21.3 第1课时 二次函数与一元二次方程（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过小球飞行高度的实际情境导入，引导学生发现当函数值确定时转化为一元二次方程，建立代数角度（y=0时方程形式）与几何角度（交点横坐标即方程根）的联系，为综合应用搭建学习支架。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过归纳表格对比交点情况与方程根的关系、典例推理（如用判别式判断交点个数）发展数学思维，分层练习和易错点总结帮助学生用数学语言表达数量关系。学生能提升数形结合能力，教师可借助系统资源提高教学效率。

21.3 第1课时 二次函数与一元二次方程专项练习 【核心知识梳理】 本节课是沪科版九年级上册二次函数综合应用的重要内容，核心是掌握二次函数图象与一元二次方程的关系，实现函数与方程的数形结合转化，是中考高频考点。从代数角度看，二次函数 \(y=ax^2+bx+c(a≠0)\) 中，当函数值 \(y=0\) 时，式子就转化为一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\)；从几何角度看，方程的解对应抛物线与 \(x\) 轴交点的横坐标。 一、核心对应关系：抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 与 \(x\) 轴的交点个数，由一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的根的判别式 \(\Delta=b^2-4ac\) 决定。当 \(\Delta>0\) 时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与 \(x\) 轴有两个不同交点；当 \(\Delta=0\) 时，方程有两个相等的实数根，抛物线与 \(x\) 轴只有一个交点（顶点在 \(x\) 轴上）；当 \(\Delta<0\) 时，方程无实数根，抛物线与 \(x\) 轴没有交点。 二、方程解的几何意义：若抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 与 \(x\) 轴交于点 \((x_1,0)\)、\((x_2,0)\)，则 \(x_1、x_2\) 就是一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的两个实数根。反之，求出方程的实数根，即可直接得到抛物线与 \(x\) 轴的交点横坐标，快速确定图象与坐标轴交点位置。 三、拓展应用：已知二次函数函数值求自变量，本质都是解一元二次方程。例如已知 \(ax^2+bx+c=m\)，可变形为 \(ax^2+bx+(c-m)=0\)，通过解方程求出对应 \(x\) 的值，对应图象上纵坐标为 \(m\) 的点的横坐标。该知识点打通了代数运算与函数图象的联系，是后续二次函数综合题、不等式题型的基础。 【基础专项练习题】 1. 填空题：二次函数 \(y=x^2-3x+2\) 的图象与 \(x\) 轴交点坐标为________，对应一元二次方程 \(x^2-3x+2=0\) 的根为________。 2. 填空题：若抛物线 \(y=x^2-2x+m\) 与 \(x\) 轴有且只有一个交点，则 \(m=\)________。 3. 选择题：已知二次函数 \(y=2x^2+4x+3\)，则该抛物线与 \(x\) 轴的交点情况是（） A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 无交点 D. 无法判断 4. 选择题：若二次函数 \(y=ax^2+bx+c\) 的图象经过点 \((-2,0)\)、\((4,0)\)，则方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的根为（） A. \(x_1=0，x_2=4\) B. \(x_1=-2，x_2=4\) C. \(x_1=2，x_2=-4\) D. \(x_1=-2，x_2=0\) 【提升专项练习题】 5. 解答题：已知二次函数 \(y=x^2-4x-5\)，（1）判断该抛物线与 \(x\) 轴的交点个数；（2）求出抛物线与 \(x\) 轴的交点坐标；（3）直接写出方程 \(x^2-4x-5=0\) 的解。 6. 解答题：已知二次函数 \(y=-x^2+2x+k\)，（1）若抛物线与 \(x\) 轴有两个交点，求 \(k\) 的取值范围；（2）若抛物线经过点 \((3,0)\)，求 \(k\) 的值及方程 \(-x^2+2x+k=0\) 的另一个根。 【参考答案与详细解析】 1. 答案：\((1,0)\)、\((2,0)\)；\(x_1=1，x_2=2\)。解析：令 \(y=0\)，解方程 \(x^2-3x+2=0\)，因式分解得 \((x-1)(x-2)=0\)，解得两根，对应交点横坐标。 2. 答案：\(1\)。解析：抛物线与 \(x\) 轴只有一个交点，即 \(\Delta=0\)。\(\Delta=(-2)^2-4\times1\times m=4-4m=0\)，解得 \(m=1\)。 3. 答案：C。解析：计算判别式 \(\Delta=4^2-4\times2\times3=16-24=-8<0\)，方程无实数根，抛物线与 \(x\) 轴无交点。 4. 答案：B。解析：抛物线与 \(x\) 轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，因此方程两根为 \(x_1=-2，x_2=4\)。 5. 解析：（1）\(\Delta=(-4)^2-4\times1\times(-5)=16+20=36>0\)，抛物线与 \(x\) 轴有两个交点；（2）令 \(y=0\)，\(x^2-4x-5=0\)，解得 \(x_1=5，x_2=-1\)，交点坐标为 \((-1,0)\)、\((5,0)\)；（3）方程的解为 \(x_1=-1，x_2=5\)。 6. 解析：（1）抛物线与 \(x\) 轴有两个交点，则 \(\Delta>0\)，\(\Delta=2^2-4\times(-1)\times k=4+4k>0\)，解得 \(k>-1\)；（2）将 \((3,0)\) 代入函数得 \(-9+6+k=0\)，解得 \(k=3\)，函数为 \(y=-x^2+2x+3\)，解方程得另一根为 \(x=-1\)。 【易错点总结】本节常见易错点：一是混淆判别式与交点个数的对应关系，记错 \(\Delta\) 正负对应的交点数量；二是误以为方程无解就是函数无图象，实际是抛物线不与 \(x\) 轴相交；三是审题不清，混淆“与 \(x\) 轴交点”和“与 \(y\) 轴交点”；四是根据交点求方程根时出现符号错误。解题核心是牢记“交点横坐标=方程实数根”，利用判别式快速判断位置关系，熟练掌握数形结合思想。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.3 第1课时 二次函数与一元二次方程 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系： h = 20t - 5t2. 考虑以下问题： 情境导入 (1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？ h = 20t - 5t2 O h/m t/s 15 1 3 故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m. 解：令 15 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1， t2 = 3. 你能结合上图指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？ 1 二次函数与一元二次方程的关系 (2) 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？ O h/m t/s 20 2 解：令 20 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t + 4 = 0， 解得 t1 = t2 = 2. 故当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m. h = 20t - 5t2 解：令 20.5 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t + 4.1 = 0， 因为 Δ = (-4)2 - 4×4.1＜0， 所以方程无解. 故小球的飞行高度达不到 20.5 m. (3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？ O h/m t/s 你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗? 20.5 h = 20t - 5t2 5 (4) 小球从飞出到落地要用多少时间？ O h/m t/s 令 0 = 20t - 5t2， 整理，得 t2 - 4t = 0， 解得 t1 = 0，t2 = 4. 即当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m. 故小球从飞出到落地要用 4 s 时间. h = 20t - 5t2 解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m， 从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c 何时为一元二次方程? 一般地，当因变量 y 取某一个确定值时，二次函数为一元二次方程. 为一个常数 （确定值） 如：y = 5 时，则 5 = ax2 + bx + c 就是一个一元二次方程. 归纳总结 7 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求对应的自变量 x 的值，可以通过解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）得到． 反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值． 名师点金 1.二次函数的图象与轴交点的个数由 的值决定. 2.由二次函数的图象与 轴交点的情况,可求未知系数的值或 取值范围,但要注意二次项系数不等于0. . . . . 举一反三 9 知识点1 二次函数与一元二次方程之间的关系 1. 已知抛物线与 轴有且只有一个交点，则 ___. 9 2. 若关于的一元二次方程 的两个根为 ,，则二次函数 的图象的对称 轴为__________. 直线 返回 举一反三 10 3. 二次函数的图象过点 ，则 关于的方程 的解为_______________. , 【点拨】抛物线的对称轴为直线 ，而抛物线与 轴的一个交点坐标为，所以抛物线与 轴的另一个交 点坐标为.所以关于的方程 的解为 ， . 返回 举一反三 11 利用二次函数深入探讨一元二次方程 思考 观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当 x 取交点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y = x2 + 3x + 2； （2）y = x2 - 6x + 9； （3）y = x2 - x + 1. 2 12 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋3x＋2 观察图象，完成下表： 抛物线与 x 轴交点个数 交点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y=x2-x+1 y=x2-6x+9 y=x2+3x+2 0 个 1 个 2 个 x2 - x + 1 = 0,无解 3 x2-6x+9=0,x1=x2=3 -2，-1 x2+3x+2=0,x1=-2,x2=-1 13 二次函数 y = ax2 + bx + c 的 图象与 x 轴交点情况 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 b2 - 4ac 有两个交点(x1,0),(x2,0) 有两个不相等的实数根 x1,x2 b2 - 4ac＞0 b2 - 4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2 - 4ac＜0 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点情况与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 有一个交点( ,0) 有两个相等的实数根x1=x2= 归纳总结 14 例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m≠0). (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点； 证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 (m ≠ 0)， ∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0， ∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有两个实数根. ∴ 抛物线 y＝mx2－(m＋2)x＋2 与 x 轴总有交点. 典例精析 解：令 y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0 或 mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当正整数 m = 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数 m 的值为 1. 例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m≠0). (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． 变式：已知抛物线 y＝x2＋ax＋a－2. (1) 求证：不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点； (2) 设这个抛物线与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2 的平方和为 3，求 a 的值． (1) 证明：∵ a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴ 不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点. (2) 解：依题意知 x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴ x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3. ∴ a＝1. 例2 如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？如果能，此时离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达 到 3 m？为什么？ 解：令 即 解得 故当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是 1 m 或 5 m. （1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？ (2) 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？ 解：令 即 解得 故当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，它离初始位置的水平距离是 3 m. 解：令 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3 m. (3) 铅球离地面的高度能否达到 3 m？为什么？ 二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了. 归纳总结 例3 用图象法求一元二次方程 x² + 2x - 1 = 0 的近似解 （精确到 0.1）. 分析：一元二次方程 x² + 2x - 1 = 0 的根就是抛物线 y = x² + 2x - 1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法. 利用二次函数求一元二次方程的近似解 3 解：画出函数 y = x² + 2x - 1 的图象 (如图)，由图象可知，方程 x² + 2x - 1 = 0 有两个实数根，一个在 -3 与 -2 之间，另一个在 0 与 1 之间. x y O 先求位于 -3 到 -2 之间的根，由图象可估计这个根是 -2.5 或 -2.4，利用计算器进行探索，见下表： x … -2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04 … 观察上表可以发现，当 x 分别取 -2.5 和 -2.4 时，对应的 y 由正变负，可见在 -2.5 和 -2.4 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有方程 x2 - 2x -1 = 0 的一个根. 题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -2.5 和 x = -2.4 作为根都符合要求.但当 x = -2.4 时 y 更接近 0，故 x1≈-2.4. 同理可得另一近似根为 x2≈0.4. 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. (1) 用描点法作出二次函数的图象； (2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似根). (3) 确定方程的解. 由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解. 归纳总结 解析：由图象可得该抛物线的对称轴为 x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点 到原点的距离约为 0.5，∴ x2≈0.5. 又∵ 对称轴为 x＝－1，∴ ＝－1. ∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故选 B. 例4 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 B 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 方法总结 4. 如图是二次函数 的图象，若 关于的方程 总有一正一负两 个实数根，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 举一反三 29 【点拨】如图所示，当时，抛物线 与 直线 有两个交点，且一个交点的横坐标为正，另一个 交点的横坐标为负.所以当关于的方程 总 有一正一负两个实数根时，的取值范围是 ,故选A. （第4题） 返回 举一反三 30 5. 已知，若关于 的方程 的解为，，关于 的方程 的解为， .则下列结论正确 的是( ) B A. B. C. D. 举一反三 31 【点拨】关于的方程 的解为抛物线 与直线的交点的横坐标，关于 的方程 的解为抛物线 与直线 的交点的横坐标.画示意图如图.由图可知， ，故选B. （第5题） 返回 举一反三 32 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 6. 根据下列表格中的对应值,判断方程 的一个解的范围是( ) 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 C A. B. C. D. 返回 举一反三 33 知识点3 利用图象法解一元二次不等式 7. 如图,抛物线与轴交于点, . （第7题） （1）方程 的解为___________ _______； , （2）不等式 的解集为_______ ______； （3）不等式 的解集为_______ ________. 或 返回 举一反三 34 （第8题） 8. 如图，已知二次函数 与一次函数 的图象相交于 , 两点，则关于 的不等式 的解集为_______ ________. 或 举一反三 35 （第8题） 根据两个图象交点的横坐标，再根 据图象的上下关系（图象在上方即函数值较 大），得出不等式的解集.如本题，观察图象 可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为 和4，因此抛物线在上、直线在下的自变量的 取值范围为或 . . . . . 返回 举一反三 36 易错点 忽略二次项系数为0时为一次函数而漏解 9. 若函数的图象与 轴有且只有一 个交点，则交点的坐标是_ ___________________. 或或 举一反三 37 【点拨】 函数的图象与 轴有且只 有一个交点， 分两种情况讨论： ①当函数为一次函数时，，解得 .此时，函数 的图象与轴交点的坐标为 . 举一反三 38 ②当函数为二次函数时，对应的一元二次方程的根的判别式 ，解得， . 当时，函数 的图象 与轴交点的坐标为 . 当时，函数的图象与 轴交 点的坐标为 . 举一反三 39 因为二次项系数含有字母，所以要分两种情况讨论： ①函数是一次函数；②函数是二次函数，不能看到已知“图象 与 轴有且只有一个交点”就盲目认为其所对应的一元二次方 程的根的判别式为0. . . 返回 举一反三 40 10. [2025德阳] 已知抛物线，， 是 常数，过点,，且 ，该抛物线与直 线，是常数，相交于, 两点（点在点左侧）.下列结论：①；② ； ③点是点关于直线的对称点，则 ；④ 当时，不等式的解集为 . 其中正确的结论个数是( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 举一反三 41 【点拨】 抛物线过点和， 抛物线 为，且， ， ，结论①正确； ， ， ， ，结论②错误；由题意，第一种 举一反三 42 情况，若， 对称轴为直线， 对称点 的横 坐标为 两点间的横向距离为 ， ，即 ；第二种情况，若，则 ，故结论 ③错误；当时，方程的根为 和，即， 不等式 的解集为 ，结论④正确.综上，正确 结论为①④，共2个，故选B. 返回 举一反三 11. 当，2，3， ，， 时，二次函数 的图象与 轴所截得的线段长 度之和为_ ____. 举一反三 44 【点拨】当时，，设 和是方程的两个解， 为二 次函数的图象与 轴所截得的 线段长度，则， ，则 ， . 返回 举一反三 45 12. 如图，这是拋物线 的部分图象，对 称轴为直线，与轴的交点为 ， 且，则关于 的一元二次方程 的整数解的和为____. 举一反三 46 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)，当 y 取确定值时就成了一元二次方程；ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，右边换成 y 时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与 x 轴的交点个数 b2 - 4ac 的符号 一元二次方程根的情况 课堂小结 谢谢观看 THANKS $