29.2.3圆周角(第1课时 圆周角定理)（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“圆周角（第1课时 圆周角定理）”，引导学生理解圆周角定义、掌握定理及初步应用。通过复习圆心角创设情境，对比顶点位置与两边关系引入圆周角，构建从已知到未知的学习支架。 此资料以“特殊到一般”探究过程为特色，通过几何画板演示和分类讨论证明定理，培养逻辑推理与几何直观能力。结合中考真题设计例题与合作探究，助力学生运用转化思想解决问题，发展应用意识与自主学习能力。

29.2.3 圆周角（第1课时　　圆周角定理）　 （导学案） （1）理解圆周角的定义：能准确识别并指出图形中的圆周角，能正确区分圆周角与圆心角. （2）掌握圆周角定理：能准确叙述圆周角定理，理解定理证明中的分类讨论思想，并能用符号语言进行表达. （3）初步运用定理：能运用圆周角定理进行简单的角度计算. （4）发展核心素养：经历“特殊到一般”的探究过程，体会分类讨论和转化思想，发展逻辑推理和几何直观能力. 重点为：圆周角定理的理解、证明及其初步应用. 难点：圆周角定理证明中的三种位置关系分类讨论，特别是圆心在角的外部时如何通过作辅助线转化为第一种情况；准确识别圆周角所对的弧及对应的圆心角. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：展示⊙O，标出圆心角∠AOB. 问题1：∠AOB的顶点在哪里？（圆心）它所对的弧是哪条？（） 情境变换：在⊙O上取一点C，连接AC、BC，形成∠ACB. 问题2：∠ACB的顶点与∠AOB的顶点位置有什么不同？ （∠AOB顶点在圆心O，∠ACB顶点在圆周上的点C.） 问题3：∠ACB的两边与圆有什么关系？ （两边分别交圆于A、B两点，即两边都与圆相交） 揭示圆周角的定义：像∠ACB这样，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 正反例辨析：多媒体展示多个角，让学生判断哪些是圆周角，哪些不是，并说明理由. （反例设计：①顶点在圆内但不在圆心的角；②顶点在圆上但一边与圆不相交的角；③顶点在圆外的角.） 追问：圆周角∠ACB与圆心角∠AOB对着同一条弧，，它们之间是否存在某种固定的数量关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ127－128内容 【学法指导】自研课本Ｐ127－128内容 （一）从特殊到一般猜想圆周角定理 特殊情形1——直径所对的圆周角： 在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，连接AC、BC。请同学们用量角器测量∠ACB的度数. 学生操作发现：∠ACB = 90°. 追问：∠AOB等于多少度？（180°）那么∠ACB与∠AOB有什么关系？ （∠ACB =∠AOB =×180°= 90°） 特殊情形2——一般弧所对的圆周角： 教师用几何画板动态演示（或在黑板上画图）：在⊙O中，取弧（非半圆），在弧AB上任取一点C，连接AC、BC，测量∠ACB；同时测量圆心角∠AOB. 学生观察发现：∠ACB始终等于∠AOB的一半. 提出猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （二）定理的证明 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC. 求证：∠BAC = ∠BＯC. 引导分析：观察圆心O与圆周角∠ACB的位置关系，能分成几种情况？ 学生观察分类： 情况1：圆心O在∠BAC的一边上； 情况2：圆心O在∠BAC的内部；情况3：圆心O在∠BAC的外部. 追问：怎样证明定理呢？学生讨论. 分三种情况加以证明. 证明：情况1（圆心在角的一边上） ： 如图1，圆心O在边AＢ上. ∵ OA = OC（半径相等），∴ ∠A= ∠C（等边对等角）. 又 ∵ ∠BOC是△OAC的外角，∴ ∠BOC= ∠Ａ+ ∠C = 2∠Ａ， ∴ ∠BAC =∠BＯＣ 教师说明，以上证明也可以用“”进行，符号“”读作“推出”，“AB”表示由条件A 推出结论B.具体表示如下： 情况2（圆心在角的内部） ：如图2，连接ＡO并延长交⊙O于D. 由情况1可知：∠BAD = ∠BOD，∠DAC=∠DOC. ∴ ∠BAC = ∠BAD + ∠DAC= ∠BOD +∠DOC = （∠BOD＋∠DOC）= ∠BOC. 情况3（圆心在角的外部） ：如图3，连接CO并延长交⊙O于D，由情况1可知： ∠CAD=∠DOC，∠BAD = ∠BOD， ∴ ∠BAC = ∠CAD－∠BAD =－ ∠BOD= （∠DOC－∠BOD）= ∠BOC. 归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 几何符号语言：∵ ∠CAB和∠BOC都对，∴ ∠BAC = ∠BOC . （三）定理的推论 追问1：同弧或等弧所对的圆周角具有怎样的数量关系？为什么？ 学生讨论：相等，根据圆周角定理可以得到. 归纳推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 追问2：半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角所对的弦是什么样的弦？为什么？ 学生讨论：如图，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，学生自主说明理由. 归纳推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 应用举例： 如图，⊙O 的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交OO于点D，求 BC，AD，BD的长. 　　　 分析：解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、圆周角、直径和弦之间的关系，由AB是直径，可知圆周角∠ACB=∠ADB=90°；由圆周角∠ACD=∠BCD，可知它们相应的圆心角相等，进而得到弦AD=BD. 解：如图 ，连接OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°. ∵在Rt∠ABC中，AB=10，AC=6， ∴BC==8 ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD. 在⊙O中，∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD， ∴∠AOD=∠BOD. ∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²， :AD=BD＝AB=5. 【自研自探】 自研课本Ｐ127－128内容 典型例题 例1．如图，为的直径，弦于点E，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识． （1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． 【详解】（1）∵是的直径，， ∴． ∴； （2）连接，    ∵， ∴． ∵直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴． 第二环节 合作探究 1.讨论圆周角与圆周角定理. 2.讨论同弧或等弧所对的圆周角的大小？ 3.讨论半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角所对的弦是什么弦？ 1.如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：点是边的中点． (2)记的度数为，的度数为．探究与的数量关系． 【详解】（1）解：证明：如图，连接， ∵是的直径，点在圆上， ∴， 即， ∵，即是等腰三角形， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 如图所示，连接， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 课本课堂练习P129（①②）. 1（2026年河北省）.如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 2（2026年河南）.如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 3．（2026四川省成都）如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取一点，使连接，． (1)求证：. 【详解】(1)证明：∵为的直径， ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴. 知识技能： 定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.方法：看到圆周角→找同弧所对的圆心角→利用2倍关系计算. 思想方法：分类讨论：证明圆周角定理时，按圆心与圆周角的三种位置关系分类，体现逻辑的严密性.转化思想：情况2、3通过作辅助线转化为情况1，体现“化未知为已知”.从特殊到一般：从“直径所对圆周角”的特殊情形猜想并验证一般定理. 易错提醒：概念判断：圆周角必须具备两个条件——①顶点在圆上；②两边都与圆相交，缺一不可. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.3 圆周角（第1课时　　圆周角定理）　 （导学案） （1）理解圆周角的定义：能准确识别并指出图形中的圆周角，能正确区分圆周角与圆心角. （2）掌握圆周角定理：能准确叙述圆周角定理，理解定理证明中的分类讨论思想，并能用符号语言进行表达. （3）初步运用定理：能运用圆周角定理进行简单的角度计算. （4）发展核心素养：经历“特殊到一般”的探究过程，体会分类讨论和转化思想，发展逻辑推理和几何直观能力. 重点为：圆周角定理的理解、证明及其初步应用. 难点：圆周角定理证明中的三种位置关系分类讨论，特别是圆心在角的外部时如何通过作辅助线转化为第一种情况；准确识别圆周角所对的弧及对应的圆心角. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：展示⊙O，标出圆心角∠AOB. 问题1：∠AOB的顶点在哪里？（圆心）它所对的弧是哪条？ 情境变换：在⊙O上取一点C，连接AC、BC，形成∠ACB. 问题2：∠ACB的顶点与∠AOB的顶点位置有什么不同？ 问题3：∠ACB的两边与圆有什么关系？ 揭示圆周角的定义：像∠ACB这样，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 正反例辨析：多媒体展示多个角，让学生判断哪些是圆周角，哪些不是，并说明理由. 追问：圆周角∠ACB与圆心角∠AOB对着同一条弧，，它们之间是否存在某种固定的数量关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ127－128内容 【学法指导】自研课本Ｐ127－128内容 （一）从特殊到一般猜想圆周角定理 特殊情形1——直径所对的圆周角： 在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，连接AC、BC。请同学们用量角器测量∠ACB的度数. 学生操作发现：. 追问：∠AOB等于多少度？那么∠ACB与∠AOB有什么关系？ 特殊情形2——一般弧所对的圆周角： 教师用几何画板动态演示（或在黑板上画图）：在⊙O中，取弧（非半圆），在弧AB上任取一点C，连接AC、BC，测量∠ACB；同时测量圆心角∠AOB. 学生观察发现： 提出猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （二）定理的证明 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC. 求证：∠BAC = ∠BＯC. 引导分析：观察圆心O与圆周角∠ACB的位置关系，能分成几种情况？ 学生观察分类： 追问：怎样证明定理呢？学生讨论. 证明： 归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 几何符号语言：∵ ∠CAB和∠BOC都对，∴ ∠BAC = ∠BOC . （三）定理的推论 追问1：同弧或等弧所对的圆周角具有怎样的数量关系？为什么？ 学生讨论： 归纳推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 追问2：半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角所对的弦是什么样的弦？为什么？ 学生讨论： 归纳推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 应用举例： 如图，⊙O 的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交OO于点D，求 BC，AD，BD的长. 　　　 【自研自探】 自研课本Ｐ127－128内容 典型例题 例1．如图，为的直径，弦于点E，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 第二环节 合作探究 1.讨论圆周角与圆周角定理. 2.讨论同弧或等弧所对的圆周角的大小？ 3.讨论半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角所对的弦是什么弦？ 1.如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：点是边的中点． (2)记的度数为，的度数为．探究与的数量关系． 课本课堂练习P129（①②）. 1（2026年河北省）.如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 2（2026年河南）.如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 3．（2026四川省成都）如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取一点，使连接，． (1)求证：. 知识技能： 定义：顶点在　　　　　，两边都与　　　　的角叫做圆周角.定理：一条弧所对的圆周角等于　　　　　　　　.方法：看到　　　　→找　　　　　　　　→利用　　　　　计算. 思想方法：分类讨论：证明圆周角定理时，按　　　　　　　　关系分类，体现逻辑的严密性.转化思想：情况2、3通过　　　　　转化为情况1，体现“化未知为　　　　”.从特殊到一般：从“直径所对　　　　”的特殊情形猜想并验证一般定理. 易错提醒：概念判断：圆周角必须具备两个条件——①顶点　　　　；②两边　　　　，缺一不可. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $