21.3 第1课时二次函数与一元二次方程（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心知识点为二次函数图象与x轴交点的横坐标即对应方程的根，通过判别式判断根的三种情况。课堂导入从一次函数与一元一次方程的关系切入，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然迁移。 其亮点在于以多个函数图象实例（如y=x²+3x+2等）让学生观察交点，结合判别式归纳关系，培养几何直观与推理意识。课堂小结从“数”（方程根）与“形”（交点横坐标）双维度总结，帮助学生建立模型意识。学生能深化数形结合思想，教师可借助结构化流程与巩固练习提升教学效率。

【新教材】沪科版·九年级上册 21.3二次函数与一元二次方程的关系 （第1课时） 第二十一章 二次函数与反比例函数 21.3二次函数与一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数图象与x轴交点的横坐标是方程 ax²+bx+c=0 的根，能利用判别式判断方程根的三种情况. 经历由抛物线交点位置判断方程根的情况的过程，体会数形结合思想，学会用图象法分析方程根的存在性. 感受函数与方程之间的内在联系，体会"数"与"形"相互转化的数学价值. 新课引入 我们以前学习过一次函数与一元一次方程的关系，一次函数 () 的图象与 轴的交点和一元一次方程 的根有什么关系？ 一次函数 () 的图象与 轴交点的横坐标就是一元一次方程 的根. 一元一次方程 的根，就是一次函数 () 的图象与 轴交点的横坐标. 新课引入 1.一次函数 y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 x 的方程 kx+b=3的解为________． 1 3 O x y 2 y=kx+b x=2 类似地，通过观察二次函数的图象，我们也可以认识二次函数与一元二次方程之间的联系. 新知探究 观察下图，说一说二次函数的图象与x轴有几个交点?交点的横坐标与一元二次方程 的根有什么关系? 新知探究 通过图中的函数图象可以看出： (1) 抛物线  与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标分别是−2，−1. 当 x 取 公共点的横坐标时，函数值是 0. 由此可知，方程 有两个不相等的实数根 . 新知探究 观察下图，说一说二次函数y=x2-8x+16的图象与x轴有几个交点?交点的横坐标与一元二次方程x2-8x+16=0 的根有什么关系? 新知探究 通过图中的函数图象可以看出： (1) 抛物线 y=x2-8x+16 与 x 轴有一个交点，它们的横坐标都是4. 当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0. 由此可知，方程x2-8x+16=0 有两个相等的实数根 . 新知探究 观察下图，说一说二次函数y=x2-x+1的图象与x轴有几个交点?交点的横坐标与一元二次方程x2-x+1=0的根有什么关系? 新知探究 通过图中的函数图象可以看出： (1) 抛物线 y=x2-x+1 与 x 轴没有交点， 由此可知，方程x2-x+1 =0 没有实数根. 新知探究 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 新知巩固 1.对于抛物线y=ax2+bx+c ，当 时，方程ax2+bx+c=0 的实数根的情况是 ， 抛物线与轴的交点有 个；当时，方程ax2+bx+c=0的实数根的情况是 ， 抛物线与 轴的交点有 个，当时，方程ax2+bx+c=0的实数根的情况是 ， 抛物线与 轴的交点有 个 . 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 0 1 2 【选自教材P31 练习第1题】 新知巩固 【选自教材P32 练习第2题】 2.判断下列二次函数的图象与 轴的交点情况: 新知巩固 因为 所以二次函数的图象与轴有两个不同的交点. 新知巩固 因为 所以二次函数的图象与轴有一个交点. 新知巩固 因为 所以二次函数的图象与轴有没有交点. 新知巩固 3.求证：抛物线 与 轴必有两个不同的交点. 所以一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线 与 轴必有两个不同的交点. 【选自教材P32 练习第3题】 课堂小结 抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 形 课堂小结 数：解方程，求函数值为0时x； 形：找交点，取抛物线与x轴交点横坐标。 判别式同时决定方程根的个数与图象交点个数。 当堂检测 1.已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1, 0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( ). A.x1=1, x2=-1 B.x1=1, x2=2 C.x1=1, x2=0 D.x1=1, x2=3 2.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ). A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 B D 当堂检测 3.已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为 . (-1，0) 4.已知抛物线 轴没有交点，则的取值范围是_________． 当堂检测 5.已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数． ∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，∴k=3. 当k≠3时，y=(k-3)x2+2x+1是二次函数． ∵二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点， ∴Δ=b2-4ac≥0. ∵b2-4ac=22-4(k-3)=-4k+16， ∴-4k+16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 【新教材】沪科版·九年级上册 感谢聆听! $