21.5 第4课时 反比例函数 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的实际应用、k的几何意义及与一次函数综合，通过“看轴、看图、设式、求解”四步法复习导入，衔接函数解析式确定旧知，为新知探究搭建学习支架，引导学生从已知过渡到反比例函数具体应用。 其亮点是以杠杆原理、拉面制作、药物浓度等现实情境为载体，培养学生用数学眼光观察世界。通过问题链设计发展推理意识，结合k的几何意义探究强化模型意识，帮助学生用数学语言表达问题。分层练习与明确小结提升学生应用能力，也为教师提供清晰教学路径。

（沪科版）九年级上 第21章 二次函数与反比例函数 21.5.4 反比例函数 1.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。 2.体会反比例函数在刻画变量之间反向变化关系中的独特作用，增强数学应用意识。 学习目标 由函数图象确定函数解析式的方法 一看轴 二看图 三设式 四求解 看横轴、纵轴表示的具体含义 观察图象形态，选择函数模型 设出函数解析式 将图中已知点的坐标代入解析式，求出待定系数 复习导入 03 新知探究 问题：小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200N 和 0.5m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， ∴ F 关于l 的函数解析式为 对于函数，当 l =1.5 m时，F =400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力. 4 03 新知探究 (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 解：当F=400×=200时，由200 =得 3-1.5=1.5 对于函数，当 l ＞0 时，l 越大，F越小. 因此，若想用力不超过 400N的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m. 例1 做拉面的过程中，渗透着反比例函数的知识．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出y与S之间的函数表达式； (2)当面条的横截面积为1.6 mm2时，面条的总长度是多少米？ (3)要使面条的横截面积不多于1.28 mm2，面条的总长度至少是多少米？ 例题讲解 Administrator (A) - 教学时，要让学生注意单位长度所表示的数值。让学生相互交流，领会实际问题的数学意义，体会数与形的统一，发展几何直观。 03 新知探究 例2、某药物研究所开发一种新药，经多年动物实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度yμg/mL与服药时间x h之间的函数关系如图所示(当0≤x＜4时，y与x成正比例；当4≤x≤10时，y与x成反比例). （1）分别求出血液中药物浓度y与服盗时间x之间的函数关系； （2）血液中药物浓度不低于4 μg/mL的持续时间为多长? 03 新知探究 解：（1）①当0≤x＜4时,设正比例函数表达式为y=ax. 函数图象经过点(4,8),代入上式,得8=4a.解方程，得a=2. 故正比例函数表达式为y=2x. ②当4≤x≤10时，设反比例函数表达式为y=. 函数图象经过点(4,8),代入上式,得8=.解方程，得k=32. 故反比例函数表达式为y=. 综上所述，血液中药物浓度y与服药时间x之间的 函数表达式为 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（2,2） Q（4,1） 知识点二 反比例函数解析式 中k的几何意义 合作探究 1.在反比例函数 的图象上分别取点P（2,2），Q（4,1）向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=k 1 2 3 4 5 -1 -3 -2 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 5 x y O Q P S1 S2 获取新知 2.若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P（-1,4），Q（-2,2）两点，填写表格： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（-1,4） Q（-2,2） 4 4 S1=S2 S1=S2=-k y x O P Q S1 S2 03 新知探究 解：（2）①当0≤x＜4时,由y≥4,得2x≥4.解不等式,得x≥2. 所以2≤x＜4. ②当4≤x≤10时,由y=4,得4=.解方程，得x=8. 由k＞0，知反比例函数图象在第一象限内自左向右下降. 所以当y≥4时,4≤x≤8. 综上所述，当y≥4时，2≤x≤8. 持续时间为8-2 =6(h). 答：血液中药物浓度不低于4 μg/mL的持续时间为6 h. 03 新知探究 应用反比例函数解决实际问题的一般步骤 (1)设出反比例函数表达式y=; (2)根据题意(或一个点的坐标)求出k的值; (3)根据表达式解决问题,注意实际问题中自变量的取值范围. 归纳 由前面的探究过程，可以猜想: 若点P是函数 (k为常数，k≠0)图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|. 归纳总结 A O P x y B 如图，A为反比例函数 图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO 的面积为 . 方法规律： 过双曲线 上的任意一点向 x轴 或 y轴 作垂线，连接该点与原点，与坐标轴围成的三角形的面积等于 . 2 对应练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 C 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： D A. B. C. D. 2.已知近视眼镜的度数 与镜片焦距 之间成图1所示的反比例函数关系，则眼镜度数 与镜片焦距 之间的函数表达式为( ) . 知识点三 反比例函数与一次函数综合 合作探究 获取新知 例3 已知正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数 的图象都经过点A(m,2). (1)求k,m 的值；. 解：（1） 将点A 的坐标(m,2) 代人反比例函数得 解方程，得m=3. 将点A的坐标(3,2)代人正比例函数得 2=3k. 解方程，得 获取新知 （2）在图中画出正比例函数y=kx 和反比例函数 y = 的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围. 解： (2)如图： 由图象可知，这两个函数有两个交点，交点坐标分别是(3,2)和(-3,-2). 所以当正比例函数值大于反比例函数值时，x 的取值范围为x>3或 -3<x<0. 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 3.某校科技小组为了验证某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间的关系I=,测得数据如下: 那么,当电阻R=55 Ω时,电流I=　　 A.  4 R(Ω) 100 200 220 400 I(A) 2.2 1.1 1 0.55 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 400 4.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积 的反比例函数，其函数图象如图2．当 时，这个物体承受的压强 的值为_____ . 反比例函数的实际应用 实际问题与反比例函数 解题过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 反比例函数图象中比例系数k的几何意义 课堂小结 反比例函数与一次函数综合应用 22 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 23 05 课堂小结 实际问题与反比例函数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同 谢谢大家聆听 解：(1)由题意可设y与S之间的函数表达式为y＝eq \f(k,S). ∵点P(4，32)在图象上，∴32＝eq \f(k,4)，∴k＝128. ∴y与S之间的函数表达式为y＝eq \f(128,S)(S>0)． (2)把S＝1.6代入y＝eq \f(128,S)中，得y＝eq \f(128,1.6)＝80. ∴当面条的横截面积为1.6 mm2时，面条的总长度是80 m. (3)把S＝1.28代入y＝eq \f(128,S)中，得y＝100. 由图象可知，要使面条的横截面积不多于1.28 mm2，面条的总长度至少是100 m. $