21.2.2.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象和性质，系统梳理一般式与顶点式的转化方法、系数几何意义、对称轴及增减性等核心知识。通过问题链导入，以“能否用顶点式知识探讨新函数”连接已学内容，引导学生用配方法实现一般式到顶点式的转化，搭建递进式学习支架。 其亮点在于以步骤化配方教学（提、配、化）培养数学思维，通过分层练习题（基础填空到综合解答）和易错点总结（如对称轴符号错误）发展运算能力与推理意识。结合函数性质表格对比和实例推导（如配方得顶点坐标公式），帮助学生用数学眼光理解本质，教师可借此提升教学效率，学生能夯实基础并提升问题解决能力。

21.2.2.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质专项练习 【核心知识梳理】 二次函数 \(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)）是二次函数的一般式，是沪科版九年级上册二次函数的最终通用形式，涵盖前面所学的顶点式、平移型函数，是考试必考核心内容。任意二次函数都可化为一般式，它可以通过配方转化为顶点式 \(y=a(x-h)^2+k\)，进而求出抛物线的对称轴、顶点、增减性与最值，实现从特殊形式到通用形式的知识过渡。 在一般式中，三个系数分工明确且各有几何意义：系数 \(a\) 决定抛物线开口方向与开口宽窄，\(a>0\) 开口向上，图象有最低点；\(a<0\) 开口向下，图象有最高点。\(|a|\) 越大，抛物线开口越窄，图象越陡峭；\(|a|\) 越小，开口越宽。系数 \(a\)、\(b\) 共同决定对称轴位置，系数 \(c\) 决定抛物线与 \(y\) 轴交点位置。 通用核心公式可直接用于解题，无需每次配方：对称轴公式为直线 \(x=-\dfrac{b}{2a}\)，顶点纵坐标公式为 \(y=\dfrac{4ac-b^2}{4a}\)，即顶点坐标为 \(\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)\)。函数最值由开口方向决定，\(a>0\) 时，当 \(x=-\dfrac{b}{2a}\)，函数有最小值 \(\dfrac{4ac-b^2}{4a}\)；\(a<0\) 时，当 \(x=-\dfrac{b}{2a}\)，函数有最大值 \(\dfrac{4ac-b^2}{4a}\)。 函数增减性由对称轴与开口方向共同确定：\(a>0\) 时，对称轴左侧（\(x<-\dfrac{b}{2a}\)）\(y\) 随 \(x\) 增大而减小，对称轴右侧（\(x>-\dfrac{b}{2a}\)）\(y\) 随 \(x\) 增大而增大；\(a<0\) 时，对称轴左侧（\(x<-\dfrac{b}{2a}\)）\(y\) 随 \(x\) 增大而增大，对称轴右侧（\(x>-\dfrac{b}{2a}\)）\(y\) 随 \(x\) 增大而减小。 系数特殊规律：\(b=0\) 时，对称轴为 \(y\) 轴，图象关于 \(y\) 轴对称；\(c=0\) 时，抛物线经过坐标原点；\(a\)、\(b\) 同号，对称轴在 \(y\) 轴左侧；\(a\)、\(b\) 异号，对称轴在 \(y\) 轴右侧，可快速判断图象大致位置。 二次函数 \(y=a(x-h)^2+k\)（\(a≠0\)）是二次函数的顶点式标准形式，整合了前两节竖直平移与水平平移的所有知识点，是沪科版九年级上册二次函数章节的重中之重。该函数由基础抛物线 \(y=ax^2\) 经过先左右、后上下的平移变换得到，完整涵盖了抛物线的位置变化规律，也是后续二次函数综合题、最值应用题的核心解题公式。 此函数的图象依旧是抛物线，系数 \(a\) 决定开口方向与开口大小，和前两类二次函数性质一致。当 \(a>0\) 时，抛物线开口向上，图象有最低点；当 \(a<0\) 时，抛物线开口向下，图象有最高点。相较于 \(y=ax^2\)、\(y=ax^2+k\)、\(y=a(x-h)^2\)，该公式的优势是可直接读出顶点与对称轴：抛物线对称轴为直线 \(x=h\)，顶点坐标为 \((h,k)\)，顶点不再局限于坐标轴上，可在平面直角坐标系任意位置。 函数增减性与最值规律清晰：\(a>0\) 时，在对称轴左侧（\(x<h\)），\(y\) 随 \(x\) 增大而减小；在对称轴右侧（\(x>h\)），\(y\) 随 \(x\) 增大而增大，当 \(x=h\) 时，函数取得最小值 \(k\)。\(a<0\) 时，在对称轴左侧（\(x<h\)），\(y\) 随 \(x\) 增大而增大；在对称轴右侧（\(x>h\)），\(y\) 随 \(x\) 增大而减小，当 \(x=h\) 时，函数取得最大值 \(k\)。 平移规律遵循“左加右减，上加下减”完整法则。由 \(y=ax^2\) 平移得到：\(h>0\) 向右平移 \(h\) 个单位，\(h<0\) 向左平移 \(|h|\) 个单位；\(k>0\) 向上平移 \(k\) 个单位，\(k<0\) 向下平移 \(|k|\) 个单位。平移全过程中抛物线形状、开口、宽窄保持不变，仅顶点位置发生改变。 【基础专项练习题】 1. 填空题：已知二次函数 \(y=x^2-2x+3\)，则开口方向为______，对称轴为直线______，顶点坐标为______，函数有最______值为______。 2. 填空题：二次函数 \(y=-2x^2+4x-1\)，当 \(x\)______时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大；当 \(x\)______时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小。 3. 选择题：关于二次函数 \(y=3x^2-6x\)，下列说法正确的是（） A. 开口向下 B. 对称轴为 \(x=-1\) C. 最小值为 \(-3\) D. 经过点 \((1,0)\) 4. 选择题：抛物线 \(y=-x^2+2x+c\) 的对称轴是（） A. 直线 \(x=1\) B. 直线 \(x=-1\) C. 直线 \(x=2\) D. 直线 \(x=-2\) 【提升专项练习题】 5. 解答题：已知二次函数 \(y=x^2-4x+2\)，（1）通过配方将函数化为顶点式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值；（3）简述函数的增减性。 6. 解答题：已知二次函数 \(y=ax^2+bx-3\)，经过点 \((1,-4)\)、\((2,-3)\)，（1）求函数解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标。 【参考答案与详细解析】 1. 答案：向上；\(x=1\)；\((1,2)\)；小；2。解析：\(a=1>0\) 开口向上，有最小值；代入对称轴公式 \(x=-\dfrac{b}{2a}=1\)，顶点纵坐标 \(\dfrac{4ac-b^2}{4a}=2\)，可得顶点 \((1,2)\)。 2. 答案：\(<1\)；\(>1\)。解析：\(a=-2<0\)，开口向下，对称轴为 \(x=1\)，左增右减，即 \(x<1\) 递增，\(x>1\) 递减。 3. 答案：C。解析：\(a=3>0\) 开口向上，对称轴 \(x=1\)，顶点 \((1,-3)\)，最小值为 \(-3\)，代入 \(x=1\) 得 \(y=-3≠0\)，不经过 \((1,0)\)。 4. 答案：A。解析：\(a=-1，b=2\)，对称轴 \(x=-\dfrac{2}{2\times(-1)}=1\)。 5. 解析：（1）配方得 \(y=(x^2-4x+4)-4+2=(x-2)^2-2\)；（2）\(a=1>0\)，开口向上，对称轴直线 \(x=2\)，顶点 \((2,-2)\)，最小值为 \(-2\)；（3）当 \(x<2\) 时，\(y\) 随 \(x\) 增大而减小；当 \(x>2\) 时，\(y\) 随 \(x\) 增大而增大。 6. 解析：（1）将两点代入解析式得方程组 \(\begin{cases}a+b-3=-4\\4a+2b-3=-3\end{cases}\)，解得 \(a=1，b=-2\)，解析式为 \(y=x^2-2x-3\)；（2）对称轴 \(x=1\)，代入得顶点纵坐标 \(-4\)，顶点坐标为 \((1,-4)\)。 【易错点总结】一般式二次函数易错点集中在公式混淆和符号出错。一是对称轴公式符号记错，容易遗漏负号，误写为 \(x=\dfrac{b}{2a}\)；二是配方时常数项加减出错，配方变形时未保持等式恒等；三是无法准确根据 \(a、b\) 判断对称轴位置，混淆左右单调性；四是最值判断与开口方向不匹配。一般式是二次函数综合题的基础，熟练掌握公式计算与配方变形，是解决图象分析、最值应用、动点问题的关键。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.2.2.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 我们已经知道 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质，能否利用这些知识来探讨 的图象和性质？ 问题1 能不能将 化成 y = a(x + h)2 + k 的形式？用什么方法？ 能，用配平方法. 1 配方可得 想一想：配平方的技巧及步骤是什么？ 配方 现在你知道怎样配方了吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示：配方所得二次函数表达式通常称为顶点式. 问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是 (6，3). 问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法 1： 先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的； 平移方法 2： 先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的. 5 10 x y 5 10 5 O … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 问题4 如何画二次函数 的图象？ 先利用图形的对称性列表； 然后描点画图， 得到图象如右图所示. 问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质. 5 10 x y 5 10 x = 6 当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大. O 例1 怎样画函数 y = -2x2 - 8x - 7 的图象？ 解：(1) 将这个函数的表达式配方： = -2(x2 + 4x) - 7 = -2(x2 + 4x + 4) - 7 + 8 = -2(x + 2)2 + 1 y = -2x2 - 8x - 7 (2) 根据图象的对称性列表： (3) 描点、连线. x … -2 -1 0 … … 1 -1 -7 … y=-2(x+2)2+1 例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解：将函数 配方，可得 ， 先列表： 典例精析 2 x y -2 O 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下. 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当 x＜1 时，函数值 y 随 x的增大而增大； 当 x＞1时，函数值 y 随 x的增大而减小； 当 x = 1 时，函数取得最大值，最大值 y = -2. 名师点金 1.把二次函数化成 形式的 方法：配方时只对二次项和一次项变形，提取二次项的系数， 将其系数化为“1”，然后括号内加上一次项系数一半的平方， 再减去一次项系数一半的平方.#1.1 举一反三 12 2.利用二次函数 的图象判断各项系数的符号 的方法：（1） 决定抛物线的开口方向，简记为“上正下负”； （2）决定抛物线与 轴的交点位置，简记为“上正下负原点 0”；， 的符号共同决定对称轴的位置，简记为“左同右 异，轴 的值为0”.#1.2 举一反三 13 知识点1 二次函数 与 间的关系 1. 将二次函数化为 的形式, 结果为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 14 2. 将抛物线 向右平移2个单位长度，再向 下平移1个单位长度得到抛物线，则抛物线 的表达式为 ( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 15 将一般式 y = ax2 + bx + c 化成顶点式 我们如何用配方法将一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x + h)2 + k？ 2 y = ax² + bx + c 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x + h)2 + k 的形式，即 因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 ，对称轴是直线 归纳总结 (1) (2) x y O x y O 如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞ 时，y 随 x 的增大而增大. 如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞ 时，y 随 x 的增大而减小. 19 例2 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵ 二次项系数－1＜0，∴ 抛物线开口向下. 故在对称轴右侧，y 随 x 值的增大而减小. 由于当 x＞1 时，y 随 x 值的增大而减小，∴ 抛物线 y =－x2＋2bx＋c 的对称轴应在直线 x = 1 的左侧. 而抛物线的对称轴为直线 ，∴ b≤1. 故选 D. D 20 顶点坐标 对称轴 最值 y = -x2 + 2x y = -2x2 - 1 y = 9x2 + 6x - 5 (1，3) x = 1 有最大值 1 (0，-1) y 轴 有最大值 -1 有最小值 -6 ( ，-6) 直线 x = 填一填 二次函数字母系数与图象的关系 问题1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y = k1x + b1 x y O y = k2x + b2 y = k3x + b3 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k2 0 b2 ___ 0 ＞ ＜ k3 ___ 0 b3 ___ 0 ＜ ＞ ＜ ＞ 3 x y O 问题2 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___ 0 b1 ___ 0 c1 ___ 0 a2 ___ 0 b2 ___ 0 c2 ___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在 y 轴左侧，x＜0 对称轴在 y 轴右侧，x＞0 x = 0时，y = c. x y O a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴是 y 轴，x = 0 对称轴在 y 轴右侧，x＞0 x = 0时，y = c. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 a、b、c 的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b 同号 对称轴在 y 轴的____侧 a、b 异号 对称轴在 y 轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与 y 轴交于_____半轴 c＜0 与 y 轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 由图象上横坐标为x＝-2的点在第三象限可得4a-2b+c＜0,故③正确 由图象上 x＝1的点在第四象限得 a＋b＋c＜0，由图象上 x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得 (a＋c)2＜b2，故④正确． 【解析】由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确； 由对称轴 x＞-1可得 2a - b＜0，故②正确； 知识点2 二次函数 的图象和性质 3. [2025盐城] 已知二次函数，当自变量 满 足时， 的取值范围是____________. 【点拨】当所给的二次函数的自变量的取值范围包含了对称 轴所对应的 的值时，不能忽略其在对称轴处取得的最值. . . 返回 举一反三 27 4. 二次函数 的最小值为__. 【点拨】方法1（配方法） ，当 时，二次函数取最小值，最小值为 . 举一反三 28 方法2（公式法）,,， 当 时，取最小值是 . 方法3（代入法）,，， 当 时， . 返回 举一反三 29 5. [2025攀枝花] 关于抛物线 ，下列说法正 确的是( ) D A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【点拨】， 抛物线的 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是.当 时，， 抛物线与轴的交点坐标是 .故选D. 返回 举一反三 30 6. 已知二次函数 为常数，且 ，下列结论：①函数图象一定经过第一、 二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当 时，随的增大而减小；④当时，随 的增大而增大. 其中所有正确结论的序号是( ) B A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 举一反三 31 【点拨】， 抛物线开口向上. 抛物线的对称轴为 直线，, 二次函数图象必经过第 一、二象限．对于,, . 当时，抛物线与 轴无交点，二次函数图象只经过 第一、二象限；当时，抛物线与 轴有一个交点， 二次函数图象只经过第一、二象限；当 时， 抛物线与 轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四 举一反三 32 象限.故①错误，②正确. 抛物线开口向上，对称轴为直线 , 当时，随的增大而减小；当时， 随 的增大而增大，故③正确，④错误.故选B. 返回 举一反三 7. [浙江平湖文涛中学自主招生] 当 时，二次函 数的最大值与最小值的差为，则 的值可能是 ( ) D A. B. 0 C. 1 D. 或2 举一反三 34 【点拨】如图，当 时， ，或 （舍去），；当 时， ， ，（ 舍去）. 综上，的值可能为 或2. 返回 举一反三 35 知识点3 二次函数的图象与，， 符号间的关系 （第8题） 8. 二次函数 的图象如图，则一次函数 的图象一 定不经过第____象限. 四 返回 举一反三 36 （第9题） 9. [2025安徽] 已知二次函数 的图象如图所示， 则下列式子正确的是( ) C A. B. C. D. 举一反三 37 顶点： 对称轴： y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 谢谢观看 THANKS $