2.2 一元二次方程的解法 预习自测2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法，系统整合直接开平方法、配方法等核心解法，通过概念辨析与实际应用构建“解法-原理-应用”逻辑链，培养运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法应用|单选1-2、16题|直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法|从基础解法到综合运用，形成解法选择策略| |概念辨析|单选3-7、9-10|根的定义、判别式、换元法|结合方程根的性质深化概念理解，培养推理意识| |实际应用|单选8、20题|分式方程建模、不等式应用|联系行程与经济问题，强化模型意识与应用能力| |方法拓展|填空14-15、解答18-19|配方法求最值、十字相乘法|从代数变形到高阶应用，构建知识迁移路径|

2.2 一元二次方程的解法 预习自测2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 4．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 6．关于的一元二次方程的两根为，则代数式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 9．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 10．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（    ）． A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 二、填空题 11．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为_______． 12．用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 13．用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是______． 14．当__时，多项式有最大值？求出这个最大值是 __ ． 15．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 _____． 三、解答题 16．解方程： (1) (2) 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根； (2)若此方程的两根均整数，求整数k的值， 18．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 19．根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 20．山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣”趣系列鸮卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个． (1)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； (2)该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少个？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D A D B B C C 1．【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，首先把方程移项，可得：，两边直接开平方即可求解. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 解得：, ． 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的一般步骤计算即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 整理得． 3．【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，根据一元二次方程的得出的值，进而即可求解，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∴，，， ∴该一元二次方程为， 故选：． 4．【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算、配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的概念，由完全平方式的非负性是解决本题的关键． 对代数式分别对对部分配方和对部分配方得到完全平方式，再通过配方法转化为平方和的形式，结合非负性即可确定其取值范围． 【详解】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解法解一元二次方程 【分析】对于一元二次方程，若方程两根为，则 ，代入已知条件即可得到结果． 【详解】∵关于的一元二次方程的两根为， ∴根据一元二次方程根与因式分解的关系可得 因此代数式因式分解的结果对应选项D． 7．【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 8．【答案】B 【知识点】分式方程的行程问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题为行程类分式方程应用题，利用路程、速度、时间的关系，根据两人同时到达地即所用时间相等，列方程求解即可． 【详解】解：设乙骑自行车每小时行驶千米，则甲每小时行驶千米， ∵甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，两人同时到达地，即行驶时间相等， ∴可得方程， 方程两边同乘得：， 整理得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙骑自行车每小时行驶千米． 9．【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 10．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 先用配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学． 【详解】解：， 方程左右两边同时除以2可得：，即小明正确； 由等式的性质可得， 所以， ∴，故小红出错． 故选C． 11．【答案】14 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 12．【答案】 4 41 ， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：， ， ，，， ， ∴， 解得：，． 用公式法解方程时，应先找出对应的，，，计算出，可得方程的根是，． 13．【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查解分式方程，掌握换元法解分式方程的方法是解答的关键．根据题意可得，则有，进而去分母化为整式方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程化为， 去分母，得， 整理，得． 故答案为：． 14．【答案】 5 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，再分析：因为，所以，即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，进行作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 则， 即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5， 故答案为：，5． 15．【答案】， 【知识点】无理方程、换元法解一元二次方程 【分析】设，则原方程化为，求出的值，当时，，根据算术平方根具有非负性得出此时方程无解；当时，，求出，最后进行检验即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为： ， ， 解得：，， 当时，， 算术平方根具有非负性，所以此方程无解； 当时，， 方程两边平方，得， 解得：，， 经检验，都是原方程的解． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了无理方程，解一元二次方程，用换元法解方程等知识点，能正确换元是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 16．【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）移项后提取公因式分解因式，转化为一元一次方程求解； （2）将方程左边用十字相乘法分解因式，转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解： 或 解得，． （2） 或 解得，． 17．【答案】(1) 证明：∵              ∴不论k为何值，该方程总有两个实数根． (2)k的值为或 【知识点】公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）先计算判别式的值得到 ，然后根据非负数的性质得到△，则根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用因式分解法求得的解为，，然后根据整数的整除性可确定整数的值． 【详解】（1）略 （2）解：原方程的两根为， 即，          ∵方程的根为整数，k为整数， ∴k的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程， ：当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根． 18．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平方差公式分解因式、配方法的应用 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 19．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可； （2）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解； （3）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， 或， ，． 20．【答案】(1)每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元 (2)购进鸮卣毛毡背包至少个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】（1）设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元，根据“现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个”列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进鸮卣毛毡背包个，则购进鸟尊毛绒玩具个，根据“购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半”列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意； ∴， ∴每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元； （2）解：设购进鸮卣毛毡背包个，则购进鸟尊毛绒玩具个， 由题意可得：， 解得：， ∴购进鸮卣毛毡背包至少个． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $