21.4 第1课时 二次函数在面积最值中的应用（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在面积最值中的应用，通过情境导入复习抛物线最值求解，结合小球运动引例衔接二次函数性质，搭建从函数性质到几何面积应用的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于系统梳理建模四步骤与核心最值规律，结合矩形篱笆、直角三角形等典例及变式训练，培养模型意识与推理能力。分层练习题与易错点总结助力学生掌握方法，教师可直接用于教学，提升课堂效率与学生应用能力。

21.4 第1课时 二次函数在面积最值中的应用专项练习 【核心知识梳理】 本节课是沪科版九年级上册二次函数实际应用的开篇内容，核心是利用二次函数最值原理求解几何图形面积的最大值或最小值，是中考应用题高频考点。此类题型将几何图形边长关系与二次函数相结合，通过建立面积函数模型，利用函数图象与性质求解最值，充分体现数形结合、建模思想。 解题通用建模步骤：第一，审题设元，通常设变化的线段长度为自变量 \(x\)，明确自变量的实际取值范围；第二，利用几何性质，如矩形周长、相似三角形、勾股定理等，用含 \(x\) 的代数式表示出图形的长、宽、高；第三，根据图形面积公式，列出面积 \(S\) 关于 \(x\) 的二次函数解析式；第四，结合自变量取值范围，利用二次函数顶点最值求解最大、最小面积。 核心最值规律：建立二次函数 \(S=ax^2+bx+c(a≠0)\) 后，若 \(a>0\)，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，无最大值；若 \(a<0\)，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，无最小值。解题关键在于必须验证顶点横坐标是否在自变量取值范围内，若不在范围内，则最值出现在自变量区间端点处。 常见题型集中在矩形、长方形、直角三角形、栅栏围图等规则图形面积问题，易错点多为忽略自变量实际约束条件，出现边长为负、超范围等不符合实际的错误，建模时需时刻结合几何实际意义限定定义域。 【基础专项练习题】 1. 填空题：用一根长为40cm的铁丝围成矩形，设矩形一边长为 \(x\) cm，面积为 \(S\ \text{cm}^2\)，则 \(S\) 与 \(x\) 的函数解析式为________，矩形的最大面积为________\(\text{cm}^2\)。 2. 填空题：已知矩形的周长为24，设矩形的宽为 \(x\)，面积为 \(S\)，当 \(x=\)________时，矩形面积最大。 3. 选择题：用长为30m的篱笆围成一个矩形菜园，一边靠墙，若垂直于墙的边长为 \(x\) m，菜园面积最大为（） A. \(112.5\ \text{m}^2\) B. \(100\ \text{m}^2\) C. \(120\ \text{m}^2\) D. \(90\ \text{m}^2\) 4. 选择题：关于二次函数求解面积最值问题，下列说法正确的是（） A. 顶点纵坐标一定是面积最值 B. 开口向上的函数一定有最大面积 C. 需结合自变量取值范围判断最值 D. 自变量取值可以为任意实数 【提升专项练习题】 5. 解答题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积为 \(S\)，一边长为 \(x\) m。（1）求 \(S\) 关于 \(x\) 的函数解析式及自变量取值范围；（2）求出矩形的最大面积。 6. 解答题：如图，在直角三角形中，两直角边之和为16，设一条直角边长为 \(x\)，三角形面积为 \(S\)。（1）求面积 \(S\) 与 \(x\) 的函数关系式；（2）求三角形的最大面积。 【参考答案与详细解析】 1. 答案：\(S=-x^2+20x(0<x<20)\)；100。解析：一边长为 \(x\)，另一边长为 \(20-x\)，面积 \(S=x(20-x)=-x^2+20x\)，\(a=-1<0\)，顶点在 \(x=10\) 处，最大面积为100\(\text{cm}^2\)。 2. 答案：6。解析：宽为 \(x\)，长为 \(12-x\)，面积 \(S=-x^2+12x\)，对称轴 \(x=6\)，此时面积取得最大值。 3. 答案：A。解析：垂直墙边长为 \(x\)，平行墙边长为 \(30-2x\)，面积 \(S=x(30-2x)=-2x^2+30x\)，顶点 \(x=7.5\)，最大面积 \(112.5\ \text{m}^2\)。 4. 答案：C。解析：面积最值问题中自变量受实际条件限制，若顶点横坐标不在取值范围内，最值在端点处，故只有C说法正确。 5. 解析：（1）矩形一边为 \(x\)，另一边为 \(30-x\)，解析式为 \(S=-x^2+30x\)，自变量取值范围 \(0<x<30\)；（2）\(a=-1<0\)，对称轴 \(x=15\) 在取值范围内，最大面积 \(S=225\ \text{m}^2\)。 6. 解析：（1）一条直角边为 \(x\)，另一条为 \(16-x\)，面积 \(S=\dfrac{1}{2}x(16-x)=-\dfrac{1}{2}x^2+8x(0<x<16)\)；（2）\(a=-\dfrac{1}{2}<0\)，对称轴 \(x=8\)，最大面积 \(S=32\)。 【易错点总结】本节核心易错点：一是建模时忽略自变量实际取值范围，边长必须为正数；二是靠墙篱笆题型误算边长数量，混淆单边、双边篱笆长度；三是直接套用顶点最值，未验证顶点是否在定义域内；四是整理函数解析式时计算失误，导致最值求解错误。解题核心是先定范围，再求最值，结合实际几何意义建立准确的函数模型。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.4 第1课时 二次函数在面积最值中的应用 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. (1) y = x2 − 4x − 5；(配方法) (2) y = −x2 − 3x + 4.(公式法) 解：(1) 开口方向：向上； 对称轴：x = 2； 顶点坐标：(2，−9)； 最小值：−9. (2) 开口方向：向下； 对称轴：x = ； 顶点坐标：( ， )；最大值： . 情境导入 求二次函数的最大（或最小）值 引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位：m) 与小球的运动时间 t (单位：s) 之间的关系式是 h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)． 小球的运动时间是多少时达到最高？ 小球运动中的最大高度是多少？ t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h = 30t - 5t2 1 探究新知 问题1 二次函数 取最大值、最小值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围来决定. 合作探究 探究新知 问题2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是什么？ 当 a＞0 时，有 ，此时 ； 当 a＜0 时，有 ，此时 . 探究新知 问题3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？ 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值则需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则应根据二次函数的增减性来确定其最值. 探究新知 小球运动的时间是 3s 时达到最高，最大高度是 45 m． t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h = 30t − 5t2(0≤t≤6) 试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题： ∵ 0≤3≤6， 探究新知 7 例1 求下列函数的最大值与最小值： x O y 解： -3 1 (1) ∴ 当 时， 当 x = 1 时， 典例精析 探究新知 解： O x y 1 -3 (2) 而在对称轴的右侧， ∴ 当 x = -3 时，有 函数值 y 随着 x 的增大而减小， 当 x = 1 时，有 探究新知 当自变量的范围有限制时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值可以根据以下步骤来确定： ① 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴； ② 画出函数图象的草图，标明对称轴及 x 的取值范围； ③ 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系. 根据二次函数的性质，确定当 x 取何值时函数有最大或最小值. 然后根据 x 的值，求出函数的最值. 方法归纳 探究新知 二次函数与几何图形面积的最值 2 例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S (m2) 随矩形一边长 l (m) 的变化而变化. 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用 l 表示另一边长？ 问题3 面积 S 的函数关系式是什么？ 矩形面积 = 长×宽 另一边长为 (30 − l) m S = (30−l)l = −l2+30l 探究新知 问题4 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 解：根据题意得 S = l (30 - l) = -l2 + 30l (0＜l＜30)， 当 时， 有 S最大值 = 也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大. 5 10 15 20 25 30 100 200 l/m S/m2 O 在图中为何有两个空心点？ 探究新知 变式1 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60 - 2x 问题2 我们可以设面积为 S，如何设自变量？ 问题3 面积 S 的函数关系式是什么？ 问题1 变式 1 与例 2 有什么不同？ S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450. 设垂直于墙的一边长为 x 米 篱笆长不等于周长 (少了一边) 探究新知 13 问题4 如何求自变量 x 的取值范围？墙长 32 m 对此题有什么作用？ 问题5 如何求面积 S 的最大值？ 最大值在其图象顶点处， 即当 x = 15 m 时，有 S最大值 = 450 m2. 0＜60－2x≤32，即 14≤x＜30. x x 60 - 2x 探究新知 名师点金 在解答用二次函数求几何图形的最大（小）面积的问题时， 应遵循的规律: 1.利用几何图形的面积公式得到二次函数关系式.2.求出二次 函数的最值，但要注意实际问题中自变量的取值范围. 举一反三 15 应用1 几何图形面积的最值问题 1. [2025南通] 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园 花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙 （墙的长度不限），其余部分用总长为 的栅栏围成， 兴趣小组设计了以下两种方案：#1 举一反三 16 方案一 方案二 如图①，围成一个 面积为 的矩 形花圃. ______________________________________________ 如图②，围成矩形花圃，用栅栏 （栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔 为两个不同矩形区域，用来种植不同 花卉，并在花圃两侧各留一个宽为 的进出口（此处不用栅栏）. _________________________________________________________ 举一反三 17 （1）求方案一中与墙垂直的边的长度. 【解】设与墙垂直的边的长度为 ，则与墙平行的边的长 度为 , 根据题意得,解得 . 答：与墙垂直的边的长度为 . 举一反三 18 （2）要使方案二中花圃的面积最大，则与墙平行的边的长 度为多少米？ 设与墙平行的边的长度为，花圃的面积为 , 根据题意得 , . , 当时， 有最大值363. 答：当与墙平行的边的长度为 时，花圃的面积最大. 返回 举一反三 19 变式2 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ x 问题1 变式 2 与变式 1 有什么异同？ 问题2 可否模仿变式 1 设未知数、列函数关系式？ 问题3 可否试设与墙平行的一边长为 x 米？则如何表示另一边长与面积？ 答案：设矩形面积为 S m2，与墙平行的一边为 x 米，则 探究新知 20 问题4 当 x = 30 时 S 取最大值吗？为什么？ 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18. 问题6 如何求面积最大值？ 由于 30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当 x = 18 m 时，S 有最大值是 378 m2. 不是，未考虑 x 的实际范围. 探究新知 21 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围确定. 通过变式 1 与变式 2 的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际意义的最值. 方法总结 探究新知 22 例3 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在水库中围成一块矩形的水面，投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 解：设一边长为 x m， 设其面积是 S m2，得 S = x(20 - x) (0＜x＜20). 将这个函数的表达式配方，得 S = -(x - 10)2 + 100 (0＜x＜20). 探究新知 这个函数的图象是一条开口向下的抛物线的一部分，如图，它的顶点坐标是 (10，100). 所以，当 x = 10时，函数取得最大值，即 此时，这一边长与邻边长都为 10 m. 答：当围成的矩形水面边长都为 10 m 时，它的面积最大，最大面积为 100 m2. 5 10 15 20 25 50 75 100 O x y S最大值 = 100 m2. 探究新知 例4 用长为 6 米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框. 窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材料宽度不计） x 解：设矩形窗框的宽为 x m， 则高为 m. 由于 又 x＞0，故 0＜x＜2. 则矩形窗框的透光面积 y (m2) 与 x 之间的函数关系式是 探究新知 即 配方得 所以，当 x = 1 时，函数取得最大值，y最大值 = 1.5. 这时， 因此，所做矩形窗框的高为 1.5 m、宽为 1 m 时，它的透光面积最大，最大透光面积是 1.5 m2. 探究新知 2. 一块三角形材料如图所示， ， ， 九年级（8）班的同学在 劳动课上用这块材料剪出一个矩形 ，其中 点，，分别在边，，上．设 的 长为，矩形的面积为 ． 举一反三 27 （1）求出关于的函数表达式，并写出 的取值范围； 举一反三 28 【解】 四边形 为矩形， , . 在中， , , ， ． 在中， , , , 举一反三 ， ， ， ． 举一反三 （2）当矩形的面积为时，求 的长； 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得， ， 即 的长为4或8． 举一反三 31 （3）若矩形的面积不小于 ，请直接写 出的长 的取值范围． . 【点拨】由题意，得 ， 整理，得 ， 解得 . 返回 举一反三 32 应用2 动点型问题 3. [2025南通] 如图，在等边三角形 的三边上，分别 取点,,，使.若,， 的 面积为，则关于 的函数图象大致为( ) B A. B. C. D. 举一反三 33 【点拨】 是等边三角形， , ， ，即，如图，过点 作 举一反三 34 于点，则 ， . . ，过点 作于点，则 ， . 举一反三 关于 的函数图象开口向上， 举一反三 当时，当时 ， 当时的最小值为. 选项A，C，D 均不符合题意，选项B符合题意，故选B. 返回 举一反三 4. [2025德阳] 如图①，在平面直角坐标系中，已知二次 函数的图象与轴交于点， ， 与轴交于点 . 举一反三 38 （1）求抛物线的函数表达式； 【解】,在二次函数 的图象 上， . 举一反三 39 （2）如图②，连接，过点作 与抛物线相交于另 一点 . ①求点 的坐标； 举一反三 40 把代入，得 , 如图①，延长与轴相交于点 . ,, . , . , . . 举一反三 41 . 设直线的表达式为 ，把 ， 的坐标代入， 得解得 直线的表达式为 . 点是直线 与二次函数的交点， 举一反三 联立得 解得 或 . 举一反三 ②如图③，点，为线段上两个动点（点在点 的右 侧），且，连接，.求 的最小值. 举一反三 44 如图②，过点作 ，且 ，连接，，设交 轴 于点 . ,且 , 四边形是平行四边形. . , . 易知为等腰直角三角形. . 举一反三 45 , , . , 当时， 最小. ,, . 此时,,三点共线且 轴， 易得此时点的坐标为与点 重合，满足 在线段 上. 的最小值为5. 举一反三 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的范围没有限制时，可直接利用公式 求函数最值； 3. 当自变量的范围有所限制时，可先配成顶点式， 然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变 量的范围求函数最值. 方法总结 探究新知 47 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，要根据自变量的范围，利用函数的增减性来确定 课堂小结 谢谢观看 THANKS $