21.2.2.2二次函数y=a(x-h)2的图象和性质（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数 \( y=a(x-h)^2 \) 的图象和性质，通过问题引导、引例画图等方式导入，承接 \( y=ax^2+k \) 的竖直平移知识，为后续顶点式学习搭建支架，系统梳理开口方向、对称轴、平移规律等核心内容。 其亮点在于运用表格对比、描点探究等方法，结合几何直观与推理意识，通过典例精析和分层练习帮助学生理解性质，培养抽象能力与应用意识，既利于学生掌握知识，也为教师教学提供清晰思路与实用素材。

21.2.2.2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质专项练习 【核心知识梳理】 二次函数 \(y=a(x-h)^2\)（\(a≠0\)）是 \(y=ax^2\) 的水平平移变式，是沪科版九年级上册二次函数图象与性质的核心内容，承接竖直平移函数 \(y=ax^2+k\)，为后续学习顶点式完整公式奠定基础。该函数图象为抛物线，其中系数 \(a\) 决定抛物线的开口方向、开口大小，常数 \(h\) 决定抛物线的左右平移位置，函数无一次项与常数项，图象特征更规律、直观。 函数基础性质恒定：抛物线对称轴为平行于 \(y\) 轴的直线 \(x=h\)，顶点坐标为 \((h,0)\)，顶点始终在 \(x\) 轴上。当 \(a>0\) 时，抛物线开口向上，顶点为图象最低点，函数有最小值 \(0\)；在对称轴左侧（\(x<h\)），\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小，在对称轴右侧（\(x>h\)），\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大。当 \(a<0\) 时，抛物线开口向下，顶点为图象最高点，函数有最大值 \(0\)；在对称轴左侧（\(x<h\)），\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大，在对称轴右侧（\(x>h\)），\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小。 图象平移遵循“左加右减”核心规律：基础抛物线 \(y=ax^2\) 向右平移 \(|h|\) 个单位，得到 \(y=a(x-h)^2\)（\(h>0\)）；向左平移 \(|h|\) 个单位，得到 \(y=a(x-h)^2\)（\(h<0\)）。平移过程中，抛物线的开口方向、开口大小保持不变，仅对称轴和顶点发生水平移动，这是区别于 \(y=ax^2+k\) 上下平移的关键特征。 【基础专项练习题】 1. 填空题：二次函数 \(y=3(x-2)^2\) 的开口方向为______，对称轴是直线______，顶点坐标为______，函数最小值为______。 2. 填空题：将抛物线 \(y=4x^2\) 向右平移3个单位，所得抛物线解析式为______；将抛物线 \(y=-2x^2\) 向左平移1个单位，所得抛物线解析式为______。 3. 选择题：对于二次函数 \(y=-(x+4)^2\)，下列说法正确的是（） A. 对称轴为直线 \(x=4\) B. 函数最大值为4 C. 当 \(x<-4\) 时，\(y\) 随 \(x\) 增大而增大 D. 顶点坐标为 \((-4,1)\) 4. 选择题：抛物线 \(y=a(x-1)^2\) 经过点 \((2,3)\)，则 \(a\) 的值为（） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 【提升专项练习题】 5. 解答题：已知二次函数 \(y=-2(x+1)^2\)，（1）简述该函数的图象性质；（2）求 \(x=0、-2、1\) 时对应的函数值；（3）详细说明函数的增减性与最值情况。 6. 解答题：已知抛物线 \(y=a(x-h)^2\) 与抛物线 \(y=3x^2\) 形状、开口方向一致，且对称轴为直线 \(x=-2\)，求该抛物线解析式，并判断点 \((-2,0)\)、\((0,-12)\) 是否在抛物线上。 【参考答案与详细解析】 1. 答案：向上；\(x=2\)；\((2,0)\)；0。解析：\(a=3>0\)，开口向上，有最小值0；由解析式可得对称轴 \(x=2\)，顶点坐标 \((2,0)\)。 2. 答案：\(y=4(x-3)^2\)；\(y=-2(x+1)^2\)。解析：依据“左加右减”平移规律，右平移减、左平移加，仅对 \(x\) 进行变换，不改变系数 \(a\)。 3. 答案：C。解析：解析式可化为 \(y=-(x-(-4))^2\)，对称轴 \(x=-4\)，顶点 \((-4,0)\)，\(a=-1<0\)，开口向下，最大值为0；\(x<-4\) 时 \(y\) 随 \(x\) 增大而增大，C选项正确。 4. 答案：A。解析：将点 \((2,3)\) 代入解析式，得 \(3=a(2-1)^2\)，解得 \(a=3\)。 5. 解析：（1）该抛物线开口向下，对称轴为直线 \(x=-1\)，顶点坐标为 \((-1,0)\)，函数最大值为0；（2）代入计算：\(x=0\) 时 \(y=-2\)，\(x=-2\) 时 \(y=-2\)，\(x=1\) 时 \(y=-8\)；（3）当 \(x<-1\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大；当 \(x>-1\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小，\(x=-1\) 时函数取得最大值0。 6. 解析：形状、开口方向相同则 \(a=3\)，对称轴为 \(x=-2\) 即 \(h=-2\)，解析式为 \(y=3(x+2)^2\)；将 \(x=-2\) 代入得 \(y=0\)，故点 \((-2,0)\) 在抛物线上；将 \(x=0\) 代入得 \(y=12≠-12\)，故点 \((0,-12)\) 不在抛物线上。 【易错点总结】本节最易出错的知识点为平移规律，学生常混淆“左加右减”的适用对象，错误对常数项加减平移单位，需牢记水平平移仅改变括号内 \(x\) 的数值。同时容易看错 \(h\) 的符号，将 \(y=a(x+h)^2\) 的对称轴误判为 \(x=h\)。此外，解题时易忽略 \(a\) 的符号对函数增减性、最值的影响，需明确开口方向与函数单调性、最值的对应关系，熟练掌握本节内容是攻克二次函数顶点式综合题型的关键。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.2.2.2二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 问题1 说说二次函数 y = ax2 + c (a ≠ 0) 的图象特征. a,c的符号 a＞0,c＞0 a＞0,c＜0 a＜0,c＞0 a＜0,c＜0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y 轴（直线 x = 0） y 轴（直线 x = 0） （0，c） （0，c） 当 x＜0 时，y 随 x 增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大 当 x＜0 时，y 随 x 增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x增大而减小 x = 0 时，y最小值 = c x = 0 时，y最大值 = c 问题2 二次函数 y = ax2 + c (a ≠ 0) 与 y = ax2 (a ≠ 0) 的图象有何关系？ 答：二次函数 y = ax2 + c ( a ≠ 0 ) 的图象可以由 y = ax2 (a ≠ 0) 的图象平移得到： 当 c＞0 时，向上平移 c 个单位长度得到； 当 c＜0 时，向下平移 -c 个单位长度得到. 问题3 函数 的图象，是否也可以由函数 的图象平移得到？ 二次函数 y = a(x + h)2 的图象和性质 1 引例：在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数 y = x2，y = (x - 1)2 和 y = (x + 1)2 的图象？ x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· ··· y = (x - 1)2 ··· ··· y = (x + 1)2 ··· ··· 9 16 4 4 1 0 1 4 9 9 4 1 0 1 4 1 0 1 4 9 16 描点、连线，画出这两个函数的图象： y=(x-1)2 y = x2 y = (x + 1)2 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 从左到右对称轴分别是都 是 ； (4) 从左到右顶点坐标分别是 ____________________； 抛物线 向上 x = -1，x = 0，x = 1 (1，0) (0，0)， y=(x-1)2 y = x2 y=(x+1)2 (-1，0)， (5) 顶点都是最____点，函数都 有最____值，都为_______； (6) 函数 y = (x - 1)2 的增减性 ： __________________________ __________________________. 低 小 y = 0 当 x＜1 时，y 随 x 增大而减小， 当 x＞1 时，y 随 x 增大而增大 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＞0) 的性质是什么？ y=(x-1)2 y = x2 y=(x+1)2 试一试：画出下列二次函数的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· -2 -4.5 -2 0 0 -2 -2 -4.5 -8 -8 -2 2 -2 -4 -6 4 -4 O x y 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x = -1 ( -1 , 0 ) 直线 x = 0 直线 x = 1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1, 0) -2 2 -2 -4 4 -4 O x y 二次函数 y = a(x + h)2 (a ≠ 0) 的性质 y=a(x+h)2 a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 归纳总结 向上 向下 直线 x = -h 直线 x = -h （-h，0） （-h，0） 当 x = -h 时，y最小值 =0 当 x = -h 时，y最大值=0 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞-h 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞-h 时，y 随 x 的增大而减小 (1) 完成下表； x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … (2) 在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象. 例1 已知二次函数 y＝ (x﹣1)2． -1 0 1 2 3 2 0 2 解：描点，画出该二次函数图象如右： -1 2 2 4 1 -2 O x y 3 典例精析 (3) 写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (4) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ 解：对称轴为直线 x = 1. 顶点坐标为 (1，0). 解：当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大. O -1 2 2 4 4 -2 x y 3 1 (5) 若 3≤x≤5，求 y 的取值范围； 想一想：若 −1≤x≤5，y 的取值范围是什么？ 解：∵当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x = 3 时，y = 2；当 x = 5 时，y = 8， ∵当 −1≤x≤5 时，y 的最小值为 0， ∴当−1≤x≤5时，y 的取值范围是 0≤y≤8. 注意：限定了自变量的取值范围求函数值的范围时，应结合图象根据增减性在自变量取值范围内取最值 ∴当 3≤x≤5 时，y 的取值范围是 2≤y≤8. O -1 2 2 4 4 x y 3 1 (6) 若抛物线上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1＜x2＜1，试比较 y1 与 y2 的大小． 解：∵ m＞1，∴ 1＜m＜m + 1. 变式：若点 A(m，y1)，B(m + 1，y2) 在抛物线的图象上，且 m＞1，试比较 y1，y2 的大小，并说明理由． 解：∵ 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x1＜x2＜1 时，y1＞y2. ∵ 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大， ∴ y1＜y2. O -1 2 2 4 4 x y 名师点金 将抛物线沿 轴左右平移可以得到抛物线 .抛物线的顶点坐标是 ,抛物线 的顶点坐标是,顶点始终在 轴上. 其平移 变化规律为：左、右平移变自变量，左加右减. 举一反三 15 知识点1 二次函数 的图象 1. 对于抛物线 ,下列说法正确的有( ) ①开口向上；②顶点坐标为；③对称轴为直线 ； ④与轴的交点坐标为 . C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【点拨】抛物线开口向上，顶点坐标为 , 对称轴为直线,与 轴的交点坐标即为它的顶点坐标 .故①③④正确. 返回 举一反三 16 2. 若点在抛物线 上，则下列各点在抛 物线 上的是( ) D A. B. C. D. 【点拨】 抛物线可看作是由抛物线 向左平移1个单位长度得到的， 抛物线 上的点 向左平移1个单位长度后，会在抛物线 上. 点在抛物线 上.故选D. 返回 举一反三 17 向左平移 1个单位 二次函数 y = ax2 与 y = a(x + h)2 的图象关系 2 想一想 抛物线 y = (x - 1)2 和 y = (x + 1)2与抛物线y = x2 有什么关系？ y=(x-1)2 y = x2 y=(x+1)2 向右平移 1个单位 y = (x - 1)2 y = x2 y = (x + 1)2 向右平移 1个单位 向左平移 1个单位 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O -2 2 -2 -4 4 -4 二次函数 y = a(x + h)2 与 y = ax2 的图象之间的关系 形状、开口大小和方向均相同，可以看作互相平移得到. 左右平移规律： 仅对自变量 (x) 左加右减，其它不变. y = a(x + h)2 向右平移 h 个单位 y = a(x - h)2 向左平移 h 个单位 设 h＞0，将 y = ax2 知识要点 例2 抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位后经过点 (-1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式． 解：抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位得 y＝a(x - 3)2， 代入点 (-1，4)，得 4＝a(-1 - 3)2，a＝ ， ∴ 平移后函数关系式为 y＝ (x - 3)2. 方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移 3 个单位后，a 不变，x 应“减去 3”；若向左平移 3 个单位，x 应“加上 3”，即“左加右减”. 3. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 和二次函数 的图象可能是( ) B A. B. C. D. 举一反三 22 【点拨】A选项，由抛物线可得，由直线可得 ， 矛盾，故错误；B选项，由抛物线可得， ，由直线 可得, ，不矛盾，故正确；C选项，由抛物线可得 ，由直线可得 ，矛盾，故错误；D选项，由抛物线 可得，由直线可得 ，矛盾，故错误. 返回 举一反三 23 知识点2 二次函数 的性质 4. [2026安庆期中] 已知点，， 在抛 物线上，则，， 的大小关系是 （用“ ”连接）_____________. 【点拨】 抛物线 开口向上，有最小值，对称 轴是直线, 当时，随 的增大而增大. 关于直线的对称点为，且 , 是顶点，最小. . 返回 举一反三 24 5. 已知抛物线,当 时，函数有最大值，且 抛物线过点 . （1）求此抛物线对应的函数表达式； 【解】由已知可得 抛物线过点 , ,解得 此抛物线对应的函数表达 式为 举一反三 25 （2）当随的增大而增大时，求 的取值范围； 易知抛物线的对称轴为直线 ,且抛物线开口向下， 当时，随 的增大而增大. （3）当时，求 的最小值. 当时，；当时， , 当时，的最小值为 . 返回 举一反三 26 知识点3 抛物线与 间的关系 6. [2026西安铁一中期中] 把抛物线 平移得到抛物线 ,则这个平移过程正确的是( ) A A. 向左平移2个单位长度 B. 向右平移2个单位长度 C. 向上平移2个单位长度 D. 向下平移2个单位长度 7. 将抛物线 向右平移4个单位长度所得到的抛物线 的表达式为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 27 8. 已知二次函数 , 和 . （1）在如图的平面直角坐标系中画出它们 的图象； 【解】画图略. 举一反三 28 （2）分别写出三个函数图象的顶点坐标； 函数, , 图象的顶点坐标分别为 ,, . 举一反三 29 （3）试说明分别通过怎样的平移，可以由 函数 的图象得到函数 和函数 的 图象； 函数 的图象由函数 的图象向左平移2个单位长度得 到,函数的图象由函数 的图象向右 平移2个单位长度得到. 举一反三 30 （4）根据图象回答： ①当时，___ ； 当时，______.（填“ ”“ ”或 “=”） ②若，求 的取值范围. 由图象易知 . 返回 举一反三 31 易错点 因不能灵活运用平移规律而出错 9. 已知抛物线 ,若抛物线不动,把 轴向左平移3个单位长度,那么在新坐标系下抛物线的表达式 为_______________. 【点拨】由题意，可把 轴向左平移3个单位长度看作坐标轴 不动，抛物线向右平移3个单位长度，然后利用平移规律求 解即可. 举一反三 32 求解抛物线平移问题的关键是正确掌握平移规律， 这里要特别注意左右平移的情况，做此题时极易混淆平移规 律，错误地认为向左平移 轴为正，平移抛物线与平移坐标 轴时抛物线的表达式的变化规律正好相反. . . . . 返回 举一反三 33 设 h＞0， 左移 h 个单位↔加 h； 右移 h 个单位↔减 h. 复习 y = ax2 + k 探索 y = a(x±h)2 的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 对称轴 平移关系 直线 x = ± h a＞0，开口向上 a＜0，开口向下 y = ax2 平移规律： 仅对自变量 (x) 左加右减，其它不变. 顶点坐标 (± h，0) 课堂小结 谢谢观看 THANKS $