2.2（2）一元二次方程的解法（公式法）【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习以“公式法解一元二次方程”为核心，通过“前置梳理-基础达标-能力提升-素养探究-中考链接”五级分层设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|根的判别式、求根公式及步骤|填空式梳理夯实前置认知| |基础达标|确定a,b,c值、判别式应用、公式法直接/整理后解方程|分题型专项训练，对接课时核心考点| |能力提升|参数取值范围、解法优选|结合隐含条件（二次项系数不为0），强化逻辑推理| |素养探究|判别式证明、几何动态问题|综合几何情境列解方程，培养模型意识与应用能力|

2.2（2）一元二次方程的解法（公式法）【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】确定一元二次方程中 a、b、c 的值 2 【题型2】利用判别式判断方程根的情况 2 【题型3】基础公式法解方程 3 【题型4】先整理化简，再用公式法解方程 4 三.能力提升 5 【题型1】根据根的情况求参数取值范围 5 【题型2】指定或优选方法解一元二次方程 6 四.素养探究 7 【题型】判别式证明+实际问题综合应用 7 五.中考链接 8 六.自我评价 10 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，掌握根的判别式、一元二次方程求根公式及公式法解题步骤。 1. 对于一元二次方程 ，我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。 2. 根的判别式与方程根的关系： （1），方程有两个不相等的实数根； （2），方程有两个相等的实数根； （3），方程没有实数根。 3. 求根公式：当 时，一元二次方程 的实数根为：。 4. 公式法解一元二次方程的一般步骤： ① 化：将方程整理为一元二次方程一般形式； ② 定：准确确定 的值（包含前面的正负符号）； ③ 算：计算根的判别式 ； ④ 判：根据 的正负判断根的情况； ⑤ 代：若 ，代入求根公式计算方程的根；若 ，方程无实数根。 二.基础达标 【题型1】确定一元二次方程中 a、b、c 的值 核心考点：熟练将方程化为一般形式，精准识别带符号的二次项系数、一次项系数、常数项 1．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，应先找出对应的_____，____，____，计算出_____，可得方程的根是______． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 【题型2】利用判别式判断方程根的情况 核心考点：熟练计算判别式，不解方程，直接判断实数根的个数 1．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是______． 3．（2026·甘肃天水·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 4．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当时，用适当的方法解方程． 【题型3】基础公式法解方程 核心考点：严格按照公式法步骤规范解题，熟练代入求根公式求解 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况： （1）； （2）； （3）． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）利用一元二次方程根的判别式，判断下列方程根的情况： （1）； （2）； （3）； （4）． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用公式法解下列方程： （1） （2） 4．（2026八年级下·全国·专题练习）使用“公式法”解一元二次方程 （1）； （2）； （3）． 【题型4】先整理化简，再用公式法解方程 核心考点：对非一般形式的方程先去括号、移项整理，再用公式法求解 1．（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 2．（25-26九年级上·山东临沂·开学考试）用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． （1）； （2）． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 三.能力提升 【题型1】根据根的情况求参数取值范围 核心考点：利用判别式建立不等式求解参数，牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 3．（25-26九年级上·北京西城·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 【题型2】指定或优选方法解一元二次方程 核心考点：掌握复杂系数方程的公式法求解，能根据方程特点优选解法 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程． （1）（用直接开方法）； （2）（用配方法）； （3）（用公式法）； （4）（用适当的方法）． 2．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）用适当的方法解方程： （1） （2） 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程． ，，， ． 解得； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： （1）已知代数式对应的方程解为和，则代数式分解后为 ，的值为 ； （2）将代数式分解因式． 3．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）解方程： （1）（配方法） （2）（公式法）． 四.素养探究 【题型】判别式证明+实际问题综合应用 核心考点：利用判别式代数证明根的情况，结合几何实际问题列方程、解方程并取舍增根 1．（25-26八年级上·四川达州·期末）在中，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为t秒． （1）用含t的代数式表示的面积S； （2）当秒时，这时P、Q两点之间的距离是多少？ （3）是否存在时刻t，使的面积是的面积的？若有请求出；若没有，请说明理由． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在周长相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为4，它的另一边长为6． （1）设矩形的一边长为x，用含x的代数式表示它的另一条边长和面积； （2）圆圆说其中有一个矩形的面积为21，方方说有一个矩形的面积为30．你认为圆圆和方方的说法是否正确？请说明理由． 五.中考链接 1．（2026·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 2．（2026·山东济南·中考真题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 5．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 6．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为______． 三、解答题 7．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 8．（2026·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2（2）一元二次方程的解法（公式法）【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】确定一元二次方程中 a、b、c 的值 2 【题型2】利用判别式判断方程根的情况 4 【题型3】基础公式法解方程 7 【题型4】先整理化简，再用公式法解方程 11 三.能力提升 15 【题型1】根据根的情况求参数取值范围 15 【题型2】指定或优选方法解一元二次方程 19 四.素养探究 23 【题型】判别式证明+实际问题综合应用 23 五.中考链接 26 六.自我评价 33 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，掌握根的判别式、一元二次方程求根公式及公式法解题步骤。 1. 对于一元二次方程 ，我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。 2. 根的判别式与方程根的关系： （1），方程有两个不相等的实数根； （2），方程有两个相等的实数根； （3），方程没有实数根。 3. 求根公式：当 时，一元二次方程 的实数根为：。 4. 公式法解一元二次方程的一般步骤： ① 化：将方程整理为一元二次方程一般形式； ② 定：准确确定 的值（包含前面的正负符号）； ③ 算：计算根的判别式 ； ④ 判：根据 的正负判断根的情况； ⑤ 代：若 ，代入求根公式计算方程的根；若 ，方程无实数根。 【参考答案】 1. 2. 两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根 3. 4. ；；；方程无实数根 二.基础达标 【题型1】确定一元二次方程中 a、b、c 的值 核心考点：熟练将方程化为一般形式，精准识别带符号的二次项系数、一次项系数、常数项 1．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，应先找出对应的_____，____，____，计算出_____，可得方程的根是______． 【答案】 4 41 ， 【分析】找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 解：， ， ，，， ， ∴， 解得：，． 用公式法解方程时，应先找出对应的，，，计算出，可得方程的根是，． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 【答案】 1 3 【分析】题目给出的根符合一元二次方程求根公式的形式，对比对应位置系数即可求解． 解：一元二次方程的求根公式为， 题目给出的两根可写为， 将两式对应位置对比，可得 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，代入得， ∴． 【题型2】利用判别式判断方程根的情况 核心考点：熟练计算判别式，不解方程，直接判断实数根的个数 1．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，把原方程整理成一般形式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 解： 整理得到， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 3．（2026·甘肃天水·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 【答案】2 【分析】因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，据此得到第一个关于的限制条件．因为一元二次方程有实数根，所以根的判别式，代入对应系数计算得到第二个关于的不等式．联立两个条件得到的取值范围，在范围内任选一个符合要求的值即可． 解：该方程是一元二次方程，因此， 因为方程有实数根， 所以， 解得， 因此只要取且的任意值都符合条件，比如． 4．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当时，用适当的方法解方程． 【答案】（1）且；（2），． 【分析】（1）由一元二次方程二次项系数不为0及根的判别式大于0列不等式求解； （2）代入，用配方法解一元二次方程． （1）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵ ， ∴ ， 解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）当时，原方程为， ∴ ， ， ， ， ∴ ，． 【题型3】基础公式法解方程 核心考点：严格按照公式法步骤规范解题，熟练代入求根公式求解 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 【分析】先计算出根的判别式的值，再根据其大于、等于或小于来判断一元二次方程根的情况． （1）解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， ，，， ， 方程有两个相等的实数根． （3）解：， ， ，，， ， 方程没有实数根． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）利用一元二次方程根的判别式，判断下列方程根的情况： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根；（4）方程没有实数根． 【分析】先计算出根的判别式的值，再根据其大于、等于或小于来判断一元二次方程根的情况． （1）解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， ，，， ， 方程有两个相等的实数根． （3）解：， ，，， ， 方程没有实数根． （4）解：， ， ，，， ， 方程没有实数根． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用公式法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． （1）解：即， ∴， ， ∴，. （2）解：， ∴， ， ∴，． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）使用“公式法”解一元二次方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）或；（2）；（3）无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，根据的符号判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，最后代入求根公式求解（时无需代入）． （1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解； （2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据求相等实根； （3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据判断无实数根． （1）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即； （3）解：先将方程化为一般形式：， 其中，，， ∴， ∴原方程无实数根． 【题型4】先整理化简，再用公式法解方程 核心考点：对非一般形式的方程先去括号、移项整理，再用公式法求解 1．（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练运用求根公式是解答本题的关键． （1）将方程化为，再运用求根公式解答即可； （2）将方程化为，再运用求根公式解答即可． （1）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． 2．（25-26九年级上·山东临沂·开学考试）用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 【答案】；；；；；；； 【分析】利用公式法解方程即可. 解：略 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）方程无实数根 【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式，分别找出二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （2）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （3）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程无实数根． （1）解：， 由方程可得：，，， ∵， ∴， 即，； （2）解： ， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴， 即，； （3）解：， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴该方程无实数根． 三.能力提升 【题型1】根据根的情况求参数取值范围 核心考点：利用判别式建立不等式求解参数，牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个实数根的条件，需满足二次项系数不为0且判别式为非负数计算即可． 解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解得情况，解题的关键是熟知根的判别式的运用． 根据一元二次方程根的判别式的应用，一元一次方程的根，分两种情况讨论即可得到答案． 解：当时，则， 由于关于的方程有实数根， ，即， ， 的取值范围且， 当时为一元一次方程，方程有一根． 综上所知的取值范围为：． 故选：C． 3．（25-26九年级上·北京西城·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【答案】（1）证明： ． ∵， ∴． ∴方程总有两个实数根． （2）或3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算得出，即可得证； （2）先利用因式分解法方程可得，，再结合题意分析即可得出结果． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． ∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数， ∴或3． 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 【答案】（1）证明：由题可得：，，， ， 方程总有两个实数根； （2） 【分析】（1）根据根的判别式判断即可； （2）先利用因式分解解方程，再进行求解即可 解：（1）略 （2）解：方程可因式分解为， 或， 或， ∵方程只有一个根小于时， ∴， ． 的取值范围为． 【题型2】指定或优选方法解一元二次方程 核心考点：掌握复杂系数方程的公式法求解，能根据方程特点优选解法 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程． （1）（用直接开方法）； （2）（用配方法）； （3）（用公式法）； （4）（用适当的方法）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， （1）解：直接开平方，得， 或， ，； （2）解：移项，得， 配方，得， 直接开平方，得， ，； （3）解：移项，得． ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 2．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先移项，再直接开方可得解； （2）先求出，再根据求根公式求出解． （1）解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； （2）解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程． ，，， ． 解得； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： （1）已知代数式对应的方程解为和，则代数式分解后为 ，的值为 ； （2）将代数式分解因式． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）求根法即可得到结论； （2）先令得到关于的一元二次方程，用求根公式求出它的两根，然后代入即可． （1）解：代数式对应的方程解为和， 代数式分解后为， ， ， 故答案为：，； （2）令，得到一个关于的一元二次方程， ，，， ． 解得， ． 【点拨】本题考查的是利用因式分解法解，公式法解一元二次方程，此类题目根据它提供的解题方法进行解题是解题的关键． 3．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）解方程： （1）（配方法） （2）（公式法）． 【答案】（1），；（2）， （1）解：整理得， 配方得，即， ∴或， 解得，； （2）解：， ，，， ， ∴， 解得，． 四.素养探究 【题型】判别式证明+实际问题综合应用 核心考点：利用判别式代数证明根的情况，结合几何实际问题列方程、解方程并取舍增根 1．（25-26八年级上·四川达州·期末）在中，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为t秒． （1）用含t的代数式表示的面积S； （2）当秒时，这时P、Q两点之间的距离是多少？ （3）是否存在时刻t，使的面积是的面积的？若有请求出；若没有，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）；（3）不存在，理由见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知的长，可将用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）不存在．构建方程利用一元二次方程根的判别式进行判断即可． （1）解：由题意得，，则， 因此的面积为； （2）由题意得，，则， 当秒时，，， 在中，由勾股定理得； （3）不存在． 理由：由题意可得，， 整理得， ， 方程无解， 不存在时刻t，使的面积是的面积的. 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在周长相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为4，它的另一边长为6． （1）设矩形的一边长为x，用含x的代数式表示它的另一条边长和面积； （2）圆圆说其中有一个矩形的面积为21，方方说有一个矩形的面积为30．你认为圆圆和方方的说法是否正确？请说明理由． 【答案】（1）矩形的另一条边长为，面积为；（2）解：当矩形的面积为21时，则， 整理得：， 解得或， 所以当矩形的一条边长为3，另一条边长为7时，矩形的面积为21， 所以圆圆的说法正确． 当矩形的面积为30时，则， 整理得：， 这个方程的根的判别式为，方程没有实数根， 即在本题的条件下，没有一个矩形的面积为30， 所以方方的说法不正确． 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键． （1）先根据矩形的周长公式求出这个矩形的另一条边长，再利用矩形的面积公式求解即可得； （2）分别根据矩形的面积为21、矩形的面积为30建立一元二次方程，利用因式分解法解方程、一元二次方程的根的判别式进行求解即可得． （1）解：由题意得：矩形的另一条边长为， 则矩形的面积为， 答：矩形的另一条边长为，面积为． （2）略 五.中考链接 1．（2026·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 2．（2026·山东济南·中考真题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 二、填空题 4．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 5．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 6．（2025·四川乐山·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为______． 【答案】 ③ 【分析】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”． （1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断． （2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围． 解：（1）①联立， 整理得：， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ②联立， 整理得：， 令，则方程变为，即， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立， 整理得：， 则， ∵恒成立， ∴， 解得：， 当时，， 则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”． 故答案为：③ （2）联立， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为： 三、解答题 7．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． （1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 8．（2026·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． （1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $