21.5 第1课时 反比例函数（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的定义、三种等价形式及判定求参，通过“笔记本单价与数量”情境表格导入，引导学生观察变量乘积关系，衔接一次函数、二次函数知识，构建函数学习支架，为后续图象性质学习奠基。 其亮点在于以数学眼光观察现实（购物、行程等情境），用数学思维推理定义（合作探究抽象反比例关系），借数学语言表达（三种形式及建模应用）。如用“xy=k”判断关系，跨学科例题（杠杆平衡）培养模型意识，分层练习和易错点总结助学生掌握，教师可直接用于教学提升效率。

21.5 第1课时 反比例函数专项练习 【核心知识梳理】 本节课是沪科版九年级上册21.5反比例函数的入门课时，是继一次函数、二次函数之后初中阶段学习的第三种基础函数，属于中考必考基础题型。本节课重点掌握反比例函数的定义、解析式、自变量取值范围以及函数的基本特征，为后续学习反比例函数图象、性质与综合应用奠定基础。 反比例函数的标准定义：一般地，形如 $$y=\dfrac{k}{x}$$（$$k$$ 为常数，$$k≠0$$）的函数叫做反比例函数。其中 $$x$$是自变量，$$y$$ 是 $$x$$ 的函数，自变量 $$x$$ 的取值范围是不等于0的一切实数。因为分母不能为零，$$x≠0$$，对应的函数值$$y$$ 也恒不为0。 反比例函数的三种等价形式，解题可灵活互换：一是标准分式型 $$y=\dfrac{k}{x}$$；二是乘积型 $$xy=k$$（最常用于判断反比例关系）；三是负指数型 $$y=kx^{-1}$$。需要注意，解析式中 $$x$$ 的次数必须为 $$-1$$，且常数项为0，$$k$$ 为非零常数，含加减项、次数不为-1的函数均不是反比例函数。 核心判定方法与求参技巧：判断两个变量是否成反比例，只需看二者乘积是否为固定非零常数；已知反比例函数图象上任意一点坐标，可代入解析式快速求出比例系数 $$k$$。本课时常考参数求解、函数辨析、反比例关系判断，题型基础但易错，是后续综合题型的铺垫。 【基础专项练习题】 1. 填空题：已知函数 $$y=\dfrac{6}{x}$$，该函数是________函数，自变量 $$x$$ 的取值范围是________，比例系数 $$k=$$________。 2. 填空题：若函数 $$y=(m-2)x^{m^2-5}$$ 是反比例函数，则 $$m$$ 的值为________。 3. 选择题：下列函数中，属于反比例函数的是（） A. $$y=3x$$ B. $$y=\dfrac{3}{x}$$ C. $$y=3x+1$$ D. $$y=\dfrac{3}{x+1}$$ 4. 选择题：已知反比例函数 $$y=\dfrac{k}{x}$$ 经过点 $$(3,-2)$$，则 $$k$$ 的值为（） A. 6 B. -6 C. 5 D. -5 【提升专项练习题】 5. 解答题：判断下列函数是否为反比例函数，若是，写出比例系数 $$k$$；若不是，说明理由。（1）$$y=-\dfrac{5}{x}$$；（2）$$y=\dfrac{1}{2x}$$；（3）$$y=\dfrac{1}{x}+1$$。 6. 解答题：已知 $$y$$ 与 $$x$$ 成反比例，且当 $$x=4$$ 时，$$y=-3$$。（1）求 $$y$$ 关于 $$x$$ 的函数解析式；（2）求当 $$x=-2$$ 时，对应的函数值$$y$$。 【参考答案与详细解析】 1. 答案：反比例；$$x≠0$$；6。解析：符合 $$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$$ 形式，为反比例函数，分母不为零，自变量取值不为0，比例系数为6。 2. 答案：-2。解析：反比例函数要求次数 $$m^2-5=-1$$，且系数 $$m-2≠0$$，解得 $$m^2=4$$，$$m=±2$$，舍去 $$m=2$$，故$$m=-2$$。 3. 答案：B。解析：A是正比例函数，C是一次函数，D分母为多项式，不符合反比例函数定义，只有B为标准反比例函数。 4. 答案：B。解析：将点 $$(3,-2)$$ 代入解析式，$$k=xy=3×(-2)=-6$$。 5. 解析：（1）是反比例函数，$$k=-5$$；（2）可化为 $$y=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x}$$，是反比例函数，$$k=\dfrac{1}{2}$$；（3）不是反比例函数，解析式含常数项，无法化为标准反比例函数形式。 6. 解析：（1）设解析式 $$y=\dfrac{k}{x}$$，代入 $$x=4，y=-3$$，得 $$k=-12$$，解析式为 $$y=-\dfrac{12}{x}$$；（2）将 $$x=-2$$ 代入，得 $$y=6$$。 【易错点总结】本节高频易错点：一是混淆反比例函数形式，误将$$y=\dfrac{1}{x+1}$$、$$y=\dfrac{1}{x}+1$$ 判定为反比例函数；二是求参数时忽略系数 $$k≠0$$ 的隐含条件，导致多解出错；三是记错自变量取值范围，遗漏$$x≠0$$；四是求解 $$k$$ 时代入坐标符号计算失误。解题核心是紧扣次数为-1、系数非零、无额外常数项三大判定条件，精准辨析函数类型。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.5 第1课时 反比例函数 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 ？ ？ 新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？ 笔记本单价 x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记本数量 y/本 … 通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？ 20 15 12 10 6 4 ？ 情境导入 2 反比例函数的概念 【合作探究】 问题1 汽车从 H 地到 F 地行程 300 km，汽车行驶全程所需的时间和平均速度之间有怎样的数量关系？又有怎样的变化关系？ 1 解 设汽车行驶全程所需时间为 t h，平均速度为 v km/h，则有数量关系 vt = 300. 所需时间 t 与平均速度 v 的乘积不变.由此可以看出它们的变化关系：若 v 增大则 t 减小，若 t 增大则 v 减小. 探究新知 3 问题2 如果要制作一个面积为 100 cm² 的矩形，那么矩形相邻两边长间有怎样的数量关系？又有怎样的变化关系？ 解 设矩形一边长为 x cm，邻边长为 y cm，则有数量关系 xy＝100. 相邻两边长 x 与 y 的乘积不变. 由此可以看出它们的变化关系：若 x 增大则 y 减小，若 y 增大则 x 减小. 探究新知 问题3 在一个电路中，当电压 U 一定时，通过电路的电流 I 与该电路的电阻 R 之间有怎样的数量关系？又有怎样的变化关系？ 解 由电学可知，I 与 R 之间的数量关系可表示为 I R＝U. 电流 I 与电阻 R 的乘积不变.由此可以看出它们的变化关系：若 R 增大则 I 减小，若 I 增大则 R 减小. 探究新知 问题：观察以上三个表达式，你觉得它们有什么共同特点？ 像这样，如果两个量的乘积一定，那么这两个量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系. vt = 300 xy＝100 I R＝U 探究新知 上面三个问题中的两个相关的量分别成反比例关系，它们的数量关系可表示为 的形式，即 知识要点 追问：t 与 v ，y 与 x ，I 与 R 是函数关系吗？ 探究新知 上面的式子中分别有两个变量，其中当 v 取一个确定的值时，t 有唯一确定的值与之对应；当 x 取一个确定的值时，y 有唯一确定的值与之对应；当 R 取一个确定的值时，I 有唯一确定的值与之对应. 因此，t 是 v 的函数，y 是 x 的函数，I 是 R 的函数. 一般地，形如 ( k 为常数，且 k > 0) 的函数叫作反比例函数. 探究新知 反比例函数 (k ≠ 0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个表达式 中，作为边长 x 的取值应满足 x＞0，且当 x 取每一个确定的值时，y 都有唯一确定的值与其对应. 探究新知 1.下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 是，k = 3 不是 不是 不是 是， 做一做 探究新知 10 解：因为 是反比例函数， 所以 4－k2 = 0， k－2 ≠ 0. 解得 k =－2. 所以该反比例函数的表达式为 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程 (组) 求解即可. 例1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的表达式. 探究新知 1. 已知函数 是反比例函数，则 k 必须 满足 . 2. 当 m = 时， 是反比例函数. k≠2 且 k≠-1 ±1 练一练 探究新知 名师点金 1.反比例函数有三种表达形式：（1）；（2） ； （3），其中是常数，且 . 2.判断一个函数是不是反比例函数，先看它是否符合反比例 函数的三种表达形式之一，再看 是否不为零. 举一反三 13 知识点1 反比例函数的定义 1. 下列函数中，是 的反比例函数的有( ) A ①；②；③;④ ； ⑤；⑥；⑦；⑧ . A. ②④ B. ②③⑤⑧ C. ②⑦⑧ D. ①③④⑥ 返回 举一反三 14 2. 下列关于正比例函数和反比例函数 的说 法，正确的是( ) B A. 自变量 的指数相同 B. 比例系数相同 C. 自变量的取值范围相同 D. 函数 的取值范围相同 返回 举一反三 15 3. 关于下列关系式的说法正确的是( ) A A. 在中,与 成正比例 B. 在中,与 成反比例 C. 在中,与 成正比例 D. 在中,与 成反比例 返回 举一反三 16 确定反比例函数的表达式 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6. (1) 写出 y 关于 x 的函数表达式； 提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x = 2 和 y = 6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以有 解得 k = 12. 因此 2 探究新知 (2) 当 x = 4 时，求 y 的值. 解：把 x = 4 代入 ，得 方法总结：用待定系数法求反比例函数表达式的步骤： ① 设出含有待定系数的反比例函数表达式； ② 将已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式，得到关于待定系数的方程； ③ 解方程，求出待定系数的值； ④ 写出反比例函数的表达式. 探究新知 3.已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3 时，y =－4. (1) 求 y 关于 x 的函数表达式； (2) 当 y = 6 时，求 x 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x = 3 时，y =－4，所以有 解得 k =－12. 因此 (2) 把 y = 6 代入 ，得 解得 x = －2. 练一练 探究新知 例3 在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa是它的受力面积 S m2 的反比例函数，已知受力面积为 0.1 m²时，所受的压强为 1000 Pa. (1) 求 p 与 S 之间的函数表达式； 解：(1) 设 . 函数图象过点 (0.1，1000)， 代入上式，得 解得 k = 100. 所以 p 与 S 的函数表达式是 . p/Pa S/m2 O 0.1 1000 探究新知 20 (2) 当受力面积为 0.5 m2 时，求物体承受的压强. (2) 当 S = 0.5 时， 答：当受力面积为 0.5 m² 时，物体承受的压强为 200 Pa. p/Pa S/m2 O 0.1 1000 探究新知 21 建立简单的反比例函数模型 例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度. 如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数表达式，并计算当车速为 100 km/h 时视野的度数. 3 探究新知 22 当 v = 100 时，f = 40. 所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度. 解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80，所以 解得 k = 4000. 因此 探究新知 4.如图，已知菱形 ABCD 的面积为 180，设它的两条对角线 AC，BD 的长分别为 x，y. 写出变量 y 与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. A B C D 解：因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半， 所以 所以变量 y 与 x 之间的关系式为 ， 它是反比例函数. 练一练 探究新知 知识点2 用点的坐标确定反比例函数的表达式 4. 已知点在反比例函数的图象上，则 的值为( ) C A. B. 3 C. D. 6 5. 已知是的反比例函数，下表给出了与 的部分对应值， 表中“ ”处的数为___. 2 3 3 -2 返回 举一反三 25 6. 在平面直角坐标系中，若函数 的图象经 过点和点，则 的值为___. 3 返回 举一反三 26 知识点3 建立反比例函数的模型 7. 如图，机器狗是一种 模拟真实犬只形态和部分行为的机器装 置，其最快移动速度 是载重后总 质量 的反比例函数.已知一款机器 狗载重后总质量，它的最快移动速度 ,则 机器狗的移动速度与总质量 的关系式为_ _______. 返回 举一反三 27 8. 若矩形的面积是10，相邻两边的长分别为，，则与 之间的函数表达式为______________. 9. 杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.已知 阻力和阻力臂分别为和，动力为 ，动力臂 为.则动力关于动力臂 的函数表达式为_ _______. 返回 举一反三 28 易错点 忽视反比例函数中 不能为0 10. 已知反比例函数的表达式为,则 的取值范围是 ________. 返回 举一反三 29 11. 定义: 为反比例函数 ,,为实数的“关联数”.反比例函数 的 “关联数”为,反比例函数 的“关联数”为 ,若 ,则( ) C A. B. C. D. 无法比较 举一反三 30 【点拨】根据题意，得 , , . 返回 举一反三 31 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位：A）与电阻（单位： ）是反比例函数关系，它 的图象如图所示. 举一反三 32 （1）求这个反比例函数的表达式 （不要求写出自变量 的取值范围）. 【解】设这个反比例函数的表达式为 ，把的坐标代入中，得 ， 解得 , 这个反比例函数的表达式为 . 举一反三 33 （2）当电阻为 时，求此时的电流 . 当 时， , 此时的电流为 . 返回 举一反三 34 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数表达式 反比例函数：定义/三种表达方式 反比例函数 课堂小结 谢谢观看 THANKS $