时的车速. 题中给出了几组制动距离与制动时车速之间的关联数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答本题的关键. 解：以制动时车速的数据为横坐标 (x 值)、制动距离的数据为纵坐标 (y 值)，在平面直角坐标系中，描出各组数据对应的点，并用平滑的曲线连起来，如图. 10 O 3 6 x y 50 40 30 20 观察图中描出的这些点的整体分布，它们基本上都是在一条抛物线附近，因此，y 与 x 之间的关系可以近似地以二次函数来模拟，故可设 y = ax² + bx + c. 任选三组数据，代入函数表达式，得 解得 即所求二次函数表达式为 y = 0.002x² + 0.01x (x≥0). 10 O 3 6 x y 50 40 30 20 把 y = 46.5 m 代入上式，得 答：制动时车速为 150 km/h (大于 110 km/h)，即在事故发生时，该汽车属超速行驶. 解得 46.5 = 0.002x² + 0.01x. x1= -155 (舍去)，x2 = 150 (km/h) . 对于函数关系类型不明确的两个变量，通常取一组对应数据转化为坐标，在坐标系中描点、连线，并观察点的整体分布情况（如直线型，双曲线型，抛物线型等），从而确定函数类型，再用待定系数法求相应的函数关系式. 总结归纳 (2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3) 如果该果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x 之间的关系式. y = (100 + x)(600 - 5x) = -5x² + 100x + 60000. 例1 某果园有 100 棵橙子树,每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橙子. (1) 问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 变量是橙子树棵数和橙子个数. 前者是自变量，后者是因变量 (100 + x) 棵 (600 - 5x) 个 在上述问题中，增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？ x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y/个 你能根据表格中的数据作出猜测吗？ y = -5x² + 100x + 60000 2. 利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. 何时橙子总产量最大 1. 利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. 3. 增种多少棵树，可以使橙子的总产量在 60400 个以上? (x 为正整数). 由 y ＞ 60400，得 -5(x - 10)² + 60500＞60400， ∴ 增种 6 到 14 棵树可使橙子的总产量在 60400 个以上. 解函数应用题的步骤： 设未知数 (确定自变量和因变量)； 找等量关系，列出函数关系式； 化简，整理成标准形式 (一次函数、二次函数等)； 求出自变量的取值范围； 利用函数知识求解 (如求最值等)； 写出结论. 总结归纳 营销问题 【探究交流】 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价为每件 40 元，则每星期销售额是 元，销售利润是 元. 18000 6000 （1）销售额 = 单价×销售量； （2）利润 = 销售额 - 总成本 = 单件利润×销售量； （3）单件利润 = 销售单价 - 进价. 2 【数量关系】 11 名师点金 解答有关二次函数的实际问题时，应先仔细审题，建立 合适的平面直角坐标系，并结合图象把已知条件转化成点的 坐标，然后合理设出函数的表达式，再用待定系数法求出函 数的表达式，最后根据所得的表达式进一步分析、判断并进 行有关的计算. . . 举一反三 12 应用1 利用二次函数解决行程问题 1. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑 行一段距离，这段距离称为“刹车距离”，刹车距离是分析交 通事故的重要依据，在一条限速 的公路上，甲、乙 两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事 后测得甲车的刹车距离为，乙车的刹车距离超过 ， 但小于 ，根据两车车型查阅资料可知：甲车的速度 举一反三 13 与刹车距离之间的关系为 ； 乙车的速度与刹车距离之间的关系为 .请 从两车的速度方面分析相撞是因为哪辆车超速了.#1 举一反三 【解】 乙车的刹车距离超过，但小于 ， . ， 乙车的速度大于 ，小于 公路限速， 乙车超速. 甲车的刹车距离为， ， ,解得或 （舍去）. ， 甲车未超速. 从两车的速度方面分析，相撞是因为乙车超速了. 返回 举一反三 15 例2 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知该商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①设每件涨价 x 元，每星期获得的利润为 y 元，填空： 单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元) 正常销售 涨价销售 20 300 20 + x 300 - 10x (20 + x)(300 - 10x) 则 y = (20 + x)(300 - 10x) = -10x2 + 100x + 6000. 6000 16 ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，因此自变量的取值范围是 0≤x≤30. ③涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？ y = -10x2 + 100x + 6000， 当 时，y = -10×52 +100×5+6000 = 6250. 即涨价 5 元时利润最大，最大利润是 6250 元. 17 降价销售 ①设每件降价 x 元，每星期获得的利润为 y 元，填空： 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 降价销售 20 300 (20 − x) (300 + 20x) (20 − x)(300 + 20x) 所得利润 y = (20 − x)(300 + 20x) = −20x2 + 100x + 6000. 6000 综上可知，定价 65 元时利润最大，最大利润是 6250 元. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故 20 − x≥0，且 x≥0，因此自变量的取值范围是 0≤x≤20. ③降价多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 当 时， 即降价 2.5 元时，最大利润是 6125 元. y = −20x2 + 100x + 6000， 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 例3 某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元出售，那么一个月内售出 180 件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少 10 件．当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ ①设每件商品的销售单价上涨 x 元，一个月内获取的商品总利润为 y 元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元） 正常销售 涨价销售 10 180 10 + x 180 - 10x (10 + x)(180 - 10x) 1800 建立函数关系式 y = (10 + x)(180 - 10x) = -10x2 + 80x + 1800. 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 180 - 10x≥0，因此自变量的取值范围是 x≤18. ③定价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ y = -10x2 + 80x + 1800 = -10(x - 4)2 + 1960 (x≤18). 当 x = 4，即销售单价定为 34 元时，y 取最大值 1960. 答：当销售单价为 34 元时，该店在一个月内能获得最 大利润 1960 元. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： “总利润 = 总售价 - 总成本”或“总利润 = 单件利润×销售量”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出 函数的简图，利用简图和增减性求出. 知识要点 23 y = (160 + 10x)(120 - 6x) 【练一练】 某旅馆有客房 120 间，每间房的日租金为 160 元，每天都客满．经市场调查，若一间客房日租金每增加 10 元，则客房每天少出租 6 间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？ 解：设每间客房的日租金提高 10x 元，则每天客房出租数减少 6x 间，则有 =－60(x－2)2 + 19440. ∵ x≥0，且 120－6x＞0， ∴ 0≤x＜20. 当 x = 2 时，y 有最大值，且 y最大 = 19440. 答：每间客房的日租金提高到 180 元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为 19440 元. 这时每间客房的日租金为 160 + 10×2 = 180 (元). 应用2 利用二次函数解决抛体运动 2. [2025盐城] 【生活观察】小明通过观察发现，将运动 中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运 动路线可以近似抽象成如下两种，如图①②所示. 举一反三 26 【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前 吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的剖面图如图③所 示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点 到地面的距 离，球网上端点到地面的距离 ，人 与球网之间的距离 ，假设两种击球路线都经过点 正上方处的点 ，网前吊球和扣杀球的落点分别为点 ， . 举一反三 27 （1）请在图③中建立合 适的平面直角坐标系，并 分别求出两种击球路线的 函数表达式. 举一反三 28 【解】以为坐标原点，所在的直线为 轴，所在的直线为 轴，建立如图所示 的坐标系， 则， ， 设直线的表达式为 , , , , 举一反三 29 扣杀球击球路线的函数表达式为 . 设网前吊球击球路线的函数表达式为 , , , 网前吊球击球路线的函数表达式为 . 举一反三 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_ _____ . 举一反三 31 （3）甲在 处击球，扣杀 球时，羽毛球的平均速度 约为 .网前吊球时， 羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为 . 乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接 球的时间至少需要 .请通过计算说明，乙能接到哪种方式 的击球. 举一反三 32 对于，令 ， 则 , ,, , . 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为 , 举一反三 33 （秒）. , 乙不能接到扣杀球的 击球. 从 点击球，击球点是抛物线的最高点， , . , 乙能接到网前吊球的击球. 返回 举一反三 34 应用3 利用二次函数解决农业问题 3. 【问题情境】如图是某果树拉枝后的横 截面示意图，其中枝干 垂直于地面，作为 支撑枝条的主干，以垂直于地面的枝干为 轴，过点的水平线为轴建立平面直角坐标系，点， ， ，在枝条形成的抛物线上，枝干的长度为 （即点离地面的距离为） ，已知枝条形成的抛物线的最 举一反三 35 低点到的水平距离为 ，离地面的距离为 ，请尝试解决以下问题： （1）设枝条形成的抛物线上某处离地面的距离 为，该处离枝干的水平距离为 ， 求与 之间的函数表达式． 举一反三 【解】根据题意知，抛物线顶点坐标为 ，点的坐标为 , 设与 之间的函数表达式为 , 把代入，得,解得 , 与之间的函数表达式为 . 举一反三 37 （2）若牵引绳的端点到轴的水平距离为，求点 离地 面的距离． 当时， , 点离地面的距离为 . 举一反三 38 （3）在（2）的条件下，在抛物线 段上取 点，过点作轴的平行线交牵引绳于点 ， 若的长度超过 ，大风之下枝条有折断的 危险，已知点到地面的距离定为 ，请问在此次牵引下， 大风之下的枝条是否有折断的危险？请说明理由． 举一反三 39 枝条有折断的危险.理由如下： 由（2）可知.根据题意得 . 设直线的表达式为 , 把,的坐标代入，得 举一反三 40 解得 直线的表达式为 , 设点的横坐标为,的长度为 ,则 . 点在线段上,的取值范围为 . 举一反三 , 当时,取得最大值 . 的最大长度为 . ,且 , 在此次牵引下，大风之下的枝条有折断的危 险． 返回 举一反三 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 二次函数建模问题 营销中的二次函数问题 （函数建模问题，营销问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 课后作业 谢谢观看 THANKS $