29.1.2 过三点的圆(第1课时 确定圆的条件)（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“过三点的圆”，核心是理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”。通过考古复原古镜情境导入，复习圆的静态定义和垂直平分线性质作铺垫，引导学生经历“过一点→过两点→过三点”的递进探究，理解确定圆条件从无数个到唯一的变化规律。 导学案以“操作—观察—猜想—验证”为主线，通过分类讨论和从特殊到一般的思想，培养几何直观与逻辑推理能力（数学思维），情境导入激发探究兴趣（数学眼光），例题与网格作图等练习结合，提升用数学语言解决问题的能力，助力学生自主构建知识。

29.1.2 过三点的圆(第1课时 确定圆的条件) （导学案） （1）理解并掌握定理：知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，能从“存在性”和“唯一性”两个维度解释“确定”的含义.掌握探究方法：经历“过一点→过两点→过三点”的递进式探究过程，理解确定圆的条件从“无数个”到“唯一”的变化规律. （2)理解共线三点不能作圆的原因：能运用垂直平分线的性质解释为什么共线三点不能确定一个圆. （3）经历“操作—观察—猜想—验证”的探究过程，体会分类讨论、从特殊到一般的数学思想，发展逻辑推理和几何直观能力. 重点:不在同一直线上的三点确定一个圆的定理及其探究过程. 难点:对“确定”一词的深刻理解（存在性与唯一性）.为什么共线三点不能作圆的逻辑解释（利用垂直平分线性质说明无交点）.在探究过程中，发现“圆心在垂直平分线上”这一规律，并自主归纳出作图方法. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 情境创设：多媒体展示情境——“某考古队发现一块残缺的圆形古镜边缘碎片，只有一段圆弧（如图）.工匠师傅想要复原这面古镜的完整形状，需要知道整个圆的大小和位置.” 核心问题：要复原一个圆，最关键的是确定什么？（圆心和半径）.现在只有一段弧（即圆上的若干个点），至少需要几个点才能确定这个圆呢？ 复习铺垫：圆的静态定义是什么？（到定点距离等于定长的所有点组成的图形） 垂直平分线的性质是什么？（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） 【学法指导】 新知自研：自研课本第116-118页的内容 【学法指导】自研课本P116-118页内容 (一)过一点作圆 活动：请学生在学案上先画一个点A.经过点A，你能画多少个圆？学生用圆规试一试，如图： 学生操作总结归纳：可以画无数个圆. 追问：这些圆的圆心有什么规律？（圆心可以是平面内任意一点，只要到点A的距离等于半径即可.） （二）过两点作圆 活动：在再画一个点B，经过点A和点B，你能画多少个圆？试一试. 学生操作总结归纳：可以画无数个圆. 追问1：这些圆的圆心有没有什么共同特点？（圆心到A和B的距离相等，即圆心在线段AB的垂直平分线上） 追问2：你能用尺规找出几个这样的圆心吗？（在垂直平分线上任取一点作为圆心，到A（或B）的距离为半径画圆即可） 追问3：圆心到A、B的距离满足什么关系？（OA=OB） （三）过不在同一直线上的三点作圆 活动：在学案上画三个不在同一直线上的点A、B、C，经过这三点，你能画多少个圆？ 引导性探究： 问题1：过A、B两点的圆的圆心在哪里？（在线段AB的垂直平分线上） 问题2：过B、C两点的圆的圆心在哪里？（在线段BC的垂直平分线上） 问题3：同时满足“过A、B、C三点”的圆心，应该在哪？（在l₁和l₂的交点O处） 问题4：为什么圆心必须是l₁和l₂的交点？（因为圆心既要到A、B距离相等，又要到B、C距离相等，同时满足这两个条件的点就是两条垂直平分线的交点） 问题5：这个交点O到A、B、C三点的距离有什么关系？（OA=OB=OC，因为O在AB的垂直平分线上，所以OA=OB；O在BC的垂直平分线上，所以OB=OC；因此OA=OB=OC） 追问6：以O为圆心，OA为半径画圆，这个圆是否一定经过A、B、C三点？（一定，因为OA=OB=OC） 追问7：这样的圆有几个？唯一吗？为什么？（只有1个，因为两条垂直平分线的交点只有一个） 师生共同归纳：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 关键词解读：“确定”=“存在且唯一”.存在性：总能找到两条垂直平分线的交点O，以O为圆心到任意一点的距离为半径画圆，该圆经过三个点. 唯一性：两条垂直平分线的交点唯一，因此这样的圆只有一个. 由上图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 【自研自探】 自研课本P116-118页内容 典型例题 例1. 如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，得，根据三角形外角与内角的关系求出，结合已知可得，运用角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后由代入求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）由（1）可知，连接 又 故的半径为：2 第二环节 合作探究 1.讨论过一点可以画多少个圆. 2.讨论过二点可以画多少个圆. 3.讨论过不在一条直线上的三点可以画多少个圆？怎样画？ 拓展提升：1．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作：    (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2)求出扇形的面积． 【详解】（1）解：根据网格作，的中垂线，这两条中垂线相交于点，连接，，，则点，    故答案为：； （2）解：由（1）图可知： ， ， 为直角三角形，， 即的半径为，的度数为， ∴． 课本课堂练习P118. 1.（2026·庐江三中课时练习）估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论． 【详解】解：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小． ①在较大的弧上取点A、B，连接AB，使线段AB同时过三条弧，再作AB的垂直平分线CD； ②连接DE，作DE的垂直平分线交CD与点O″，则此点即为 所在圆的圆心； ③连接GF，作GF的垂直平分线交CD与点O′，则O′即为中间的弧所在圆的圆心； ④连接BC，作BC的垂直平分线交CD与点O，则O即为较大的弧所在圆的圆心． 根据图形可知：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小． 2．（2026·苏州校考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系， (1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为 ． (2)求出圆的直径 【详解】（1）解：连接BC，作BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上找一点P，使得，如图所示，点P是过A，B，C三点的圆的圆心， ∴点P的坐标为：， 故答案为：． （2）由（1）得：点P是过A，B，C三点的圆的圆心， ∴圆的直径为：． 知识技能： 探究路径：过一点→过两点→过三点，从“无数个”到“唯一”的递进变化.核心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆（存在性 + 唯一性）.重要结论：共线三点不能确定一个圆.作图思路：找圆心→作两条垂直平分线→交点为圆心. 思想方法：分类讨论：分为“过一点、过两点、过三点”三种情况逐步探究.从特殊到一般：从简单情形（过一点）开始，逐步过渡到复杂情形（过三点）.转化思想：将“确定圆”的问题转化为“确定圆心”的问题，再转化为“找垂直平分线交点”的问题. 易错提醒：漏条件：切记“不在同一直线上”的前提，共线三点不能作圆.误判共线：在具体题目中，要善于通过角度、坐标等条件判断三点是否共线.圆心位置：过三点的圆的圆心是两条垂直平分线的交点，不是角平分线或其他线的交点. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.2 过三点的圆(第1课时 确定圆的条件) （导学案） （1）理解并掌握定理：知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，能从“存在性”和“唯一性”两个维度解释“确定”的含义.掌握探究方法：经历“过一点→过两点→过三点”的递进式探究过程，理解确定圆的条件从“无数个”到“唯一”的变化规律. （2)理解共线三点不能作圆的原因：能运用垂直平分线的性质解释为什么共线三点不能确定一个圆. （3）经历“操作—观察—猜想—验证”的探究过程，体会分类讨论、从特殊到一般的数学思想，发展逻辑推理和几何直观能力. 重点:不在同一直线上的三点确定一个圆的定理及其探究过程. 难点:对“确定”一词的深刻理解（存在性与唯一性）.为什么共线三点不能作圆的逻辑解释（利用垂直平分线性质说明无交点）.在探究过程中，发现“圆心在垂直平分线上”这一规律，并自主归纳出作图方法. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 情境创设：多媒体展示情境——“某考古队发现一块残缺的圆形古镜边缘碎片，只有一段圆弧（如图）.工匠师傅想要复原这面古镜的完整形状，需要知道整个圆的大小和位置.” 核心问题：要复原一个圆，最关键的是确定什么？（ ）.现在只有一段弧（即圆上的若干个点），至少需要几个点才能确定这个圆呢？ 复习铺垫：圆的静态定义是什么？（ ） 垂直平分线的性质是什么？（ ） 【学法指导】 新知自研：自研课本第116-118页的内容 【学法指导】自研课本P116-118页内容 (一)过一点作圆 活动：请学生在学案上先画一个点A.经过点A，你能画多少个圆？学生用圆规试一试，如图： 学生操作总结归纳：可以画无数个圆. 追问：这些圆的圆心有什么规律？（ .） （二）过两点作圆 活动：在再画一个点B，经过点A和点B，你能画多少个圆？试一试. 学生操作总结归纳：可以画无数个圆. 追问1：这些圆的圆心有没有什么共同特点？（ ） 追问2：你能用尺规找出几个这样的圆心吗？（ ） 追问3：圆心到A、B的距离满足什么关系？（ ） （三）过不在同一直线上的三点作圆 活动：在学案上画三个不在同一直线上的点A、B、C，经过这三点，你能画多少个圆？ 引导性探究： 问题1：过A、B两点的圆的圆心在哪里？（ ） 问题2：过B、C两点的圆的圆心在哪里？（ ） 问题3：同时满足“过A、B、C三点”的圆心，应该在哪？（ ） 问题4：为什么圆心必须是l₁和l₂的交点？（ ） 问题5：这个交点O到A、B、C三点的距离有什么关系？（ ） 追问6：以O为圆心，OA为半径画圆，这个圆是否一定经过A、B、C三点？（ ） 追问7：这样的圆有几个？唯一吗？为什么？（ ） 师生共同归纳：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 关键词解读：“确定”=“存在且唯一”.存在性：总能找到两条垂直平分线的交点O，以O为圆心到任意一点的距离为半径画圆，该圆经过三个点. 唯一性：两条垂直平分线的交点唯一，因此这样的圆只有一个. 由上图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 【自研自探】 自研课本P116-118页内容 典型例题 例1. 如图，在中，． (1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知，求的半径． 第二环节 合作探究 1.讨论过一点可以画多少个圆. 2.讨论过二点可以画多少个圆. 3.讨论过不在一条直线上的三点可以画多少个圆？怎样画？ 拓展提升：1．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作：    (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2)求出扇形的面积． 课本课堂练习P118. 1.（2026·庐江三中课时练习）估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论． 2．（2026·苏州校考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系， (1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为 ． (2)求出圆的直径 知识技能： 探究路径：过一点→过两点→过三点，从“ ”到“ ”的递进变化.核心定理：不在同一直线上的 （存在性 + 唯一性）.重要结论： 确定一个圆.作图思路：找 →作 →交点为 . 思想方法：分类讨论：分为“ 、 、 ”三种情况逐步探究.从特殊到一般：从简单情形（过一点）开始，逐步过渡到 （ ）.转化思想：将“ ”的问题转化为“ ”的问题，再转化为“ ”的问题. 易错提醒：漏条件：切记“ ”的前提， 不能作圆.误判共线：在具体题目中，要善于通过 、 等条件判断三点是否共线.圆心位置：过三点的圆的圆心是 ，不是角平分线或其他线的交点. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $