21.2.2.3二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象和性质，通过情境导入回顾\(y=ax^2\)等基础形式，以问题链衔接平移变换与顶点坐标、对称轴等核心知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和实例探究培养数学眼光与思维，如通过喷水池问题渗透模型意识，用表格对比平移规律发展推理能力，易错点总结助力学生精准掌握性质。学生能构建知识体系提升应用能力，教师可借助系统资源高效开展教学。

21.2.2.3 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质专项练习 【核心知识梳理】 二次函数 \(y=a(x-h)^2+k\)（\(a≠0\)）是二次函数的顶点式标准形式，整合了前两节竖直平移与水平平移的所有知识点，是沪科版九年级上册二次函数章节的重中之重。该函数由基础抛物线 \(y=ax^2\) 经过先左右、后上下的平移变换得到，完整涵盖了抛物线的位置变化规律，也是后续二次函数综合题、最值应用题的核心解题公式。 此函数的图象依旧是抛物线，系数 \(a\) 决定开口方向与开口大小，和前两类二次函数性质一致。当 \(a>0\) 时，抛物线开口向上，图象有最低点；当 \(a<0\) 时，抛物线开口向下，图象有最高点。相较于 \(y=ax^2\)、\(y=ax^2+k\)、\(y=a(x-h)^2\)，该公式的优势是可直接读出顶点与对称轴：抛物线对称轴为直线 \(x=h\)，顶点坐标为 \((h,k)\)，顶点不再局限于坐标轴上，可在平面直角坐标系任意位置。 函数增减性与最值规律清晰：\(a>0\) 时，在对称轴左侧（\(x<h\)），\(y\) 随 \(x\) 增大而减小；在对称轴右侧（\(x>h\)），\(y\) 随 \(x\) 增大而增大，当 \(x=h\) 时，函数取得最小值 \(k\)。\(a<0\) 时，在对称轴左侧（\(x<h\)），\(y\) 随 \(x\) 增大而增大；在对称轴右侧（\(x>h\)），\(y\) 随 \(x\) 增大而减小，当 \(x=h\) 时，函数取得最大值 \(k\)。 平移规律遵循“左加右减，上加下减”完整法则。由 \(y=ax^2\) 平移得到：\(h>0\) 向右平移 \(h\) 个单位，\(h<0\) 向左平移 \(|h|\) 个单位；\(k>0\) 向上平移 \(k\) 个单位，\(k<0\) 向下平移 \(|k|\) 个单位。平移全过程中抛物线形状、开口、宽窄保持不变，仅顶点位置发生改变。 【基础专项练习题】 1. 填空题：二次函数 \(y=2(x-1)^2+3\) 的开口方向为______，对称轴为直线______，顶点坐标为______，函数最______值为______。 2. 填空题：将抛物线 \(y=5x^2\) 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线解析式为____________。 3. 选择题：对于抛物线 \(y=-(x+3)^2-2\)，下列说法正确的是（） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 \(x=3\) C. 最大值为 \(-2\) D. 顶点坐标为 \((-3,2)\) 4. 选择题：抛物线 \(y=3(x+1)^2-5\) 的增减性描述正确的是（） A. \(x<-1\) 时，\(y\) 随 \(x\) 增大而增大 B. \(x<-1\) 时，\(y\) 随 \(x\) 增大而减小 C. \(x>-1\) 时，\(y\) 随 \(x\) 增大而减小 D. \(x>1\) 时，\(y\) 随 \(x\) 增大而增大 【提升专项练习题】 5. 解答题：已知二次函数 \(y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+4\)，（1）写出函数的开口方向、对称轴、顶点和最值；（2）分析函数的增减性；（3）求 \(x=0\) 时的函数值。 6. 解答题：已知抛物线顶点为 \((-2,3)\)，且开口、形状与 \(y=4x^2\) 相同，求该抛物线解析式，并验证点 \((-2,3)\)、\((0,-5)\) 是否在抛物线上。 【参考答案与详细解析】 1. 答案：向上；\(x=1\)；\((1,3)\)；小；3。解析：\(a=2>0\) 开口向上，存在最小值；由顶点式直接得对称轴 \(x=1\)，顶点 \((1,3)\)，最小值为顶点纵坐标3。 2. 答案：\(y=5(x+2)^2-4\)。解析：左加右减、上加下减，左移2个单位为 \(x+2\)，下移4个单位整体减4，系数 \(a\) 保持不变。 3. 答案：C。解析：原式变形为 \(y=-(x-(-3))^2-2\)，\(a=-1<0\) 开口向下，对称轴 \(x=-3\)，顶点 \((-3,-2)\)，函数最大值为 \(-2\)，仅有C正确。 4. 答案：B。解析：\(a=3>0\) 开口向上，对称轴 \(x=-1\)，对称轴左减右增，即 \(x<-1\) 时 \(y\) 随 \(x\) 增大而减小，\(x>-1\) 时单调递增。 5. 解析：（1）\(a=-\frac{1}{2}<0\)，开口向下，对称轴直线 \(x=2\)，顶点 \((2,4)\)，函数最大值为4，无最小值；（2）当 \(x<2\) 时，\(y\) 随 \(x\) 增大而增大，当 \(x>2\) 时，\(y\) 随 \(x\) 增大而减小；（3）将 \(x=0\) 代入，\(y=-\frac{1}{2}\times4+4=2\)。 6. 解析：形状开口相同则 \(a=4\)，顶点 \((-2,3)\) 即 \(h=-2，k=3\)，解析式为 \(y=4(x+2)^2+3\)；将 \(x=-2\) 代入得 \(y=3\)，点在抛物线上；将 \(x=0\) 代入得 \(y=19≠-5\)，点不在抛物线上。 【易错点总结】本节是平移规律的综合易错点重灾区。一是混淆 \(h\) 的符号，误将 \(y=a(x+m)^2+k\) 的对称轴判为 \(x=m\)，牢记括号内是“\(x-h\)”；二是平移顺序错乱，记错左右、上下平移规则；三是增减性与开口匹配错误，开口向上左减右增，开口向下左增右减；四是最值判断错误，最值永远是顶点纵坐标 \(k\)，与 \(h\) 无关。熟练掌握顶点式性质，可快速解决图象平移、定点求值、单调性判断等各类基础与中档题型。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.2.2.3二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/13 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 1. 说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况： (1) y = ax2； (2) y = ax2 + k； (3) y = a(x + h)2. y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O 情境导入 2. 请说出二次函数 y = -2x2 的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值. 3. 把 y = -2x2 的图象 向上平移 3 个单位 y = -2x2 + 3 向左平移 2 个单位 y = -2(x + 2)2 4. 二次函数 y = -2(x + 2)2 + 3 的图象是否可以由 y = -2x2 的图象平移得到？你认为该如何平移呢？ 情境导入 O x y 3 -2 O y 3 -2 x 情境导入 二次函数 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质 1 问题：怎样画出函数 y = (x - 2)2 + 1 的图象？ x … -1 0 2 4 5 … … 5.5 3 1 3 5.5 … y=(x-2)2+1 解：先列表： 并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 再描点、连线. x … -1 0 2 4 5 … … 5.5 3 1 3 5.5 … y=(x-2)2+1 开口向上； 对称轴是直线 x = 2； 顶点坐标是 (2，1). 解： 2 4 x -2 -4 -6 y O -2 -4 直线 x = -1 开口方向向下， 对称轴是直线 x = -1， 顶点坐标是 (-1，-1) 【试一试】 画出二次函数 的图象，并说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 二次函数 y = a(x + h)2 + k (a ≠ 0) 的性质 y=a(x+h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 归纳总结 向上 直线 x = -h （-h，k） 当 x = -h 时，y最小值=k 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞-h 时，y 随 x 的增大而增大 向下 直线 x = -h （-h，k） 当 x = -h 时，y最大值=k 当 x＞-h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而增大 顶点式 例1 已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋c 的大致图象可能是( ) 解析：根据二次函数开口向上，得 a＞0；根据－c 是二次函数顶点的纵坐标，得 c＞0．故一次函数 y＝ax＋c 的大致图象经过第一、二、三象限．故选 A. A 名师点金 1.二次函数 的图象是抛物线,它与抛物线 的形状相同,位置不同,其对称轴是直线 ,顶点坐 标是.若,图象的开口向上,当时,随 的增大 而减小,当时,随的增大而增大；若 ,恰好相反. 2.可以通过平移抛物线 得到抛物线 ，平移的规律：左、右平移变自变量，左 . . 举一反三 11 加右减；上、下平移变常数项，上加下减.同样，也可以通过 两个二次函数自变量及常数项的变化，找到平移的方向和距 离.#1.2 举一反三 知识点1 二次函数 的图象 1. 抛物线 开口向____，顶点坐标为______ __，与 轴的交点坐标是______. 下 返回 举一反三 13 2. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象经过( ) B A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 返回 举一反三 14 例2 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0). (1) 求 a 的值； (2) 若 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系. (1) 将 (3，0) 代入二次函数解析式，得 0＝4a－4， (2) 方法一： 根据题意，得 y1＝(m－1)2－4vy2＝(m＋n－1)2－4. ∵ y1＝y2， ∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵ n＞0，∴ m－1＝－(m＋n－1). 化简，得 2m＋n＝2. 解： 解得 a＝1. 方法二： ∵ 二次函数 y＝(x－1)2－4 的图象的对称轴为直线 x＝1，且图象上两点 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 满足 y1＝y 2， ∴ 点 A，B 关于直线 x＝1 对称. ∴ m＋n－1＝1－m. 化简，得 2m＋n＝2. 方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得相关的参数值. 例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m， 水管应多长? 17 C(3，0) B(1，3) A 1 x O y 2 3 1 2 3 解：建立如图所示的直角坐标系. 点 (1，3) 是这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线表达式为 ∵ 这段抛物线经过点 (3，0)， ∴ 0 = a(3－1)2＋3. 解得 ∴ 抛物线的解析式为 y = a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). 当 x = 0 时，y = 2.25. 答：水管长应为 2.25 m. 3 4 a =－ . y = (x－1)2＋3 (0≤x≤3). 3 4 － 18 二次函数 y = a(x + h)2 + k 与 y = ax2 的图象关系 2 画一画，填出下表： 图象的开 口方向 图象的对称轴 图象的顶 点坐标 函数 向上 x = 0 (0, 0) 向上 x = 0 (0, 1) 向上 x = 2 (2, 0) 向上 x = 2 (2, 1) 探究归纳 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 向右平移 2 个单位 平移方法1 1 个单位 向上平移 平移方法2 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 向右平移 1 个单位 2 个单位 向上平移 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 向左平移 1 个单位 平移方法1 1 个单位 向下平移 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 探究归纳 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 平移方法2 向左平移 向下平移 1个单位 1 个单位 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 二次函数 y = ax2 与 y = a(x + h)2 + k 的图象关系 二者形状、开口都相同，可看作互相平移得到. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x + h)2 y = a(x + h)2 + k 上下平移 左右平移 上下 平移 左右 平移 平移规律 简记为： 上下平移时， 常数项上加下减； 左右平移时， 自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 归纳总结 例4 将抛物线 y = 2x2 向左平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到的抛物线的解析式为 (　　) A．y = 2(x − 4)2 − 1 B．y = 2(x + 4)2 + 1 C．y = 2(x − 4)2 + 1 D．y = 2(x + 4)2 − 1 B 知识点2 二次函数 的性质 3. 已知二次函数 ，下 列说法正确的是( ) C A. 图象的对称轴为直线 B. 图象与轴的交点坐标为 C. 函数的最大值是3 D. 函数的最小值是3 返回 举一反三 26 4. [2025威海] 已知点,, 都在二次函数 的图象上，则,, 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 举一反三 27 【点拨】 二次函数表达式为， 二次函 数的图象开口向下，对称轴为直线 离对称轴越近，函数值越大，点的横坐标 与2的 距离为；点 的横坐标3与2的距离为 ；点 的横坐标7与2的距离为 ， . 返回 举一反三 28 5. 已知点，， 都在抛物线 上，点在点 左侧，下列选项正确的是 ( ) D A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 举一反三 29 【点拨】由 ，可知该抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上， 当时，随 的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 点,, 都 在抛物线上，点在点左侧， 若 ， 则，故选项A，B均不符合题意；若 ，则 ，故选项C不符合题意，选项D符合题意. 返回 举一反三 30 6. 已知关于的二次函数，当时， 随的增大而减小，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 31 7. [2026苏州期中] 已知二次函数 ， 当时，的最小值为，则 的值为_ ______. 或4 解题支架 返回 举一反三 32 知识点3 抛物线与 间的关系 8. 将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个 单位长度，得到的抛物线的表达式是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 33 9. 已知抛物线 ,顶点为 ，将沿水平方向向右平移 个单位长度，得到抛 物线，顶点为，与相交于点,若 ,则 等于( ) A A. B. C. 或 D. 或 举一反三 34 【点拨】抛物线 沿水平方向向右平移 个单位长度得到抛物线 , 则,,易得点的横坐标为 ，代入 ，解得点的纵坐标为 ,即 ,连接,若 ，则易得 是等边三角形， ，由勾股定理得 举一反三 35 ,解得 或 , . 返回 举一反三 一般地，抛物线 y = a(x + h)2 + k 与 y = ax2 形状和开口相同，位置不同. 二次函数 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质 图象特征 a＞0 时开口向上， a＜0 时开口向下； 对称轴是 x = -h； 顶点坐标是 (-h，k) 平移规律 左右平移：自变量左加右减； 上下平移：常数项上加下减 课堂小结 谢谢观看 THANKS $