广东省湛江市廉江市2026-2027学年八年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 以传统民俗（剪窗花）与生活情境（荡秋千）为载体，覆盖三角形、全等、轴对称等核心知识，梯度设计合理，注重推理能力与空间观念考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、三角形三边关系等|第1题剪窗花渗透文化传承，第10题荡秋千结合全等解决高度问题| |填空题|5/15|全等条件、等腰三角形等|第13题等腰三角形边长考查分类讨论，第15题通过全等转化求面积| |解答题|9/75|全等证明、动态几何等|24题矩形中动态最值问题，培养空间观念与创新意识；23题外角平分线探究角关系，发展推理能力|

2026-2027学年广东省湛江市廉江市八年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．剪窗花是中国的传统民俗文化，下列窗花不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知三角形的三边长分别为4，6，x，则x不可能是（　　） A．2 B．5 C．7 D．8 3．（3分）要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 5．（3分）两根木条A，B按如图所示的方式放在地面上，若∠1＝45°，∠2＝125°，则∠3＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 6．（3分）如图，已知△ABC，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F； ②以点E为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线BM，与CA延长线交于点P，点D为CP延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（　　） A．∠PBC＝2∠ABC B．AF＝AM C．CM⊥BP D．S△APB：S△ACB＝PB：CB 7．（3分）如图所示，D是线段BC，AB的垂直平分线的交点，若∠CBD＝30°，∠BAD＝28°，则∠ACD的大小是（　　） A．32° B．38° C．40° D．60° 8．（3分）一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝50°，则∠DBC的度数是（　　） A．50° B．40° C．20° D．30° 9．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 10．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图，已知AC＝DC，∠BCE＝∠ACD，添加一个条件，使得△ACB≌△DCE，你添加的条件是 　 　 （填一个即可）． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是边AC的中点．如果∠BCD＝25°，那么∠CED＝　 　 ． 13．（3分）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm和4cm，则第三边的长为 　 　 cm． 14．（3分）如图，点A，D分别在BE，CE的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果AD＝5cm，BC＝7cm，那么四边形ABCD的周长为 　 　 cm． 15．（3分）如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC，点D在△ABC内部，且满足∠ADC＝90°，若CD＝6，则△BCD的面积为　 　 ． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5．求第三边c的取值范围； （2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （3）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|． 17．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，已知AD＝3cm，BC＝7cm，求△BCD的面积． 18．（8分）如图，A，F，B，D在一条直线上，AF＝DB，AC∥DE，AC＝DE，求证：∠C＝∠E． 19．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，请用尺规作图的方法在BC上求作一点D，使得∠ADB＝120°． 20．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，BC＝DE，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D＝30°，BC的延长线交AD于点O，交ED于点F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝75°，求∠EFC的大小． 21．（8分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 22．（8分）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连接CD，CE． （1）求证：∠ADC＝∠BCE； （2）若∠DCF＝80°，∠ADC＝30°，求∠CDE的度数． 23．（8分）∠ACD是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，且BP、CP交于点P． （1）若∠A＝76°，求∠P的度数； （2）猜想∠A与∠P的关系，并说明理由； （3）若∠A＝∠ABC，直接写出∠3和∠P的关系． 24．（11分）（1）如图1，等腰直角△ABC的直角顶点B在直线MN上，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E，若AD＝4，CE＝2，则DE的长度为 　 　 ． （2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，在AC的右侧作∠ACD＝90°，且使得CD＝AC，若BC＝8，求△BCD的面积． （3）如图3，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，点E在线段AB上，且，点F为直线AD上一个动点（不与点A、点D重合），连接EF，在EF的右侧作∠FEG＝90°，且使得EF＝EG，连接CG、GD．求△CDG周长的最小值． 2026-2027学年广东省湛江市廉江市八年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．剪窗花是中国的传统民俗文化，下列窗花不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、B、C选项中的图形是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的识别，正确掌握相关定义是解题关键． 2．（3分）已知三角形的三边长分别为4，6，x，则x不可能是（　　） A．2 B．5 C．7 D．8 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此求出第三边长的取值范围，即可得到答案． 【解答】解：∵三角形三边的长度分别为4，6，x， ∴6﹣4＜x＜6+4， ∴2＜x＜10， ∴第三边长不可能是2． 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握． 3．（3分）要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需将其分割成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，需要的木条数等于对角线的条数． 【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6﹣3＝3条对角线， 所以至少要钉上3根木条． 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形得出是解题关键．解题时注意：过n边形的一个顶点作对角线，可以做（n﹣3）条． 4．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 【分析】根据折叠的性质求出∠ACD，再根据三角形的外角性质求出∠BDC． 【解答】解：由折叠的性质可知：∠BCD＝∠ACD∠ACB＝45°， ∵∠BDC是△ACD的外角， ∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝45°+21°＝66°． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的性质、折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 5．（3分）两根木条A，B按如图所示的方式放在地面上，若∠1＝45°，∠2＝125°，则∠3＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【分析】设∠2和∠3都是△PQR的外角，由∠2＝125°，求得∠PRQ＝180°﹣∠2＝55°，而∠1＝45°，则∠3＝∠PRQ+∠1＝100°，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，∵∠2和∠3都是△PQR的外角，∠2＝125°， ∴∠PRQ＝180°﹣∠2＝55°，∠3＝∠PRQ+∠1， ∵∠1＝45°， ∴∠3＝55°+45°＝100°， 故选：C． 【点评】此题重点考查邻补角的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 6．（3分）如图，已知△ABC，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F； ②以点E为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线BM，与CA延长线交于点P，点D为CP延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（　　） A．∠PBC＝2∠ABC B．AF＝AM C．CM⊥BP D．S△APB：S△ACB＝PB：CB 【分析】作图﹣基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，运用相关知识逐项判断即可． 【解答】解：根据作图﹣基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理的相关知识点进行判断如下： 连接AM，AF，ME，FE，过点A作AQ⊥BP于点Q，AN⊥BC于点N， 由作图得，BM＝BF，ME＝FE， 又BE＝BE， ∴△BEM≌△BEF（SSS）， ∴∠PBA＝∠ABC， ∴∠PBC＝2∠ABC，故选项A正确，不符合题意； ∵BM＝BF，∠ABM＝∠ABF，BA＝BA， ∴△ABM≌△ABF（SAS）， ∴AM＝AF，故选项B正确，不符合题意； 无法判断CM⊥BP，故选项C符合题意； ∵∠PBA＝∠ABC，AQ⊥BP，AN⊥BC， ∴AQ＝AN， 又， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 7．（3分）如图所示，D是线段BC，AB的垂直平分线的交点，若∠CBD＝30°，∠BAD＝28°，则∠ACD的大小是（　　） A．32° B．38° C．40° D．60° 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠BCD＝∠CBD＝30°，∠BAD＝∠ABD＝28°，由三角形的内角和定理得到∠BDC＝120°，∠ADB＝124°，于是得到结论． 【解答】解：∵D是线段BC，AB的垂直平分线的交点， ∴DA＝DB＝DC， ∴∠BCD＝∠CBD＝30°，∠BAD＝∠ABD＝28°， ∴∠BDC＝120°，∠ADB＝124°， ∴∠ADC＝116°， ∴∠ACD（180°﹣116°）＝32°， 故选：A． 【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是根据线段的垂直平分线得到相等的线段． 8．（3分）一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝50°，则∠DBC的度数是（　　） A．50° B．40° C．20° D．30° 【分析】根据对顶角相等得出∠BCA＝∠1＝50°，根据三角形内角和定理以及折叠的性质得出∠ABC＝∠ABE＝80°，根据平角的定义即可求解． 【解答】解：如图所示， ∵∠1＝∠2＝50°， ∴∠BCA＝∠1＝50°， ∴∠ABC＝∠ABE＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴∠CBD＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝20°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 9．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 【分析】先根据全等三角形性质求出∠DEC，然后根据等边对等角求出∠ADC，再利用平角性质求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°， ∴∠EDC＝∠A＝70°，CD＝AC， ∴∠ADC＝∠A＝70°， ∴∠BDE＝180°﹣∠EDC﹣∠CDA＝40°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键． 10．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【分析】证明△OBD≌△COE（AAS），得OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m，即可解决问题． 【解答】解：∵∠BOC＝90°， ∴∠BOD+∠COE＝90°， 由题意可知，OB＝CO，DA＝1m，BD⊥OA，CE⊥OA， ∵∠BDO＝∠OEC＝90°， ∴∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠COE＝∠OBD， 在△OBD和△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m， ∴AE＝OA﹣OE＝OD+DA﹣OE＝1.8+1﹣1.4＝1.4（m）， 即小丽距离地面的高度是1.4m， 故选：D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图，已知AC＝DC，∠BCE＝∠ACD，添加一个条件，使得△ACB≌△DCE，你添加的条件是 BC＝EC（答案不唯一）　 （填一个即可）． 【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCA＝∠ECD， 在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴添加一个条件，使得△ACB≌△DCE，添加的条件是BC＝EC（答案不唯一）． 故答案为：BC＝EC（答案不唯一）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是边AC的中点．如果∠BCD＝25°，那么∠CED＝　50°　 ． 【分析】先求出∠B、∠A的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，则∠A＝∠ADE，再根据外角的性质可得∠CED＝∠A+∠ADE． 【解答】解：∵CD⊥AB，∠BCD＝25°， ∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣25°＝65°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°， ∵E是边AC的中点， ∴， ∴∠A＝∠ADE＝25°， ∴∠CED＝∠A+∠ADE＝25°+25°＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是直角三角形性质的熟练掌握． 13．（3分）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm和4cm，则第三边的长为 　8　 cm． 【分析】已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 【解答】解：分两种情况： ①若一腰长为8cm，则底边为4cm，则第三边的长为8cm， 4+8＞8，故能组成三角形； ②若一腰长为4cm，则底边为8cm，则第三边的长为4cm， 4+4＝8，故不能组成三角形． 故答案为：8． 【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 14．（3分）如图，点A，D分别在BE，CE的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果AD＝5cm，BC＝7cm，那么四边形ABCD的周长为 　17　 cm． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AE，DE＝DC，然后利用等线段代换得到四边形ABCD的周长＝AB+AD+CD+BC＝2AD+BC． 【解答】解：∵点A，D分别在BE，CE的垂直平分线上， ∴AB＝AE，DE＝DC， ∴四边形ABCD的周长＝AB+AD+CD+BC＝AB+AE+DE+DC+BC＝2（AE+DE）+BC＝2AD+BC＝2×5+7＝17（cm）． 故答案为：17． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 15．（3分）如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC，点D在△ABC内部，且满足∠ADC＝90°，若CD＝6，则△BCD的面积为　18　 ． 【分析】由AAS可证△ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝6，即可求解． 【解答】解：如图，过点B作BH⊥直线CD于H， ∴∠BHC＝∠ADC＝90°＝∠ACB， ∴∠ACD+∠CAD＝90°＝∠ACD+∠BCD， ∴∠CAD＝∠BCD， 又∵AC＝BC， ∴△ACD≌△CBH（AAS）， ∴CD＝BH＝6， ∴△BCD的面积CD•BH＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5．求第三边c的取值范围； （2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （3）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|． 【分析】（1）根据三角形的三边关系即可求解； （2）根据三角形的三边关系得3＜c＜7，求出c＝5，即可得到答案； （3）根据三角形的三边关系得a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，然后化简即可． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7； （2）由（1）知3＜c＜7， ∵第三边c为奇数， ∴c＝b＝5， ∴△ABC为等腰三角形； （3）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a＜b+c， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c| ＝a+b﹣c+[﹣（a﹣b﹣c）] ＝a+b﹣c﹣a+b+c ＝2b． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 17．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，已知AD＝3cm，BC＝7cm，求△BCD的面积． 【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于E， ∵∠A＝90°，BD平分∠ABC， ∴DE＝AD＝3cm， ∵BC＝7cm， ∴△DBC的面积7×3＝10.5（cm2）． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出△DBC边BC上的高是解题的关键． 18．（8分）如图，A，F，B，D在一条直线上，AF＝DB，AC∥DE，AC＝DE，求证：∠C＝∠E． 【分析】由AF＝BD，得AB＝DF，由AC∥DE得到∠A＝∠D，通过SAS证明△ABC≌△DFE，即可证明． 【解答】证明：∵AF＝BD， ∴AF+BF＝BD+BF， 即AB＝DF， ∵AC∥DE， ∴∠A＝∠D， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（SAS）， ∴∠C＝∠E． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，由AF＝BD证明出AB＝DF，并熟记全等三角形的判定是解题的关键． 19．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，请用尺规作图的方法在BC上求作一点D，使得∠ADB＝120°． 【分析】根据题意作AB边的垂直平分线，交BC边与点D，连接AD，根据垂直平分线得到AD＝BD，再结合题意得到∠B＝∠BAD＝30°，再利用三角形内角和定理计算即可解决问题． 【解答】解：使得∠ADB＝120°的点D，如图即为所求； 证明：根据作图可得AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠B＝∠BAD＝30°， ∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝120°． 【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的作法． 20．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，BC＝DE，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D＝30°，BC的延长线交AD于点O，交ED于点F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝75°，求∠EFC的大小． 【分析】（1）先证明∠BAC＝∠DAE，再由AAS证明△ABC≌△ADE即可； （2）由三角形内角和定理求出∠AOB＝75°，则∠DOF＝∠AOB＝75°，再由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）； （2）解：∵∠BAD＝75°，∠B＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣75°﹣30°＝75°， ∴∠DOF＝∠AOB＝75°， ∴∠EFC＝∠D+∠DOF＝30°+75°＝105°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 21．（8分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 【分析】根据∠BAD＝∠CAE可得∠BAC＝∠DAE，再根据SAS即可证明． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过∠BAD＝∠CAE得出∠BAC＝∠DAE． 22．（8分）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连接CD，CE． （1）求证：∠ADC＝∠BCE； （2）若∠DCF＝80°，∠ADC＝30°，求∠CDE的度数． 【分析】（1）利用平行线与已知等边构造SAS全等（△ADC≌△BCE），从而转移角度与边长关系； （2）通过全等得到等腰△DCE及顶角度数，直接由等腰三角形性质求得底角35°． 【解答】证明：（1）因为AD∥BE，且点A，C，B共线， 所以∠DAC＝∠EBC， 因为AC＝BE，AD＝BC，且夹角∠DAC＝∠EBC， 所以△ADC≌△BCE（SAS全等判定）． 所以∠ADC＝∠BCE； 解：（2）由题意和图形可知，点C，F，B在同一直线AB上， 且F在C，B之间（因为F是AB，DE的交点，且C在A，B之间）． 所以射线CF与射线CB重合． ∵∠DCF＝80°， ∴∠DCB＝80°（即∠DCA 的邻补角）． 在△ADC中，∠DCB是顶点C处的一个外角． 根据三角形外角定理，外角等于不相邻的两个内角之和：∠DCB＝∠A+∠ADC， 已知∠DCB＝∠DCF＝80°，且∠ADC＝30°， 代入可得：80°＝∠A+30°， ∠A＝50°， 由（1）知△ADC≌△BCE， CD＝CE（说明△DCE是等腰三角形）， ∠BCE＝∠ADC＝30° 观察图形，点E在直线AB的下方，而点D在上方． ∠DCF是CD与CB的夹角， ∠BCE是CB与CE的夹角． 因此，∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝80°+30°＝110°， 因为CD＝CE， 所以△DCE是等腰三角形， 底角相等，即∠CDE＝∠CED． 根据三角形内角和为180°， ∴． 【点评】题目考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 23．（8分）∠ACD是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，且BP、CP交于点P． （1）若∠A＝76°，求∠P的度数； （2）猜想∠A与∠P的关系，并说明理由； （3）若∠A＝∠ABC，直接写出∠3和∠P的关系． 【分析】（1）利用角平分线的定义，可得出∠ABC＝2∠2，∠ACD＝2∠4，利用三角形的外角性质，可得出2∠4＝2∠2+∠A，∠4＝∠P+∠2，结合∠A＝76°，即可求出∠P的度数； （2）∠P∠A，利用角平分线的定义，可得出∠ABC＝2∠2，∠ACD＝2∠4，利用三角形的外角性质，可得出2∠4＝2∠2+∠A，∠4＝∠P+∠2，进而可得出∠P∠A； （3）利用角平分线的定义及∠A＝∠ABC，可得出∠2∠A，∠3＝∠4，结合∠P∠A，可得出∠2＝∠P，再利用三角形的外角性质，即可得出∠3＝2∠P． 【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD， ∴∠ABC＝2∠2，∠ACD＝2∠4． ∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△PBC的外角， ∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠PCD＝∠P+∠PBC， 即2∠4＝2∠2+∠A，∠4＝∠P+∠2， ∴∠P∠A76°＝38°； （2）∠P∠A，理由如下： ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD， ∴∠ABC＝2∠2，∠ACD＝2∠4． ∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△PBC的外角， ∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠PCD＝∠P+∠PBC， 即2∠4＝2∠2+∠A，∠4＝∠P+∠2， ∴∠P∠A； （3）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，∠A＝∠ABC， ∴∠2∠ABC∠A，∠3＝∠4． ∵∠P∠A， ∴∠2＝∠P． ∵∠PCD是△PBC的外角， ∴∠4＝∠2+∠P， ∴∠3＝∠P+∠P， ∴∠3＝2∠P． 【点评】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 24．（11分）（1）如图1，等腰直角△ABC的直角顶点B在直线MN上，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E，若AD＝4，CE＝2，则DE的长度为 　6　 ． （2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，在AC的右侧作∠ACD＝90°，且使得CD＝AC，若BC＝8，求△BCD的面积． （3）如图3，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，点E在线段AB上，且，点F为直线AD上一个动点（不与点A、点D重合），连接EF，在EF的右侧作∠FEG＝90°，且使得EF＝EG，连接CG、GD．求△CDG周长的最小值． 【分析】（1）证明△ABD和△BCE全等得AD＝BE，BD＝CE，进而得DE＝CE+AD，再根据AD＝4，CE＝2即可得出DE的长； （2）过点A作AK⊥BC于点K，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，根据等腰三角形性质得BK＝CKBC＝4，同（1）证明△ACK和△CDH全等得CK＝DH＝4，再由三角形的面积公式即可求出△BCD的面积； （3）过点G作直线PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，作点D关于直线PQ的对称点T，连接TG，TC，过点G作GR⊥AB于点R，同（1）证明△AEF和△RGE全等得AE＝RG，则当点F在线段AD（不与点A、点D重合）上运动时，点G在直线PQ上运动，证明四边形APGR是长方形得AP＝RG，则PD，再根据对称性得PT＝PD，GD＝GT，则TD＝PT+PD＝15，由勾股定理得TC＝17，根据△CDG的周长为GD+GC+CD＝GT+GC+8，得当GT+GC为最小时，△CDG的周长为最小，然后根据“两点之间线段最短”得GT+GC≤TC＝17，由此可得出△CDG的周长的最小值． 【解答】解：（1）如图1所示： ∵AD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E， ∴∠ADB＝∠BEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴AD＝BE，BD＝CE， ∴DE＝BD+BE＝CE+AD， ∵AD＝4，CE＝2， ∴DE＝4+2＝6， 故答案为：6； （2）过点A作AK⊥BC于点K，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图2所示： 在△ABC中，AB＝AC，BC＝8， ∴BK＝CKBC＝4， 同（1）证明：△ACK≌△CDH（AAS）， ∴CK＝DH＝4， ∴△BCD的面积为：BC•DH8×4＝16； （3）过点G作直线PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，作点D关于直线PQ的对称点T，连接TG，TC，过点G作GR⊥AB于点R，如图3所示： ∵四边形ABCD是长方形，且AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，点E在线段AB上，且AE， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， 又∵△EFG是等腰直角三角形，且∠FEG＝90°，EF＝EG， ∴同（1）证明：△AEF≌△RGE（AAS）， ∴AE＝RG， ∴当点F在线段AD（不与点A、点D重合）上运动时，点G在直线PQ上运动， ∵GR⊥AB，GP⊥AB， ∴∠BAD＝∠GRA＝∠GPA＝90°， ∴四边形APGR是长方形， ∴AP＝RG， ∴PD＝AD﹣AP＝12， ∵点D与点T关于直线PQ对称， ∴PT＝PD，GD＝GT， ∴TD＝PT+PD＝15， 在Rt△TDC中，CD＝8，TD＝15， 由勾股定理得：TC17， ∵△CDG的周长为：GD+GC+CD＝GT+GC+8， ∴GT+GC为最小时，△CDG的周长为最小， 根据“两点之间线段最短”得：GT+GC≤TC＝17， ∴当T，G，C共线时，GT+GC为最小，最小值是17， 此时GT+GC+8＝25， ∴△CDG的周长的最小值是25． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，利用轴对称﹣最求短路线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用轴对称﹣最求短路线问题是解决问题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $