21.4 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数实际应用，核心为实物型（拱桥、隧道）与运动型（投篮、抛球）抛物线问题，承接面积最值内容，通过激励语导入，以通用解题步骤（建系、定点、求解等）为学习支架，助力学生掌握中考核心考点。 其亮点在于强化建模转化思想，结合几何直观与抽象能力，通过拱桥跨度计算、投篮最大高度等实例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理运算的能力。采用合作探究与典例精析，易错点总结清晰，既帮助学生提升实际问题解决能力，也为教师提供系统教学资源。

21.4 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题专项练习 【核心知识梳理】 本节课是沪科版九年级上册二次函数实际应用的重点内容，承接面积最值应用，聚焦实物抛物线与运动抛物线两大类实际模型，是中考二次函数应用题、压轴小题的核心考点。常见场景包括拱桥、隧道、喷泉、投篮、抛球、飞行抛物运动等，本质是将现实曲线运动、实物弧形结构抽象为二次函数图象，利用待定系数法求解析式，进而求解高度、宽度、距离、最值等实际问题。 此类题型核心解题思想为建模转化思想，通用解题步骤清晰规范：第一步，根据实物或运动场景，建立平面直角坐标系，优先将顶点、起点、终点放置在坐标轴或原点上，简化计算；第二步，根据已知实际数据，标注图象关键点坐标；第三步，结合图象特征择优设出二次函数解析式，顶点在原点或坐标轴上优先用顶点式，已知普通多点用一般式；第四步，代入坐标求出函数表达式；第五步，利用解析式求解对应高度、水平距离、最大高度、通行宽度等实际问题，并结合实际场景取舍结果。 核心知识点与规律：所有平抛、斜抛运动轨迹均为开口向下的抛物线，二次项系数 \(a<0\)，存在最大高度；拱桥、隧道等实物抛物线多为开口向下，部分倒挂型抛物线开口向上。抛物线顶点对应运动最高点、拱桥最高处；与坐标轴交点对应运动起点、落地点、实物两端端点。自变量 \(x\) 通常代表水平距离，函数值 \(y\) 代表竖直高度，取值范围均受实际运动场景限制，不可取负数。 高频考点分为两类：一是实物静态抛物线，求拱桥高度、隧道通行宽度、喷泉喷射高度等；二是动态运动抛物线，求小球、篮球、飞行器的最大高度、落地水平距离、特定高度对应的水平位置等。解题关键是精准建系、准确找点、规范求解，杜绝坐标标注错误和结果脱离实际的问题。 【基础专项练习题】 1. 填空题：某喷泉水流轨迹为抛物线，以喷水口为原点，水平方向为 \(x\) 轴，竖直方向为 \(y\) 轴建立坐标系，解析式为 \(y=-0.2x^2+1.6x\)，则水流的最大高度为________。 2. 填空题：一座拱桥为抛物线形，建立坐标系后解析式为 \(y=-\dfrac{1}{10}x^2+3.6\)，则拱桥的最高点距离桥面的高度为________。 3. 选择题：篮球投篮的运动轨迹是抛物线，已知篮球出手点、最高点、落地点均在同一平面，下列说法正确的是（） A. 抛物线开口向上 B. 篮球最高点对应抛物线顶点 C. 无最大高度 D. 自变量可取任意实数 4. 选择题：已知小球抛射轨迹解析式为 \(y=-0.1x^2+x\)（\(x\) 为水平距离，\(y\) 为高度），则小球落地时的水平距离为（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【提升专项练习题】 5. 解答题：已知一座抛物线型拱桥，建立平面直角坐标系，拱桥顶点在原点，开口向下，拱桥跨度为20m，最大高度为5m。（1）求拱桥对应的二次函数解析式；（2）求水平距离桥中心5m处的桥身高度。 6. 解答题：小明投篮，篮球运动轨迹为抛物线，已知篮球出手高度为2m，水平前进4m后到达最大高度4m。（1）建立合适坐标系，求出抛物线解析式；（2）求篮球落地时的水平前进距离。 【参考答案与详细解析】 1. 答案：3.2。解析：\(y=-0.2x^2+1.6x\)，\(a=-0.2<0\)，对称轴 \(x=4\)，代入得最大高度 \(y=3.2\)。 2. 答案：3.6。解析：抛物线顶点坐标为 \((0,3.6)\)，顶点为拱桥最高点，故最大高度为3.6。 3. 答案：B。解析：抛射运动轨迹开口向下，有最高点，对应抛物线顶点，自变量为水平距离，只能取非负数，仅有B正确。 4. 答案：B。解析：落地时高度 \(y=0\)，解方程 \(-0.1x^2+x=0\)，得 \(x_1=0\)（出手点），\(x_2=10\)，落地水平距离为10。 5. 解析：（1）顶点在原点，设解析式 \(y=ax^2\)，跨度20m，则端点坐标 \((10,-5)\)，代入得 \(-5=100a\)，\(a=-\dfrac{1}{20}\)，解析式为 \(y=-\dfrac{1}{20}x^2\)；（2）将 \(x=5\) 代入，得 \(y=-\dfrac{5}{4}\)，桥身高度为 \(5-\dfrac{5}{4}=3.75\ \text{m}\)。 6. 解析：（1）以篮球出手点正下方地面为原点，水平向右为 \(x\) 轴，竖直向上为 \(y\) 轴，顶点 \((4,4)\)，设顶点式 \(y=a(x-4)^2+4\)，代入出手点 \((0,2)\)，解得 \(a=-\dfrac{1}{8}\)，解析式为 \(y=-\dfrac{1}{8}(x-4)^2+4\)；（2）令 \(y=0\)，解方程得 \(x=4+4\sqrt{2}\)（舍去负根），即落地水平距离为 \(4+4\sqrt{2}\ \text{m}\)。 【易错点总结】本节高频易错点：一是建系不规范，坐标设定混乱，导致关键点坐标标注错误；二是混淆实物高度与函数值，忽略坐标系正负含义，高度计算出错；三是求解落地、端点问题时，未舍去无实际意义的负根；四是不会择优选用顶点式，计算繁琐易出错；五是忽略自变量实际范围，机械套用函数最值。解题核心是先建系、定点、列式，最后结合实际验根，牢牢把握数形结合的建模思想。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.4 第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系中图象的位置，说出这个二次函数的解析式形式. (1) y = ax2 (2) y = ax2 + k (3) y = a(x + h)2 + k 或 y = ax2 + bx x y O x y O x y O 图(1) 图(2) 图(3) 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 利用二次函数解决实物型抛物线问题 这是什么样的函数呢？ 合作探究 你能想出办法解决上面求水面宽的问题吗？ 拱桥的纵截面是抛物线形状，所以应当是个二次函数 建立函数模型 1 问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，如图. 问题2 从图象看出，这条抛物线对应什么形式的二次函数呢？ 由于顶点坐标是 (0，0)，因此这个二次函数的形式为 y = ax2. y x x O y -2 2 1 -2 -1 A 问题3 如何确定 a 的值？ 因此， ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 已知水面宽 4 m 时，拱顶离水面高 2 m，因此点 A(2，-2)在抛物线上，由此得出 解得 这条抛物线表示的二次函数为 y = x O y −2 −4 2 1 −2 −1 B 问题4 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 当水面下降 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. 令 解得 即水面下降 1 m 时，水面宽度增加 我们来比较下面这些建系的方法 （0，0） （4，0） （2，2） （-2，-2） （2，-2） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，2） （-4，0） （0，0） （-2，2） 谁最合适？为什么？ y y y y o o o o x x x x 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 知识要点 例1 近似地看作抛物线的一部分，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离 AB 为 900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为 0.5 m. 典例精析 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)，对称轴为 y 轴，设抛物线对应的函数表达式为 y = ax2 + 0.5. 又抛物线经过点 (450，81.5)，代入上式，得 81.5 = a • 4502 + 0.5. 解得 故所求函数表达式为 (1) 以 AB 所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条抛物线对应的函数表达式； y x O -450 450 81.5 11 (2) 计算距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长. 解：当 x = 450－100 = 350 时，得 当 x = 450－50 = 400 时，得 即距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长分别为 49.5 m、64.5 m. y x O -450 450 81.5 12 名师点金 利用二次函数解决抛物线形建筑物问题时，需要先建立 合适的坐标系，一般选择顶点作为原点或选择对称轴作为 轴，然后确定某些点的坐标，再用待定系数法求出函数表达 式，最后利用二次函数的图象和性质解题. 举一反三 13 应用1 利用二次函数解决建筑（拱挢）问题 （第1题） 1. 如图,这是抛物线形拱桥，当拱顶离 水面时，水面宽 ，若水面下降 ，则水面宽度增加( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 14 应用2 利用二次函数解决建筑（池塘）问题 （第2题） 2. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线 形，以水平地面为 轴，垂直于水平地面 且位于池塘中心的线为 轴建立平面直角 坐标系，池塘的宽 ，池底最深 处距离水平地面，原来的水面宽 ，若池塘中水面的 宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为______. 举一反三 15 （第2题） 【点拨】由图象可得，抛物线的顶点坐标 为，且过点， 设池塘所在 抛物线的表达式为 ，把点 的坐标代入表达式可得 ，解得， ，当池塘中水面 的宽度减少为原来的一半，即时，易知 ， ，此时最深处到水面的距离为 . 返回 举一反三 16 解：设该拱桥形成的抛物线的表达式为 y = ax2. 由题意知该抛物线过点 (10，−4)， ∴ −4 = 100a，a = −0.04. ∴ y = −0.04x2. 【练一练】有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的表达式. O A B y x 20 m h 利用二次函数解决抛物线型运动轨迹问题 2 18 例2 在一次排球比赛中，球员奋力救球，球从靠近地面处被垫起，这时非球离地面的高度 h m 与被垫起后的时间 t s 满足关系式 h = -5t² + 10t + 0.2. (1) 排球离地面的最大高度是多少？ 解 (1) h = -5t² + 10t + 0.2 = -5(t - 1)² + 5.2. 当 t = 1 时，h 取得最大值，最大值为 5.2. 答：排球离地面的最大高度是 5.2 m. (2) 已知某运动员在 2.6 m 高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，那么球被垫起后多长时间扣球最佳（结果精确到 0.1 s ）? (2) 解 (1) 知，h = -5(t - 1)² + 5.2. 当 h = 2.6 m 时，有 -5(t - 1)² + 5.2 = 2.6. 整理，得 (t - 1)² = 0.52. 解方程，得 t≈0.3， t≈1.7. 排球在上升和下落中，各有一次经过 2.6 m 的高度，但第一次经过此高度时，离排球被垫起后仅 0.3 s，如果要打快攻，选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功. 答：该运动员应在排球被垫起后 0.3 s 时扣球最佳. 例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 解：建立如图的直角坐标系. 则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)， 篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处. x y O 22 设此以 B (0，3.5) 为顶点的抛物线表达式为 y = ax2 + 3.5. 所以该抛物线的表达式为 y = -0.2x2 + 3.5. 当 x = -2.5 时，y = 2.25. 故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m. 而点 A (1.5，3.05) 在这条抛物线上， 所以有 1.52a + 3.5 = 3.05， x y O 解得 a = -0.2. 应用3 利用二次函数解决建筑（大门）问题 3. [2025陕西] 某景区大门上半部 分的截面示意图如图所示，顶部 ， 左、右门洞， 均呈抛物线形，水 平横梁，的最高点到的距离 ， ，关于所在直线对称.，，为框架，点 ， 在上，点，分别在，上，， ， 举一反三 24 .以为原点，以所在直线为 轴，以所在直线为 轴，建立平面直角 坐标系. （1）求抛物线 的函数表达式； 举一反三 【解】 , 抛物线的顶点的坐标为 . 设抛物线的函数表达式为 , , 结合二次函数的对称性得, , 将的坐标代入，得 ，解得 ， . 举一反三 26 （2）已知抛物线的函数表达式为 ， ，求 的长. 举一反三 27 由（1）得抛物线 的函数表达式 , ， ， ，且抛物线 的函数表达式为 , 举一反三 28 , 整理得 ，解得 , . 返回 举一反三 应用4 利用二次函数解决建筑（缆索）问题 4. 一条河上横 跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆 索与缆索均呈抛物线形，桥塔与桥塔 均垂直于桥 面，如图所示，以为原点，以直线为轴，以桥塔 所 在直线为 轴，建立平面直角坐标系.#1 举一反三 30 已知：缆索所在抛物线与缆索 所 在抛物线关于轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离 ， ，缆索的最低点到的距离 （桥塔的粗细忽略不计）#1.1 举一反三 31 （1）求缆索 所在抛物线的函数表达式； 【解】由题易得顶点的坐标为，点的坐标为 ， 设缆索所在抛物线的函数表达式为 ， 把点的坐标代入上式，得 ，解得 ， 缆索 所在抛物线的函数表达式为 举一反三 32 （2）点在缆索上，，且， ， 求 的长. 举一反三 33 缆索所在抛物线与缆索 所在抛物线 关于轴对称，且缆索 所在抛物线的函 数表达式为 ， 缆索所在抛物线的函数表达式为 . ， 把代入，得 ， 解得，或 . ，的长为 . 返回 举一反三 34 应用5 利用二次函数解决建筑（隧道）问题 5. 有一辆宽 为 的货车（如图①），要通过一条 抛物线形隧道（如图②）.为确保车辆 安全通过，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至 少为.已知隧道的跨度为，拱高为 . 举一反三 35 （1）若隧道为单车道，货车高为 ， 该货车能否安全通过？请说明理由. 举一反三 36 【解】货车能安全通过.理由如下：建立如图所 示的平面直角坐标系.易知抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线的函数表达式为 . 当时， . , 该货车能够安全通过. 将点的坐标代入上式，得，解得 ， 抛物线的函数表达式为 , 举一反三 37 （2）若隧道为双车道，且两车道之间有 的隔离带，通 过计算说明该货车能够通过的最大安全高度. 当 时， ， 货车能够通过的最大安 全高度为 . 返回 举一反三 38 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （实物型抛物线问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 课堂小结 谢谢观看 THANKS $