3.1 第1课时 相似多边形的定义&第2课时 等比性质-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

8.原式=-216. 方程总有两个实数根； 9.(1)①0=-1，x2=2 (2):x=一(mm-3)±(m+3) 2m ②m1=-1,x2=3 ③.x3=-1,x2=4 m3=-1. (2)①x1=-1,x2=10 ,m为正整数，且方程的两个根 ②略. 均为整数，.m=1或3. 第2课时用配方法解二次项系数 14.(1)k≤4； 不为1的一元二次方程 (2)k的值为3或4. 1.C2.D3.4 1 9 - 第4课时用因式分解法求解一元 4.(0-1或- 二次方程 1.C2.D3.C【变式C (2)x=-1±26 4.x1=1,x2=55.D 31 6.(1)因式分解；(2)直接开平方. 5.竹竿有10尺. 6.B7.C 7.(1)x1=1,x2=2; 8.略. 2w=3 (2)=3+ 29 9.3√2 (3)x1=1+5,.x02=1-√5. 第3课时用公式法求解一元 8.x1=-1,x2=4 二次方程 9.C10.B 1.A2.B 11.16【变式】11或13 3.4-3-241 3+/41 8 12.2 0=3-红 13.(1)x1=- 1 32=-5: 8 1 4.(1)x=-2+E =2 (2)=- 2x2=-1. 2 2 : 14.(1)-3√2x; 2072=1 （2)x1=4,x2=-2. 5.A6.8 1 微课堂 1.(1)x1=5,x2=-1. 7.(1m< 8(2)m= 8 (2)x1=-3,x2=1. (3)m>- 7 2.1或2 8 专题五一元二次方程的解法 8.D9.C10.D11.C 1.(1)x1=3,x2=-1; 12.等腰 13.(1)证明：，m≠0， （2-合4=3 .方程m.x2+(m-3)x-3=0 (3)x1=-2,x2=0: (m≠0)是关于x的一元二次方 (4)x1=2+√3，x2=2-3; 程，∴.△=(m-3)2-4m×(-3) =(m+3)2≥0， (5)x=1,x2=-2: 1 52 (6a=26=8 则2()°-7+1=0， 2.y=2,y=-4. 所以：和可看成方程2x2一7x 3.(1)x0=7,x2=-1; 十1=0的两个根， (2)=6,x2=-1; 所以s+1=2 。.1-1 (3)x=1,2m=-2 1 t2· t 2 4=- 号- 则中子即=号 t 2 所以21十2 7t-2+2 4.A5.y2-2y-3=0 t+3t+1= 712+3t十1 6.x01=-1十2，x2=-1-2. 2 2.3一元二次方程的根 14 13: 与系数的关系 2.4一元二次方程的应用 1.D2.A3.2020 第1课时利用一元二次方程 4(10:2)受 解决几何问题 5.D 1.B2.7m3.16cm 6.另一个根是2+√5，c的值是-1. 4.小路的宽应是2m. 5.所围矩形猪舍的长为10m,宽为 7.A8.D9.C10.D11.14 12.x2-6.x+6=0 8m. 6.127.2 13.(1)k的取值范围为k>一1； 8.该有盖纸盒的底面边长为8cm. (2)1. 14.(1)证明：.△=[-(2m+1)]-4 9.(1)AD=36-3x; (2)当AB=8m时，苗圃园的总面 (m2+m)=4m2+4m十1-4m2 积为96m. 4m=1>0, 10.(1)当t=2s时△PCQ的面积为 .无论m取何值时，方程都有 两个不相等的实数根. △MBC面积的： (2)由题意，得a十b= (2)△PCQ的面积不可能是 -(2m+1D=2m+1, △ABC面积的一半.理由略. 1 第2课时利用一元二次方程 ab=心+m=m+m, 1 解决营销类问题 (2a+b)(a+2b)=20,即2(a+1.D2.D3.10% b)2+ab=20, 4.该市这两年参加健身运动人数的 ∴.2(2m+1)2+m2+m=20, 年均增长率为30%. 整理得：nt十m一2=0，解得：m1=5.D -2,m=1, 6.(3+x)0.5x(4-0.5x)(3 .m的值为-2或1. +x)(4-0.5.x)=15 15.(1)5123 7.50 (2)因为，t满足2s2一7s十1=：8.设每件衬衫应降价x元，由题意， 0,-7t+2=0,且st≠1， 得(40-x)(20+2x)=1200, 53 解得x1=20,x2=10. 综合与实践（一）数形结合与 当x1=20时，20+2x=60件：当 方程思想 x2=10时，20十2x=40件，因为 【理解应用】② 要减少库存，x=20. 【类比迁移】x十号 (x+x+号) 答：每件衬衫应降价20元. 9.(1)设从2026年起该企业智能机 =4x1+()》 x=7 器人工作岗位率的年平均增长率 【拓展应用】士231或3 应达到x,由题意可得28%(1十 综合与实践（二）方程建模与 x)2=35%, 实际应用 (1+x)2=5 任务一：这个矩形的长和宽分别是 2 : 60cm和20cm; x>0, 任务二：按图4上面的做法合适，下 x= 2 -1≈22-1=0.1= 2 面的做法不合适。 10%, 章末核心考点与素养提升 (2)35%×(1+10%)2=35%× 1.-32.-1 1.21=42.35%>40%, 3.(1)x=√2土1： 所以照此速度增长，2029年底该 (2)=8,x2二3、 企业智能机器人工作岗位率可超 4.B 过40%. 5.(1)13;(2)-6;(3)a≤2且a≠0. 10.任务1： 6.(1)当m=1时，四边形ABCD为 设第一季度到第三季度生产量 菱形； 的每季度增长率为x,根据题意 (2)m= 得：200(1+x)2=288, 2 解得x=0.2=20%,x=-2.2 7.10% (不符合题意，舍去)， 8.(1)(60-3a); 答：第一季度到第三季度生产量 (2)a=12. 的每季度增长率为20%； 9.B10.A11.B 任务2： 12.3(x-1)x=6210 设增加a条生产线，则每条生产 18-日 线产能为(300-20a)万个/季 14.x0=-3,x2=2. 度，根据题意得：(1十a)(300 15.(1)1 20a)=1200, (2)01=3+i,x2=3-i 整理得a2-14a十45=0，即(a-5) 第三章图形的相似 (a-9)=0, 3.1相似多边形 解得a1=5,a2=9, 第1课时相似多边形的定义 ,在增加产能同时要节省投入 1.C2.A3.D4.45.B 成本，.a=5. 答：应增加5条生产线。 6125°127.号 54 8.x=12,y= 3 2∠a=83. 5.54 75 6.证明略 9.D 10.D 11.5+1 2 12.6 7.A8.A9.D10.C 13.图略， 11.(-1,0)或(-4,0)或(1,0) 14.1)A"=1,AE-1DE1 AB 3'AC3'BC3 12.△APB与△PCE相似，理由略. (2)证明略. 13.(1)△PBA与△ABC相似，理由 15.不能使小路内外边缘形成的两 略； 矩形相似.理由略。 (2)∠BAC=135°. 第2课时 等比性质 14.PB=2或12或号时，△PAB与 2 1.B2.A3. 4.4. △PCD相似. 5.A6.C7.5. 第3课时利用三边证相似 8.△ABC为直角三角形 1.A2.B3.D4.B5.1.5 3.2探索三角形相似的条件 6.∠A=∠D或BC=2EF 第1课时利用两角证相似 7.证明略 8.D9.C 10.B11.B 1LB243告是 4 4.C 12.①②④ 5.56.157.证明略 13~14.证明略。 8.AC=2√/21cm. 15.(1)△ABCc∽△DEF,由三边对 A10.号11.9 应成比例可知； (2)不唯一，△PPD,△PPF, 12.AE=7. △PPD,△PPD,△P2PP, 13.(1)证明略；(2)DE=4.9. △PFD中，选2个即可.图略 14.(1).∠ABC=90°，DE⊥DG, 第4课时黄金分割 ∴.∠ADG=∠ABC=90°， 1.C2.B3.D4.23 .∠BAD+∠ADB=90°， 5.AB=6+2√5. ∠ADB+∠CDG=90°， 6.D7.1.730 .∠BAE=∠CDG, BFLAC,∴∠ABE+∠BAC&.ID-15 2 =90°，.∠C+∠BAC=90°， (2)右边窗户BCNM是黄金矩 ∴.∠ABE=∠C, 形.证明：设AB=CD=1,矩形 ∴.△ABE△DCG. ABCD是黄金矩形， (2)证明：△ABE∽△ACD,或 △DCGC∽△ACD.易证∠BAE ∴AD=AM=MN=5-1 2 =∠CAD,∠AEB=∠ADC可 知△ABEP△ACD. ∴MB=AB-AM=1-5-1 第2课时利用两边及其夹角 3-√5 证相似 3-5.MB 2 3-5 2…MN 5-15-1 1.B2.D3.B4.B 55 (3-√5)(W5+1) 25-2 3.4相似三角形的性质 (5-1)(5+1) 4 第1课时相似三角形对应线段的 5-1 比与相似比的关系 2 1.D2.A3.B ∴.矩形BCNM是黄金矩形 4.A'E'=12cm. 3.3相似三角形判定定理的证明 2h 第1课时 平行线分线段成比例 5.B6.A7.68. 1.D2.43. EF AD 9.(1)证明略； BD (2)PQ=30,PN=20. 5.B6.6 第2课时相似三角形对应周长、 7.BF= ,CF16 面积的比与相似比的关系 1.B2.C3.B4.C5.C6.D 8.B9.C10.6或12 7.98.4:25或9：259.26 11.BC= 9,DB=1 10.(1)PC=22; 12.(1)AB=4,BC=10: (2)CP-24 7 (2)BE=9. 3.5图形的位似 微课堂 第1课时位似图形的概念及性质 【变式练】B 1.D2.A3.D4.B5.36.D 第2课时 相似三角形判定定理 7.图略.8.A9.A10.C 的证明 11.A12.18cm13.图略. 1.D2.B3.D 14.(1)AC∥A'C',理由略； 4.证明略. (2)CC=5. 5.经过5秒或2秒时，以P、B、Q为 15.24040 顶点的三角形与以A、C、D为顶 第2课时坐标系中的位似变换 点的三角形相似. 1.A2.D3.(-5,-1) 6.(1)1:3(2)(3)略. 专题六相似三角形的几种常见模型 4.(-2,号) 5.(-2,2) 1.C2.AF=12cm. 6.(1)~(2)图略，点B2的坐标为 3证明略。4号 (-4,-6) 5.DE=3. 7.(2,1)或(-2，-1) 8.D9.C 6.(1)专；(2)BM= 4 10.00或（号4 7.(1)△ABC与△DAC相似，理由 略； 11.(1)D(2,1),D(6,3) 1 (2)y=16 (2)yM=x,yw= (3)是位似图形，先证明相似，再 8.EF的长为图 2 证明AA',BB',CC',DD都经过 9.证明略 点O. 56 12.(1)(0,-1); 1.PE 2…PF的值是定值，该定值为 (2)(-3,4)(-2,2); (3).AE=m,∴.BE=2-m, (3)(-3,0) 13.(1)①(5,6)：②1：2： ①当'=时，：∠B=∠EPF (2)△A'B'C'的面积为4m. ☆问题解决活动利用相似三角 =90,∴△BPE△PFE∴8器 形测高 1 1.C2.C3.B4.11.55.D 6.5.1m7.D8.2000 ②当器-时，∠B=∠BPF 3 90°，∴.△BPE∽△PEF, 9.河宽AB的长为17米. 10.由题意得：DA⊥AC,∴.∠DAC =90°，.∠ACB=35°，∴.∠ABC 综上所述，当m=0或号时，△BPE =90°-∠ACB=55°， .∠AED=55°，.∠AED= 与△PEF相似. ∠ABC=55°，又：∠DAC= 综合与实践（二）折叠相似变换 ∠BAC,'.△BACP△EAD, (1)证明：四边形ABCD是矩形， -器即品 .∠A=∠D=∠C=90°，.∠1+ ∠3=90°， 10.8+9.2,解得AD=18, 由折叠的性质，可知∠EPH=∠A AD 7 =90°，.∠1+∠2=90°，.∠3= ∴.BD=AD-AB≈1.4m, ∠2，.△EDP△PCH: 答：教学楼顶部宣传牌BD的高 (2),四边形ABCD是矩形，.CD 度约为1.4m. =AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D 综合与实践（一）旋转相似变换 =∠C=90°，P为CD中点， (1)证明：，四边形ABCD是矩形， .DP=CP=1,设EP=AE=x, .∠B=∠C=90°，.∠BAP+ ∴.ED=AD-AE=3-x, ∠BPA=90°， 在Rt△EDP中，EP=ED+DP, ∠MPN=90°，∴.∠CPD+ 即x2=(3-x)2+1,解得x=号， 5 ∠BPA=90°，∴∠BAP=∠CPD, .△ABPp△PCD: EP=AP=号ED=AD-AE (2票的值为定值，理由如下： 过点F作FG⊥BC于G,∴∠FGP -告，：△EDP△rCH0 =90°，∴.∠FGP=∠B,∠PFG+ 4 5 ∠FPG90,易知四边形ABF是開即-高PH-是， EP 3 矩形，∴.FG=AB=2, .PG=AB=2,..GH=PG-PH .∠MPN=90°，∴.∠EPB+ 4 ∠FPG=90°，∴.∠EPB=∠FPG, (3)延长AB,PG交于一点M,连接 △EBPO△PG,器-器 :AP,由折叠的性质，可知AP⊥EF, 5741 第三章 图形的相仪 3.1 相似多边形 第1课时 相似多边形的定义 01基础达标 7.如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、AD 上，EF∥AB,AB=6,AD=8,当AF= 知识点一线段的比与成比例线段 时，矩形ABEF与矩形ADCB相似. 1.A、B两地的实际距离是250m,画在地图上的 距离是5cm,则该地图的比例尺是 A.1:50 B.1:500 C.1:5000 D.1:50000 8.如图，四边形ABCD∽四边形A'BCD',求边 2.已知M是线段AB延长线上一点，且AM:BM x、y的长度和∠a的大小. =5:2,则AB:BM为 A.3:2 B.2:3 C.3:5 D.5:2 D' 3.下列线段中，能成比例的是 140° 759 A.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm B.1.5 cm,2.5 cm,4 cm,5 cm C.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm D.1 cm,2 cm,3 cm,6 cm 4.已知线段a=2,b=3,d=6,且线段a,c,b,d成 比例，则c= 知识点二相似多边形的判定与性质 5.在下面的三个矩形中，相似的是 甲 cm 02能力提升 4cm -4cm 9.【跨化学·分子结构】某物质的分子结构如图 A.甲和乙 B.甲和丙 所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观 C.乙和丙 D.甲、乙和丙 察该分子结构，则保持不变的是 6.如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据 A.AB的长度 条件可知∠a= ,m= B.六边形ABCDEF的周长 8a C.六边形ABCDEF的面积 D.∠ECD=30° 42 10.下面四个图案是空心不等边三角形、等边三 (2)求证：△ADE与△ABC相似. 角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边 的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外 边缘所围成的几何图形不一定相似的是 A B 11.已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点 E,沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在 AD上的F点.若四边形EFDC与矩形AB CD相似，则AD= 03思维拓展 第11题图 第12题图 15.如图，矩形草坪的长为 12.如图所示，已知在梯形ABCD中，EF∥AB∥ 50m,宽为20m,沿草 CD,AB=9,CD=4,若EF把原梯形分成的 坪的四周修等宽的环形 两个小梯形相似，则EF的长为 小路，能否使小路内外边缘所形成的两个矩 13.在图中画出一个与四边形ABCD相似但不全 形相似？若能，求环形小路的宽；若不能，请 等的格点图形 说明理由. 14.如图，DE∥BC.BD,CE相交于点A,DE= 3,BC=9,AD=1.5,AB=4.5,AE=1.8,AC =5.4. a求品C的值： 43 第2课时 等比性质 01基础达标 7已知号一会≠6，求代效式器·的 知识点等比性质及其应用 值 1若号-音26+d≠0)，则哈+奇的值为（) A.1 B.2 c D.4 2已知哈-言号则爱的值为 A号 c号 3若号后-月-号+4+0，则哈 4已知：号音=，且x-y叶=3，求代数式3x -2y+之的值. 03思维拓展 8已知a、b,c是△ABC的三边，且满足告_ 生-宁.且a十计：=12，请你探泰△A 的形状 02能力提升 5若号旨片日则密法的值为() A号 B.1 C.1.5 D.3 6已知千：。名=。6，则长的值为( A.2 1 B.-1 C.2或-1 D.-或-1