第21章 21.4 第1课时 利用二次函数解决几何图形面积问题-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学课件聚焦“二次函数的应用”核心知识点，围绕几何图形面积问题展开，从简单矩形、直角三角形面积最值到动点运动中的面积变化，通过“练基础、练提升、练素养”分层次搭建学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以分层题目设计为载体，结合矩形面积最值、动点探究等实例，培养学生数学眼光（抽象几何数量关系）、数学思维（推理面积函数表达式）和数学语言（建立面积模型）。学生能提升问题解决能力，教师可借助系统资源实现高效教学。

2 21.4　二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决几何图形 面积问题 3 练基础 练提升 练素养 目 录 练基础 1. 已知一个矩形的长为20，宽为16，现根据需要将它的长缩短x，宽增加x， 要想使修改后的矩形面积达到最大，则x应为 （　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 4 知识点1 简单图形问题 C 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 5 2. 如图，一个矩形花园ABCD，它的一边靠墙（墙足够长），其他三边用12 m长的篱笆围成，则这个花园的面积最大是 （　　） A. 16 m2 B. 12 m2 C. 18 m2 D. 以上都不对 C 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 6 3. （合肥四十六中期中）如图，利用一面墙（墙的最大可用长度为10 m）和长为24 m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃. 设花圃的宽AB为x m，面积为S m2. （1）求S与x之间的函数表达式. （2）如果围成面积为45 m2的花圃，那么花圃的宽AB的长是多少米？ （3）能围成面积比45 m2大的花圃吗？如果能，请求 出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 7 解：（1）由题意，知花圃的宽AB为x m，则花圃的长BC为（24-3x）m， ∴S=x（24-3x）=-3x2+24x. （2）令S=45，即-3x2+24x=45，解得x1=5，x2=3. ∵0<24-3x≤10，∴≤x<8，∴x=3不合题意，舍去. 答：花圃的宽AB为5 m. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 （3）能. ∵S=-3x2+24x=-3（x-4）2+48， ∴当x=时，S有最大值，最大值为-3+48=46. 故能围成面积比45 m2大的花圃. 围法：当x=时，24-3x=24-3×=10，此时花圃的长为10 m，宽为 m，花圃的面积最大，为46 m². 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 4. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8 cm，AC=6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点C出发，沿CA方向以1 cm/s的速度向点A运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则△APQ的面积最大是 （　　） A. 8 cm² B. 9 cm² C. 10 cm² D. 24 cm² B 知识点2 图形运动问题 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 10 5. 如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A出发，沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，同时，点Q从点B出发，沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，当P，Q两点分别到达B，C两点就停止移动. （1）设运动开始t s后，五边形APQCD的面积为S cm²，写出 S与t之间的函数表达式，并指出自变量t的取值范围. （2）当S≥68时，求t的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 11 解：（1）由题意，知运动开始t s后，AP=t cm，BQ=2t cm. ∵AB=6 cm，∴BP=（6-t）cm. ∴S=S矩形ABCD-S△BPQ=6×12−×2t（6−t）=t2−6t+72. 即S=t2-6t+72（0<t<6）. （2）由题意，得t2-6t+72≥68，解得t≥3+或t≤3−， ∵0<t<6，∴3+≤t<6或0<t≤3−. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 6. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D，E分别是边BC， AC上的点，DE⫽AB，则S△BDE的最大值是 （　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 练提升 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 13 7. （易错题）（教材P58T9改编）如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动. 当点E到达点B时，四个点同时停止运动. （1）当运动时间为________s时，四边形EFGH的面积最小， 最小面积是________cm2. （2）当运动时间为________s时，四边形EFGH的面积为20 cm2. 反思：本题易错点是________________________________________________. 3 18 2或4 易因漏解而出错 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 14 8. 如图，为了美化校园环境，某中学准备在一块矩形空地ABCD上进行绿化，其中AB=10 m，BC=20 m，中间的一块（图中四边形EFGH）种花，其他的四块（图中的四个直角三角形）铺设草坪，并要求AE=AH=CF=CG，当四边形EFGH的面积最大时，AE=________m. 7.5 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 15 9. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20 m长的栅栏围成一个矩形花园ABCD（栅栏只围AB，BC两边），设AB=x m，花园的面积为S m2. （1）当x为何值时，花园的面积最大？最大为多少？ （2）若在P处有一棵树，与墙CD，AD的距离分别是12 m和 6 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）， 当花园的面积最大时，AB的长为多少？ 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 16 解：（1）由题意，得S=x（20-x）=-（x-10）2+100， ∴当x=10时，花园的面积最大，最大为100 m2. （2）根据题意，得解得6≤x≤8. ∵S=-（x-10）2+100， ∴当x<10时，S随着x的增大而增大， ∴当x=8时，S有最大值， 即当花园的面积最大时，AB的长为8 m. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 10. （新趋势·动点探究题）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=10 cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1 cm/s. 同时，点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2 cm/s. 当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动. 设运动时间为t s. （1）当PQ的长度为3 cm时，求t的值. （2）当△PBQ的面积为8 cm2时，求t的值. （3）当运动时间t（单位：s，0<t<5）为何值时， 四边形APQC的面积最小？并求这个最小值. 练素养 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 解：根据题意，得AP=t cm，BQ=2t cm，且0≤t≤5， ∴PB=（6-t）cm. （1）在Rt△ABC中，由勾股定理，得PB2+BQ2=PQ2， 即（6-t）2+（2t）2=（3）2，解得t1=3，t2=（舍去）， ∴当PQ的长度为3 cm时，t的值为3. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 （2）当△PBQ的面积为8 cm2时，由S△PBQ=PB·BQ， 得×（6-t）×2t=8，解得t1=2，t2=4， ∴当△PBQ的面积为8 cm2时，t的值为2或4. （3）∵S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ=·AB·BC·PB·BQ=×6×10×（6-t）×2t=t2-6t+30=（t-3）2+21， ∴当t=3，即运动3 s时，四边形APQC的面积最小，最小值为21 cm2. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 目 录 导 航 21 $