21.4.1 用二次函数求几何问题中的最值 课件2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用二次函数求几何问题中的最值”，通过复习判别式与二次函数图象、方程、不等式的联系搭建知识支架，为新知探究几何面积最值奠定基础。 其亮点在于以合作探究（矩形周长与面积关系）和典型例题（窗框透光面积、水产围网面积）为载体，引导学生用数学眼光抽象问题，通过配方、顶点坐标计算培养数学思维，归纳“审设列求答”步骤强化数学语言表达，助力学生提升应用意识，为教师提供清晰教学路径。

（沪科版）九年级上 第21章 二次函数与反比例函数 21.4.1用二次函数求几何问题中的最值 1.掌握利用顶点坐标求最值的方法，提升运算能力。 2.会解决面积最大、利润最高等典型应用问题，增强应用意识。 学习目标 b2-4ac 的符号 二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根 不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x b2-4ac＞0 b2-4ac＝0 b2-4ac＜0 x1，x2 x1 = x2 = 没有实数根 x＜x1或x＞x2 x ≠ x1 全体实数 x1＜x＜x2 无解 无解 复习导入 03 新知探究 二次函数的最值由什么决定？ x y O x y O 二次函数的最值由a及自变量的取值范围决定. 4 你能画一个周长为60 cm的矩形吗？ 这些矩形的面积一定相等吗？ 不一定 合作探究 03 新知探究 归纳： 一般地，当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最高点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最大值. 利用二次函数求几何图形面积的最值问题的一般步骤： 设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量； 利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式建立二次 函数模型，并指明自变量的范围； 利用二次函数的性质求最值. 1 2 3 归纳 03 新知探究 8 m 4 m x m x m 4 m （4 － x） m （4 － x） m 用长为8 m的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 03 新知探究 解：设窗框的一边长为x m，窗框的透光面积为y m².则另一边的长为(4－x)m，那么 y = x（4－ x ）且0 ＜ x ＜ 4. 即 y = ﹣ x 2＋ 4x = -（x -2）2 +4. 又有：a=﹣1 ＜ 0，该函数的图象开口向下，故函数有最大值. 当x = 2时，该函数达到最大值为4. 答：该窗框的宽和高相等，都为2 m时透光面积达到最大的4 m². 【例】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？最大面积是多少平方米？ 典型例题 分析：首先要找出围成的水面面积与边长之间的关系. 水面面积 = 一条边长×另一条边长 x m (20–x)m S m S=x(20–x) S= –x2 +20x x的取值有什么限制吗？ （0＜x＜20） 典型例题 解：设围成的矩形水面的一边长为x m，那么，矩形水面的另一边长应为(20x) m.若它的面积是S m2，则有 S=x(20x) 将这个函数表达式配方，得： S= (x10)²+100 (0＜x＜20). 这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，如图，它的顶点坐标是(10，100). S/m2 x/m (10，100) 图中为何有两个空心点？ 【例】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？最大面积是多少平方米？ 03 新知探究 归纳 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 审：理解题意，找出等量关系。 设：设出合适的变量，一般设自变量为x，因变量为y。 列：根据等量关系列出函数关系式。 求：根据函数关系式求出最值或根据题意求出相应的解。 答：检验并作答。求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 03 新知探究 解：设一边长为x m，面积是S m2，得S=x(20-x) (0＜x＜20). 将这个函数的表达式配方，得S= -(x-10)²+100. 这个函数的图象是一条开口向下的抛物线的一部分， 如图，它的顶点坐标是(10，100). 所以，当x=10时，函数取得最大值，即S最大值=100 . 此时，这一边长与邻边长都为10 m. 答：当围成的矩形水面边长都为10 m时，它的面积最大为100 m2. 4. 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形风筝的两条对角线长度之和为60 cm，菱形风筝的面积S cm2随其中一条对角线的长x cm的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，菱形风筝的面积S cm2最大？最大面积是多少？ 解：S＝ 因为－ ＜0，所以当x＝30时，菱形风筝的面积Scm2最大，最大面积是450 cm2. 03 新知探究 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1.求出函数解析式和自变量的取值范围; 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值; 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 归纳 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.某农场用60米的篱笆围成一个矩形菜地，设矩形的一边长为x米，则矩形的面积S与x的函数关系式为__________ ，当x=__________米时，面积最大，最大面积为__________平方米。 6.如图，有一直角墙角，CM的长为12 m，CN的长为5 m，在CM，CN上分别取点A，B，使AC＋BC＝12 m，则△ABC的最大面积为 　　17.5　m2. S=−x2+30 15 225 17.5　 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 18 二次函数的最值： 二次函数的应用 (a≠0) 求面积最值等实际问题与二次函数的联系： 实际问题 二次函数 建立模型 二次函数的最值 谢谢大家聆听 解：S＝－x2＋30x. －x2＋30x＝－(x－30)2＋450. $