21.3 第2课时 二次函数与一元二次不等式（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次不等式的关系，基于二次函数与一元二次方程的前期知识，通过数形结合思想，从抛物线开口方向及与x轴交点出发，构建不等式解集的判断方法，形成连贯的知识学习支架。 其亮点在于以数形结合为主线，通过基础到提升的梯度练习、易错点口诀及表格对比总结，培养学生几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）与模型意识（数学语言）。实例如利用抛物线图象快速确定解集，帮助学生高效理解，也为教师提供清晰的教学思路。

21.3 第2课时 二次函数与一元二次不等式专项练习 【核心知识梳理】 本课时在二次函数与一元二次方程的基础上，进一步拓展数形结合思想，重点研究二次函数图象与一元二次不等式的关系，是沪科版九年级上册二次函数章节的重难点，也是中考填空、选择、解答题的常考题型。其核心原理是利用抛物线的图象位置，直接判断函数值正负对应的自变量取值范围，无需复杂代数求解。 设二次函数 \(y=ax^2+bx+c(a≠0)\)，抛物线与 \(x\) 轴交点横坐标为方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的两根 \(x_1、x_2\)（\(x_1<x_2\)）。根据抛物线在 \(x\) 轴上方、下方的图象区域，可直接得出一元二次不等式的解集，核心规律分两种开口情况。 当 \(a>0\)（开口向上）时：抛物线整体呈开口向上形态，两根之外图象在 \(x\) 轴上方，两根之间图象在 \(x\) 轴下方。即 \(ax^2+bx+c>0\) 的解集为 \(x<x_1\) 或 \(x>x_2\)；\(ax^2+bx+c<0\) 的解集为 \(x_1<x<x_2\)。若 \(\Delta<0\)，抛物线全程在 \(x\) 轴上方，\(ax^2+bx+c>0\) 解集为全体实数，\(ax^2+bx+c<0\) 无解。 当 \(a<0\)（开口向下）时：抛物线整体呈开口向下形态，两根之间图象在 \(x\) 轴上方，两根之外图象在 \(x\) 轴下方。即 \(ax^2+bx+c>0\) 的解集为 \(x_1<x<x_2\)；\(ax^2+bx+c<0\) 的解集为 \(x<x_1\) 或 \(x>x_2\)。若 \(\Delta<0\)，抛物线全程在 \(x\) 轴下方，\(ax^2+bx+c<0\) 解集为全体实数，\(ax^2+bx+c>0\) 无解。 解题通用步骤：第一步，求出二次函数对应一元二次方程的根；第二步，判断抛物线开口方向；第三步，结合图象位置，确定不等式对应的自变量取值范围，始终遵循“上正下负”的图象原则。 【基础专项练习题】 1. 填空题：已知抛物线 \(y=x^2-2x-3\) 与 \(x\) 轴交于 \((-1,0)\)、\((3,0)\)，且开口向上，则不等式 \(x^2-2x-3>0\) 的解集为________，不等式 \(x^2-2x-3<0\) 的解集为________。 2. 填空题：二次函数 \(y=-x^2+4x\) 开口向下，与 \(x\) 轴交于 \((0,0)\)、\((4,0)\)，则不等式 \(-x^2+4x>0\) 的解集为________。 3. 选择题：已知 \(y=x^2+2x+2\)，则不等式 \(x^2+2x+2>0\) 的解集为（） A. \(x>0\) B. 全体实数 C. 无解 D. \(x<-2\) 4. 选择题：抛物线 \(y=ax^2+bx+c\)（\(a>0\)）与 \(x\) 轴仅有一个交点 \((2,0)\)，则不等式 \(ax^2+bx+c≥0\) 的解集为（） A. \(x≥2\) B. \(x≤2\) C. 全体实数 D. \(x≠2\) 【提升专项练习题】 5. 解答题：已知二次函数 \(y=x^2-6x+5\)，（1）求抛物线与 \(x\) 轴的交点坐标；（2）直接写出不等式 \(x^2-6x+5>0\) 和 \(x^2-6x+5<0\) 的解集。 6. 解答题：已知二次函数 \(y=-2x^2+8x-6\)，（1）判断开口方向并求对应方程的根；（2）求解不等式 \(-2x^2+8x-6≤0\) 的解集。 【参考答案与详细解析】 1. 答案：\(x<-1\) 或 \(x>3\)；\(-1<x<3\)。解析：\(a=1>0\) 开口向上，大于0取两根外侧，小于0取两根内侧。 2. 答案：\(0<x<4\)。解析：开口向下，函数值大于0取两根之间的区间。 3. 答案：B。解析：\(\Delta=2^2-4\times1\times2=-4<0\)，抛物线开口向上且全程在 \(x\) 轴上方，函数值恒大于0，解集为全体实数。 4. 答案：C。解析：\(a>0\)，抛物线与 \(x\) 轴只有一个交点，图象全程在 \(x\) 轴上方（含交点），函数值恒大于等于0，解集为全体实数。 5. 解析：（1）令 \(y=0\)，解方程 \(x^2-6x+5=0\)，得 \(x_1=1，x_2=5\)，交点坐标为 \((1,0)\)、\((5,0)\)；（2）开口向上，故 \(x^2-6x+5>0\) 解集为 \(x<1\) 或 \(x>5\)，\(x^2-6x+5<0\) 解集为 \(1<x<5\)。 6. 解析：（1）\(a=-2<0\)，开口向下；令 \(y=0\)，解得 \(x_1=1，x_2=3\)；（2）函数值小于等于0取两根外侧（含端点），解集为 \(x≤1\) 或 \(x≥3\)。 【易错点总结】本节高频易错点：一是混淆开口方向与解集区间的关系，开口向上、向下对应的取值范围记反；二是忽略 \(\Delta<0\) 的特殊情况，误判无解或全体实数；三是不等号含等号时，遗漏交点对应的自变量取值；四是不会利用数形结合，强行代数计算导致出错。解题核心口诀：开口向上，大外小里；开口向下，大里小外，结合图象可快速精准解题。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.3 第2课时 二次函数与一元二次不等式 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 二次函数与一元二次不等式的关系 问题1 函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 ； 不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是___________. 3 -1 O x y x1 = −1，x2 = 3 x < −1 或 x > 3 −1 < x < 3 1 拓广探索： 函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________； 不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________. O x 2 (4，2) (−2，2) x1 = −2，x2 = 4 x < −2 或 x > 4 −2 < x < 4 y −2 4 问题2 如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个交点，坐标是 . 方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 . 1 (2 ，0) x1 = x2 = 2 2 O x y 名师点金 二次函数是中考的必考内容之一，所占分值较高，对于 二次函数的概念、增减性、图象的顶点坐标、对称轴及平移 等性质多以选择题、填空题的形式出现；对于求函数表达式 及与一元二次方程有关的题目，综合性较强；对于二次函数 和图形的变化、图形的面积等探究性问题，则常以中考压轴 题的形式出现. 举一反三 5 类型1 根据二次函数图象的特征确定，， 及与其有 关的代数式的符号 1. [2025达州] 如图，抛物线 与轴交于点 ， 点，下列结论：① ；② ；③ ；④ .正确的个数为( ) D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 举一反三 6 【点拨】 抛物线开口向上，与 轴交于正半 轴，, 抛物线与 轴交于点 ，点，当时， 抛物 线的对称轴是直线， ， ，故结论③④正确； ，即 ，，故结论②正确； ， 故结论①正确；综上，说法正确的有4个.故选D. 返回 举一反三 7 类型2 根据二次函数图象的特征确定其他函数的图象 2. 如图,直线 与抛物线 交于, 两点,则 的图象可能是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 8 问题3：(1) 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有_____个交点； (2) 不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是什么？ 0 解：当 a＞0 时，不等式 ax2 + bx + c＜0 无解； 当 a＜0 时，不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是一切实数. O x y 思考： (1) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的两个交点关于原点对称？ (2) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的正半轴有两个交点？ (3) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的负半轴有两个交点？ (4) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的正负半轴都有交点？ (5) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 过原点？ 解：若抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴有交点， 则 (m + 8)2 - 4(m + 8)≥0，∴ m≥-4 或 m≤-8. 设这两个交点为 x1，x2. (1) 若抛物线与 x 轴的两个交点关于原点对称， 则 x1 + x2 = -(m + 8) = 0， 且 m＞-4 或 m＜-8. ∴ m 不存在. (2) 若抛物线与 x 轴的正半轴有两个交点. 则 x1 + x2 = -(m + 8)＞0，x1·x2 = m + 8＞0， 且 m＞-4 或 m＜-8. ∴ m 不存在. (3) 若抛物线与 x 轴的负半轴有两个交点. 则 x1 + x2 = -(m + 8)＜0 ，x1·x2 = m + 8＞0， 且 m＞-4 或 m＜-8. ∴ m＞-4. (4) 若抛物线与 x 轴的正负半轴都有交点， 则 x1·x2 = (m + 8)＜0， 且 m＞-4 或 m＜-8. ∴ m＜-8. (5) 若抛物线经过原点， 则 m + 8 = 0，且 m≥-4 或 m≤-8. ∴ m = -8. x y 0 2 0 x y -1 2 x y 0 y=-x2+x+2 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式： (1)①-x2+x+2=0； ②-x2+x+2>0； ③-x2+x+2<0. (2)①x2-4x+4=0； ②x2-4x+4>0； ③x2-4x+4<0. (3)①-x2+x-2=0； ②-x2+x-2>0； ③-x2+x-2<0. y=x2-4x+4 y=-x2+x-2 ①x1 = -1，x2 = 2 ③x＜-1或 x＞2 ①x1 = x2 = 2 ② x ≠ 2 ③ x 无解 ①无解 ②无解 ③ x 为全体实数 ②-1＜x＜2 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点 a＞0 时的解集 a＜0 时的解集 有两个交点 (x1,0), (x2,0) (x1＜x2) 有一个交点 (x0，0) 没有交点 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 y＜0，x1＜x＜x2； y＞0，x2＜x或x＜x2. y＞0，x1＜x＜x2； y＜0，x2＜x或x＜x2. y＞0，x ≠ x0； y＜0，无解 y＜0，x ≠ x0； y＞0，无解. y＞0，全体实数；y＜0，无解 y＜0，全体实数；y＞0，无解. 利用两个函数图象求不等式的解集 例2 已知抛物线 (a＞0) 与直线 相交于点 O (0 ，0) 和点 A (3 ，2)，求不等式 的解集. 分析：根据题目提供的条件，无法确定抛物线的解析式.因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集. 2 解：根据题目提供的条件，画出草图： x y O 3 2 由图可知，不等式 的解集为 或 . 不等式 的解集是二次函数 的图象在直线 上方的所有点的横坐标所组成的范围. 不等式 的解集是二次函数 的图象在直线 下方的所有点的横坐标所组成的范围. 归纳总结 【做一做】已知函数 y1＝x2 与函数 的图象大致如图，若 y1＜y2，则自变量 x 的取值范围是( ) A. C. B. 或 D. 或 A 解析：先根据方程 求出图象交点的横坐标，然后再结合图象，得出答案. 类型3 利用二次函数的图象判断方程的根的情况 [2025济南] 已知二次函数 , , 为常数, 图象的顶点坐标是 ,且经过, 两点, .有下列结论： ①关于的一元二次方程 有 两个不相等的实数根； ②当时, 的值随 值的增大而减小； ③ ； ④ ； ⑤对于任意实数, 总有 . 以上结论正确的有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 A 举一反三 20 【点拨】 二次函数，， 为常数， )图象的顶点坐标是，且经过， 两 点， 抛物线开口向下，对称轴为直线 ，抛 物线与轴的交点为和 ，图象如图所示,令 ，即把 向下平移一个单位长度，再结合函数 图象可知 有两个不相等的实数 根，故关于 的一元二次方程 举一反三 21 有两个不相等的实数根.故 ①正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当 时，的值随值的增大而减小.故②正确； 抛物线 与轴的交点为和， 二次函数为 ， 举一反三 ，解得 .故③正确；结合函数图 象可知，当时， .故④正确； ， ， 举一反三 ，，即对于任意实数 ， .故⑤正确.综上，①②③④⑤正确， 故选A. 返回 举一反三 类型4 利用二次函数的图象比较大小 4. 二次函数的图象与 轴交于点 ，将点向右平移4个单位长度得到点，点 在二次函数 的图象上. 举一反三 25 （1）求点的坐标（用含 的代数式表示）； 【解】令，得 . 点的坐标为 . 将点向右平移4个单位长度得到点 , 点的坐标为 . 举一反三 26 （2）求二次函数图象的对称轴； 点的坐标为，点的坐标为 , 点，都在二次函数 的图象上, ， 两点关于二次函数图象的对称轴对称. 对称轴为直线 . 举一反三 27 （3）已知点，， 在二次函数 的图象上，若，比较 ， ， 的大小，并说明理由. . 理由：,， . 二次函数 的图象的对称轴是直线 , 举一反三 28 点，在对称轴的左侧，点 在 对称轴的右侧. ,, . ,, . , . 返回 举一反三 b2-4ac 的符号 二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根 不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x b2-4ac＞0 b2-4ac＝0 b2-4ac＜0 x1，x2 x1 = x2 = 没有实数根 x＜x1或x＞x2 x ≠ x1 全体实数 x1＜x＜x2 无解 无解 课堂小结 谢谢观看 THANKS $